TRẦN CÔNG NGHỊ

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
VÀ
CƠ HỌC KẾT CẤU
(TÀI LIỆU HỌC TẬP DÀNH CHO SINH VIÊN
KHOA ĐÓNG TÀU VÀ CÔNG TRÌNH NỔI)


+
∂
∂
+
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0
0
0
Z
yxz
Y

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

∂
∂
∂
γ
∂
∂
∂
∂
γ
∂
∂
∂
∂
γ
∂
∂
ε
∂
∂
ε
∂
∂
ε
(1.2)
Điều kiện tương hợp (liên tục):
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭

zx
zx
zy
yz
yx
xy
xzx
z
yz
z
y
xyy
x
γε
ε
γ
ε
ε
γε
ε
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

+
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
⎟

yzy
xy
xz
yz
x
γ
γ
γ
ε
γ
γ
γε
γ
γ
γ
ε
2
2
2
2
2
2
(1.3)
Công thức chuyển của tensor ứng suất. Nếu ký hiệu ma trận các cosin góc giữa hai hệ trục là
[c], tensor ứng suất điểm trong hệ tọa độ Oxyz là [σ], tensor ứng suất trong hệ tọa độ mới [σ
∗
] tính
theo công thức:
[]
[][ ][]

⎡
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ccc
ccc
ccc
c
σττ
τστ
ττσ
σ
;
***
***
***

Ứng suất chính xác định từ phương trình:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=−++
=+−+
=++−

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
m
l
k
zzyzx
yzyyx
xzxyx
σσττ
τσστ
ττσσ
(1.6)
trong đó tổng bình phương các cosin bằng đơn vị k
2
+ l
2
+ m
2
= 1. Lời giải hệ phương
trình:
σ
3
- σ
2

- τ
yx
2
- τ
zx
2
- τ
xy
2
(1.8)
J
3
= σ
x
σ
y
σ
z
+ 2τ
xy
τ
yz
τ
xz
- τ
xy
2
σ
z
- τ

σ
σ
+−±
+
= (1.10)
Hướng trục ứng suất chính tính từ công thức:
yx
xy
n
tg
σσ
τ
θ
−
=
2
2 (1.11)
Ứng suất cắt lớn nhất:
2
21
minmax,
σσ
τ
−
±=
(1.12)
xy
yx
s
tg

⎛
+
−
yxyx
σσ
τ
σσ
σ
(1.14)
Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν.
()
[]
()
[]
()
[]
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
+−=
+−=
+−=
yxzz
zxyy

τγ
τγ
1
1
1
(1.15)
trong đó
)1(2
ν
+
=
E
G
(1.16)
Nếu ký hiệu:
zyx
e
ε
ε
ε
++=
có thể viết:
()( )
()( )
()( )
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪

ν
σ
ε
ννν
ν
σ
ε
ννν
ν
σ
1211
1211
1211
(1.17)
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
+=
+=
+=
zz
yy
xx
Ge
Ge
Ge
ελσ
ελσ

∂
Φ∂
=
∂
Φ∂
=
τσσ

Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c,
chiều rộng b, chịu tác động tải phân bố đều q = const.
Điều kiện biên như sau:
a) Tại x = 0:
σ
x
= 0; τ
xy
= 0.
b) Tại x = L:
q

Hình 1.17
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪

τ

c) Tại y = c:
0; =−=
xyy
b
q
τσ

d) Tại y = -c:
σ
y
= 0; τ
xy
= 0.
Những nhận xét ban đầu:
- Điều kiện đầu tiên của a) trong trường hợp cụ thể không thể thỏa mãn.
- Từ tính chất đối xứng của mặt cắt ngang và
b
q
y
−=
σ
tại y = c và σ
y
= 0 tại y = -c, có
thể rút ra
σ
y
sẽ là hàm lẻ của y.

