Đại học quốc gia hà nội
trờng đại học khoa học tự nhiên

Đặng Anh Tuấn
Bài toán biên giả vi phân
trong không gian
H
,p
(p =2)
Chuyên ngành: Phơng trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 05
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học
Hà Nội
2007
đại học quốc gia hà nội
trờng đại học khoa học tự nhiên đặng anh tuấn

bI toán biên giả vi phân
trong không gian H
,p

(p 2)

vi phân đạo hàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành
toán học. Cuối thế kỷ 19, H. Poincare đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa
Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác.
Sang thế kỷ 20, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng phát triển
mạnh mẽ nhờ công cụ Giải tích hàm. Đặc biệt khi Lý thuyết hàm suy rộng
đợc xây dựng bởi S. L. Sobolev, L. Schwartz đợc kết hợp với Giải tích
Fourier nhiều bài toán đã đợc giải quyết. Chẳng hạn bài toán biên elliptic
tuyến tính đợc giải quyết khá trọn vẹn. Bằng lý thuyết nửa nhóm cùng các
kết quả từ toán tử elliptic, một số lớp bài toán parabolic, còn đợc gọi là
phơng trình tiến hóa, cũng đã đợc nghiên cứu bởi E. Hille, K. Yosida, F.
E. Browder, H. Brezis, J. L. Lions, E. Magnes, E. B. Davies, .v.v. . Bài toán
hyperbolic cũng đã có đợc những kết quả đẹp qua các công trình của I. G.
Petrovski, J. Leray, L. Garding, .v.v. . Theo L. Hormander, các công trình về
toán tử hyperbolic của I. G. Petrovski nh một điều dự báo về sự ra đời của
Lý thuyết toán tử Giả vi phân (GVP), một trong những công cụ hữu hiệu để
nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng không chỉ tuyến
tính mà cả với phi tuyến.
Lý thuyết toán tử GVP là sự phát triển của Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp
với Giải tích Fourier. Một trong những kết quả đẹp dựa một phần trên Lý
thuyết toán tử GVP là Định lý về chỉ số Atiyah- Singer, sự giao thoa giữa
nhiều ngành toán học Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng, Lý
thuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình học- Đại số. Dựa vào Lý thuyết toán
tử GVP, F. Treves, L. Nirenberg đã giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải
đợc địa phơng cho toán tử vi phân kiểu chính (chú ý rằng nói chung không
thể giải đợc toàn cục, chẳng hạn đối với phơng trình elliptic ngời ta cũng
1
chỉ có thể giải đợc một cách địa phơng). Gần đây, cùng với nhiều công
trình trớc đó của L. Hormander, Yu. V. Egorov, R. Beals, C. Fefferman,
N. Lerner, .v.v., cuối cùng là N. Dencker mới giải quyết trọn vẹn bài toán về
tính giải đợc địa phơng cho toán tử GVP kiểu chính. Một kết quả lý thú

trình Laplace trong hình cầu B = {(x
1
,x
2
,x
3
) R
3
| x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
1}
với điều kiện biên (x
1
a)
u
x
1
+ x
2
u
x
2
+ x

1
,x
2

x
2
,x
3

x
3

tiếp xúc với biên trên
đờng tròn c = {(x
1
,x
2
,x
3
) S | x
1
=
1
a
,x
2
2
+ x
2
3

tiếp xúc với biên
tại những điểm thuộc đa tạp con trơn (n 2) chiều
0
của biên . Để
giải quyết bài toán này, các tác giả đã phân
0
thành ba loại, tùy theo hình
dáng của nó đối với trờng véc-tơ D

