Giáo trình thu khíỷ
Chuy n ng th ph ngể độ ế ẳ
1
Ch ng 8ươ chuy n ng th ph ngể độ ế ẳ
M c íchụ đ : Nghiên c u m t s c tr ng ng l c h c c a chuy n ng thứ ộ ố đặ ư độ ự ọ ủ ể độ ế
ph ng c a ch t l ng lý t ngẳ ủ ấ ỏ ưở
Ph ng phápươ : S d ng lý thuy t h m bi n ph cử ụ ế à ế ứ
8.1- ng d ng h m bi n ph cứ ụ à ế ứ
I. Th ph c:ế ứ
Dòng ch t l ng lý t ng chuy n ng có th khi tho mãn i u ki n:ấ ỏ ưở ể độ ế ả đề ệ
0urot =
Khi ó ta a v o h m th v n t c đ đư à à ế ậ ố ϕ, trong ó các th nh ph n v n t c c xácđ à ầ ậ ố đượ
nh:đị
i
u
i
∂
ϕ∂
=
(i=x,y,z) (1)
Vect v n t c:ơ ậ ố
ϕ= gradu
Ta gi thi t ả ế ϕ;
dt
dϕ
;
2
2
dt
d ϕ
l liên t c theo to à ụ ạđộ

x
u
y
∂
Ψ∂
−=
Bi u th c ể ứ ψ(x,y) = C l ph ng trình ng dòngà ươ đườ
H m th à ếϕ v h m dòng à à ψ tho mãn ph ng trình Laplace; b i vì:ả ươ ở
T i u ki n không xoáy: ừđề ệ
0
x
u
x
u
urot
x
y
x
=
∂
∂
−
∂
∂
=
2
ta có
0
yx
2

=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
Nh v y h m th v h m dòng l các h m i u ho (Laplace=0)ư ậ à ế à à à à đề à
Ta nh n th y h m th v h m dòng tho mãn i u ki n Cauchy-Riemann ( i uậ ấ à ế à à ả đề ệ đề
ki n tr c giao gi a ng dòng v ng ng th )ệ ự ữ đườ àđườ đẳ ế
0
yyxx
=
∂
Ψ∂
⋅
∂
ϕ∂
+
∂
Ψ∂
⋅
∂
ϕ∂
Trong lý thuy t h m bi n ph c, n u ế à ế ứ ế ϕ v à Ψ l các h m i u ho v tho mãnà à đề à à ả
i u ki n Cauchy- Riemann thì h m ph c đề ệ à ứ ϕ(x,y) + iΨ(x,y) l h m c a 1 bi nà à ủ ế
s ph c zố ứ
v i ớ z= x+iy=r(cosθ+isinθ)=e.exp(iθ)
Nh v y t n t i h m ph c W(z)= ư ậ ồ ạ à ứ ϕ(x,y) + iΨ(x,y) v còn g i l th ph c.à ọ à ế ứ
Hình 1
II. V n t c ph cậ ố ứ

∂
Ψ∂
+
∂
ϕ∂
−=−=
=−=
∂
Ψ∂
+
∂
ϕ∂
=
3
z
x
y
i
1
θ
u=u
x
+iu
y
g i l v n t c ph c; ọ à ậ ố ứ
u
= u
x
+iu
y

ng ng th : Đườ đẳ ế ϕ = a
1
x = Const l h các ng th ng song song v i tr c y.à ọ đườ ẳ ớ ụ
Các ng dòng: đườ ψ = a
1
y = Const l h các ng th ng song song v i tr c y.à ọ đườ ẳ ớ ụ
Các th nh ph n v n t c: à ầ ậ ố
1x
a
yx
u =
∂
Ψ∂
=
∂
ϕ∂
=
0
xy
u
y
=
∂
Ψ∂
−=
∂
ϕ∂
=
V y ta có chuy n ng th ng theo ph ng x (hình2a)ậ ể độ ẳ ươ
b) a l s o:à ốả a = ia

u
x
=
∂
Ψ∂
=
∂
ϕ∂
=
1y
a
xy
u −=
∂
Ψ∂
−=
∂
ϕ∂
=
So v i cas a thì các ng dòng v các ng ng th i ch cho nhau; cácớ đườ à đườ đẳ ế đổ ỗ
hình chi u v n t c c ng i ch cho nhau.ế ậ ố ũ đổ ỗ
c) a l s ph c: a = aà ố ứ
1
+ ia
2
(a
1
; a
2
l s th c d ng)à ố ự ươ

