BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðAỊ HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

PGS. TS. NGUYỄN HẢI THANH CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH TẾ
Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

21
2.1. Mô hình cân bằng thị trường tổng quát 21
2.2. Mô hình thu nhập quốc dân 23
2.3. Mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief 25
BÀI TẬP CHƯƠNG II 30
CHƯƠNG III. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH
34
1. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH TRONG KINH TẾ 34
1.1. Khái niệm phân tích so sánh tĩnh 34
1.2. ðạo hàm và tốc ñộ biến thiên của các biến kinh tế 35
1.3. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thị trường riêng 38
1.4. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thu nhập quốc dân 39
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 3

1.5. Phân tích so sánh tĩnh mô hình cân ñối liên ngành 40
2. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH CHO MÔ HÌNH KINH TẾ
TỔNG QUÁT

42
2.1. Hệ số co giãn 42

2.2. Một số ví dụ tìm vi phân toàn phần và ñạo hàm hàm ẩn 44
2.3. Mô hình thị trường tổng quát 47
2.4. Mô hình thu nhập quốc dân tổng quát 54
2.5. Một số ñiểm hạn chế của phân tích so sánh tĩnh 57
BÀI TẬP CHƯƠNG III 58
CHƯƠNG IV. MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG KINH TẾ
61
1. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG THÔNG QUA MÔ HÌNH

1.2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình
vi phân

108
2. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG DOMAR 112
2.1. Phát biểu mô hình 112
2.2. Tìm ñường cân bằng bền cho mô hình tăng trưởng Domar 113
3. PHÂN TÍCH CÂN BẰNG ðỘNG ðỐI VỚI GIÁ CẢ THỊ TRƯỜNG 114
3.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp một 114
3.2. Phát biểu mô hình cân bằng ñộng 115
3.3. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mức giá cân bằng 117
4. MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW 118
4.1. Bổ sung thêm về phương trình vi phân cấp một 118
4.2. Tiếp cận ñịnh tính giải phương trình vi phân phi tuyến cấp một 122
4.3. Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow
4.4. Phân tích ñịnh tính trên biểu ñồ pha
4.5. Phân tích ñịnh lượng
126
127
129
5. MÔ HÌNH THỊ TRƯỜNG VỚI KỲ VỌNG GIÁ ðƯỢC DỰ BÁO TRƯỚC 129
5.1. Bổ sung về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
với hệ số hằng
5.2. Phát biểu mô hình
5.3. Xác ñịnh ñường biến ñộng giá và ñiều kiện ổn ñịnh ñộng

129
133
134
6. MÔ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤT NGHIỆP 139

SAMUELSON

159
3.1. Phát biểu mô hình 159
3.2. Khảo sát tính ổn ñịnh ñộng của mô hình 160
4. MÔ HÌNH KINH TẾ VĨ MÔ VỀ LẠM PHÁT VÀ THẤT NGHIỆP
VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

163
4.1. Phát biểu mô hình 163
4.2. Phân tích các ñường biến ñộng của giá cả và lạm phát 164
5. ÁP DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG
PHÂN TÍCH KINH TẾ

166
5.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
5.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một
166
169
5.3. Mô hình cân ñối liên ngành ñộng
5.4. Mô hình tương tác lạm phát và thất nghiệp
5.5. Biểu ñồ pha hai biến và ứng dụng
171
176
179
BÀI TẬP CHƯƠNG VI 185
TÀI LIỆU THAM KHẢO
189
lượng từ 45 tới 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu với mục ñích cung cấp cho
sinh viên năm thứ ba ngành Tin học một số kiến thức cơ bản về các
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 7

