MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TUYẾN DÙNG
TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
1. Mô hình cân đối liên ngành (mô hình Input – Outphut của Leontief)
Mô hình Input – Output của Leontief (còn gọi là mô hình I/O) đề cập đến việc
xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản suất trong tổng thể
nền kinh tế. Ở đây khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa ngành thuần tuý sản
xuất. Các giả thiết đặt ra để xây dựng mô hình như sau:
• Mỗi ngành sản xuất một loại hàng hoá thuần nhất hoặc sản xuất một số
hàng hoá phối hợp theo tỷ lệ nhất định (coi mỗi tổ hợp hàng hoá theo tỷ lệ cố
định).
• Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi ngành được sử dụng theo tỷ
lệ cố định.
Trong nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại hàng hoá nào đó (output) đòi
hỏi sử dụng các loại hàng hoá khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào (input) của
quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản
xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng nó bao gồm:
- Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá
trình sản xuất
- Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng cho quá
trình sản xuất hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các tổ chức
xuất khẩu,..
Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1, 2, 3, … , n. Để thuận tiện
cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cả
các loại hành hoá ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền. Tổng cầu về sản phẩm hàng
hoá của ngành i (i = 1, 2, … , n) được ký hiệu và xác định bởi:
xi = xi1 + xi2 + … + xik + bi (i =1, 2, … , n)
Ở đây:

(*)



x 
b 
 n
 n

Ta gọi X là ma trận tổng cầu và b là ma trận cuối cùng. Khi đó, từ đẳng thức
(*) thay xik = aikxk chúng ta có
x i = a i1 x 1 + a i 2 x 2 + ... + a in x n + b i

i = 1,2,...., n

Hay biểu diễn dưới dạng ma trận :
 x 1   a 11
  
 x 2  a 21
 ...  =  ...
  
x  a
 n   n1

a 12
a 22
...
a n2

Tức là X = AX + b

... a 1n   x 1   b1 
   
... a 2 n   x 2   b 2 


1
Ký hiệu X =   là ma trận tổng cầu ; với x1 là giá trị tổng cầu của ngành 1, x2 là
x
 2

giá trị tổng cầu của ngành 2.
10 

Theo giả thiết ma trận cầu cuối b có dạng : b =  
 20 
Theo công thức tính ma trận tổng cầu (***) ta có X = (E – A)-1.b
1 0 0,2 0,3  0,8 − 0,3
1 0,9 0,3
−1
−
=
và ( E − A ) =



0,6 0,4 0,8
0 1 0,4 0,1 − 0,4 0,9 

Ta có E − A = 
Do đó X =


1 0,9 0,3 10   25



0,41 0,15 0,16 
1 
=
.0,16 0,40 0,16 
0,2
 0,15 0,25 0,40

Vậy ma trận tổng cầu được xác định bởi
 x1 
0,41 0,15 0,16   40   200 
 


1 
X = x2  =
.0,16 0,40 0,16 . 40  =  200 
 x  0,2  0,15 0,25 0,40 110  300 

  

 3

Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x 1 =200 tỷ đồng, x2 = 200
nghìn tỷ đồng và x3 = 300 nghìn tỷ đồng.
2. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hoá có liên quan
Giả sử chúng ta nghiên cứu thị trường bao gồm n hàng hoá có liên quan: hàng
hoá 1, 2, … , n. Khái niệm này được hiểu là khi giá của một mặt hàng nào đó thay
đổi thì nó không những ảnh hưởng tới lượng cung ( Q S ) và lượng cầu ( Q D ) của
i

i

Q = (Q1 , Q 2 , ..., Q n )

Ví dụ 3. Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hoá như sau:
Q S1 = −2 + 3P1 ;

Q Di = 8 − 2P1 + P2

Q S2 = −1 + 2P2 ;

Q S2 = 11 + P1 − P2

Ở đây: Q S ; Q S là lượng cung hàng 1, hàng 2
1

2

Q D1 ; Q D 2 là lượng cầu hàng 1, hàng 2

P1, P2 là giá của hàng hoá 1, hàng hoá 2
Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số P 1 và
P2. Xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.
Giải
Thiết lập phương trình
Q S1 = Q D1
− 2 + 3P1 = 8 − P1 + P2
P = 3
⇔
⇔ 1


P − P + 4P = 15
2
3
 1
Q S3 = Q D3

Xác định giá và lượng cầu cân bằng ở thị trường cafe ta được
P2 =

28
56
; Q2 =
3
3

3. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân
Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản, với các ký hiệu: Y
là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư và C là tiêu dùng
của các hộ gia đình.
Ở đây, chúng ta giả thiết chi tiêu chính phủ và đầu tư là cố định G = G o và I =
Io còn chi tiêu hộ gia đình có dạng tuyến tính:
C = aY + b (0
a) Xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng
b) Tính mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng với I o = 150 ; Go = 500
(đơn vị : tỷ VNĐ) và t = 0,15
Giải
Đầu tiên xác định mô hình cân bằng
Y = G o + I o + C
Y − C = G o + I o
⇔

C = 0,8Y + 250
− 0,8(1 − t )Y + C = 250

a) Thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là
G o + I o + 250

Y = 1 − 0,8(1 − t )


C = 0,8(1 − t )(G o + I o ) + 250

1 − 0,8(1 − t )

b) Với Io = 150 ; Go = 500 ; t = 0,15 ta có


150 + 500 + 250 900

Y = 1 − 0,8(1 − 0,15) = 0,32 = 2812,5




mY − nr = M o


n (b + k + G o ) + lM o

Y =
n (1 − a ) + ml

Giải hệ này ta được 
r = − (1 − a )M o + m(b + k + G o )

n (1 − a ) + ml

Ví dụ 6. Xét mô hình IS – LM với
C = 0,6Y + 35
I = 65 – r
G = Go
L = 5Y – 50r
M = Mo
a) Xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng: Y và r
b) Tính Y và r khi Go = 70; Mo = 1500 (nghìn tỷ VNĐ)
Giải
a) Phương trình đường IS:
Y = C + I + Go = 0,6Y + 35 + 65 – r +Go
⇔ 0,4Y + r = 100 + Go

Phương trình đường LM: L = M o ⇔ 5Y − 50r = M o
0,4Y + r = 100 + G o
ta được

25
25

Tài liệu tham khảo
1. Lê Đình Thuý (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1, NXB
ĐHKT Quốc dân, 2008.
2. Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên), Toán cao cấp - Tập 1 (Đại số tuyến tính),
NXB Giáo dục Việt Nam, 2009.
3. Alpha C. Chiang ,Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc.
Graw – Hill Book Copany, 1984.