ThS Phùng Duy Quang
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
TOÁN CƠ SỞ
ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
class="bi x8 y0 w2 h7"
LỜI NÓI ĐẦU
Toán cơ sở là môn học bắt buộc dành cho sinh viên các hệ cao đẳng, đại học
và cao học thuộc tất cả các nhóm ngành kỹ thuật, kinh tế. Để giúp cho sinh viên có
tài liệu học tập và đạt kết quả cao, Nhà xuất bản Thông tin và Truyền thông đã phối
hợp với tác giả Phùng Duy Quang - Trưởng khoa Cơ bản, Trường Đại học Ngoại
thương xuất bản cuốn “Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân
tích kinh tế”. Cuốn sách được biên soạn phù hợp với chương trình Toán cơ sở ứng
dụng trong phân tích kinh tế được giảng dạy tại trường Đại học Ngoại thương.
Đây cũng là tài liệu bổ ích dành cho các thí sinh ôn thi tuyển sinh đầu vào hệ
Thạc sỹ của trường Đại học Ngoại thương, trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội.
Nội dung cuốn sách là tổng hợp các bài tập từ mức độ dễ đến khó, nhằm giúp học
viên vận dụng các kiến thức, kỹ năng cũng như các phương pháp Toán cơ sở ứng
dụng trong các bài toán phân tích kinh tế.
Nội dung cuốn sách gồm:
Chương 1. Định thức và ma trận.
Chương 2. Một số mô hình tuyến tính dùng trong phân tích kinh tế.
Chương 3. Ứng dụng của phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số
trong phân tích kinh tế.
Chương 4. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm nhiều biến số trong phân
tích kinh tế.
Phụ lục: Giới thiệu các đề thi Cao học môn Toán kinh tế (phần Toán cơ sở)
của trường Đại học Ngoại thương và Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội.
Cuốn sách được viết cho sinh viên các ngành kinh tế nhằm ứng dụng môn học
Toán cơ sở sao cho hiệu quả nhất; được trình bày một cách cụ thể, dễ hiểu. Mỗi

Bây giờ tìm X: (E – A)X = B với ma trận cầu cuối cùng 22
Khi đó X = (E – A)-1B = và ma trận chi phí đầu vào 22
Bài 2.7. 23
1)Số 0,4 ở dòng 2 và cột 1 của ma trận A có nghĩa: để sản xuất ra 1USD giá trị hàng
hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4 USD giá trị hàng hóa của ngành 2 23
2)Gọi x1, x2, x3 lần lượt là tổng cầu của các ngành. Khi đó ma trận tổng cầu là 23
. Bây giờ tìm X: (E – A)X = B với ma trận cầu cuối cùng 23
Do vậy ma trận tổng cầu mới là 24
X‘= (E – A)-1B’=(E – A)-1(B + e3) = (E – A)-1B + (E – A)-1e3 24
= 24
Bài 2.8. Bạn đọc tự giải 24
Bài 2.9. Ta có 24
1)Với ta có 24
2)Ta luôn có (E- A)-1(E – A) = E 24
24
24
24
Nên mệnh đề trên là sai 24
3
3)Giải thích ý nghĩa của a12 = 0,15: lượng giá trị sản phẩm ngành 1 cần thiết để làm
ra một đơn vị giá trị sản phẩm ngành 2 24
Tổng dòng 1: a11 + a12 = 0,25 là lượng giá trị sản phẩm ngành 1 cung cấp cho 2
ngành để mỗi ngành làm ra một đơn vị sản phẩm của mình 24
Số t.100% là tỷ lệ thu nhập dành để nộp thuế 34
2) Io = 50; NXo = 30 34
Xác định thu nhập cân bằng: 34
Y = 20 + 0,75(1- t)Y + Io + 20 + 0,1Y + NXo 34
34
Hay thu nhập cân bằng là 34
Thuế cân bằng là: 34

B. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 48
Chương 4. ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 66
TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 66
A. ĐỀ BÀI 66
B. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 73
PHỤ LỤC: GIỚI THIỆU ĐỀ THI MÔN TOÁN KINH TẾ 86
(PHẦN TOÁN CƠ SỞ) CỦA TRƯỜNG ĐAI HỌC NGOẠI THƯƠNG 86
VÀ ĐẠI HỌC KINH TẾ QUÔC DÂN 86
I. Đề thi Cao học Đại họcNgoại thương 2013 (tháng 4/2013) 86
II. Đề thi Cao học Đại họcNgoại thương đợt 2- 2012 (tháng 9/2012) 86
III. Đề thi Cao học Đại họcNgoại thương đợt 1- 2012 (tháng 3/2012) 87
IV. Đề thi Cao học Đại học kinh tế quốc dân Hà nội, tháng 5/2012 87
V. Đề thi Cao học Đại họcNgoại thương đợt 2- 2011 (tháng 8/2011) 88
VI. Đề thi Cao học Đại học kinh tế quốc dân Hà nội, năm 2011 88
Câu 1. Cho mô hình cân bằng kinh tế 88
Y = C + Io + Go; C = Co + b(Y – T); T = To +tY 88
Cho Co = 80; Io = 90; To = 20; b = 0,9; t = 0,1 88
a. Xác định mức cân bằng của Y 88
b. Khi Co tăng lên 1% thì mức cân bằng của Y thay đổi như thế nào? 88
VII. Đề thi Cao học Đại học kinh tế quốc dân Hà nội, năm 2010 89
VIII. Đề thi Cao học Đại học kinh tế quốc dân Hà nội, năm 2009 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO 91
5
Chương 1. ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN
A. ĐỀ BÀI
Bài 1.1. Tính các định thức sau
1)
2010−
2)
128

324
−
−
−
7)
123
112
235
−
−
Bài 1.2. Tính các định thức sau
1)
6434
1323
3412
2301
−
−−
−
−−
2)
4562
1543
1322
2301
−
−
−−
−


= 0
Bài 1.4. Tính AB và BA (nếu tồn tại), biết rằng:
1) A =






− 240
321
; B =










−
14
32
10
2) A =




6
Bài 1.5. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
1)






43
21
2)






dc
ba

(ad bc 0)− ≠
3)














−
−
−−
−
1241
2131
3224
0312
6)












−
−
−






−
−
34
45
; B =






− 32
21
3) A =






−
−
93
31
; B =

; B =












−
−
−
0412
3221
4102
1321
; C =










Bài 1.8. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:










−
−
−
16101
5m12
21m1
B. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1.1. Đáp số
1) -2010 2) – 4 3) -33 4) 0
5) 62 6) 93 7) -117 8) -4
Bài 1.2. Đáp số
1) 0 2) 52 3) 0 4) 189
Bài 1.3. Đáp số
x = -3 và x = 1
7
Bài 1.4. Đáp số
1) AB =






−−
−−
1131
0142
2445
, BA (Không tồn tại)
Bài 1.5. Đáp số
1)








−
−
2
1
2
3
12
2)




22
1
22
3
22
7
22
9
22
5
22
3
22
2
22
6
22
8

4) Không tồn tại 5) không tồn tại 6)















−
21
01
2)






−
−
714
611
3) Không tồn tại
Bài 1.7. Đáp số
r(A) = 3; r(B) = 4; r(C) = 2; r(D) = 3
Bài 1.8. Hướng dẫn: Biến đổi đưa ma trận A về dạng bậc thang.
Đáp số m = 3
8
Chương 2.MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH DÙNG
TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
A. ĐỀ BÀI
Bài 2.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
1)
1


3)
1
x
2 3
1 3
1 2 3
4 + x + 2x = 1
x + x = 2
6x + x + 4x = 3





4 )
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x 2x x 2x 1
x 3x x 3x 2
x x 3x x 4
− + + = −


− − + =


x
3 4
1 3 4 3 - x + x = -1
5x + - 4x + 6x = 1
+ − + =


− − + − =





7)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3
x 2x x 3x 1
2x x 2x 5x 2
5x 4x 3x 7x
x
1 2 4 5
3x - 3x + + 2x = 3


− −


−

9)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3x 5x 2x 2
2x 7x 2x 12
x 5x 3x 9
+ − =


− + =


− + + =

10)
1 2 3
1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 4x 2x 4
3x 9
3x 5x 3x 15

- 2x
=-6
+ =


+ =


− +

12)
1 2 3
3 4
1
2x 5x 3x
2x 2x 3
3x
2
3 4
= 3
- 3x
- 5x + x = -12
+ −


+ − =


−



+ − =


− + = −

9
Bài 2.2. Tìm các giá trị của tham số a trong mỗi hệ phương trình sau để hệ có
nghiệm:
1)
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4
4x x 3x x 3
x x 2x x a
x x 7
2
3x
− + + =


− − + =


− − =

2)
1 2 3
1 3
1 2


+ − =


+ + =

Bài 2.3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
1)
ax + y + z + t = 1
x + ay + z + t = 1
x + y + az + t = 1





2)
ax y z a
ax y 2z 1
x ay 2z 1− + + =


+ − =


− − − =


32
32
czccyx
bzbbyx
azaayx
6)