phương pháp toán kinh tế (mathematical methods for economics) ñược
ứng dụng rộng rãi trong phân tích các mô hình kinh tế (economic
models).
Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm ñược một số mô hình kinh tế
cơ bản, biết cách vận dụng các phương pháp toán kinh tế thích hợp ñể
phân tích các mô hình ñó, biết cách rút ra các kết luận phản ảnh bản
chất của vấn ñề kinh tế ñược xem xét. Từ ñó, sinh viên sẽ tiếp thu ñược
các vấn ñề kinh tế cơ bản làm cơ sở cho việc tiếp tục tự hoàn thiện các
kiến thức về kinh tế vi mô cũng như vĩ mô. Giáo trình cũng giúp cho sinh
viên ngành Tin học, Công nghệ Thông tin, Toán – Tin ứng dụng có một
cách tiếp cận hệ thống ñể sau này có thể xây dựng các hệ thống xử lí
thông tin và các phần mềm tính toán trong lĩnh vực Tin học kinh tế. Như
vậy, ưu tiên của giáo trình là tập trung trình bày một cách logic một số
phương pháp toán kinh tế cơ bản và các ứng dụng của chúng trong việc
phân tích các loại mô hình kinh tế (các phương pháp khác ñược trình bày
trong các học phần còn lại của khối kiến thức về kinh tế – quản lí thuộc
chương trình ñào tạo như ñã ñề cập trên ñây). ðây là một vấn ñề mới so
với các giáo trình về Toán kinh tế ñã ñược biên soạn và giảng dạy tại
một số trường ñại học trong nước.
Chương I của giáo trình giới thiệu tổng quan và ngắn gọn về lĩnh vực
Kinh tế toán (Mathematical Economics) và các phương pháp toán kinh tế
cơ bản thường ñược sử dụng trong lĩnh vực này, cũng như giới thiệu về
các yếu tố cơ bản của mô hình kinh tế toán. Chương II ñề cập tới khái
niệm phân tích cân bằng kinh tế bao gồm cân bằng tĩnh cũng như cân
bằng có mục ñích và phương pháp ñại số ma trận ñể phân tích một số mô
hình cân bằng kinh tế như mô hình thị trường, mô hình thu nhập quốc dân

Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Alpha C. Chiang,
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book
Company, New York, 1984; Alpha C. Chiang – Kevin Wainwright,
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book
Company, New York, 2005; Michael W. Klein, Mathematical methods for
economics, Addison-Wesley Higher Education Group, 2002; Hoàng ðình
Tuấn, Lí thuyết mô hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành toán kinh
tế và toán tài chính), Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 2003; Nguyễn Quang
Dong – Ngô Văn Thứ – Hoàng ðình Tuấn, Giáo trình mô hình toán kinh
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 9

tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), Nxb. Giáo dục, 2002; Tô Cẩm Tú,
Một số phương pháp tối ưu hóa trong kinh tế, Nxb. Khoa học và Kĩ thuật,
1997. Trong quá trình biên soạn giáo trình này, tác giả chủ yếu dựa vào
các tài liệu tham khảo bằng tiếng Anh. Những sinh viên khá có thể tự học
sâu thêm bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt
trên Internet và viết các tiểu luận.
“Các phương pháp toán kinh tế” là một môn học về mặt lí thuyết
ñang ñược tiếp tục phát triển, về mặt thực hành ñang ngày càng có nhiều
ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực phân tích kinh tế, chắc
chắn sẽ gây cho người học nhiều hứng thú tìm tòi, sáng tạo. Khi ñến
thăm Việt Nam, nhà toán học và kinh tế học Robert Aumann, người nhận
giải thưởng Nobel kinh tế năm 2005 ñã nói: “Có một công thức chung
trong các hoạt ñộng kinh tế là tất cả mọi người sẽ giàu có hơn nếu mỗi
người ñều ñược làm việc theo khả năng và sự yêu thích của mình”.
Trong quá trình biên soạn, tuy rất cố gắng, nhưng có lẽ tác giả
không tránh khỏi sai sót. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến ñóng
góp chỉnh sửa bản thảo bài giảng môn học của các ñồng nghiệp và sinh
viên ngành Tin học các khóa K47, K48, K49 và K50 của Trường ðại học
Nông nghiệp Hà Nội, và luôn mong tiếp tục nhận ñược nhiều góp ý của

pháp toán kinh tế ngày càng ñược sử dụng rộng rãi với các kết quả nổi
bật ñược công bố trong các tài liệu chuyên khảo, các tạp chí chuyên
ngành kinh tế và các tạp chí liên ngành khác.
Cần nhấn mạnh rằng, dù có sử dụng các phương pháp toán kinh tế
hay không, quy trình cơ bản của việc phân tích kinh tế vẫn là căn cứ vào
các giả thiết, các ñịnh ñề hay các nguyên lí ñể ñưa ra các kết luận hay các
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 11