x
x
+−+=
∂
Φ∂
=
σ

3
2
2
1022 GyCyB
y
y
++=
∂
Φ∂
=
σ

)3032(
22
2
GxyEyCxA
yx
xy
−++−=
∂∂
Φ∂
−=

q
+=−+=−
333
202103020 GcBGcGcB −=+−=

Từ đó có thể nhận được:
3
40
;
4
bc
q
G
b
q
B −=−=
Biết rằng momen quán tính mặt cắt ngang tính bằng
3
3
2
bcI = , biểu thức của B và G sẽ có dạng:
I
q
G
I
qc
B
60
;
6

q
yx
I
q
Dy
c
c
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
∫
+
−

Từ đó có thể viết: D =
I
qc
30
2

Trường ứng suất có dạng sau:
()
()
()
⎪

I
q
xy
y
x
τ
σ
σ

Ví dụ 2: Phương trình chuyển vị dầm trình bày tại hình 1.2 có dạng:
()
()
[]
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−−−−=
−−=
xLyxLx
EJ
P
yx
yxLx
EJ
Py
yxu
222
22

)0,(
2
32
v
Góc xoay dầm tính theo công thức
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
y
u
x
xy
v
2
1
θ
, mang dạng sau:
()()()
222222

36
6
)0,( xLx
EJ
P
x
xy
−−=
θ

Biến dạng trong dầm tính theo:
() ()
yxL
EJ
P
y
yxL
EJ
P
x
u
yx
−−=
∂
∂
=−=
∂
∂
=
υ

γ
v

Trường ứng suất tính theo cách sau:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−−
−
=
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

τ
υυ
υ
σ
υ
υ
σ10
Ví dụ 3: Sử dụng phương trình cân bằng trong “lý thuyết đàn hồi” thành lập hàm ứng suất σ
y
, τ
xy

dầm, tiết diện dầm hình chữ nhật 2c x b, trong đó b – chiều rộng dầm, 2c – chiều cao dầm, chịu tải
trọng phân bố đều cường độ q(x) = const.
Ứng suất σ
x
tính tại mặt cắt bất kỳ
của dầm, tại vị trí x, tính theo công thức:
y
J
xM
x
)(
=
σ
(a)
trong đó M =

By
yxy
Bx
xy
x
f
yx
f
yx
στ
τ
σ
có thể viết: (c)
xy
J
q
y
xy
−=
∂
∂
τ
(d)
Tiến hành tích phân phương trình đạo hàm riêng này sẽ nhận được:
)(
2
'2
xfxy
J
q

)(
2
22
yc
J
q
y
y
−−=
∂
∂
σ

Sau tích phân có thể nhận được:
)()3(
6
22
xFycy
J
q
y
+−−=
σ
(h)
Điều kiện biên tại y = c:
b
q
y
−=
σ

xOy dầm công xôn nêu tại ví dụ 2. Mặt cắt dầm trong trường hợp này là hình chữ nhật, dày, độ
cứng EJ, hệ số Poisson ν.
Y
X

Hình 1.4
Momen uốn dầm tính theo công thức:
M = -P(L – x) 0 < x < L (a)
Các hàm ứng suất tính theo công thức quen thuộc sau:
)( xLy
J
P
y
J
M
x
−=−=
σ
(b)
σ
y
= 0;
τ
xy
= 0.
Từ định luật Hooke có thể viết các phương trình biến dạng:
()
)(
1
xLy

Quan hệ biến dạng - chuyển vị cho phép viết:
)( xLy
EJ
P
x
u
x
−==
∂
∂
ε

)( xLy
EJ
P
y
y
−−==
∂
∂
ν
ε
v
(d)

12
Tiến hành tích phân hai phương trình đạo hàm riêng dạng (d) có thể nhận được:
)()2(
2
yfxLxy

xLx
EJ
P
x
xF
y
EJ
P
y
u
x
xy
∂
∂
+−+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
=
)(
)2(
2
)(
2
2

1
.
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−=−
∂
∂
=−+
∂
∂
1
2
1
2
)(
)2(
2
)(
Cy
EJ
P
y
yf
CxLx
EJ

P
xF
ν
(f)
Hàm u và v giờ đây có dạng:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
++−−−−=
+−−−=
21
2
2
31
3
)3(
6
)(
6
6
)2(
2
CxCxLx
EJ
P
xL

)3(
6
)(
)2(
2
22
3
xLx
EJ
P
xLy
y
eEJ
P
xLxy
EJ
P
u
2EJ
P
-v
ν
ν13

Ví dụ 5: C
ho trước thép tròn đường kính φ16mm, chịu lực kéo dọc trục P = 40kN. Lực P gây ứng
suất cắt τ tại mặt cắt ab, giá trị của τ bằng 60% ứng suất pháp σ tại mặt ab đó. Xác định góc