Các ng dòng: đườ ψ = a
2
x + a
1
y = Const hay
'
1
2
Cx
a
a
y +−=
ây l ph ng trình các ng th ng nghiêng vuông góc v i nhau (hình 2b)Đ à ươ đườ ẳ ớ
II. i m ngu n v i m hút:Để ồ àđể
Th ph c: ế ứ
( )
Ψ+ϕ=θ++=+===
θθ
iiarlnaelnarlna)reln(azlnazW
ii
H m th v n t c: à ế ậ ố ϕ=alnr : ϕ=const ⇒ r = const: ng ng th lđườ đẳ ế à
h các vòng tròn có tâm trùng v i g c to ọ ớ ố ạđộ
H m dòng:à ψ=aθ : ψ=const ⇒ θ = const: ng dòng l h ngđườ à ọ đườ
th ng i qua g c to ẳ đ ố ạđộ
Các th nh ph n v n t c c a chuy n ng bi u di n d i d ng to tr :à ầ ậ ố ủ ể độ ể ễ ướ ạ ạđộ ụ
( )
0
r
1
u

L u l ng i m ngu n hay i m hút c xác nh nh sau:ư ượ để ồ để đượ đị ư
5
a2dr
r
a
druQ
2
0
2
0
r
π=θ=θ=
∫∫
ππ
Nh v y h ng s a c a th ph c có th bi u di n qua Q: ư ậ ằ ố ủ ế ứ ể ể ễ
π
=
2
Q
a
Th ph c có d ng ế ứ ạ
zln
2
Q
W
z
π
=
III Chuy n ng xoáy (xoáy th v n t c):ể độ ế ậ ố
Xét th ph c ế ứ W=a lnz trong ó đ a l s oà ốả : a=ia

u
1
1r
−=
θ∂
ϕ∂
=
=θ−
∂
∂
=
∂
ϕ∂
=
θ
ý ngh a c a aĩ ủ
1
: ta nh ngh a đị ĩ
1
1
2
0
s
a2r2
r
a
rd.udsu π−=π−=θ==Γ
∫∫
π
θ

M t chuy n ng nh th ng v i dòng có l u s v n t c quanh s i xoáy. Trongộ ể độ ư ếứ ớ ư ố ậ ố ợ
chuy n ng ph ng ây l dòng quanh 1 i m xoáy n m tâm to .ể độ ẳ đ à để ằ ở ạđộ
IV Chuy n ng l ng c c:ể độ ưỡ ự
6
ϕ=const
ψ=const
Kh o sát thé ph c: ả ứ
z
1
2
m
W
z
π
=
Thay z=x+iy ta có
( )
( )( )
( )
22
z
yx
iyx
2
m
iyxiyx
iyx
2
m
W

= Cx: h cácvòng tròn có tâm n m trênọ ằ
tr c x v i qua g c to ụ àđ ố ạđộ
Ph ng trình ng dòng: ươ đườ x
2
+ y
2
= Cy: h cácvòng tròn có tâm n m trên tr cọ ằ ụ
y v i qua g c to àđ ố ạđộ
Chuy n ng n y l chuy n ng l ng c c, ể độ à à ể độ ưỡ ự m g i l moment c a l ng c cọ à ủ ưỡ ự
8.3- dòng bao quanh tr tròn không có l u s v n t c (ụ ư ố ậ ố Γ=0)
I. Th ph c:ế ứ
Xét th ph c t ng h p c a th ph c ế ứ ổ ợ ủ ế ứ chuy n ng th ng song song v i tr c x ể độ ẳ ớ ụ và
l ng c c.ưỡ ự
( )
z
1
2
m
zVzW ⋅
π
+=
∞
Ta xác nh ph n th c v ph n o c a W(z)đị ầ ự à ầ ả ủ
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
  

