Chuyên đề 2
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về phương trình tích.
• Biến đổi đưa phương trình về dạng f(x).g(x) = 0.
• Áp dụng công thức f(x).g(x) = 0 ⇔

f(x) = 0
g(x) = 0
.
2. Đặt ẩn phụ.
• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp.
• Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x).
3. Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối).
• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Xét phương trình trên từng khoảng.
Lưu ý. Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f(x)| thì xét hai trường hợp f(x) ≥ 0 và f (x) < 0.
B. Bài Tập
2.1. Giải các bất phương trình sau
a) x
2
− 6x + 6 > 0. b) −4x
2
+ x − 2 ≥ 0.
c) x
4
− 4x
3
+ 3x

<
1
x
2
− 7x + 10
.
2.3. Giải các phương trình sau
a) x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0.
b) x
3
− 3
√
3x
2
+ 7x −
√
3 = 0.
c) x
4
− 4x
3
− x
2
+ 16x − 12 = 0.
d) (x − 3)
3

− 2x + 17

.
2.4. Giải các phương trình sau
a)

x
2
− 4x + 3

2
−

x
2
− 6x + 5

2
= 0. b) x
4
= (2x − 5)
2
.
c) x
4
+ 3x
2
+ 3 = 2x. d) x
4
− 4x − 1 = 0.

=
41
8
.
2.6. Giải các phương trình sau
a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b)

x
2
+ 1

(x + 3) (x + 5) + 16 = 0.
c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x
2
.
d)

x
2
− 2x + 4

x
2
+ 3x + 4

= 14x
2
.
11
Nguyễn Minh Hiếu

x
2
+ 5x

2
− 2

x
2
+ 5x

− 24 = 0.
b)

x
2
+ x + 1

x
2
+ x + 2

= 12.
c)

x
2
− 2x − 2

2

− 10x + 7
= 1.
c)
x
2
+ 1
x
+
x
x
2
+ 1
= −
5
2
.
d)

x − 1
x + 2

2
+
x − 3
x + 2
− 2

x − 3
x − 1


2.10. Giải các phương trình sau
a) |x − 1| =


x
2
− 3x + 1


. b)


x
2
+ 4x − 5


=


x
2
+ 5


.
c)


x

= −2x
2
+ 10x − 11.
2.11. Giải các phương trình sau
a)

x
2
− x

2
+


x
2
− x


− 6 = 0. b) 3

2x − 1
x + 1

2
−






+


x
2011
+ 2011x − 2012


= 0.
2.12. Giải các bất phương trình sau
a) |x − 2| < |2x + 1|. b)




2x − 3
x − 3




≤ 1.
c)


x
2
− 5x + 4



= 4.
c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2|. d) |x −1|−2 |x −2|+ 3 |x − 3| = 4.
e)
√
x
2
− 2x + 1 +
√
x
2
+ 4x + 4 = 5.
f)

x + 2
√
x − 1 +

x − 2
√
x − 1 = 2.
§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Sử dụng phép biến đổi tương đương.
•

f(x) =

g(x) ⇔


g(x) > 0
f(x) < g
2
(x)
. •

f(x) > g(x) ⇔





g(x) < 0
f(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0
f(x) > g
2
(x)
.
2. Đặt ẩn phụ
• Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x).
• Dạng 2. Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
• Dự đoán nghiệm (nếu có).
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm đã dự đoán (hoặc chỉ ra PTVN).
4. Đánh giá hai vế.
• Đánh giá f(x) ≥ A; g(x) ≤ A. Khi đó f(x) = g(x) ⇔

f(x) = A

3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1 =
3
√
3x + 1. f)
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2 +
3
√
x + 3 = 0.
2.15. Giải các bất phương trình sau
a)
√
x
2
− 4x − 12 > 2x + 3. b)
√
x
2
− 4x − 12 ≤ x − 4.
c)
3


2 (x
2
− 16)
√
x − 3
+
√
x − 3 >
7 − x
√
x − 3
.
2.17. Giải các phương trình sau
a) (D-05) 2

x + 2 + 2
√
x + 1 −
√
x + 1 = 4. b)

x − 1 + 2
√
x − 2 −

x − 1 − 2
√
x − 2 = 1.
c) x +

b) (D-02)

x
2
− 3x

√
2x
2
− 3x − 2 ≥ 0.
c) (x − 2)
√
x
2
+ 4 < x
2
− 4. d) (x + 2)
√
9 − x
2
≤ x
2
− 2x − 8.
e)
√
x
2
− 3x + 2 +
√
x

x + 5 =
√
3 − 2x − x
2
.
c)
√
2x
2
+ 8x + 6 +
√
x
2
− 1 = 2x + 2.
d) 3

2 +
√
x − 2

= 2x +
√
x + 6.
e) x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
√
x
2
+ 1.

c)
2x
√
2x + 1 − 1
> 2x + 2.
d)
x
2

1 +
√
1 + x

2
> x − 4.
2.21. Giải các phương trình sau
a) (x + 5) (2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x.
b)

(x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x
2
.
c)
√
x + 1 +
√

2
+
x
2
4 − x
2
+
5
2

√
4 − x
2
x
+
x
√
4 − x
2

+ 2 = 0.
d) (B-2011) 3
√
2 + x −6
√
2 − x + 4
√
4 − x
2
= 10 −3x.

x
> 3.
f)
√
x + 2 +
√
x − 1 + 2
√
x
2
+ x − 2 ≤ 11 − 2x.
2.24. Giải các phương trình sau
a) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
− 2x. b) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
+ 2x.
c) (4x − 1)
√
x
3
+ 1 = 2x

+ 1. d) 2

x
2
− 3x + 2

= 3
√
x
3
+ 8.
13
Nguyễn Minh Hiếu
2.26. Giải các phương trình sau
a) x
2
+
√
x + 5 = 5. b) x
3
+ 2 = 3
3
√
3x − 2.
c) x
3
+ 1 = 2
3
√
2x − 1.

