GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 1
CHƯƠNG 3: TỔ HỢP- SÁC XUẤT
A. TỔ HỢP
I. QUY TẮC ĐẾM
1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu
phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì
cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực
hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực
hiện.
BÀI TẬP
Bài 1: ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp THPT đều có quyền dự thi
vào một trường đại học( có 35 trường ) hoặc một trường cao đẳng ( có 25 trường) hoặc một trường
trung học chuyên nghiệp ( có21 trường ). Hỏi mỗi học sinh tốt nghiệp THPT có bao nhiêu cách
chọn trường thi ?
Giải
- có 35 cách chọn trường đại học
- Có 25 cách chọn trường cao đẳng
- Có 21 cách chọn trường trung học chuyên nghiệp
Khi đã chọn thi trường đại học thì không chọn trường thi là cao đẳng và chuyên nghiệp, tương tự
với cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, do đó có tất cả:
35 + 25 + 21 = 81 cách chọn trường thi
Bài 2:
Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, mỗi thí sinh cần thực hiện 2 việc:
- Chọn trường thi có tất cả 33 trường
- Chọn khối thi, mỗi trường có 4 khối thi là A, B, C, D. Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ ?
Giải
Từ (1), (2), (3), theo quy tắc cộng ta có: 240+180+120=540 cách
Bài 4:
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên trong mỗi trường hợp sau:
1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.
2. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau.
Lời giải:
1. Gọi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là abcd
Chọn chữ số d có 3 cách chọn,
Chọn chữ số a có 5 cách chọn,
Chọn chữ số b có 5 cách chọn,
Chọn chữ số c có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: 3.5.5.5=375 (số).
2. Gọi số tự nhiên thỏa ycbt là abcd
- Nếu d=0:
Chọn chữ số d có 1 cách chọn
Chọn chữ số a có 5 cách chọn
Chọn chữ số b có 4 cách chọn
Chọn chữ số c có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: 1.5.4.3=60 (số) (∗)
- Nếu d≠ 0, có 2 cách chọn chữ số d
Chọn chữ số a có 4 cách chọn
Chọn chữ số b có 4 cách chọn
Chọn chữ số c có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 (số) (∗∗)
Từ (∗) và (∗∗) theo Quy tắc cộng ta có 60+96=156 (số)
Bài 5:
Cho các chữ số 0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên . Hỏi:
a. Có bao nhiêu số chẵn
b. Có bao nhiêu số có mặt chữ số 1
Lời giải:
đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3
con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu
đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 đường.
Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có
bao nhiêu trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy
cách chọn lấy 1 bông hoa?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?
ĐS: a) 18. b) 15.
Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ
được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách
chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như
nhau?
ĐS: 36.
Baøi 5: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng.
Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a) 35. b) 29.
Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một
đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có
bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?
Baøi 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài
sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Baøi 8: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
II. HOÁN VỊ
1. Giai thừa:
n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n
!
!
n
p
= (p+1).(p+2)…n (với n>p)
!
( )!
n
n p
= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
2. Hoán vị (không lặp):
Một tập hợp gồm n phần tử (n
1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó
được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là: P
n
= n!
3. Hoán vị lặp:
Cho k phần tử khác nhau: a
1
, a
2
1
, n
2
, …, n
k
) của k phần tử là:
P
n
(n
1
, n
2
, …, n
k
) =
1 2
!
! ! !
k
n
n n n
4. Hoán vị vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là
một hoán vị vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Q
n
= (n – 1)!
BÀI TẬP
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
Bài 5. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số
đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bởi chữ số 9? b) Không bắt đầu bởi chữ số 1?
c) Bắt đầu bởi 19? d) Không bắt đầu bởi 135?
ĐS: a) 24. b) 96. c) 6 d) 118
Bài 6. Một tổ có 10 học sinh. Có bao nhiêu cách:
a. Xếp thành 1 hàng dọc.
b. Ngồi quanh một bàn tròn 10 ghế.
Giải
a. Số cách xếp 10 học sinh thành 1 hàng dọc là 10!.
b. Người thứ nhất có 1 cách chọn, không kể vị trí vì ngồi ở đâu cũng giống nhau.
Khi người thứ nhất đã ngồi thì 9 vị trí còn lại cho 9 người ngồi, có 9!
Vậy có 1.9! = 9!