ñịnh lí thông qua một quá trình suy luận hay lập luận. Nhưng khác với
các phân tích kinh tế ñịnh tính, trong kinh tế toán các giả thiết cũng như
các kết luận ñược phát biểu bằng các kí hiệu toán học cũng như các
phương trình toán học. Hơn nữa, các suy luận hay lập luận ñược ñưa ra
dựa trên các ñịnh lí toán học. ðiều này giúp cho quá trình suy luận trở
nên thuận lợi và chặt chẽ hơn, cũng như giúp cho việc phát biểu các kết
luận trở nên chính xác hơn.
Tóm lại, các mặt mạnh của việc sử dụng kinh tế toán trong các phân
tích kinh tế là:
– Cho phép sử dụng ngôn ngữ chính xác hơn.
– Cho phép sử dụng các ñịnh lí toán học rất ña dạng nhằm gia tăng
tốc ñộ suy luận.
– Bắt buộc phải phát biểu các giả thiết một cách rõ ràng, không hàm
chứa ẩn ý, ña nghĩa, do ñó tránh ñược các giả thiết không mong muốn có
thể phát sinh.
– Giúp xử lí các bài toán kinh tế nhiều biến một cách hiệu quả trong
việc phân tích kinh tế vi mô cũng như vĩ mô.
Có thể có ý kiến (chẳng hạn ý kiến trước ñây của trường phái kinh tế
học Vienna, Áo) cho rằng: Kinh tế toán sử dụng các suy luận và các phân
tích có tính chủ quan và hình thức dựa vào các ñịnh lí và phương pháp
toán học ñể ñưa ra các kết luận nên ít có tính thực tiễn. Tuy nhiên, ý kiến
phê phán kiểu này không nên áp dụng ngay cả ñối với các lí thuyết kinh

chú trọng vào cơ sở toán học của các phương pháp này.
1.3. So sánh kinh tế toán với kinh tế lượng
Thuật ngữ “kinh tế toán” và “kinh tế lượng” ñôi khi ñược sử dụng
một cách nhầm lẫn. Thật ra, kinh tế toán ñi sâu vào phân tích các mô
hình kinh tế, các lí thuyết kinh tế bằng cách sử dụng các công cụ toán
học. Trong khi ñó, kinh tế lượng lại liên quan ñến việc ñịnh giá, ño lường
các số liệu kinh tế hay các biến kinh tế, tức là liên quan ñến các nghiên
cứu dựa trên các khảo sát thực nghiệm có sử dụng các phương pháp
thống kê về ước lượng, kiểm ñịnh, dự báo, phân tích hồi quy và phân tích
nhân tố Một trong những người ñặt nền móng cho lĩnh vực nghiên cứu
và áp dụng kinh tế lượng là nhà kinh tế học người Na Uy Ragnar Frisch.
Như vậy, kinh tế toán có tính chất suy luận, lí thuyết còn kinh tế
lượng có tính chất quy nạp, thực nghiệm. Tất nhiên, các phân tích kinh tế
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 13

dù là mang tính lí thuyết hay mang tính thực nghiệm ñều quan trọng.
Chúng luôn là sự bổ sung cần thiết cho nhau và làm tăng cường hiệu quả
lẫn nhau. Trước khi ñược ñưa vào áp dụng, các lí thuyết của kinh tế toán
cần ñược kiểm ñịnh về tính phù hợp căn cứ các số liệu thực nghiệm thu
ñược. Mặt khác, ñể xác ñịnh ñược các hướng nghiên cứu liên quan một
cách hợp lí, các khảo sát thống kê trong kinh tế lượng sẽ ñược tiến hành
dựa trên một lí thuyết kinh tế chỉ ñạo. Mối liên quan này ñược thể hiện
khá rõ, chẳng hạn, trong các nghiên cứu về hàm tiêu dùng tổng hợp và
nhiều nghiên cứu kinh tế khác.
2. Các yếu tố của mô hình kinh tế toán
2.1. Khái niệm mô hình kinh tế
Như ñã trình bày trên ñây, mọi lí thuyết kinh tế là sự khái quát hóa
cần thiết của thế giới thực. ðể nghiên cứu về một vấn ñề kinh tế thực tế,
không thể xét ñồng thời tất các các yếu tố cũng như các mối liên quan nội
tại (ñiều này quá phức tạp, ñôi khi vượt quá sự hiểu biết của chúng ta).