Ứng suất tính tại mặt cắt xiên ab:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
α
σ
τ
ασσ
2sin
2
cos
0
2
0

Từ điều kiện đề ra τ = 0,6σ hay là σ
0
sinαcosα = 0,6 σ
0
cos
2
α có thể viết:
6,0
cos
sin

Cosin pháp tuyến mặt 2x - y +3z - 9 = 0 tính như sau:

14
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
+−+
=
−
=
+−+
−
=
=
+−+
=
14
3
3)1(2
3
14

zx
= -7, τ
yz
= 0. Kết
quả ứng suất pháp, tính theo (b) sẽ là σ = 19,21 MPa.
Ứng suất tiếp tính theo công thức:
()()
(
)
2
222
2
σστττστττστ
−++++++++= mlkmlkmlk
zyzzxzxyxyzxxyx
(c)
Sau khi thay các giá trị ứng suất và k, l, m vào vế phải phương trình (c), ứng suất tiếp được
tính như sau:
τ
= 14,95MPa.
Ví dụ 7: Trạng thái ứng suất tại điểm P, ghi trong hệ tọa độ Oxyz như sau:
MPa
ij
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
y
x
z
y
x
100
0cossin
0sincos
"
"
"
θθ
θθ

⎩
⎪
⎨
⎧
"
"
"
cossin0
sincos0
001
'
'
'
z
y
x
z
y
x
φφ
φφ
, với φ = 30°
Từ đó:

15
[]
{}
XC
z
y

⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
φφφφφ
φφφφφ
θφ
cossincossinsin
sincoscoscossin
0sincos
'
'
'
,
Công thức tính chuyển ứng suất từ hệ tọa độ Oxyz sang hệ tọa độ O’x’y’z’ có dạng:
[]
T
xijxij
CC ][
'
σσ
=
Sau khi thay θ = 45°, φ = 30° các thành phần ma trận [C
x
] tính như sau:
[]

C
Các thành phần ứng suất điểm đang xét trong hệ tọa độ O’x’y’z’ sẽ là:
MPa
x
4
2
2
0)2(2
0
2
2
22
2
2
2
2
6205
2
2
.4
2
2
.8
22
'
=
⎟
⎟
⎠
⎞

⎛
×+×−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
σ

MPaxx
xx
yx
20,5
4
6
0
2

6
2
2
8
''
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
τ

MPaxx
xx
xz
3
4
2
0
2
3
2
2
2

''
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎥

⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟

⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
τ
MPa
y
8,4
2
1
4
6
)2(2
2
1
4
6
)2(2
4
6
4
6

⎛
×−×+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−×+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟

4
6
2
4
6
4
2
4
6
4
2
6
2
3
2
1
)5(
4
6
2
2
4
4
6
4
2
8
''
=
⎥

⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+

⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+×−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+

2
22
4
2
4
2
62
2
3
2
3
5
4
2
.4
4
2
.8
22
'
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟

⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
2,87,23
7,28,42,5
32,54
'
σ

Ví dụ 8: Xác định trục chính và ứng suất chính phần tử chiïu tác động ứng suất sau: σ
x
= 500
kG/cm
2
, σ
y
= 300 kG/cm
2
, τ
xy
= 100 kG/cm
2
.
Lời giải:
Công thức tính ứng suất chính:

2
1
=+=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
σ
kG/cm
2
;
6,2584,141400100
2
300500
2
300500
2
2
1
=−=+
⎟
⎠
⎞
⎜

= 0,003.
Xác định hướng chính và biến dạng chính.
Lời giải:

17
Góc xoay hướng chính tính theo công thức:
2
)001,0()002,0(
)003,0(2
2
2 =
−
=
−
=
yx
xy
tg
εε
γ
θ

Từ đó: 2θ = 63,4° và 243,4°
θ = 31,7° và (31,7 + 90)°
Biến dạng chính:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪


Sau thay thế bằng số công thức cuối có dạng:
ε
x’
= 0,00385 và ε
y’
= -0,00285.
Ví dụ 9: Bộ cảm biến dạng rectangular rosette, ba cảm biến bố trí trong nhánh ¼ vòng tròn, góc
giữa chúng 45°, hình 1.6, ghi nhận biến dạng điểm đo như sau: ε
x
= 200μ; ε
45
= 900μ; ε
y
=
1000μ
Xác định giá trị và hướng ứng suất chính, giá trị ứng suất cắt lớn nhất tại điểm đo. Biết rằng
E = 200 GPa, ν = 0,285.
x
A
B
C
x
4
5
4
5

Hình 1.6
Lời giải:

−
=
−
νεε
ν
σ

()
[]
266
2
9
2
/10.1,23010.200285,01000
)285,0(1
10.200
1
mN
E
xyy
=×+
−
=+
−
=
−
νεε
ν
σ


−
=
−
=
−−
−
yx
xy
tg
εε
γ
θ

Từ đó:
θ = -18,4° và 71,6°
Ứng suất pháp tính theo công thức:
Với
θ = -18,4°
MPasìn
xy
yxyx
0,902cos
22
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

=
−
=
σ
σ
τ

Ví dụ 10:
Tấm đua-ra dày t = 2mm được nẹp bằng 4 nẹp cứng tại bốn mép. Các nẹp nối với nhau bằng
khớp xoay. Tại vị trí C đặt lực P = 25 kN, hình 1.7
Xác định:
• Thay đổi góc γ các góc tấm,
• Chuyển vị Δc theo chiều đứng,
• Ứng suất chính trong tấm,
• Thay đổi chiều dài AC và BD.
Biết rằng E = 7.10
4
MPa; ν = 0,34.
Lời giải:
Tải trọng P phải cân bằng lực cắt cạnh BC, bắt tấm chịu cắt thuần túy.
P =
τ.A = τ.t.l
Từ đó có thể tính:
MPaPa 5010.5
25,0.10.2
10.5,2
7
3
4
===

γ

mmml
C
48,010.8,4.
4
===Δ
−
γ

Ứng suất chính:
σ
1
= τ = 50 MPa;
σ
2
= -τ = -50 MPa;
Thay đổi chiều dài đoạn AB và BD:
()
mm
E
l
ll
AC
ACAC
338,0
211
=−==Δ
νσσε


2
z
2

w = A
3
x
2
+ B
3
y
2
+C
3
z
2

A
i
, B
i
, C
i
, i= 1, 2, 3 là const
Biến dạng này có thỏa mãn điều kiện tương thích hay không?
2. Biến dạng đo được biểu diễn bằng các hàm sau:
ε
x
= A(x
2

⎪
⎬
⎫
++−−−×−=
+++−−×=
xcxLxxLy
EJ
P
yx
yycxLxy
EJ
Py
yxu
222
32
1333
6
),(
21323
6
),(
νν
νν
v

Xác định
σ
x
σ
y

= 100MPa,τ
xy
= -120 MPa. Xác định
hướng trục chính, ứng suất chính.
8. Trạng thái ứng suất phẳng tại điểm biểu thị trong hệ tọa độ xOy như sau:
MPa
94
43
−
−

Xác định giá trị các thành phần ứng suất của điểm trong hệ tọa độ x’Oy’ xoay theo chiều kim
đồng hồ 45
°. Giải bằng hai cách: (1) sử dụng công thức chuyển và (2) sử dụng vòng tròn Mohr.
9. Trạng thái ứng suất xác định như sau:
σ
x
= 14 MPa, σ
y
= - 10MPa, τ
xy
= 5MPa. Xác định ứng
suất chính, trục chính.

21
10. Trạng thái ứng suất xác định như sau: σ
x
= 14 MPa, σ
y
= - 10MPa, τ

oct
.
• Ứng suất bát diện τ
oct
.
• Thế năng đơn vị u
0
do biến dạng khối vật liệu.
Mô đun đàn hồi vật liệu E = 7.104MPa, hệ số Poisson
ν = 0,35.
Hướng dẫn:
Ứng suất chính:
σ
1
= 100 MPa; σ
2
= 60MPa; σ
3
= -40 ΜΡa.
2
31
max
σ
σ
τ
−
=