Bài 7. Cho 5 quả cầu màu trắng khác nhau và 4 quả cầu xanh khác nhau. Ta sắp xếp 9 quả cầu đó
vào một hàng 9 chỗ cho trước.
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau?
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho hai quả cầu đứng cạnh nhau không cùng màu?
c. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 quả cầu trắng đứng cạnh nhau.
Giải
a. Có 9! = 362880 cách
b. Gọi các vị trí cần sắp xếp là 123456789.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 6
Vì có 5 quả cầu màu trắng, 4 quả cầu màu xanh nên các vị trí số 1, 3, 5, 7, 9 là các quả cầu trắng,
các vị trí 2, 4, 6, 8 là các quả cầu màu xanh
Để sắp xếp 5 quả cầu trắng có 5! cách.
Để sắp xếp 4 quả cầu xanh có 4! cách
Vậy có 5!4! = 2880 cách
C =
5! ( 1)!
.
( 1) ( 1)!3!
m
m m m
D =
2
7! ( 2)!
.
( ) 4!( 1)!
m
m m m
E =
1
. !
n
k
k k
F =
2
1
!
( 1) ( 2) 2 1
n n n
P n P n P P P
c)
2
1 1
! ( 1)! ( 2)!
n
n n n
d)
1 1 1 1
1 3
1! 2! 3! !
n
e)
1
! 2
n
n
Baøi 3: Giải các bất phương trình sau:
( 1)
5
6
n n
n = 4, n = 5, n = 6 b) n = 2, n = 3
Baøi 4: Giải các phương trình sau:
a)
2
2 3
. – . 8
P x P x
b)
1
1
1
6
x x
x
P P
P
3
!
10
( 2)!
n
n
n
ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 c) n = 8
d) n = 3 e) n = 6 f) n = 2
III. CHỈNH HỢP
1. Chỉnh hợp (không lặp):
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1
k
n) theo một thứ tự
nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
!
( 1)( 2) ( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
Giải
a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7
vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có
4
7
A
cách. Vậy có 6!.
4
7
A
cách
b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6
vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có
4
6
A
cách.
Vậy có 5!.
4
6
A
cách sắp xếp.
Bài 2: ( ĐHQG HCM - 99) Với các số 1,2,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3
chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện:
a. Là 1 số chẵn. b. Là 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 278.
c. Là 1 số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278.
Giải
Cách 1: Đặt E = {1,2,5,7,8 }.
Gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số là
1
có 4 cách chọn
a
2
E \ {a
1
,a
3
}
a
2
có 3 cách chọn
Vậy: có 2.3.4 = 24 cách chọn hay có 24 số.
Cách 2: a. Do
n
chẵn nên a
3
{2,8}
a
3
có 2 cách chọn
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 8
E\{a
1
}
a
2
có 4 cách chọn
a
3
E \ {a
1
,a
2
}
a
3
có 3 cách chọn
có 1.4.3 = 12 cách chọn .
Trường hợp 2: nếu a
1
= 2 thì a
2
{2,8} và số cần tìm nhỏ hơn 278 nên a
1
2.
Trường hợp 1: nếu a
1
= 2
a
1
có 1 cách chọn
a
3
{2,8}
a
3
có 2 cách chọn
a
2
E \ {a
1
,a
3
}
1
,a
3
}
a
2
có 3 cách chọn
có 1.1.3 = 3 cách chọn .
Vậy: có 6 + 3 = 9 cách chọn số tự nhiên chẵn gồm các chữ số khác nhau và nhỏ hơn hoặc bằng 278.
Tức là có 9 số thoả mãn ycbt.
Bài 3:
Với tập E={1,2,3,4,5,6,7} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và :
a) Là số chẵn.
b) Trong đó có chữ số 7.
c) Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.
Lời giải:
a) Sử dụng kiến thức về hoán vị :
* a5 được chọn từ tập F={2,4,6} ⇒ Có 3 cách chọn.
* a1,a2,a3,a4 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{a5} do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của
6
⇒ Có A46 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt , hình thành từ tập E bằng :
3.A46=1080 số.
b) Chọn 1 vị trí trong 5 vị trí của các chữ số để đặt chữ số 7
⇒ có 5 cách chọn
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 9
A
= 144 số.
b. Số cần lập là số chẵn:
Trường hợp 1: d = 0
Số cách lập được số có 4 chữ số với d = 0 là
3
5
A
Trường hợp d 0
Có 2 cách chọn số d.