, và tập trung vào nghiên cứu bài toán
xung quanh
0
bằng cách sử dụng một phân hoạch đơn vị đặc biệt. Gần đây,
các tác giả A. Maugeri , D. K. Palagachev, C. Vitanza đã giải quyết đợc bài
toán đạo hàm nghiêng không cổ điển khi trờng véc-tơ D

tiếp xúc với biên
trên một tập con của biên. Bài toán đạo hàm nghiêng đợc nghiên cứu theo
nhiều cách cho nhiều loại phơng trình khác nhau, Yu. V. Egorov, V. A.
Kondratiev nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phơng trình vi phân
elliptic tuyến tính cấp 2, trong Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên
cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phơng trình vi phân parabolic tuyến tính
cấp 2, Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu bài toán biên không
cổ điển trong không gian Sobolev cấp biến thiên, Lê Quang Trung nghiên
cứu bài toán biên không cổ điển cho phơng trình vi tích phân kỳ dị elliptic
cấp cao, Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu bài toán biên
3
không cổ điển cho phơng trình vi tích phân kỳ dị elliptic nửa tuyến tính cấp
cao. Đợc sự gợi ý của Giáo s Nguyễn Minh Chơng, tác giả nghiên cứu
bài toán biên không cổ điển cho phơng trình GVP cấp cao trong không gian

không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến phức q, khi |q| đủ lớn với
4
mọi vế phải nằm trong không gian Sobolev thích hợp bài toán cổ điển đối
với phơng trình GVP elliptic tuyến tính có duy nhất nghiệm. Từ đó, bằng
phơng pháp tuyến tính hóa chúng tôi có kết quả về Định lý tồn tại nghiệm
cho bài toán nửa tuyến tính.
Trong Chơng 3, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không
cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính
trong không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Đối với
bài toán biên không cổ điển, bài toán biên không thỏa mãn Điều kiện
Shapiro- Lopatinski kiểu Egorov- Kondratiev, ta chỉ có đánh giá subelliptic
mà không thể có đánh giá kiểu elliptic, nghĩa là đánh giá có dạng sau
||u||
,p,
C(||Uu||
+,p,,
+ ||u||
0,p,
), trong đó U là toán tử ứng với bài
toán biên, còn 0 <.Nếu U là toán tử ứng với bài toán biên elliptic thì ta
có đánh giá với =0. Do vậy, để nghiên cứu bài toán biên không cổ điển
chúng tôi xây dựng một lớp không gian mới kiểu Sobolev với chuẩn phụ
thuộc tham biến. Với lớp không gian kiểu Sobolev này chúng tôi đã có đợc
các kết quả về Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp bài toán
biên không cổ điển tuyến tính. Từ đó, bằng các kỹ thuật của Giải tích phi
tuyến, chúng tôi cũng có những kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài
toán nửa tuyến tính.
Trong Chơng 4, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ
điển đối với phơng trình GVP parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính trong
không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Chẳng hạn, bằng

2.1.1 Định nghĩa
Cho p, R, 1 <p<. Không gian H
,p
(R
n
) là không gian làm đầy
không gian C

0
(R
n
) bởi chuẩn
||u||
,p,R
n
=


R
n
(1 + ||||)
p
|F
n
u()|
p
d

1
p

+
), H
,p
() ta định nghĩa chuẩn phụ thuộc tham biến q:
6
u
,p,q
=



u


p
,p
+ |q|
p


u


p
0,p

1/p
.
Khi đó ta kí hiệu các không gian với chuẩn phụ thuộc tham biến lần
lợt là H

(

R
n
+
) H
k,p
(

R
n
+
).
Đặc biệt, phép nhúng H
,p
() H
k,p
() là compact.
Nhận xét 2.1.2. Đối với không gian H
,p,q
có chuẩn phụ thuộc tham số q,
với >0 cho trớc, khi |q| đủ lớn, phép nhúng H
+1,p,q
trong H
,p,q
có chuẩn
nhỏ hơn .
Mệnh đề 2.1.3 khẳng định với p, R, 1 <p<, 0 , toán tử hạn
chế M từ R
n

+
), mà supp u K, thành hàm Lu(x)=u(x) khi x
n
0
và Lu(x)=0khi x
n
< 0 là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian gồm
các hàm u H
,p
(

R
n
+
), supp u K vào H
,p
(R
n
).
Mệnh đề 2.1.4 khẳng định với p, R, 1 <p<, 0 < || <,toán
tử vi phân D

là toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p
(R
n
) (hay H
,p
(


n
=0
là toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p
(R
n
) (hay H
,p
(

