SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)
SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(3.0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2
2
2

4 2 63
lim 1 1
n n n
   

b) Cho dãy số


n
u
xác định như sau:
1
1
1
2013
1
( 1)
2013
n
n
n n
n
u
u u n







). Biết MD = x.
Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình:
4 3 2
0
x ax bx cx d
    

a) Với
2013
d
 
, chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
b) Với
1
d

, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh
2 2 2
4
3
a b c
  
HẾT
2

-

Đáp án Toán 11

1
   
 
   


TH1:
2
1
( ; ) 1;
3
3
a
x y
b


 
 

 

 


TH2:
3
1
( ; ) 2;
2
2

  

2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
4sin sin 3 6 2sin3
4(1 sin sin 3 ) 2(1 sin3 ) 0
4 sin (1 sin 3 ) cos 2(1 sin3 ) 0
4(sin cos 3 cos ) 2(1 sin3 ) 0
sin3 1
sin3 1
sin cos 3 0 2 ( )
2
cos 0
cos 0
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x
x
x x x k k Z
x
x



2

a)




4 2 6 4 2 2 6 23 3
lim 1 1 lim 1 ( 1 )
n n n n n n n n
          

Ta có:
 
2
2
4 2 2
4 2 2
2 4
1
1
1 1
lim 1 lim lim
2
1 1
1
1 1
n
n
n n n

4 2 6
3
1
lim 1 1
2
n n n
    

1,0 điểm

0,25

0,25

0,25

0,25 b)
*
0,
n
u n N
  
1 1
1 1

Trang:
3

-

Đáp án Toán 11
1
1
1
1
2013
n n
n n
n
u u



 
Suy ra:
1
1
1
1 2 1

 

 
 
 
1
1
1
1 1 1 2014 2013
2013
1 2013 2014 1
2012
n
n
n
n
u
n n

 

 
   
 
       (Cô si)
Mặt khác
2013
lim 1 1
n
 

M
N
P
K
Q
J

2,5 điểm 0,25

Trang:
4

-

Đáp án Toán 11a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a.
Kẻ DT//AC (T thuộc BC). Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD.
Ta có: DT=AC=
3
a
.
Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a,

. . 3
3
3
NP MD AC MD x a
NP x
a
AC OD OD
    2 .
.
3
2( 3)
3
a
a x
NJ AN OM SD OM
NJ a x
a
SD AD OD OD
 

 
 
      



2 . 3

 
     
 

Diện tích NPQKJ lớn nhất bằng
2
3 3
4
a
khi
3
4
x a
 0,25

0,25
0,25
0,25 0,25


Mặt khác lim ( )
x
f x

 
, nên tồn tại 2 số
0; 0
 
 
sao cho
( ) 0; ( ) 0
f f
 
 
. Do đó
(0). ( ) 0; (0). ( ) 0
f f f f
 
 
.
Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng
( ,0)


và
(0, )


1.0 điểm

0 0
1 1
1 0
x ax bx cx b x ax c
x x

          
Ta có:
 
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
( 1) ( 1)
a b c x a c x ax c x
x x x x
 
 

 
            
 
 
 
 

2 2
2 2

x
t
a b c
t
x
x
 

 
 
   

 
với
2
0
2
0
1
2
t x
x
  

Mặt khác:
2
2
4
3 4 4 0 ( 2)(3 2) 0
1 3

,
3 3
a c b
   
(ứng với
0
1
x
 
)
1.0 điểm
0,25

0,25
0,25