Có 4 cách chọn số a
Có
2
4
A
cách chọn bc
có 2.4.
2
4
A
= 96 số.
Vậy có
3
5
A
+ 96 = 156 số.
Bài 5. Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà có mặt của chữ số 0 và chữ số 9.
Giải
Gọi số cần lập là A = a
5.
4
8
A
Trường hợp a
1
9, a
2
= 9 a
1
9a
3
a
4
a
5
a
6
Số 0 có 4 vị trí
4 vị trí còn lại có
4
8
A
cách chọn.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 10
a. Chia hết cho 5. b. Số 9 đứng ở chính giữa.
Giải
a. số các số chia hết cho 5 là:
8
8
A
= 40320 số.
b. Chữ số 9 ở chính giữa thì có 1 cách chọn, 8 vị trí còn lại cho 8 số
số các số thoả mãn yêu cầu là
8
8
A
= 40320 số
Bài 7. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, có bao nhiêu số bé
hơn 345
Giải
Gọi số cần lập là
abc
, vì
abc
< 345 nên ta có các trường hợp:
Trường hợp 1: a 3
a có thể là 1 hoặc 2 có 2 cách chọn a.
bc
chọn trong 5 số có
2
5
A
có 2.
có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa
đủ số học sinh)
ĐS:
2
n
A
= 132
n = 12
Baøi 4: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký.
Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 6840.
Baøi 5: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá
quả số 4.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 11
ĐS: a) 55440. b) 120.
Baøi 6: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí.
Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
ĐS: a) 6!. b) 360. c) 20160.
Baøi 7: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
A
số
Nếu a
5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e
có 4 cách
chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại
có
3
5
A
cách chọn.
Có
4 3
6 5
4.5.
A A
= 1560 số
DẠNG 2: bài toán tính toán
Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
2 5
5 10
2 5
E =
10
49
10 11
49 49
39A 12!(5! 4!)
38A 13!4!
A
F =
3 2
5 4 3 2
4 3 2 1
5 5 5 5
21( )
20
P P
P P P P
A A A A
ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42
Baøi 2: Chứng minh rằng:
k k k
n n n
A A k A
Baøi 3: Giải các phương trình sau:
a)
3
20
n
A n
b)
3 2
5
n n
A A
= 2(n + 15) c)
2 2
2
3 42 0.
n n
A A
d)
2
4
1 3
210
. 72 6( 2 )
x x x x
P A A P
i)
2 2
2
2 50
x x
A A
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 12
k)
1
1
1
.
72.
y
x x y
x
A P
P
l)
5
b)
4
2
2 1
143
0
4
n
n n
A
P P
c)
3
15 15
n
A n
d)
3 2
12
n n
A A
e)
1
1
Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
!
! !( )!
k
k
n
n
A n
C
k k n k
Qui ước:
0
n
C
= 1
Tính chất:
0 1 1
1 1
1
1; ; ;
n k n k k k k k k
n n n n n n n n n
n k
C C C C C C C C C
n n
A k C
Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự.
Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp
Ngược lại, là tổ hợp.
Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k
n):
+ Không thứ tự, không hoàn lại:
k
n
C
+ Có thứ tự, không hoàn lại:
k
n
A
+ Có thứ tự, có hoàn lại:
k
n
A
3
15
455
C cách chọn 3 nữ sinh nên có 455 cách lập ban cán sự lớp 3 người toàn n
ữ.
Dó đó có: 9880 – 455 = 9425 cách lập ban cán sự 3 người ma trong đó có ít nhất một nam
Bài 2: (ĐH, CĐ 2005 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
Giải.
Gọi 3 tỉnh có tên là A, B, C
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
4 1
12 3
C .C
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
4 1
8 2
C .C
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
4 1
4 1
C .C
Theo quy tắc nhân ta có:
4 1
12 3
C .C
.
.
3
10
C
cách chọn bông.
Cách 2: Chọn 3 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Lập luận tương tự như trên, ta cũng
có
2
10
C
.
3
10
C
cách chọn bông.
Vậy bạn Hoa có số cách chọn bông là:
3 2
10 10
2 10800
C C cách chọn
Bài 4: (ĐH 2004 – KB) . Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi
khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,
mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, dễ và
trung bình) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
Giải
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 14
Trong đề kiểm tra, số câu hỏi dễ có thể là 2 hoặc 3.
