Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
==========
PHẠM QUỐC KHÁNH

TÍNH TOÁN VÀ ĐÁNH GIÁ
CÁC TỔNG HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S
p
(n) =
n

k=1
k
p
, L

S
p
(n) =
n

k=1
k
p
,
S
1
(n) =
n(n + 1)
2
.
S
2
(n) S
3
(n).
S
2
(n).
k
3
− (k −1)
3
= 3k
2
− 3k + 1 ⇔ 3k


k=1
k −
n

k=1
1
= n
3
+ 3
n(n + 1)
2
− n =
n(n + 1)(2n + 1)
2
.
S
2
(n) =
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S
3
(n).
k
4
− (k − 1)
4

=
n

k=1
[k
4
− (k − 1)
4
] + 6
n

k=1
k
2
− 4
n

k=1
k + n
= n
4
+ 6S
2
(n) − 4S
1
(n) + n
= n
4
+ n(n + 1)(2n + 1) −2n(n + 1) + n.
S

.
(k − 1)
p
=
p

i=0
C
i
p
k
p−i
(−1)
i
= k
p
− pk
p−1
+
p

i=2
C
i
p
k
p−i
(−1)
i
,

(−1)
i
S
p−i
(n)
S
p−1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p
S
4
(n) =
1
30
n(n + 1)(2n + 1)(3n
2
+ 3n −1),
S
5
(n) =
1
12
n
2
(n + 1)
2
(2n
2
+ 2n −1),
S

n(n + 1)(2n + 1)(5n
6
+ 15n
5
+ 5n
4
− 15n
3
− n
2
+ 9n −3),
S
9
(n) =
1
20
n
2
(n + 1)
2
(n
2
+ n −1)(2n
4
+ 4n
3
− n
2
− 3n + 3).
L

+ 3
p
+ 4
p
+ + (2n −1)
p
+ (2n)
p
]
− [2
p
+ 4
p
+ 6
p
+ + (2n)
p
]
= S
p
(2n) − 2
p
S
p
(n).
L
p
(n) = S
p
(2n) − 2

S
3
(n) = 2n
4
− n
2
,
L
4
(n) = S
4
(2n) − 2
4
S
4
(n) =
16
5
n
5
−
8
3
n
4
+
7
15
n,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

S
6
(n) =
64
7
n
7
− 16n
5
+
28
3
n
3
−
31
21
n,
L
7
(n) = S
7
(2n) − 2
7
S
7
(n) = 16n
8
−
112

n
7
+
1568
15
n
5
−
496
9
n
3
+
127
15
n,
L
9
(n) = S
9
(2n) − 2
9
S
9
(n) =
256
5
n
10
− 192n

(n)
P
p
(n) =
n

k=1
(k
p+2
+ 2k
p+1
+ k
p
) = S
p+2
(n) + 2S
p+1
(n) + S
p
(n),
S
p
(n)
P
1
(n) =
1
4
n
4

+
2
15
n,
P
3
(n) =
1
6
n
6
+
9
10
n
5
+
5
3
n
4
+
7
6
n
3
+
1
6
n

n
3
−
1
6
n
2
−
1
105
n,
P
5
(n) =
1
8
n
8
+
11
14
n
7
+
7
4
n
6
+
3

38
21
n
7
+
5
3
n
6
+
1
30
n
5
−
7
12
n
4
+
1
18
n
3
+
1
6
n
2
−

+
5
24
n
4
+
4
9
n
3
−
1
15
n
2
−
1
15
n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p ∈ N
∗
.
Q
p
(n) =
n

k=1
k(k + 1)

(n) =
n

i=1
i
p+1
−
n

i=1
i
p
+ n(n + 1)
p
= S
p+1
(n) − S
p
(n) + n(n + 1)
p
,
S
p
(n)
Q
1
(n) =
1
3
n

(n) =
1
5
n
5
+
5
4
n
4
+
17
6
n
3
+
11
4
n
2
+
29
30
n,
Q
4
(n) =
1
6
n

n
7
+
4
3
n
6
+ 5n
5
+
115
12
n
4
+
59
6
n
3
+
61
12
n
2
+
43
42
n,
Q
6

+
73
12
n
2
+
41
42
n.
S
k
(n) = 1
k
+ 2
k
+ + n
k
=
n

m=0
m
k
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S
k
(n)

S

+ + C
k
k+1
b
1
= k,
b
0
= 1, b
1
=
1
2
, b
2
=
1
6
, b
3
= 0, b
4
= −
1
30
, b
5
= 0,
b
6

, b
0
= 1, (m = 1, 2, ).
b
0
= 1, b
1
=
1
2
, b
1
= −
1
2
, b
2k+1
= 0, (k = 0, 1, ).
B
k
(x)