++=
2222
22
yx
y
2
m
yVi
yx
x
2
m
xV
yx
iyx
2
m
iyxV
iyx
1
2
m
iyxVzW
II. ng dòngĐườ
Ph ng trình ng dòng:ươ đườ
7
ϕ=const
Ψ=const
( )
Cconsty

∞
π
=
V2
m
a
l bánà
kính. Thay ng dòng ‘không’ b ng th nh r n thì ta c dòng ph ng baođườ ằ à ắ đượ ẳ
quanh tr tròn v i v n t c vô cùng Vụ ớ ậ ố ở
∞

vuông góc v i tr c hình tr .ớ ụ ụ
III. Phân b v n t c v áp su tố ậ ố à ấ
Bi u di n th v n t c d i d ng to tr :ể ễ ế ậ ố ướ ạ ạđộ ụ






π
+θ=ϕ
∞
2
r
1
2
m
Vcosr
V i ớ







+−=
θ∂
ϕ∂
=
θ






−=
∂
ϕ∂
=
∞θ
∞
sin
r
a
1V
r
u
cos

∞

; m t qua m t tr có ộ ặ ụ u;p:
8
( )
θ−
ρ
+=








−
ρ
+=
⇒θ−=
ρ
+=
ρ
+
∞
∞
∞
∞
∞
∞

V
adsinapY
dasinpdYY
dasinpdY
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
=θ⋅⋅θ⋅−=
⇒θ⋅⋅θ−=
=θ⋅θθ−
ρ
−θ⋅θ−=
⇒θ⋅⋅θ⋅−==
⇒θ⋅⋅θ−=
∫
∫∫
∫∫
π
π
∞
π

p
=1
2
V
2
1
pp
∞∞
ρ+=⇒
T i ạ θ = ±90
o
C
p
= 3: l n nh t. ớ ấ
2
V
2
1
3pp
∞∞
ρ−=⇒
T i 2 o n 0 ạ đ ạ ≤ θ ≤ 90
o
v 90à
o
≤ θ ≤ π : phân b áp su t l nh nhau.ố ấ à ư
Trong th c nghi m, do xu t hi n l c ma sát nh t nên ch t l ng không thự ệ ấ ệ ự ớ ấ ỏ ể
ch y bao quanh hình tr m t cách d n u không có i m r i nh trong ch tả ụ ộ ầ đề để ờ ư ấ
l ng lý t ng: Dòng ch t l ng sau khi b chia ôi t i A s bao b m t hình trỏ ưở ấ ỏ ị đ ạ ẽ ề ặ ụ
n i m S (đế để θ =± 82

2
sinr
r
a
1V
2
cosr
r
a
1V
2
2
2
2
π
Γ
−θ








−=Ψ
θ
π
Γ
+θ

π
Γ
+θ








+−=
θ∂⋅
ϕ∂
=
θ








−=
∂
ϕ∂
=
∞θ
∞

=0 t ng ng ươ ứ
v iớ
θ
*
=0 v àθ
*
=180
o
( i m A v B)để à
b)Khi Γ〈4πV
∞

a: 2 i m t i h n n m trên m t tr t i 2 v trí i x ng nhau quađể ớ ạ ằ ặ ụ ạ ị đố ứ
tr c y, trong kho ng 0ụ ả 〈 θ
*
〈π
c) Khi Γ=4πV
∞

a: hai i m A, B trùng nhau trên tr c y t i góc để ụ ạ θ
*
=90
o
d) Khi Γ>4πV
∞

a: A, B n m trên tr c y nh ng m t i m ngo i tr tròn cònằ ụ ư ộ để ở à ụ
i m kia n m trong tr tròn.để ằ ụ
10
Trong c 4 tr ng h p các ng dòng i x ng qua y nh ng không i x ngả ườ ợ đườ đố ứ ư đố ứ