Ta có các trường hợp như sau:
Bài 5. Một bộ bài tây có 52 con, cần rút ra 5 con bài. Hỏi có bao nhiêu cách:
a. Rút tuỳ ý.
b. Có ít nhất 2 con át.
Giải
a. Số cách rút 5 con bài tuỳ ý là:
5
52
C
b. Ta xét các trường hợp:
- rút được 2 con át và 3 con bài không phải át là:
2 3
4 48
C .C
- Rút được 3 con át và 2 con không phải át là:
3 2
4 48
C .C
- Rút được 4 con át và 1 con không phải át là:
4 1
4 48
C .C
Vậy có
2 3
4 48
C .C
+
Số cách chọn 1 học sinh từ lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C là:
1 1 2
5 4 3
C .C .C
Số cách chọn 4 học sinh từ 3 lớp là
2 1 1
5 4 3
C .C .C
+
1 2 1
5 4 3
C .C .C
+
1 1 2
5 4 3
C .C .C
Vậy số cách chọn 4 học sinh từ không quá 2 lớp là:
4
12
C
- (
2 1 1
5 4 3
C .C .C
+
1 2 1
5 4 3
C .C .C
Bài 8. Có n nam và n nữ ngồi vào 2 dãy ghế đối diện. Có bao nhiêu cách sắp xếp:
a. Nam nữ ngồi tuỳ ý.
b. Nam nữ ngồi đối diện nhau.
Giải
a. Có 2 cách chọn dãy ghế.
Tổng cộng có 2n người, cần chọn n người thì có
n
2n
C
cách chọn.
Xếp n người đó vào n vỉtí của dãy là: n!
Vậy có: 2.
n
2n
C
.n! cách.
b. Bước 1: Xếp n nam vào 1 dãy thì có n! cách
Bước 2: Xếp n nữ vào 1 dãy thì có n! cách
Bước 3: đổi chỗ n cặp nam nữ thì có 2.2….2 = 2
n
cách.
Vậy có n!.n!.2
n
cách.
Bài 9. Có bao nhiêu cách tặng 5 món quà khác nhau cho 3 người mà người nào cũng có quà.
Giải
Chia 5 món quà cho 3 người, người nào cũng có quà, ta có những cách chia như sau:
Trường hợp 1: Một người nhận 1 món quà, hai người còn lại, mỗi người nhận 2 món quà:
Giải
Gọi số có 7 chữ số là a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
Trường hợp a
1
= 1
Chọn 2 vị trí trong 6 vị trí cho số 1 là
2
6
C
.
4 vị trí còn lại cho 4 số 0, 2, 3, 4 có 4! cách
2
6
C
.4!
các chữ số 2, 3, 4, 5 đều cómặt đúng 1 lần.
Giải
Chọn vị trí số 1 có
2
8
C
cách.
Chọn vị trí số 6 có
2
6
C
cách.
4 vị trí còn lại chọn cho 4 số còn lại 4! cách.
Vậy có
2
8
C
.
2
6
C
.4! = 10.080 cách.
Bài 12. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt
đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
Giải
Gọi số cần lập là B = a
1
a
2
7
C
.
3
5
C
.
2
8
A
cách.
Nếu a
1
= 0
Chọn vị trí cho số 2 có
2
6
C
Chọn vị trí cho sô 3 có
3
4
C
Vị trí còn lại chọn cho 7 số còn lại, có 7 cách chọn
2
6
C
.
Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:
2 1
4 6
. 36
C C
Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:
1 2
4 6
. 60
C C
Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Baøi 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn
một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ.
d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.
ĐS: a)
4
40
C
b)
1 3
25 15
.
ĐS: a) 20. b) 150.
Baøi 6: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy
viên. Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 4651200.
Baøi 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một
khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa
trong đó:
a) Có đúng 1 bông hồng đỏ?
b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
ĐS: a) 112 b) 150
Baøi 8: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường nào
đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
ĐS:
Số giao điểm:
2
( 1)
2
n
n n
C
Số tam giác:
3
( 1)( 2)
6
n
phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?
ĐS: a)
2
n
C n n
n = 5
b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2
đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm
bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác:
4
n
C
Baøi 11: Cho một đa giác lồi có n-cạnh
( , 3)
n b
.
a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?
b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?
c) Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?