– P: giá cả (price),
– Π: lợi nhuận (profit),
– R: doanh thu (revenue),
– C: chi phí (cost),
– Y: thu nhập (income),
–
Trong các mô hình kinh tế toán, các biến ñược phân loại như sau:
– Biến nội sinh. Nếu một mô hình kinh tế ñược xây dựng một cách
chính xác thì thông qua việc giải quyết mô hình có thể xác ñịnh ñược các
giá trị của một số biến, chẳng hạn như xác ñịnh ñược mức giá cả làm cân
bằng thị trường hay mức sản phẩm ñầu ra làm tối ña hóa lợi nhuận. Các
biến như vậy ñược gọi là biến nội sinh, giá trị của chúng ñược xác ñịnh
từ các mối liên quan nội tại của mô hình.
– Biến ngoại sinh. Biến ngoại sinh là các biến với các giá trị ñược
xác ñịnh bởi các yếu tố, các lực lượng xuất hiện ngoài mô hình. Vì vậy,
ñộ lớn của các biến ngoại sinh ñược coi như các số liệu cho trước.
Một biến kinh tế có thể là nội sinh hay ngoại sinh tùy theo mô hình
hay lí thuyết kinh tế ñang ñược xem xét. Chẳng hạn, khi nghiên cứu mô
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 15

hình cân bằng thị trường thì giá cả P của một loại hàng hóa là biến nội
sinh. Nhưng nếu nghiên cứu lí thuyết về chi phí của người tiêu dùng thì P
lại là biến ngoại sinh, vì P ñược coi là số liệu ñầu vào cho mô hình này.
Ngược lại so với biến, hằng số là một ñại lượng có giá trị không thay
ñổi. Hằng số có thể ñược kí hiệu bởi các số hoặc, một cách tổng quát
hơn, bởi các chữ. Trong các trường hợp khi hằng số ñược kí hiệu bởi các
chữ, chúng ta có các hằng số dạng tham số, còn ñược gọi một cách ngắn
gọn hơn là các tham số. Giá trị của các tham số ñược coi là hằng số chỉ
sau khi chúng ñược xác ñịnh.
Các tham số thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái thường a, b, c hay

phí và Q là mức sản phảm ñầu ra:
– Chi phí C = 75 + 10Q.
– Chi phí C = 110 + Q
2
.
Các ñiều kiện sản xuất ñược mô tả trong hai phương trình trên là khác
nhau. Trong phương trình thứ nhất chi phí cố ñịnh là 75, còn trong
phương trình thứ hai chi phí cố ñịnh là 110. Sự biến thiên của chi phí C
cũng là khác nhau trong hai phương trình trên. Trong phương trình thứ
nhất khi Q tăng lên một ñơn vị thì C tăng 10 ñơn vị, còn trong phương
trình thứ hai khi Q tăng một ñơn vị thì C tăng lên một lượng là: (Q + 1)
2
–
Q
2
= 2Q + 1. Chẳng hạn nếu Q tăng từ 12 lên 13 thì C tăng lên 25 ñơn vị.
Phương trình cân bằng mô tả ñiều kiện cân bằng, nói ñúng hơn là các
ñiều kiện cần thiết ñể ñạt tới tình trạng cân bằng.
Ví dụ 3. Xét các ví dụ sau ñây về phương trình cân bằng:
– Q
d
= Q
s
: Lượng cầu phải bằng lượng cung.
– S = I: Tổng tiết kiệm phải bằng tổng ñầu tư.
Phương trình thứ nhất mô tả ñiều kiện cân bằng trong mô hình thị
trường, còn phương trình thứ hai mô tả ñiều kiện cân bằng trong mô
hình thu nhập quốc dân. Về bản chất, phương trình cân bằng khác với
phương trình ñịnh nghĩa và phương trình hành vi. Phương trình cân
bằng có một ý nghĩa quan trọng trong các phân tích kinh tế ñể tìm ra