Vdsin
V
Y
sin2
aV2
2
V
2
V
ppBerrnoulliPt
dsinpaY
2
0
2
2
22
Nh v y vect chính c a áp l c ch có m t th nh ph n vuông góc v i v n t c ư ậ ơ ủ ự ỉ ộ à ầ ớ ậ ố ở
vô cùng v có giá tr b ng -à ị ằ ρΓV
∞
( nh lý Giuc pxki v l c nâng).Đị ố ề ự
i u n y gi i thích khi m t v t hình tr hay hình tròn quay trong ch t l ngĐề à ả ộ ậ ụ ấ ỏ
th c chuy n ng ta có th xem nh dòng bao quanh nó có l u s v n t c v doự ể độ ể ư ư ố ậ ố à
ó xu t hi n l c ngang vuông góc v i v n t c c a ch t l ng tác d ng lên v t ó:đ ấ ệ ự ớ ậ ố ủ ấ ỏ ụ ậ đ
Hi u ng M cnut (qu bóng xoáy)ệ ứ ắ ả
⇓5. dòng bao quanh profil cánh
B i toán ng c: Tìm th ph c khi bi t ng biên c a v t v v n t c xa vô à ượ ế ứ ế đườ ủ ậ à ậ ố ở
cùng.
Vi c tìm th ph c cho dòng bao quanh profil cánh v nh ng v t có hình d ng khácệ ế ứ à ữ ậ ạ
nhau l r t khó kh n à ấ ă ⇒ ng i ta s d ng dòng bao quanh 1 v t n gi n (tr tròn) ãườ ử ụ ậ đơ ả ụ đ
c nghiên c u k l m chu n tìm các thông s c a dòng bao quanh các v t cóđượ ứ ỹđể à ẩ để ố ủ ậ

Th ph c c a dòng có l u s v n t c bao quanh tr tròn:ế ứ ủ ư ố ậ ố ụ
( )








ζ⋅
π
Γ
+
ζ
+ζ=ζ
∞
∞
ln
i2
aV
VW
1
2
1
11
Do W(z)=W[f(ζ)]=W
1
(ζ) nên
( )

d
dz
m
Do
( ) ( )
ζ=ζ=
ζ
=
ζ
'f.uuhay'f
dz
dW
d
dz
dz
dW
d
dW
1
1
Ta có
Γ=ph nth cầ ự
dz.u
L
∫
=phth c ự
ζ
ζ
∫
d.

α
C
L
V
∞
B
B
1
⇒ l u s v n t c theo m i ng cong kín bao quanh profil s không i khi th cư ố ậ ố ọ đườ ẽ đổ ự
hi n phép bi n hình b o giácệ ế ả
V y phép bi n hình b o giác l phép bi n i t b m t n y sang b m t khác trongậ ế ả à ế đổ ừ ề ặ à ề ặ
ó góc gi a các ng c b o to n.đ ữ đườ đượ ả à
Ví d :ụ Xét h m bi n i à ế đổ
( )








ζ
+ζ=ζ=
2
a
2
1
fz
(Phép bi n i Joukovski)ế đổ

i
2
1
i
a
i
2
1
iyxz








η+ξ
η
−η=








η+ξ
ξ

R
ξ
η
ζ
O
x
y
Z
ξ
ζ
x
Z
a a
R
ξ
η
ζ
O
y
II. Gi thuy t Joukovski - Traplighinả ế
T công th cừ ứ
( )









ζ
C
1
L
1
α
1
V
∞1
a
x
y
Z
α
C
L
V
∞
B
B
1
III. L c c a dòng ch t l ng lý t ng tác d ng lên cánh nự ủ ấ ỏ ưở ụ đơ
nh lý Joukovski: Đị
N u có dòng ch y có v n t c Vế ả ậ ố
∞
bao
quanh profil cánh v l u s v n t c d cà ư ố ậ ố ọ
theo profil cánh l à Γ thì h p l c c a ápợ ự ủ
l c ch t l ng tác d ng lên profil cánh sự ấ ỏ ụ ẽ
có tr s ị ố ρΓV