ĐS: a)
( 3)
; 5.
2
n n
n
C C C P
C =
8 9 10
15 15 15
10
17
2
C C C
C
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 18
D =
5 6 7
15 15 15
7
17
2
C C C
C
ĐS: A = – 165 B = 4
Baøi 2: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
n n n
C C C
C k n
C C C
Baøi 3: Chứng minh các hệ thức sau:
a)
. .
k p k p k
n n k n p
C C C C
(k p n) b)
1
1
k k
n n
n
C C
k
(1
k
k k
n n
k k C n n C
( 2 < k < n)
g)
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
(3 k n)
h)
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
(4 k n)
ĐS: Sử dụng tính chất:
1
1
n n
C
n n n
Vậy ta phải chứng minh:
1.3.5 (2 1) 1
2.4.6 (2 )
2 1
n
n
n
Ta có:
2 2
2 2
2 1 ( 2 1) ( 2 1) 2 1
2
2 1
4 4 1
k k k k
k
k
k k
d)
4 2 10
10 10
x x
x x
C C
e)
2 2 1
4 3 3
. . 0
x
x C x C C
f)
2 2
2
101
x
x x
A C
g)
3 3
8 6
5
x
A
C
l)
2
28
2 4
24
225
52
x
x
C
C
m)
1 2 3
7
2
x x x
C C C x
n)
1 2 3 10
1023
x x x x
x x x x
C C C C
b)
2
5
3
60
( )!
k
n
n
P
A
n k
c)
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
d)
2
+ n – 42 > 0
n
6
b)
( 5)( 4)( 1) 0
k n
n n n k
Xét với n
4: bpt vô nghiệm
Xét n
{0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)
c) đk: n
5, n
2
b)
1 1
1
6 5 2
y y y
x x x
C C C
c)
1
1
0
4 5 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C
f)
2 1
1
5 3
y y
x x
y y
x x
C C
C C
4 5
7
4 7
y y
x x
y y
x x
A A
C C
i)
2 180
36
y y
x x
y y
x x
A C
A C
d) x = 5, y = 2.
e) x = 4, y = 8. f) x = 7, y = 4
Baøi 8: Tìm số tự nhiên k sao cho
1 2
14 14 14
, ,
k k k
C C C
lập thành một cấp số cộng.
ĐS: k = 4; 8.
V. NHỊ THỨC NEWTON
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n
N và với mọi cặp số a, b ta có:
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b
k k k
n n n
C C C
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 20
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)
n
=
0 1 1
n n n
n n n
C x C x C
0 1
2
n n
n n n
C C C
Giải
Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là:
12 12 2
12 12
1
k
k x k k
k
a C x C x
x
0 12
k
Ta chọn
12 2 8 2
k k
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x
7 7
7
3
3 12
1 7 7
4
1
, 7
k
k
k
k k
k
T C x C x k k
x
Ứng với số hạng không chứa x ta có:
7 7
0 4
3 12
k k
11 7
7
11 2
11 7
2
0 0
11 7
11 3 14 3
11 7
0 0
1 1
1
k
n
k k n
n
k n
k
k k n n
k n
A C x C x
x x
A C x C x
biết n thoả mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
n
n n n
C C C
Giải
Khai triển: (1+x)
2n
thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 21
Khai triển:
12
12
2 24 3
12
0
2
2
k k k
k
x C x
x
8 8
2 2
8 8
0 0 0
1 1 .
k
k
k
i
k k k i i
k
k k i
f x C x x C x C x
Vậy ta có hệ số của x
8
là:
8
1
Hệ số trong khai triển của x
8
là:
0 2
4 0 3 2
8 4 8 3
1 1
C C C C
=238
Cách 2: Ta có:
C x x
Với hệ số tương đương với: A
8
=
3 2 4 0
8 3 8 4
C C C C
=238
Bài 6: ( ĐHSPHN, khối D,2000) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức
2
1
n
x
bằng 1024. Hãy tìm hệ số a
*
a N
của số hạng ax
12
trong khai triển đó.