R
n
+
))
vào H
(1
1
p
),p
(R
n1
). Toán tử vết u u



là toán tử tuyến tính bị chặn từ
H
,p
() vào H
(1

R
n

e
ix,

A
(x,,q)F
n
u()d,
trong đó
A
(x,,q), đợc gọi là biểu trng của toán tử GVP A(x,D,q), có
dạng
A
(x,,q)=

||+s

a
(0)
,
()+a
(1)
,
(x, )



q

(),a
(1)
,
(x, c)=a
(1)
,
(x, ), x R
n
, R
n
\{0}, c>0.
Toán tử GVP A đợc gọi là thuần nhất nếu biểu trng của nó
A
(x,,q) thuần
nhất theo (, q), nghĩa là
A
(x,,q)=

||+=s

a
(0)
,
()+a
(1)
,
(x, )




s,p,q,R
n
Cu
,p,q,R
n
,u H
,p,q
(R
n
),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Dới đây, ta quan tâm toán tử GVP cấp s thuần nhất A với biểu trng không
phụ thuộc x, nghĩa là
A
(, q)=

||+=s
a
(0)
,
()

q

.
Định lý 2.2.4. Cho , p R,s Z
+
, 1 <p<. Giả sử toán tử GVP thuần
nhất A với biểu trng không phụ thuộc x và thoả mãn
A

Hơn nữa, ta có đánh giá A
1
f
,p
Cf
s,p
, f H
s,p,q
(R
n
),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc f , q.
8
2.3 Bài toán biên trên nửa không gian R
n
+
Định nghĩa 2.3.1. Cho s Z
+
,
1
,
2
R,Q=

z C|
1
arg z
2

.

+
với biểu trng

A
(x,,q)=

A
(x,,q),x R
n
+
, R
n
\{0},q Q.
Toán tử A đợc gọi là thuần nhất nếu toán tử

A thuần nhất.
Toán tử A đợc gọi là chấp nhận đợc (admissible) nếu biểu trng của phần
chính của nó có dạng
A
0
(x

, 0,,q)=

s
k=0

A
0k
(x

+
,
1
,
2
R và Q =

z C|
1
arg z
2

.
Xét bài toán biên
Au(x, q)=A(x,D,q)u(x, q)=f(x, q),x
n
> 0, (2.9)
B
j
u(x, q)


x
n
=0
= B
j
(x,D,q)u(x, q)



s
+1

, U =

A, B
1


x
n
=0
, ,B
s


x
n
=0

,
khi
0
, 1 <p<,
H
,p,q
(R
n
+
, R

n
+
,R
n1
= f
2s,p,q,

R
n
+
+

s
=1
g
j

m
j
(1
1
p
),p,q,R
n1
.
Mệnh đề 2.3.2 khẳng định với p, R,
0
, 1 <p<,toán tử U là
toán tử tuyến tính bị chặn từ H
,p,q

+
)
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Bây giờ, ta xét bài toán biên (2.9)(2.10) đối với toán tử thuần nhất A(D, q),
B
j
(D, q) với biểu trng
A
(x,,q),
B
j
(x,,q) không phụ thuộc x, nghĩa là

A
(x,,q)=
A
(, q)=
2s

k=0

A
k
(

,q)
k
n
,


theo (

,q), và
A
2s
,
B
jm
j
không
phụ thuộc (

,q).
Toán tử A(D, q) đợc gọi là elliptic nếu
A
(, q) =0khi |||| + |q|=0.
Bài toán biên (2.9) (2.10) thoả mãn điều kiện Shapiro-Lopatinski nếu bài
toán

A
(

,i
d
dt
,q)v(t)=0,t>0, (2.11)

B
j
(

C(||Uu||
,p,q,R
n
+
,R
n1
+ ||u||
0,p,q,

R
n
+
), u H
,p,q
(

R
n
+
),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Khi q =0, ta có bất đẳng thức
10
||u||
,p,q,