tích cân bằng tĩnh (static – equilibrium). Tuy nhiên, việc không phát hiện
thấy có khuynh hướng thay ñổi hay ñộng lực thay ñổi không ñồng nghĩa
với việc nhất thiết cần coi tình trạng cân bằng là lí tưởng. ðối với nhiều
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 18
công ty, tình trạng cân bằng cung cầu hiện tại về sản phẩm có thể cần ñược
thay ñổi chứ không thể coi là lí tưởng. Tình trạng cân bằng, bởi vậy, có thể
ñược hiểu như tình huống, mà các biến nội sinh có khuynh hướng duy trì
chống lại các thay ñổi từ phía ngoài, từ phía các biến ngoại sinh.
Một kiểu cân bằng khác là cân bằng có mục ñích (goal –
equilibrium), hay cân bằng tối ưu, ñược phân tích thông qua các bài toán
tối ưu. Trạng thái cân bằng như vậy có thể ñược coi là lí tưởng, hay ít
nhất ñược coi là trạng thái “mong muốn” trong ñiều kiện hiện có. Trong
những trạng thái cân bằng như vậy, các biến ñược lựa chọn, có liên quan
nội tại với nhau và ñược ñiều chỉnh thích hợp với nhau, sao cho trong mô
hình mà chúng tạo nên, trạng thái lí tưởng hay mong muốn xảy ra. Trong
chương này, chúng ta sẽ chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu cân bằng tĩnh
không có tính mục ñích.
1.2. Một số ví dụ về phân tích cân bằng tĩnh
Trong các mô hình cân bằng tĩnh, bài toán ñặt ra là cần xác ñịnh các
giá trị của các biến nội sinh sao cho phương trình cân bằng của mô hình
ñược thỏa mãn. Một khi các giá trị ñó ñược xác ñịnh, trạng thái cân bằng
cũng sẽ ñược thiết lập. Chúng ta hãy minh họa vấn ñề này qua mô hình
(tuyến tính cũng như phi tuyến) phân tích cân bằng thị trường riêng, tức
là cân bằng thị trường ñối với một mặt hàng.
Ví dụ 1. Mô hình tuyến tính cân bằng thị trường riêng.
Trong mô hình này chúng ta chỉ xét một mặt hàng với các biến: Q
d
là
lượng cầu, Q
s

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 19

phương trình hành vi mô tả sự biến thiên của cầu và cung phụ thuộc vào
P. ðể ñơn giản, các mối liên quan này ñược coi là tuyến tính. Các tham
số a, b, c, d xác ñịnh các mối liên quan này. Trong phương trình (2.3) ta
có Q
s
= – c + dP với c > 0, d > 0. ðiều kiện này có nghĩa là cung Q
s
chỉ
xuất hiện (Q
s
> 0) một khi giá cả P của mặt hàng vượt qua một ngưỡng
dương tối thiểu P
1
= c/d.
Nghiệm (
P
,
Q
) ñược gọi là trạng thái cân bằng,
d
Q
=
s
Q
=
Q
là
mức cân bằng cung cầu và

a c
b d

Q
=
−
+
ad bc
b d
.
Q
d
Q
s

–
c

O
a

P

P
1
(
)
P,Q
P
Q

y
giá tr
ị
d
ươ
ng và th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ad – bc > 0.
Ví dụ 2. Mô hình phi tuyến cân bằng thị trường riêng.
Các mối phụ thuộc của cầu hay cung vào giá cả không nhất thiết phải
là tuyến tính. Nói chung, các mối liên quan này là phi tuyến. Xét ví dụ sau:
Q
d
= Q
s

Q
d
= 4 – P
2
Q
s
= 4P – 1.
Từ ñó có phương trình P


2. Các mô hình tuyến tính trong phân tích cân bằng tĩnh
2.1. Mô hình cân bằng thị trường tổng quát
Xét ví dụ ñơn giản về mô hình cân bằng thị trường tuyến tính với hai
mặt hàng:
Hình II.2
–
1

O

4

P

2
Q
d
Q
s

(
)
P,Q
Q
d
= 4 – P
2

Q

+ b
1
P
1
+ b
2
P
2

Q
d2
= Q
s2

Q
d2
= α
0
+ α
1
P
1
+ α
2
P
2Q
s2

Q
=
2
Q
.
Kí hiệu: c
i
= a
i
– b
i
, γ
i
= α
i
– β
i
với i = 0, 1, 2, ta có:
c
1
P
1
+ c
2
P
2
= – c
0

γ

.
Từ ñó sẽ tìm ñược các lượng cầu cung cân bằng ñối với hai mặt
hàng:
Q
1
=
Q
d1
=
Q
s1
,
Q
2
=
Q
d2
=
Q
s2
.
Xét ví dụ tính toán với các giá trị cụ thể của các tham số sau ñây:
Q
d1
= Q
s1