Giải
6
10
210
C
Bài 7:
a)Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau
21
3
x xy
b)Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau
20
4
2
3
1
x x
xy
giải
a. Khai triển
b. Khai triển
20
4
2
3
1
x x
xy
có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số là số hạng
thứ
10
10
65 20
7
2
10 10
6 3
4
3
20 20
21
3 15
1 15
( ) ( )
k k k
k
T C x xy
* Trong khai triển trên có n = 15 do đó có 16 số hạng nên ssố hạng đứng giữa là số hạng thứ
8 và thứ 9:
7 3 15 7 7 31 7
8 7 1 15
( ) ( ) 6435
T T C x xy x y
8 3 15 8 8 29 8
9 8 1 15
( ) ( ) 6435
T T C x xy x y
k k k
k
k
x x C x a C
Ta có a
k
đạt được max
1 1
1 10 10
1 1
1
10 10
2 2
2 2
2 10! 2 10!
1 2
! 10 ! 1 ! 9 !
19 22
10 1
Vậy max
7
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 23
Xác định hệ số a
9
.
Giải
Hệ số x
9
trong các đa thức
9 10 14
1 , 1 , , 1
x x x
lần lượt là:
9 5 9
9 10 14
, , ,
C C C
Do đó:
9 5 9
9 9 10 14
1 1 1 1
1 10 .10.11 .10.11.12 .10.11.12.13 .10.11.
2 12 15
(3 ) ;
x x M x
f)
13 7
(2 5 ) ;
x M x
g)
10
2 11
2
;
x M x
x
h)
12
3
1
2 ;
x M x
x
10
4
1
x
x
b)
12
2
4
1
x
x
c)
5
3
2
1
x
x
g)
15
3
2
2
x
x
h)
10
1
x
x
ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15 e) –8064 f) 210
Baøi 3: Khai triển đa thức P(x) dưới dạng:
2
0 1 2
( )
n
n
3
( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ;
P x x x x x a
?
ĐS: a)
9
3003
a
b)
15
400995
a
c)
78
12640
a
d) a
46
= 18654300
Baøi 4: Trong khai triển
( )
n
x y z
, tìm số hạng chứa
.
k m
x y
số hạng chứa
.
k m
x y
là: .
k m k m n k m
n n k
C C x y z
Baøi 5: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:
a)
2 10 6
(1 ) ;
x x M x
b)
2 10 17
(1 2 ) ;
x x M x
c)
2 5 3
( 1) ;
x x M x
d)
2 3 8 8
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
bằng 11. Tìm hệ số của
2
x
.
b) Cho biết trong khai triển
2
1
,
n
x
x
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
là 46. Tìm hạng tử không chứa x.
c) Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển
2
2
3
n
x
e) Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển
(2 )
n
x
, biết rằng:
0 0 1 1 2 2
3 3 3 ( 1) 2048
n n n n
n n n n
C C C C
ĐS: a)
2
4
4, 6
n C
b) n = 9 ; 84 c) n = 8;
4
1120
x
d) n = 10;
26
210
x
x
d) Tìm số hạng chứa a
7
trong khai triển
12
2
3
3 2
.
64 3
a a
e) Tìm số hạng giữa của khai triển
10
3
5
1
.
x
x
C
b) n = 9
T
6
=
5
4
5
9
2 2
3 3
1 126
.C b
b b b
c)
5
6 15
.
T C
d)
7 30
3
. .
k k
k
a b
C
b a
=
21 21
3 6 2 6
21
. .
k k k k
k
C a b
21 21
3 6 2 6
k k k k
2 6 7 10 10
10 10 10
, , .
C x C x C x
b)
0 13 3 9 6 5 9
13 13 13 13
, , , .
C x C x C x C x
Baøi 10: a) Tìm số hạng của khai triển
9
3
( 3 2)
là một số nguyên.
b) Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển
6
( 3 15) .
c) Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển
36
5 3
( 3 7) .
d) Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển
124
4
( 3 5) .
3 2
: 4:1.
n n
C C
b) Trong khai triển
(1 )
n
x
theo lũy thừa tăng của x, cho biết :
3 5
4 6
4
40
3
T T
T T
. Tìm n và x?
c) Trong khai triển
4
1
n
a a
a
1 1
1 1
k k
n n
C C
k n
Bài 1: Tính tổng
1 2 3
2 3
n
n n n n
S C C C nC
Giải
Số hạng tổng quát của tổng có dạng
k
n
kC
, vì vậy ta có thể áp dụng ngay tính chất trên.
Áp dụng tính chất (*) ta có:
1
1
k k
n n
Copyright: Tài liệu đại học ©