()()()
2

=
E
V

()
[]
35
1213220
/10.1,12
2
1
mJ
E
u =++−++=
σσσσσσνσσσ

14. Ứng suất tại điểm trong lòng vật thể mang giá trị thể hiện tại tensor ứng
suất:
37186
18376
6621
−
−
−−
MPa, mô đun đàn hồi vật liệu E = 200GPa, hệ số Poisson ν = 0,3. Xác định biến
dạng chính. Xác định biến dạng góc.
15. Kết quả đo biến dạng điểm vật thể trong trạng thái ứng suất phẳng đưa đến kết quả:
ε
x
= -90μ,

= 400 μ,

ψ = 30°. Tìm ε
r
, ε
s
, γ
rs

b/
ε
x
= -400μ, ε
y
= 0, γ
xy
= 300 μ,

ψ = -30°. Tìm ε
r
, ε
s
, γ
rs

c/
ε
x
= 0, ε
y


d/
ε
x
=0,2.10
-3
, ε
y
= 0,1.10
-3
, γ
xy
= 0,05.10
-3

ψ = 45°. Tìm ε
r
, ε
s
, γ
rs

e/
ε
x
=1,2.10
-3
, ε
y
= 0,8.10

= 90MPa,
σ
y
= 70MPa, σ
z
= -30MPa. Biết rằng ứng suất giới hạn σ
cr
= 120MPa.
Hướng dẫn:

Tiêu chuẩn bền Tresca:
max(
⏐σ
1
- σ
2
⏐, ⏐σ
2
- σ
3
⏐, ⏐σ
3
- σ
1
⏐) = σ
Y

Tiêu chuẩn bền
von Mises (lý thuyết Maxell-Huber-Hencky-von Mises) có dạng: σ
eq

Lời giải:
x
y
s
r
ψ

23
Theo tiêu chuẩn Tresca:
creq
Y
σ
σ
σ
σ
≡<
−
=
22
31

Theo tiêu chuẩn
von Mises:
()()()
creq
MPa
σσσσσσσσ
<=−+−+−= 112
2
1

[]
MPa
tt
creq
160
04,1
6,02,106,002,15,0
1
222
=≤=−+−+−=
σσ

Từ đây có thể tính: t = 6,5.10
-3
m = 6,5mm.
21. Trục thép đường kính 15mm làm từ vật liệu có ứng suất chảy 320 MN/m
2
, chịu tác động
momen men quay Q. Xác định giá trị giới hạn momen quay theo tiêu chuẩn bền Tresca và theo tiêu
chuẩn bền von Mises.
22. Bình thành mỏng, đường kính bình 1m, chịu áp lực trong 700 kN/m
2
. Ứng suất chảy vật liệu
làm bình 250 MN/m
2
.
Xác định chiều dày thành bình theo tiêu chuẩn bền ứng suất cắt lớn nhất (tiêu chuẩn Tresca)
và theo tiêu chuẩn von Mises.
23. Xác định momen xoắn giới hạn cho trục thép đường kính trục 10mm: a) theo tiêu chuẩn bền
Tresca và b) tiêu chuẩn von Mises. Giới hạn bền vật liệu [

0
2
2
1
Ed

• Công ảo
ε
δ
ε
σ
δ
ε
E=
• Công bù
∫
=
σ
σ
σε
0
2
2E
d

• Công bù ảo
δσ
σ
εδσ
E

PdA
A
=
∫
σ
hoặc P = σ.A Hình 2.3
U =
()
∫∫∫
×=× dxdAdV
V
εσεσ
2
1
2
1

Từ
E
E
σ
εεσ
=⇒= .
U=
()
∫∫∫∫
=×=×
LL
dx
AE

AE
lP
26
hay là:
AE
Pl
=Δ
Nếu ký hiệu AE/l = k, công thức cuối mang dạng:
k
P
AE
Pl
==Δ

hay là
k. Δ = P
Nguyên lý công ảo
Từ công thức U =
AE
lP
2
2
1
có thể tính tiếp:
PP
k
P

δ(ΔP) = P.δΔ
Cân bằng công ảo trong và ngoài:
k.
Δ.δΔ = P.δΔ có thể viết:
k. Δ = P
Nguyên lý công bù toàn phần
Công bù nội lực:
∫
=
l
l
AE
P
dx
AE
P
22
2
1
2
1

Công bù ngoại lực:
PΔ
2
1

Thoả mãn điều kiện: W
*
ext