PHÂN TÍCH
CÁC SỐ NGUYÊN
CÓ DẠNG 2
n
-1
RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
ĐẶT VẤN ĐỀ
•
Bài toán phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố đã được ra
đời từ rất lâu và đã cuốn hút nhiều bộ óc vĩ đại nhất trên thế
giới để giải quyết vấn đề về nó.
•
Ngoài ý nghĩa lý thuyết của bản thân bài toán người ta còn
phát hiện nhiều ý nghĩa thực tiễn đặc biệt là trong mật mã.
ĐẶT VẤN ĐỀ
•
Nhiệm vụ chính của đề án là giải quyết bài toán: “Phân tích
các số nguyên có dạng 2
n
-1 ra thừa số nguyên tố (với n
≤

200)”.
•
Chương 1 sẽ trình bầy về các số Mersenne. Chương 2 đề cập
đến bài toán phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố. Chương
3 là phần cơ bản của đề án, trong đó trình bày các tư tưởng của
thuật toán phân tích ra thừa số nguyên tố của những số nguyên
lớn.
CHƯƠNG I. CÁC SỐ MERSENNE
VÀ VIỆC PHÂN TÍCH

•
M
n
=2
n
-1 là nguyên tố khi và chỉ khi M
n
là ước của S
n-2
.
trong đó, dẫy (S
k
)
k>=1
được định nghĩa như sau:
S
0
=4; S
k+1
=S
k
2
-2
CHƯƠNG II. MỘT SỐ PHƯƠNG
PHÁP PHÂN TÍCH SỐ
•
Thuật toán sàng Eratosthenes
•
Phương pháp p-1: Thuật toán
Pollard thứ nhất

N. Nếu đúng thì j=i+1, Q=Q|qi, quay về (3).
Ngược lại: chuyển sang (5).
(5) Xét i<k. Nếu đúng thì : i=i+1, j=0, nếu b
≠
1 thì Q=Q.q
i
. Quay
về (4). Ngược lại quay về (1).
(6) Xét gcd (b-1, N)>1. Nếu đúng có ước của n là
gcd (b-1,N). Dừng chương trình. Ngược lại quay về (4)
q
N
k
q
N
k
log
log

2
2
Phương pháp
ρ
: Thuật toán
Pollard thứ hai
(1) i=0
(2) i=i+1
(3) Xét gcd((x
2i
- x

a≡a
Q
mod N
d là ước của N
Không phân tích
được
F
Q<Q
0
Q=Q+1
F
T
Phân tích hệ thống
•
Khai báo số lớn
Cho q>0 khi đó ∀N, tồn tại duy nhất một
bộ n
0
, n
1
, ,n
k
, với 0≤n
i
<q, sao cho
N=n
0
+n
1
q+n

, , x
n
)
Y=(y
0
, y
1
, , y
n
), thì Z=X+Y=
= ( (x
0
+y
0
) mod q , (x
1
+y
1
+nho
0
) mod q, ,
(x
n
+y
n
+nho
n-1
) mod q )
trong đó nho
i

div y=q thì
X div Y= q hoặc q-1
Định lý là cơ sở giúp ta đoán nhanh
thương của 2 số lớn X/Y với điều kiện
X<qY.
r
r
r
r
bb
bbbbb
B
aaaaa ) ().(
22
2 22
1
0
2
210
==
++++
Phép luỹ thừa
Tư tưởng cơ bản của phép luỹ thừa a
B
mod N là
Nếu B=b
0
+b
1
2+b

Chia_Word()
-
Nếu M chia hết cho a thì làm lại bước này đối
với thương của phép chia M cho a.
-
Nếu đến một lúc nào đó ta thu được một thương
bằng một số nguyên tố trong tệp hoặc chia hết
cho một số trong tệp thì dừng chương trình và
kết luận đã phân tích hoàn toàn và tích của các
thừa số nguyên tố là ước của M chính là bằng
M.
-
Nếu đọc hết tệp mà thương cuối cùng không
trùng với bất kỳ số nào trong tệp hoặc không
chia hết cho bất cứ số nào trong tệp nào thì phải
phân tích xem thương này có phải là số nguyên
tố không bằng cách dùng hàm nguyên_to_SL.
Nếu xác định thương này là nguyên tố thì dừng
chương trình và kết luận là “ phân tích hoàn
toàn”. Ngược lại thì chuyển sang giai đoạn (2).
(2) Dùng thuật toán Pollard_1 để phân tích ước hợp số
Z của M
-
Lấy ngẫu nhiên một số lớn a=Random_SL(Z); khởi đầu
lấy Q=2;
-
Dùng hàm UCLN_SL để tìm ước chung lớn nhất của Z và
a
Q
-1.

Không phân
tích hoàn toàn
T
T
F
F
b) Pollard_1
Input Z là hợp số
i=2
X=random(Z)
X=X
i
mod Z
gdc(X-1, Z)=P
P>1
Pollard=1
P và Z=Z/P
là 2 ước của Z
i=i+1
i<I0
Pollard=0
Không phân tích
được
F
T
F
T
Kết luận
•
Bài toán phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố đã được đặt ra