Q
d1
= 10 – 2P

=
26
7
,
P
2
=
46
7

Q
1
=
64
7
,
Q
2
=
85
7
.
Chú ý rằng, trong trường hợp mô hình cân bằng thị trường hai mặt
hàng là hệ phương trình phi tuyến, cần áp dụng dùng các phương pháp
toán học và / hoặc phần mềm tính toán thích hợp ñể tìm các giá trị cân
bằng của giá cả, cầu và cung.
Trong trường hợp tổng quát, mô hình cân bằng thị trường với n mặt
hàng có phát biểu toán học như sau:
Q
di

3
, , P
n
. Các giá cả cân bằng xác ñịnh ñược từ hệ ñiều kiện
trên sẽ phụ thuộc vào các tham số của mô hình
i
P
=
i
P
(a
1
, a
2
, , a
m
) ,
i = 1, 2, , n.
2.2. Mô hình thu nhập quốc dân
Xét mô hình thu nhập quốc dân Keynes
Y = C + I
0
+ G
0
(ñây là phương trình cân bằng)
C = a + bY (với ñiều kiện a > 0, 0 < b < 1).
Trong ñó:
Y: thu nhập quốc dân, là biến nội sinh,
C: mức tiêu dùng quốc dân, là biến nội sinh,
I

=
−
0 0
a b(I G )
C
1 b
.
Hay, nếu viết dưới dạng véc tơ, thì có:
 
 
 
 
Y
C
=
−
1
1 b
+ +
 
 
+ +
 
0 0
0 0
I G a
b(I G ) a
.
Các mức cân bằng thu nhập quốc dân hay tiêu dùng quốc dân có thể
là cao hay thấp phụ thuộc vào I

C: tiêu dùng quốc dân,
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế 24
G: tổng chi phí cho bộ máy hành chính nhà nước,
T
0
: tổng thu thuế quốc gia,
I
0
: tổng ñầu tư quốc gia,
g: hệ số thuế.
Có thể xác ñịnh ñược các mức cân bằng cho thu nhập quốc dân, tiêu
dùng quốc dân và chi phí cho bộ máy nhà nước, căn cứ vào giá trị của
các biến ngoại sinh và các tham số a, b, g.
2.3. Mô hình ñầu vào – ñầu ra Leontief
Phân tích tĩnh ñầu vào – ñầu ra Leontief nhằm trả lời câu hỏi: Mỗi
một trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải ñảm bảo một
mức sản xuất hàng hóa ñầu ra bằng bao nhiêu ñể vừa vặn ñủ thỏa mãn
tổng cầu về loại hàng hóa ñó, tức là thỏa mãn ñược chính các ngành công
nghiệp ñó và nhu cầu chung của xã hội.
Cụm từ ñầu vào – ñầu ra có nghĩa là: ñầu ra của một ngành công
nghiệp A lại có thể là ñầu vào cần thiết cho một hoặc một số ngành công
nghiệp B, C, D nào ñó. Do ñó, mức ñầu ra hợp lí của ngành công
nghiệp A (không bị thiếu hụt hay thặng dư) là phụ thuộc vào nhu cầu ñầu
vào của các ngành công nghiệp B, C, D và nhu cầu chung của xã hội,
bao gồm các nhu cầu về tiêu dùng, tích lũy tài sản và xuất khẩu. Một
cách tổng quát có thể nói, mức ñầu ra hợp lí của mỗi ngành công nghiệp
phụ thuộc vào chính các nhu cầu ñầu vào của các ngành công nghiệp.
Việc xác ñịnh ñúng các mức ñầu ra hợp lí của các ngành công nghiệp ñể
“cân bằng” các ñầu vào giúp cho nền kinh tế giữ ñược ổn ñịnh và phát
triển, không ñể xảy ra các tình trạng “nút thắt cổ chai” (bottleneck), khi

ij
]
n×n
ñược gọi là ma trận hệ số ñầu vào hay ma trận ñầu vào:
ðầu ra: 1 2 N
ðầu vào
1
2

N

 
 
 
 
 
 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a

a a a
= A
Trong mô hình Leontief, nhu cầu chung của xã hội d
j
về loại hàng
hóa j ñược coi là nhu cầu cuối cùng (final demand) ñể phân biệt với các
nhu cầu ñầu vào (input demand) sử dụng cho sản xuất. Nhu cầu chung