=++−−
=+++
=++
1 z)2k(yx
2z2y)1k(x2
kz y kx
7)
by 2z 1
(2b 1)y 3z 1
ax by (b 3)z b
ax
ax

+ + =


+ − + =



 
=
 
 
 
và mức cầu cuối cùng đối
với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác định mức
tổng cầu đối với hàng hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu
vào của sản xuất của mỗi ngành.
Bài 2.5. Cho hai ngành sản xuất có ma trận hệ số đầu vào:






=
2221
1211
aa
aa
A
.
Chứng minh rằng det(E – A) > 0.
10
Bài 2.6. Một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất và có mối quan hệ trao đổi hàng hóa
như sau:
Ngành cung ứng sản
phẩm (Output)
Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs)






=−
−
274,1573,0446,0
34,0486,1786,0
446,0701,0656,1
)AE(
1
và véc tơ cầu cuối cùng B
T
= (10, 5, 6). Hãy xác định tổng cầu của các ngành.
3) Tổng cầu của các ngành sẽ thay đổi thế nào nếu như cầu cuối cùng của ngành
1 tăng 1 đơn vị còn các ngành khác giữ nguyên.
Bài 2.8. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành sản xuất






=
4,02,0
2,03,0
A
và ma trận
cầu cuối cùng

2) Cho biết mệnh đề sau đây là đúng hay là sai?
|A(E-A)
-1
+ E| > |(E-A)
-1
|
3) Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử a
12
, tổng các phần tử của dòng 1, tổng
11
các phần tử của cột 2.
4) Lập bảng I/O nếu ma trận tổng cầu là: X
T
= (200 400).
5) Lập bảng I/O nếu cầu cuối cùng của ngành 1 là 120 và tổng cầu của ngành 2
là 400.
6) Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu cuối cùng là B
T
= (10 10).
7) Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng của ngành 1 lên 1 đơn vị thì tổng cung của
ngành 2 phải tăng bao nhiêu?
Bài 2.10. Giả sử nền kinh tế có 3 ngành thuần túy với giả thiết sau đây
* Ngành 1 làm ra 100 tỷ sản phẩm và ngành 1 sử dụng 20 tỷ sản phẩm của mình, 10
tỷ sản phẩm ngành 2, 10 tỷ sản phẩm ngành 3.
* Ngành 2 làm ra 50 tỷ sản phẩm và ngành 2 sử dụng 10 tỷ sản phẩm của mình, 10
tỷ sản phẩm ngành 1, 10 tỷ sản phẩm ngành 3.
* Ngành 3 làm ra 40 tỷ sản phẩm và ngành 3 sử dụng 8 tỷ sản phẩm của mình, 8 tỷ
sản phẩm ngành 1, 16 tỷ sản phẩm ngành 2.
1) Lập bảng I/O với các giả thiết trên.
2) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật A và giải thích ý nghĩa kinh tế của:

d1
= 12 – 4p
1
+ 2p
2
Hàng hóa 2: Q
s2
= -1 + 4p
2
, Q
d2
= 15 + 2p
1
- p
2

Hãy xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.
Bài 2.12. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:





+−=
+−=
1S
21d
p2Q
pp318Q
1

1
1
,





+−=
−+=
2S
21d
ap2Q
p2p12Q
2
2
(với a là tham số dương)
1) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá 1, 2 phải
thỏa mãn điều kiện nào?
2) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa theo a?
3) Khi a tăng thì giá cân bằng của các hàng hóa thay đổi thế nào?
Bài 2.14. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:
1 2
1 2
d 1 2 d 1 2
S 1 s 2
Q 11 3p p Q 11 p 2p
,
Q 2 p Q 2 2p
= − + = + −

1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?
2) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì p
1
, p
2
phải thoả
mãn điều kiện gì?
3) Xác đinh giá và lượng cân bằng?
Bài 2.16. Cho mô hình cân bằng thị trường 1 hàng hoá:
,( , , , 0)
d
s
Q a bp
a b c d
Q c dp
= −

>

= − +

1) Nêu ý nghĩa kinh tế của b, d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà người tiêu dùng
có thể chấp nhận được (mức tối đa) và mức giá tối thiểu để người sản xuất có thể
khởi nghiệp được (mức tối thiểu); từ đó chỉ ra điều kiện tồn tại trạng thái cân bằng.
2) Xác định trạng thái cân bằng.
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi các tham số a, b, c, d
thay đổi.
4) Giả sử nhà nước đánh thuế 1 đơn vị hàng trao đổi là t (đơn vị tiền tệ), hãy
cho biết số phần trăm chịu thuế của người tiêu dùng và người sản xuất.
Bài 2.17. Xét mô hình kinh tế:

= 200; G
o
= 450 (đơn vị: tỷ VNĐ), C
o
= 150, b = 0,85 và thuế
suất thu nhập t = 0,2.
+) Xác định thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng.
+) Tăng I
o
lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng thay đổi như thế nào ?
Bài 2.18. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I
o
+ G
o
C = a + bY (I
o
> 0, G
o
> 0, a >0, 0<b<1)
14
Trong đó: Y-thu nhập quốc dân, C-tiêu dùng, I
o
-đầu tư, G
o
-chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b.
2) Xác định trạng thái cân bằng (
Y,C
) bằng quy tắc Cramer.

3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b, c, d thay đổi.
Bài 2.20. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I
o
+ G (I
o
> 0)
C = a + b(Y-T
o
) (a>0, 0<b<1)
G = gY (0<g<1, b + g <1)
Trong đó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, T-thuế, I
o
-đầu tư, G-chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, g.
2) Xác định trạng thái cân bằng (
Y,C, G
) bằng quy tắc Cramer.
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b, g thay đổi.
Bài 2.21. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I
o
+ G
o
(I
o
>0, G
o
>0)
C = C

o
xuống 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng thay đổi như thế nào?
4) Do suy thoái kinh tế nên mức tiêu dùng cận biên đối với thu nhập sau thuế
chỉ còn là 0,7. Giả sử I
o
= 210, thì G
o
phải là bao nhiêu thì ổn định được thu nhập
quốc dân.
Bài 2.22. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I + G
o
(G
o
> 0)
C = b
o
+ b
1
Y (b
o
>0, b
1
>0)
I = a
o
+ a
1
Y – a
2

2
=10, R
o
=7, G
o
=500.
Khi tăng G
o
lên 1% thì thu nhập cân bằng tăng lên bao nhiêu %?
Bài 2.23. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I
o
+ G + NX
o
(I
o
>0, NX
o
>0)
C = 20 + 075Y
d

G = 20 + 0,1Y
Y
d
= (1-t)Y (0<t<1)
Trong đó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I
o
-đầu tư, t – thuế suất, G-chi tiêu chính phủ,
NX

M = 0,2 Y
d
Y
d
= (1-t)Y (0 < t <1)
16
Trong đó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I
o
-đầu tư, G
o
-chi tiêu chính phủ, X
o
-Xuất khẩu,
M –nhập khẩu, Y
d
-thu nhập khả dụng, t-thuế suất.
1) Có ý kiến cho rằng khi I
o
, t không thay đổi thì tăng G
o
lên 1 đơn vị và giảm
nhâp khẩu X
o
xuống một đơn vị thì thu nhập cân bằng
Y
không đổi. Ý kiến đó đúng
không ?
2) Giả sử I
o
=300, G

= 94
Trong đó : Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I-đầu tư, r-lãi suất, G
o
-chi tiêu chính phủ, M
o
-
cung tiền,T- thuế
1) Xác định trạng thái cân bằng.
2) Thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào khi tiêu dùng cận biên đối với thu
nhập sau thuế thay đổi.
3) Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất của chính phủ là
thuế.
Bài 2.26. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I + G
o

C = a + b(Y – T
o
)
I = d + iY
Điều kiện: G
o
>0; T
o
>0; a > 0; 0< b<1; bT
o
< a; d > 0; 0< i < 1; b + i < 1.
Trong đó: Y- thu nhập quốc dân, C-tiêu dùng, I – đầu tư; G
o
- chi tiêu chính phủ, T -

= 140; I
o
= 90 (triệu USD); t = 0,4:
+) Xác định thu nhập và tiêu dùng cân bằng.
+) Tăng I
o
lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng thay đổi như thế nào?
Bài 2.28. Cho mô hình kinh tế
Y = C + I + G
o
C = a +bY
t
; Y
t
= (1-t)Y
I = d + xY
Điều kiện: G
o
>0; a> 0; d>0; 0 < b < 1; 0 < x, t< 1; b(1- t) + x < 1
Trong đó: Y - thu nhập quốc dân, C - tiêu dùng, I - đầu tư, Y
d
- thu nhập sau
thuế; G
o
- chi tiêu chính phủ.
1) Xây dựng mô hình cân bằng thu nhập quốc dân.
2) Khi x tăng thì thu nhập cân bằng tăng hay giảm?
3) Thuế suất tăng thì thu nhập quốc dân cân bằng tăng hay giảm, vì sao?
4) Cho biết G
o

cung tiền; r: lãi suất.
1) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng
2) Với a = 0,7; b = 1800; C
o
=500; L
o
=800; m = 0,6; n =1000; M
s
=2000; I
o
=
400: tính hệ số co giãn của thu nhập, lãi suất theo mức cung tiền tại điểm cân bằng
và giải thích ý nghĩa của chúng.
Bài 2.30. Xét mô hình IS – LM với
Y = C + I + G
o
(G
o
> 0)
C = aY + C
o
(C
o
> 0, 0 < a < 1)
I = I
o
– br ( I
o
> 0, b > 0)
L = M