R
n
+
C||Uu||

0
, 1 <p<, toán tử U là elliptic. Các
khẳng định sau là đúng.
(i) Nếu q Q \{0} thì toán tử U là khả nghịch, và toán tử nghịch đảo
U
1
là toán tử bị chặn từ H
,p,q
(

R
n
+
, R
n1
) vào H
,p,q
(

R
n
+
), không phụ thuộc
p, ,
(ii) Nếu q =0, có một toán tử bị chặn R từ H
,p,q
(R
n
+
, R

+1,p,q
(R
n
+
, R
n1
).
2.4 Bài toán biên trên miền bị chặn
Cho là một miền compact trong R
n
(n 3),với biên trơn và phân
hoạch đơn vị {U
j
,
j
}
N
j=1
.
Định nghĩa 2.4.1. Toán tử A tác động tuyến tính từ
0
H
,p,q
() vào

0
H
,p,q
() đợc gọi là toán tử GVP cấp s nếu
(i) với mỗi C

[] trong đó A
j
là toán tử GVP cấp s trong

R
n
+
.
Toán tử A đợc gọi là chấp nhận đợc nếu với mọi , C

() có giá
nằm trong U
j
,màU
j
= , thì trong hệ toạ độ địa phơng liên kết với U
j
có A[.]=A
j
[.], với A
j
là chấp nhận đợc.
11
Xét bài toán biên
Au(x, q)=f(x, q),x , (2.18)
B
j
u(x, q)




A, B
1



, ,B
s




, và
khi
0
, 1 <p<, H
,p,q
(,) = H
2s,p,q
()ì
s

j=1
H
m
j
1+
1
p
,p,q

,p,q,,
Cu
,p,q,
, u H
,p,q
(),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Tính Elliptic.
Trong hệ toạ độ liên kết với mỗi lân cận U
j
toán tử A có dạng
A
j
là toán tử GVP trong R
n
hay

R
n
+
, tuỳ theo lân cận U
j
không giao hay giao
với biên , phần chính A
0j
là toán tử GVP có biểu trng
A
0j
(x,,q) là
phần thuần nhất dơng bậc 2s trong biểu trng

1
, ,B
s
có các phần chính A
0j
,B
01j
, ,B
0sj
với các biểu trng tơng ứng
A
0j
(x,,q),
B
01j
(x,,q), ,
B
0sj
(x,,q).
Toán tử U, hay bài toán biên (2.18) (2.19), đợc gọi là thoả mãn điều kiện
Shapiro- Lopatinski nếu bài toán Cauchy trên nửa đờng thẳng t 0

A
0j
(0,,
d
dt
,q)v(t)=0,t>0 (2.20)

B

,p,q
(),
trong đó hằng số C không phụ thuộc u, q.
Khi đó với |q| đủ lớn, toán tử U là đơn ánh từ H
,p,q
() vào H
,p,q
(,),
hay nói cách khác với mọi (f, g) H
,p,q
(,), nếu bài toán biên
(2.18) (2.19) có nghiệm thì nó có duy nhất nghiệm u H
,p,q
().
Định lý 2.4.5. Nếu toán tử U là elliptic , thì toán tử U là toán tử Noether từ
H
,p,q
() vào H
,p,q
(,) và có toán tử làm đều R là toán tử tuyến tính bị
chặn từ H
,p,q
(,) vào H
,p,q
() mà RU = Id
1
+ T
1
, UR = Id
2

nhất nghiệm u H
,p,q
(). Hơn nữa, ta có đánh giá sau
C
1
||u||
,p,q,
||(f, g)||
,p,q,,
C||u||
,p,q,
,
trong đó C>1 là hằng số không phụ thuộc q và các hàm.
Dới đây, ta xét bài toán biên đối với phơng trình GVP elliptic nửa tuyến
tính
Au(x, q)=f(x, q, u(x, q)) trong , (2.29)
B
j
u(x, q)=g
j
(x, q, u
j
(x, q)) trên ,j =1, ,s, (2.30)
trong đó u (x, q)=(u(x, q),Du(x, q), ,D
2s1
u(x, q)),
u
j
(x, q)=(u(x, q),Du(x, q), ,D
m

N
),u
j
=(u
1
, ,u
N
j
), thỏa mãn điều kiện
Caratheodory, nghĩa là liên tục theo u , u
j
( tơng ứng) với hầu hết (x, q) và
đo đợc theo (x, q) với mọi u , u
j
(tơng ứng),
(ii) ánh xạ u(x, q)

f(x, q, u(x, q)),g
j
(x, q, u
j
(x, q))

từ H
,p,q
() vào H
,p,q
(,), biến mỗi tập bị chặn thành tập compact
tơng đối,
(iii) 1 > inf

u
,p,q,
M}.
Định lý 2.4.10. Với các giả thiết của Định lý 2.4.5, và các giả thiết
(i)(ii)(iii) đợc thỏa mãn thì với |q| đủ lớn, bài toán biên (2.29)(2.30)
có nghiệm u H
,p,q
().
14
Chơng 3. Bài toán biên không cổ điển đối
với phơng trình elliptic
3.1 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP
elliptic tuyến tính
Dới đây, ta nghiên cứu bài toán biên không cổ điển tuyến tính
Au = f(x) trong , (3.1)
B
j
u = B
j
(D

u)=g
j
trên ,j =1, 2, ,s, (3.2)
trong đó A, B
j
là các toán tử GVP chấp nhận đợc cấp, tơng ứng, 2s, m
j
(nh trong (2.18) (2.19)), D


nghiên cứu khi toán tử (A, B
j
|

) là elliptic, nghĩa là toán tử A là elliptic,
(A, B
j
|

) thoả mãn điều kiện Shapiro- Lopatinski, ngoài ra trong hệ tọa độ
z
1
, ,z
n
toán tử A có biểu trng
A
(0,,q)=

||+||=2s

A
,
()

q

,
với =(
2
, ,

2
.
Khi
1
= max{2s, m
j
+2},
0
thuộc lớp I, ta ký hiệu không gian

,p,q
() = {u H
,p,q
()



(hu)

H
,p,q
(); (hu)|
N
d
H
,p,q
(N
d
)}
với chuẩn ||u||

u H
,p,q
()



(hu)

H
,p,q
()

với chuẩn ||u||

,p,q
()
=

||u||
p
,p,q,
+ ||
(hu)

||
p
,p,q,

1
p


,p,q
(,)
=

||f||
p

2s.p,q
()
+
s

j=1

||g
j
||
p
m
j
2+
1
p
,p,q,
+||hg
j
||
p
m


s1
k=0
||D
k
n
u|

0
||
k(1
1
p
),p,q,
0
+ ||u||

0,p,q
()
),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Định lý 3.1.6. Toán tử U có toán tử làm đều R là toán tử tuyến tính bị chặn
từ
,p,q
(,) ì
s1
k=0
H
k(1
1

|

), và khi |q| đủ lớn thì toán tử
U là một đẳng cấu giữa
,p,q
() và
,p,q
(,).
16
3.2 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP
elliptic nửa tuyến tính
Dới đây, khi
0
thuộc lớp I hay III, ta nghiên cứu bài toán biên không cổ
điển cho phơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính sau
Au(x, q)=f(x, q, u(x, q)) trong , (3.20)
B
j
(D

u(x, q)) = g
j
(x, q, u
j
(x, q)) trên ,j =1, ,s, (3.21)
trong đó u (x, q)=(u(x, q),Du(x, q), ,D
2s1
u(x, q)),
u
j

trong đó u =(u
1
, ,u
N
),u
j
=(u
1
, ,u
N
j
), thỏa mãn điều kiện
Caratheodory, nghĩa là liên tục theo u , u
j
( tơng ứng) với hầu hết (x, q) và
đo đợc theo (x, q) với mọi u , u
j
(tơng ứng),
(ii) ánh xạ u(x, q)

f(x, q, u(x, q)),g
j
(x, q, u
j
(x, q))

từ
,p,q
() vào


,p,q
(,)


u

,p,q
()
M}.
Định lý 3.2.3. Giả sử
0
thuộc lớp I, các giả thiết (i) (ii) (iii) đợc thỏa
mãn. Cho u
0k
H
k1+1/p,p,q
(
0
),k =0, ,s 1. Khi đó với |q| đủ lớn,
bài toán biên (3.20) (3.22) có nghiệm u
,p,q
().
Khi
0
thuộc lớp III, điều kiện (iii) đợc giảm nhẹ thành điều kiện
(iii)' 1 > inf
M>0
lim sup
|q|
||U

(R
n
ì(, +)) : supp u R
n
ì(0, +)

bởi chuẩn
u
P
,p
(,à,R
n
ì(0,+))
=


R
n+1
,

1+ + |q|
1/

p
ì
ì


F
n+1

u(x, t)dxdt.
Không gian E
,p
(, à, R
n
) là không gian làm đầy không gian LP (R
n
ì
(0, +)) = {Lu | u P(R
n
ì (0, +))} bởi chuẩn
U
E
,p
(,à,R
n
)
=


R

U
p
,p,q
1/
,R
n
d


,p
(, à,

),E
,p
(, à, ), và
P
,p
(, à,

),E
,p
(, à, ) đợc xây dựng nh truyền thống.
4.1.2. Tính chất.
Ta cũng có các tính chất về phép nhúng liên tục giữa các không gian, tính
bị chặn của các toán tử vi phân cũng nh toán tử GVP, toán tử hạn chế M và
toán tử thác triển L, toán tử lấy vết |

.
18
Mệnh đề 4.1.2. (i) Nếu U(x, q) E
,p
(, à, ),q = à + i, thì U(x, q)
H
,p,q
1/
() với hầu hết q, q = à và ||U||
E
,p
(,à,)

(, à, ).
(ii) Toán tử vi phân

k
t
k
: P
,p
(, à, ì (0, +)) P
k,p
(, à, ì
(0, +)), 0 k


, là toán tử tuyến tính bị chặn.
(iii) Nếu u(x, t) P
,p
(, à, ì(0, +)) thì

k
u
t
k



t=0
=0, 0 k



4.2 Bài toán biên cổ điển đối với phơng trình GVP
parabolic trên nửa trụ vô hạn
Xét bài toán biên trên nửa trụ vô hạn ì (0, +) :
A

x, D
x
,

t

u(x, t)=f(x, t),x ,t>0, (4.3)
B
j

x, D
x
,

t

u(x, t)=g
j
(x, t),x ,t>0,j =1, ,s, (4.4)
với điều kiện ban đầu

k
u(x, t)
t
k

A(x, D
x
,

t
)=

0k2s
A
k
(x, D
x
)

k
t
k
,
B
j
(x, D
x
,

t
)=

0km
j
B

||=2sk
a
k
(x,

)

,
B
jk
(x, )=

||=m
j
k
b
jk
(x,

)

,
các hàm a
k
(x,

),b
jk
(x,


j
(x, D
x
,q
1/
)U(x, q)=G
j
(x, q),x ,j =1, ,s, (4.7)
với q
1/
là căn bậc của q với (q
1/
) > 0, (q
1/
) lớn nhất,
A(x, D
x
,q
1/
),B
j
(x, D
x
,q
1/
) là các toán tử GVP chấp nhận đợc trên
có cấp tơng ứng 2s, m
j
và biểu trng của phần chính, khi viết trong hệ tọa
độ địa phơng của lân cận biên mà trục 0x

jk
(x,

)

(q
1/
)
k
.
Ta gọi bài toán biên (4.3) (4.4) với điều kiện ban đầu (4.5) là bài toán biên
parabolic nếu toán tử (A(x, D
x
,q
1/
),B
j
(x, D
x
,q
1/
)|

) là elliptic.
Mệnh đề 4.2.1. Giả sử toán tử (A(x, D
x
,q
1/
),B
j

2s,p
(, à,

) ì
s
j=1
P
m
j
1+1/p,p
(, à,

).
20
4.3 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP
parabolic tuyến tính trên nửa trụ vô hạn
Trong lân cận của biên của tập compact, liên thông với biên trơn trong
R
n
xác định một trờng véc-tơ trơn chỉ tiếp xúc với biên tại những điểm
thuộc đa tạp con trơn, liên thông, (n 1)chiều
0
của biên . Với cách
phân loại
0
theo hình dáng của trờng véc-tơ thành ba lớp I, II, III nh
mục 3.1 của Chơng 3, ta xét bài toán biên không cổ điển đối với phơng
trình parabolic sau.
A(x, D
x

x
,

t
) đợc xác định nh
trong (4.3) (4.4).
Nếu
0
thuộc lớp I, ta thêm điều kiện biên
D
k
n
u(x, t)=u
0k
(x, t),x
0
,t>0,k=0, ,s 1. (4.13)
Bằng cách tơng tự nh trong mục trớc, với điều kiện ban đầu (4.5) bằng
phép biến đổi Laplace vào bài toán biên (4.10) (4.11) trở thành bài toán
biên
A(x, D
x
,q
1/
)U(x, q)=F (x, q),x , (4.14)
B
j
(x, D
x
,q






).
Khi
1
= max{2s, m
j
+2}, 1 <p<, ta ký hiệu các không gian
E
,p
(, à, ), E
,p
(, à, ,), P
,p
(, à,

), P
,p
(, à,

,

) đợc xác
định một cách tơng tự nh không gian
,p,q
(),
,p,q

(, à,
0
).
Định lý 4.3.5. Giả sử các giả thiết của Mệnh đề 4.3.3 đợc thỏa mãn. Khi
đó, khi à = q đủ lớn, bài toán biên (4.10) (4.11) (4.13) với điều
kiện ban đầu (4.5) có duy nhất nghiệm trong P
,p
(, à,

) với mọi vế phải
P
,p
(, à,

,

) ì P
k1+
1
p
,p
(, à,
0
ì (0, +)).
Tơng tự trờng hợp
0
thuộc lớp I, ta cũng có Định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm cho bài toán (4.10) (4.11) với điều kiện ban đầu (4.5) khi
0
thuộc

trong đó các toán tử GVP A(x, D
x
,

t
), B
j
(x, D
x
,

t
) đợc xét nh trong
bài toán biên (4.10) (4.11) và u (x, t)=(u(x, t), ,D
2s1
x
u(x, t)),
u
j
(x, t)=(u(x, t), ,D
m
j
1
x
u(x, t)).
Nếu
0
thuộc lớp I, ta thêm điều kiện biên (4.13)
Vế phải (f, g) đợc giả thiết nh sau.
(i) Các ánh xạ (x, t, u) f(x, t, u) từ ì R

(tơng ứng) với hầu hết (x, t)
và đo đợc theo (x, t) với mọi u , u
j
(tơng ứng),
22
(ii) ánh xạ u(x, t)

f(x, t, u(x, t)),g
j
(x, t, u
j
(x, t))

từ P
l,p
(, à,

))
vào P
l,p
(, à,

,

), biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tơng đối,
(iii)1 > lim inf
M+
lim sup
à+
(A, B

)



u
P
l,p
(,à,

)
M}.
Định lý 4.4.2. Giả sử các giả thiết của Mệnh đề 4.3.3 và các giả thiết (i)
(ii) (iii) đợc thỏa mãn. Cho u
0k
P
k1+1/p,p
(, à,
0
ì (0, +)),k =
0, ,s1. Khi đó với à = q đủ lớn, bài toán biên (4.21)(4.22)(4.13)
với điều kiện ban đầu (4.5) có nghiệm u P
,p
(, à,

).
Khi
0
thuộc lớp III, điều kiện (iii) đợc giảm nhẹ thành điều kiện
(iii)' 1 > inf
M>0

0
thuộc lớp I, III. Còn khi
0
thuộc lớp II, khi |q| đủ lớn chúng tôi mới chỉ có kết quả về Định lý duy
nhất nghiệm.
Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán biên không cổ điển đối với phơng
trình GVP elliptic nửa tuyến tính khi
0
thuộc lớp I, III.
23