≥ 1.
c)
3
√
x
2
− 2 =
√
2 − x
3
.
d) x +

3 (1 − x
2
) = 2

1 − 2x
2

.
2.28. Giải các phương trình sau
a)
√
4x − 1 +
√
4x
2
− 1 = 1.
b)

x
2
− 2x + 5 +
√
x − 1 = 2.
b)
√
x − 2 +
√
4 − x = x
2
− 6x + 11.
c) 2

√
x − 2 − 1

2
+
√
x + 6 +
√
x − 2 − 2 = 0.
d)
√
5x
3
+ 3x
2
+ 3x − 2 =

. b)

x + y + xy = 1
x
3
+ y
3
+ 3(x − y)
2
− 4 = 0
.
c) (DB-05)

x
2
+ y
2
+ x + y = 4
x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2
. d)

x
2
− xy + y
2
= 3 (x − y)
x
2
+ xy + y
2






2x + y =
3
x
2
2y + x =
3
y
2
. d) (B-03)





3y =
y
2
+ 2
x
2
3x =
x
2
+ 2
y

+ y
3
= 1
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2
. d) (DB-06)

(x − y)

x
2
+ y
2

= 13
(x + y)

x
2
− y
2

= 25
.
2.33. Giải các hệ phương trình sau

= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
. d) (D-09)

x (x + y + 1) −3 = 0
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0
.
14
Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
2.34. Giải các hệ phương trình sau
a) (B-02)

3
√
x − y =
√
x − y
x + y =
√
x + y + 2
. b) (A-03)


2
+ y
2
= 1
.
2.35. Giải các hệ phương trình sau
a) (DB-07)

x
4
− x
3
y −x
2
y
2
= 1
x
3
y −x
2
− xy = −1
. b) (D-08)

xy + x + y = x
2
− 2y
2
x
√

3

y
3
− 14 = x − 2
.
2.36. Giải các hệ phương trình sau
a)

x
2
+ y
2
+ xy = 1
x
3
+ y
3
= x + 3y
. b)

x
3
+ 2xy
2
+ 12y = 0
8y
2
+ x
2

+ y
2

+ 2 = (x + y)
2
.
2.37. Giải các hệ phương trình sau
a) (B-09)

xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
. b)

2x
2
+ x −
1
y
= 2
y −y
2
x − 2y
2
= −2
.

2
+ 2y + 4x −8 = 0
. b)

x + y −
√
xy = 3
√
x + 1 +
√
y + 1 = 4
.
c) (CĐ-2010)

2
√
2x + y = 3 −2x −y
x
2
− 2xy −y
2
= 2
. d) (DB-05)

√
2x + y + 1 −
√
x + y = 1
3x + 2y = 4
.

2.39. Giải các hệ phương trình sau
a)

√
x + 10 +
√
y −1 = 11
√
x − 1 +
√
y + 10 = 11
. b)

√
x − 1 −
√
y = 8 −x
3
(x − 1)
4
= y
.
c) (A-2012)

x
3
− 3x
2
− 9x + 22 = y
3

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có:
• m = f(x) có nghiệm trên D ⇔ min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max
x∈D
f(x).
• m ≤ f(x) có nghiệm trên D ⇔ m ≤ max
x∈D
f(x).
• m ≥ f(x) có nghiệm trên D ⇔ m ≥ min
x∈D
f(x).
• m ≤ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min
x∈D
f(x).
• m ≥ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max
x∈D
f(x).
B. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Phương pháp tam thức bậc hai.
• Dựa vào định lý về dấu tam thức bậc hai để có điều kiện phù hợp cho từng bài toán.
2. Phương pháp chiều biến thiên hàm số.
• Từ bài toán biến đổi và rút m theo f(x).
• Lập BBT của f(x). Từ BBT và các kiến thức bổ sung để rút ra KL.
3. Phương pháp điều kiện cần và đủ.
• Từ tính chất bài toán rút ra điều kiện cần để xảy ra bài toán.
• Giải điều kiện cần được m, thay lại vào bài toán để kiểm tra.
15
Nguyễn Minh Hiếu
C. Bài Tập

x + y
√
y = 1 −3m
có nghiệm.
2.45. Tìm m để bất phương trình
√
4x − 2 +
√
16 − 4x ≤ m có nghiệm.
2.46. Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)

x+1
x−3
= m có nghiệm.
2.47. (DB-07) Tìm m để bất phương trình m

√
x
2
− 2x + 2 + 1

+ x (2 −x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn

0; 1 +
√
3

.
2.48. (A-07) Tìm m để phương trình 3
√

1 + x
2
−
√
1 − x
2
có nghiệm.
2.51. (A-08) Tìm m để phương trình
4
√
2x +
√
2x + 2
4
√
6 − x + 2
√
6 − x = m có hai nghiệm phân biệt.
2.52. (DB-07) Tìm m để phương trình
4
√
x
4
− 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.
2.53. (B-07) Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình x
2
+ 2x − 8 =

m (x − 2) có hai nghiệm phân biệt.
2.54. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình x

2.57. Tìm m để hệ
√
1 − x
2
+ 2
3
√
1 − x
2
= m có nghiệm duy nhất.
2.58. Tìm m để hệ

x = y
2
− y + m
y = x
2
− x + m
có nghiệm duy nhất.
16