B
0
(x) = 1,
B

(x) = x
3
−
3
2
x
2
+
1
2
x,
B
4
(x) = x
4
− 2x
3
+ x
2
−
1
30
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
B
5
(x) = x
5
−
5

42
,
B
7
(x) = x
7
−
7
2
x
6
+
7
2
x
5
−
7
6
x
3
+
1
6
x.
B
m
(x) =
m


n
B
n
(x + 1) − B
n
(x) = nx
n−1
, B
n
(1) = b
n
,
b
n
1
k
+2
k
+ +n
k
=
1
k + 1
(n
k+1
+C
1
k+1
b
1

1
n
k
+ C
2
k+1
α
2
n
k−1
+ + C
k
k+1
α
k
n.
(k + 1)(1
k
+ 2
k
+ + n
k
) = (n + α)
k+1
− α
k+1
,
α
k
= α

= α
k
C
1
k+1
α
k
+ C
2
k+1
α
k−1
+ + C
k
k+1
α
1
+ α
0
= k + 1.
α
0
= 1 α
k
= b
k
S
k
(n) =
1

(2) − B
p+1
(1)],
2
p
=
1
p + 1
[B
p+1
(3) − B
p+1
(2)],
,
m
p
=
1
p + 1
[B
p+1
(m + 1) − B
p+1
(m)].
S
p
(m) =
B
p+1
(m + 1) − B

1 −
1
j

k+1
> 1 −
k + 1
j
.
j
k+1
.
j
k+1
− (j − 1)
k+1
k + 1
< j
k
<
(j + 1)
k+1
− j
k+1
k + 1
, (j = 1, 2 , n).
j = 1, 2, , n
T
p
(n) =

m
p
T
m
(n).
k = j + 1,
T
p
(n) =
n−1

j=0
(−1)
j+1
(j + 1)
p
= −1 −
n−1

j=1
(−1)
j
(j + 1)
p
= −1 −
n

j=1
(−1)
j


m=0
C
m
p
n

j=1
(−1)
j
j
m
= (−1)
n
(n + 1)
p
− 1 −
p

m=0
C
m
p
T
m
(n),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T
m
(n) =

k=1
(−1)
k+1
sin kx =
sin
x
2
+ sin(2n +
3
2
)x
2 cos
x
2
.
c)
2n

k=1
(−1)
k+1
cos kx =
cos
x
2
− cos(2n +
1
2
)x
2 cos

)x.
2 sin x cos
x
2
= sin
x
2
+ sin
3x
2
,
− 2 sin 2x cos
x
2
= −sin
3x
2
− sin
5x
2
,
,
− 2 sin 2nx cos
x
2
= −sin(2n −
1
2
)x − sin(2n +
1

5x
2
,
,
− 2 cos 2nx cos
x
2
= −cos(2n −
1
2
)x − cos(2n +
1
2
)x.
b, d a, c
(1.1)
i
1
)
2n

k=1
(−1)
k+1
k = −n,
i
2
)
2n


2
− 8n + 1),
i
5
)
2n

k=1
(−1)
k+1
k
5
= −16n
5
− 20n
4
+ 5n
2
,
i
6
)
2n

k=1
(−1)
k
k
6
= 32n

k=1
(−1)
k+1
k
8
= −128n
8
− 265n
7
+ 224n
5
− 112n
3
+ 17n,
i
9
)
2n

k=1
(−1)
k+1
k
9
= −256n
9
− 576n
8
+ 672n
6

+
5
4
−
7
8
+ + (−1)
n−1
2n − 1
2
n−1
.
b) 3 −
5
2
+
7
4
−
9
8
+ + (−1)
n−1
2n + 1
2
n−1
.
P (x) =
n


= 2
n

k=1
kx
k−1
+
n

k=1
x
k−1
=
(2n + 1)x
n+1
− (2n + 3)x
n
− x + 1
(x − 1)
2
.
x = −
1
2
,
1 −
3
2
+
5

2
n−1
=
(−1)
n+1
(6n + 7) + 3.2
n
9.2
n−1
.
F
p
(n) =
n

j=1
j!j
p
, p ∈ N.
F
p
(n) =
n

j=1
j!j
p
, p ∈ N, m, n ≥ 0.
F
p


k=1
k!(k + 1)
p+1
= 1 +
n

k=1
k!(k + 1)
p+1
− n!(n + 1)
p+1
= 1 −n!(n + 1)
p+1
+
n

k=1
k!
p+1

m=0
C
m
p+1
k
m
= 1 −n!(n + 1)
p+1
+

m
.
1.2
1) F
1
(n) = (n + 1)! −1,
2) F
2
(n) + F
0
(n) = n(n + 1)!,
3) F
3
(n) − F
0
(n) = (n + 1)!(n
2
− 2) + 2,
4) F
4
(n) − 2F
0
(n) = (n + 1)!(n
3
− 3n + 3) −3,
5) F
5
(n) + 9F
0
(n) = (n + 1)!(n

