ThS Phùng Duy Quang (chủ biên)
ThS Nguyễn Dương Nguyễn
TOÁN CAO CẤP
ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Nhà xuất bản Sư phạm
LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sách Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế này được biên soạn tương
ứng chương trình Toán cơ sở trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chính
Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế của trường Đại
học Ngoại thương Hà nội. Ngoài ra cuốn sách còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh
viên các trường đại học có học Toán cơ sở cũng như các học viên chuẩn bị các kiến thức
Toán cao cấp cho việc ôn thi đầu vào hệ Sau đại học các trường Đại học Kinh tế quốc
dân Hà nội, Đại học Ngoại thương Hà nội.
Với mục đích là rèn luyện tư duy suy luận bằng các tri thức của toán học cao cấp
trang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ của toán học
cao cấp khi tiếp cận các bài tập. Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập toán
cao cấp của sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, bộ
sách này được biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốt
môn Toán cơ sở. Với mục đích đó ngoài các khái niệm toán học, chúng tôi cố gắng trình
bày các kết quả toán học, và ý nghĩa của các định lý để người đọc hiểu và vận dụng kết
quả đó vào trong giải bài tập toán cao cấp. Bên cạnh đó cuốn sách cũng mạnh dạn đưa
vào khối lượng tương đối lớn các ví dụ cùng với các phương pháp giải toán, kết với các
ví dụ áp dụng toán cơ sở trong các bài toán kinh tế để người đọc thấy được mạch ứng
dụng của toán học cao cấp trong lĩnh vực kinh tế.
Với mục đích trên, ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; cuốn sách được kết
cấu như sau:
Chương 1. Ma trận và định thức
Chương 2. Không gian véc tơ
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng
Chương 4. Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số và ứng dụng

§3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ 41
§4. Không gian vectơ con 49
5. Toạ độ của vectơ đối với một cơ sở 51
§5. Không gian Euclide thực 53
Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 56
§1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 56
§2. Phương pháp giải hệ phương trình 60
3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 61
4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 65
Tập nghiệm của hệ 68
§3. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 69
Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 83
§1. Hàm một biến số 83
§ 2. Giới hạn của dãy số 88
§ 3. Giới hạn của hàm số 90
§4. Hàm số một biến số liên tục 93
§5. Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến số 95
§6. Ứng dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế 102
§7. Tích phân hàm một biến số 109
§8. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế 128
Chương 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 131
§ 1. Giới hạn và liên tục 131
§2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến 139
§4. Cực trị hàm nhiều biến 155
§ 5. Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong phân tích kinh tế 162
TÀI LIỆU THAM KHẢO 173
3
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
§1. Ma trận và các phép toán trên ma trận
1. Các khái niệm













mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
Viết tắt là A = (a
ij
)
n xn
hoặc A = [a
ij
]
n xn
Ví dụ 1. Cho ma trận



= [a
ji
]
n xn
• Ma trận đối của ma trận A là ma trận – A = [- a
ij
]
n x n
Ví dụ 2. Cho ma trận










−
−
=
02
14
31
A
. Xác định A
T
, - A
Giải :

31
A
• Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 :
nxm
]0[=θ
• Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận
A là ma trận dòng.
4
• Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma
trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần
từ a
11
, a
22
, … , a
nn
gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a
n1
,
n 12
a
−
,
… , a
1n
gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ.
• Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường
chéo chính bằng 0.
+) Ma trận A = [a
ij

aa 00

aa a0
aa aa
A
+) Ma trận A = [a
ij
]
n x n
được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a
ij
= 0 với i < j:
















=
−

A
;










−
=
600
410
521
B
;










−=

E
n
5
• Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat
m x n
(R)
• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat
n
(R)
Ví dụ 5. Cho ma trận






−
=
176
752
A
và









75
62
A
T
và






−−−
−−
=
176
752
A
b)
1m1m
m7
75
62
17
75
62
BA
2
2
T
±=⇔=⇔

nm
ij
nm
ij
bB;aA
××
==
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m
×
n, kí hiệu A + B và được xác định
như sau:
[ ]
nm
iiij
baBA
×
+=+
Tích của ma trận A với một số
α
là một ma trận cấp m
×
n, kí hiệu
α
A và được xác
định như sau:
[ ]
nm
ij
a.A
×

β
A
8) (
α
β
)A =
α
(
β
B)
Ví dụ 6. Cho các ma trận






−
=






−
−
=
312
212

=−
1116
1474
312
212
).3(
110
421
.2B3A2
Ví dụ 7. Cho ma trận






=
35
31
B
. Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E
Giải:
Phương trình đã cho






−

A =












mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
; B =











mn2m1m
n22221
n11211
c cc

c cc
c cc
trong đó
( )
p, ,2,1j;m, ,2,1i;baba babac
n
1k
kjiknjinj22ij11iij
===+++=
∑
=
Chú ý 1.
• Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma
trận đứng sau.
• Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước
và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
7
• Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử
ij
c
là tích vô hướng của dòng
thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau.
Ví dụ 8. Cho hai ma trận








+++
+++
=












=
1461
872
2.14.33.11.31.10.3
2.24.13.21.11.20.1
231
410
.
13

1203
0112
1321
B
. Tính A.B, BA
Giải:
Ta có






−−
−
=










−
−



5)
( )
T
T T
AB B A=
Chú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu
θ=
B.A
thì chưa chắc
θ=
A
hoặc
θ=
B
.
Ví dụ 10. Cho các ma trận






=






=

Ví dụ 11. Cho






=






=
10
00
B;
00
01
A
, ta có






=








=
dc
ba
A
. Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình
θ=−++− )bcad(X)da(X
2
Giải:
Ta có






−+






+−





=






−
−
+






++
++
−






++
++

Ta có






=












=
10
21
10
11
10
11
A
2
;







=
10
n1
A
n
. Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức A
n
.
Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [a
ij
]
m x n
là các phép biến đổi có dạng
i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau:
)cc(dd
jiji
↔↔
ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0:
)kc(kd
ii
iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác:
)chc(dhd
jiji
++






−
−
−
→










−
−
−
=
4211
20424
6421
4211
5212
6421
A

4211
6421
5212
4211
5212
6421
A
Phép biến đổi (3):










−−−
−
−
→










−
−
=
00000
52000
53110
86511
A
;












−
−
−
=
10000
11200
18210
74311






nn2n1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
. Xét phần tử a
ij
của A, bỏ đi dòng i và cột j của A
ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu M
ij
: gọi là ma trận con con ứng với phần tử a
ij
(i,j
= 1, 2, 3, , n).
Ví dụ 1.











=
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
M;
aa
aa
M;
aa
aa
M






=









=






=






=
2221
1211
33
2321
1311
32
2322
1312
31

Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc
A
được định nghĩa như sau:
* Định thức cấp 1: A = [a
11
] thì det(A) = a
11
* Định thức cấp 2:






=
2221
1211
aa
aa
A
thì
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
)Adet( −==
Ví dụ 2. Tính định thức
142

22
±
=⇔=⇔=−⇔
.
* Định thức cấp 3:
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
a.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.a
aaa
aaa
aaa
Adet −−−++==
Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà
mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất.
* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính
hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với
đường chéo chính.
* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc
các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường
chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus”
sau:
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp
3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứ
nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo
như quy tắc thể hiện trên hình:

111
1xx
2
=
Giải:
Ta có
2x3x
124
111
1xx
2
2
+−=
. Do đó



=
=
⇔=+−⇔
2x
1x
02x3xPT
2
.
• Định thức cấp n (n
3
≥
):
det(A) =

=
Giải: Đặt
1242008
1112009
1xx2010
0002011
2
4
=∆
. Khai triển định thức theo dòng 1:
124
111
1xx
.2011
124
111
1xx
.)1.(2011
22
11
4
=−=∆
+
. Dùng định nghĩa định thức cấp ba, thu được
)2x3x(2011
2
4
+−=∆
. Khi đó


kij
=∀α=
∑
≠
=
. Ký hiệu
∑
≠
=
α=
n
ik
1k
kki
dd
; d
k
= (a
k1
a
k2
a
kn
)
Tính chất 1. (Tính chất chuyển vị)
Định thức của ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó:
det(A
T
) = det(A)
Ví dụ 1. Cho

dc
ba
D =
và
'
c d
D
a b
=
Giải: Ta có D = ad – bc và D’= bc- ad = -D
Hệ quả 1. Một định thức có hai dòng giống nhau thì bằng không.
Chứng minh
Gọi định thức có hai hàng như nhau là
n
∆
. Đổi chỗ hai hàng đó ta được, theo tính chất 2
ta có
n
∆
= -
n
∆
002
nn
=∆⇒=∆⇔
Tính chất 3. (Tính thuần nhất). Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số
k thì được định thức mới bằng k lần định thức cũ
nn2n1n
in2i1i
n11211

Hệ quả 2. Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không.
Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức
có hai dòng giống nhau nên nó bằng không.
Ví dụ 3. Chứng minh định thức sau chia hết cho 17:
4
12 2 6 7
17 68 34 204
2 1 1 4
6 7 11 9
−
− −
∆ =
−

Giải:
Ta có
D.17
91176
4112
12241
76212
.17
91176
4112
)12.(172.17)4.(171.17
76212
4
=
−
−−

không đổi.
Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
trong quá trình tính định thức cấp n:
* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau:
)cc(dd
jiji
↔↔
, phép biến đổi này định thức đổi dấu
* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0:
)kc(kd
ii
, phép biến đổi này định thức tăng lên
k lần.
* Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác:
)chc(dhd
jiji
++
, phép biến
đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức.
15
Ví dụ 4. Tính định thức
y'ccxy'bbxy'aax
'c'b'a
cba
3
+++
=∆
Giải:
Nhân dòng 1 với (-x), dòng 2 với (-y) cộng vào dòng 3 ta được:
0

4,3,2i
4
i1
++++
++++
++++
=∆
+−
=
Sau đó nhân dòng 2 với (- 2) cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với (-3) cộng vào dòng 4
được:
6666
2222
1d21c21b21a2
dcba
2222
dd2
dd3
4
32
42
++++
=∆
+−
+−
= 0 (vì có 2 dòng tỷ lệ nhau)
Ví dụ 6. Tính định thức
1
2
ac

0
1
2
ac
2
cb
1
1ba1
1ac1
1cb1
).1cba(
4
=
++
+++=∆
3.Các phương pháp tính định thức
Cho định thức cấp n:
nmnj1n
inij1i
n1j111
n
a a a

a a a

a a a
=∆
a) Phương pháp khai triển (Sử dụng định nghĩa)
• Phần bù đại số của
ij

∆
có thể tính theo hai
cách sau:
i) Công thức khai triển theo dòng thứ i :
∑∑
==
+
=−=∆
n
1j
ijij
n
1j
ij
ji
ijn
Aa)Mdet(.)1(a
(1)
ii) Công thức khai triển theo cột thứ j:
∑∑
==
+
=−=∆
n
1i
ijij
n
1i
ij
ji

=∆
=
∑
=
kjkhi0
kjkhi
Aa
n
n
1i
ikij
(4)
Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức cấp n về
tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2.
Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dòng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0
nhất để khai triển. Nếu không có dòng hoặc cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về định
thức mới bằng định thức ban đầu nhưng có dòng hoặc cột như vậy.
Ví dụ 7. Tính định thức a)
054
213
112
3
−=∆
b)
421
213
121
3
−
−

−=−−=
−
−−+
−
−+−=∆
+++
Ví dụ 8. Tính định thức a)
1253
3142
3131
5011
4
−
−−−
−
=∆
b)
11432
4100
3010
2001
4
−
=∆
Giải:
a) Nhân cột 1 với (-1) cộng vào cột 2, nhân cột 1 với (-5) cộng vào cột 4; rồi khai triển
định thức theo cột 1, ta được
1428
1316
814

52
.)1.(1
30016
502
814
21
dd
dd2
4
21
31
=
−−
−−
−=
−−
−−=∆
+
+
+−
b) Nhân cột (-2) với cột 1 rồi cộng với cột 4
9432
4100
5010
0001
4
−
=∆
Khai triển định thức theo dòng 1 ta được
943

+
Ví dụ 9. Tính định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới
a)
nn
n1n1n1n
n21n222
n11n11211
n
a0 00
aa 00

aa a0
aa aa
−−−
−
−
=∆
b)
nn1nn2n1n
1n1n21n11n
2221
11
n
aa aa
0a aa

00 aa
00 0a
−
−−−−

−
−
19
Tương tự, ta có
nn2211
nn1nn2n1n
1n1n21n11n
2221
11
n
a aa
aa aa
0a aa

00 aa
00 0a
==∆
−
−−−−
b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:
Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về định thức của
ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:
nn332211
nn
n222
n11211
a a.a.a
a 00

a a0

43211
4321
4
baaaa1
abaaa1
aabaa1
aaaba1
aaaa1
+
+
+
+
=∆
Ví dụ 11. Tính định thức
a)
0xxxx1
x0xxx1
xx0xx1
xxx0x1
xxxx01
111110
6
=∆
b)
axxxxx
xaxxxx
xxaxxx
xxxaxx
xxxxax
xxxxxa

22
6
==∆
20
Nhân dòng 1 với (-1) rồi cộng vào các dòng khác ta được:
35
22
6
x5)x(x.
x
5
x00000
0x0000
00x000
000x00
0000x0
xxxxxx
.
x
5
−=−=
−
−
−
−
−
=∆
b) Cộng các cột vào cột 1, rồi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu định thức ta được
[ ]
ax xx1

xx xx1
.x5a −+=
−
−
−
−
+=∆
21
§3. Ma trận nghịch đảo
Trong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông
cấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo
1. Định thức của tích hai ma trận vuông
Cho hai ma trận vuông cấp n : A = [a
ij
]
n x n
; B = [b
ij
]
n x n
Định lý 1. Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của ma trận
thành phần: det(AB)= det(A)det(B)
Hệ quả: det(A
n
) = [det(A)]
n

Ví dụ 1. Cho A, B là ma trận vuông cấp 3 có det(A) = 2, det(B) = -2. Tính det(AB),
det(A
2

A
-1
= B.
Ví dụ 2. a) Ma trận A =






40
01
là khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là








=
−
4
1
0
01
A
1
.








10
01
40
01
.
4
1
0
01
4
1
0
01
.
40
01
.
b) Ma trận






A A A
 
 
 
 
 
 
L
L
  O 
L

Ví dụ 3. Tìm A
-1
của










−
−
=
425
130

11
−=
−
−=−=
−
−
−==
−
−=
+++
2
10
32
.)1(A;7
45
32
.)1(A;5
45
10
.)1(A
23
32
22
22
12
12
−=−=−=−==−=
+++
6
30





−−
−−
−−
=
6115
275
10214
A
Ma trận nghịch đảo của A là










−
−
=





, A
T
, kA (k
≠
0), A
m
(m nguyên dương) cũng khả nghịch và
(A
-1
)
-1
= A ; (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
;
11
A
k
1
)kA(
−−
=
; (A
m
)


=
72
31
A
Giải: Tìm ma trận nghịch đảo của A, ta được






−
−
=
−
12
37
A
1
Khi đó






−
−
=

37
.
12
37
12
37
)A()A(
2
2112
4. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
a) Phương pháp định thức
Dựa vào định lý 2.12, ta có các bước tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = [a
ij
]
n
×
n
như
sau:
Bước 1: Tính det(A)
Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch.
Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo.
Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp của A:
A
=
11 21 n1
12 22 n2
1n 2n nn
A A A
A A A

 
=
 
 
b)










=
801
352
321
A
Giải:
a)
Bước 1: Ta có det(A) = 1.4 – 2.3 = -2
0≠
.
Nên ma trận A khả nghịch và
A.
)Adet(
1
A