= 3).
2) (x
1
= 1; x
2
= 1; x
3
= 2).
3) Hệ vô nghiệm.
4) (x
1
= - 7 - 5α; x
2
= -3 - 2α + β; x
3
= α; x
4
= β); α, β ∈ R.
5) Hệ vô nghiệm.
6) Hệ vô nghiệm.
7)
1 2 3 4
5 13 4 11
x 1α β; x α β; x α; x β ;α,β R.
3 3 3 3

 
= − − = − − = = ∈
 ÷
 

50 50 50
 
= + α = + α = + α = α α∈
 ÷
 
12)
1 2 3 4
108 49 27 34 8
x ;x ;x ;x ; R.
27 27 9
+ α + α
 
= = − = − α = α α∈
 ÷
 
13)
1 2 3 4
16 14 154 77
x 15 8 ;x ; x ;x ; R.
3 15
+ α + α
 
= − − α = − = − = α α ∈
 ÷
 
14)
1 2 3 4 5
27 4 2 18 51 69 12 24 12
x ;x ;x ;x ;x ; , R.
29 29 29

(x 1α β γ; y α; z β; t γ); α β γ , , R;= − − − = = = ∈
+ a = -2: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:
(x = α; y = α; z = α; t = 1); α ∈ R.
2) + a ≠ -1 và a ≠ -3: Hệ có nghiệm duy nhất:
2
1 2a 1 2a 1 a
x ; y ; ;
a 3 a 3 a 3
z =
 
+ + +
= − = −
 ÷
+ + +
 
+ a = -1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:
1 1 2 2
xα; y α ; z α ; α R;
3 3 3 3

 
= = − − = − − ∈
 ÷
 
+ a = -3: Hệ vô nghiệm.
20
3) + ab ≠ 12: Hệ có nghiệm duy nhất:

2b 8 ab 10b 28 4a 12
x ; y


: Hệ có nghiệm duy nhất:
a b ab b 2 a b
x ; ; ;
(a 1)(a 2) b(a 1)(a 2) (a 1)(a 2)
y = z =
 
− + − −
=
 ÷
− + − + − +
 
+ b = 0 hoặc
a 1
b 1
=


≠

hoặc
a 2
b 2
= −


≠ −

: Hệ vô nghiệm;
+ a = b = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:

3
- aα - a
2
β; y = α; z = β); α, β ∈ R.
6) + k
≠
1: Hệ có nghiệm duy nhất
2
2 2 2
k 4k 5 4 k 2
x ; ;
k 4k 7 k 4k 7 k 4k 7
y = z =
 
+ + +
= −
 ÷
+ + + + + +
 
;
21
+ k = 1: Hệ có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của hệ là:
1 1
x ; y ; z ; R.
2 2

 
= −α = α = α∈
 ÷
 

Bài 2.4. Gọi x
1
, x
2
, x
3
lần lượt là tổng cầu của các ngành. Khi đó ma trận tổng cầu là










=
3
2
1
x
x
x
X
. Bây giờ tìm X: (E – A)X = B với ma trận cầu cuối cùng













=










=
364,21
576,20
3,20
c
c
c
C
3
2
1

a
21
Mặt khác
21122211
2221
1211
aa)a1)(a1(
a1a
aa1
)AEdet( −−−=
−−
−−
=−
> 0 (đpcm).
Bài 2.6. Theo bảng số liệu trên ta có
22
x
11
= 20, x
12
= 60, x
13
= 10; b
1
= 50
x
21
= 50, x
22
= 10, x





=
















=
154,0200,0286,0
615,0067,0375,0
077,0400,0143,0
130
20
150
30
140







=
3
2
1
x
x
x
X
. Bây giờ tìm X: (E – A)X = B với ma trận cầu cuối cùng










=
6
5
10
B

=










969,14
330,17
741,22
3) Nếu cầu cuối cùng của ngành 1 tăng 1 đơn vị ta có ma trận cầu mới:
3
eB
1
0
0
6
5
10
7
5
10
'B +=




.
23