S
m,n
= (−1)
m
(n + m)!
n!
, m = 1
S
1,n
= 1 −
(n + 2)!
n!(n + 1)
= 1 −(n + 2) = −
(n + 1)!
n!
.
m ∈ N
m + 1,
S
m+1,n
= S
m,n
+ (−1)
m+1
(n + m + 2)!
n!(n + m + 1)
= (−1)
m
(n + m)!
n!

m,n
= 60 m!(n + 1) = 18.
S
n
=
n

k=0
(a + kd)q
k
.
n

k=0
(a + kd)q
k
= a
n

k=0
q
k
+ d
n

k=1
kq
k
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

S
n
= a(1 + q + q
2
+ + q
n
) + d[(q + q
2
+ + q
n
)+
+ (q
2
+ q
3
+ + q
n
) + + (q
n
)]
= a
q
n+1
− 1
q − 1
+ d.

q.
q
n

n
q − 1

= a
q
n+1
− 1
q − 1
+ d

n.q
n+1
− (q + q
2
+ + q
n
)
q − 1

=
1
q − 1

a(q
n+1
− 1) + d(nq
n+1
−
q
n+1

n
.
n

k=0
(n + 1 − k)2
k
= (n + 1)2
0
+ n.2
1
+ + 2.2
n−1
+ 1.2
n
.
a = n + 1, d = −1, q = 2,
n

k=0
(n + 1 − k)2
k
=
1
2 − 1

(n + 1)(2
n+1
− 1) −(n2
n+1

p
k
=
n

k=0
p
k
− 1 =
p
n+1
− 1
p − 1
− 1 =
p
n+1
− p
p − 1
.
n

k=1
kp
k−1
=
np
n+1
− (n + 1)p
n
+ 1

n
=
−2000
n
n−1

k=0
x
k
, n ≥ 1.
S =
2000

n=0
2
n
x
n
.
x
0
= 2000, x
1
= −2000x
0
,
x
2
=
−2000

x
k
= −
1
n
(2000 − n + 1)x
n−1
= (−1)
n
2000(2000 − 1) (2000 − n + 1)
1.2 n
x
0
= (−1)
n
C
n
2000
x
0
.
S =
2000

n=0
2
n
x
n
= x

k
n
=

n
k

=
n!
k!(n −k)!
.
1) C
0
n
= C
n
n
= 1,
2) C
1
n
= n,
3) C
k
n
= C
n−k
n
,
4) C

k=0
C
k
n
a
n−k
b
k
.
a = 1, b = x
(1 + x)
n
=
n

k=0
C
k
n
x
k
.
x = 1, x = −1
n

k=0
C
k
n
= 2

x
k−1
.
S = 1
2
C
1
n
+ 2
2
C
2
n
+ + P
2
C
p
n
+ + n
2
C
n
n
.
f(x) = (1 + x)
n
= C
0
n
+ C

1
n
+ 2xC
2
n
+ + nx
n−1
C
n
n
.
g”(x) = 2n(1 + x)
n−1
+ n(n −1)x(1 + x)
n−2
= 2C
1
n
+ 3.2xC
2
n
+ 4.3x
2
C
3
n
+ + (n −1)nx
n−1
C
n

n
+ + (n + 1)nC
n
n
.
g

(1) − f

(1)
S = 1
2
C
1
n
+ 2
2
C
2
n
+ + P
2
C
p
n
+ + n
2
C
n
n

m
C
k−1
n
+ + C
m
m
C
k−n
n
= C
k
m+n
, (m  k  n).
C
r
n
= C
r
n−1
+ C
r−1
n−1
, (0 ≤ r ≤ n)
V T = C
k
n
+ C
k−1
n

= C
k
n+1
+ C
k−1
n+1
+ 2(C
k−1
n+1
+ C
k−2
n+1
) + C
k−2
n+1
+ C
k−3
n+1
= C
k
n+2
+ 2C
k−1
n+2
+ C
k−2
n+2
= C
k
n+2

m+n

k=0
C
k
m+n
x
k
.
(1 + x)
m
(1 + x)
n
=
m

p=0
C
p
m
x
p
n

p=o
C
p
n
x
p

0
m
C
k
n
+ C
1
m
C
k−1
n
+ + C
m
m
C
k−n
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên