Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
PHẦN MỞ ĐẦU
Tên đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý.
1. Lý do chọn đề tài:
Khoa học ngày càng phát triển đưa con người tới một tầm cao mới.
Trong những bước tiến của công nghệ, vật lý học nói chung và cơ học
nói riêng càng thể hiện rõ vai trò là những kiến thức nền tảng. Việc
nghiên cứu tìm hiểu quy luật chuyển động của các vật thể và tìm
phương trình biểu diễn chuyển động ấy vốn là vấn đề được các nhà vật
lý đặc biệt quan tâm trong lịch sử vật lý.
Cơ học Newton với cơ sở là các định luật Newton mô tả chuyển
động của các vật thể bằng phương trình liên hệ giữa ba đại lượng lực,
khối lượng và gia tốc. Cũng là một phạm vi kiến thức của Cơ học cổ
điển – Cơ học Newton, Cơ học lý thuyết giải quyết bài toán mô tả
chuyển động bằng các hình thức khác. Một trong số đó là hệ hình thức
Lagrange với công cụ cơ bản là nguyên lý biến phân Hamilton. Nguyên
lý này cùng với các nguyên lý vật lý đã cho phép xây dựng một hệ
thống khái niệm đầy đủ để xác định trạng thái của cơ hệ, đồng thời xác
định được sự biến đổi trạng thái theo thời gian. Nói cách khác, hệ hình
thức này thiết lập được phương trình chuyển động của cơ hệ, gọi là
phương trình Lagrange. Từ đó, phương pháp giải quyết một phạm vi bài
toán cơ học khá rộng dựa trên nguyên lý Hamilton với phương trình
chuyển động Lagrange được ghi nhận.
Để tìm hiểu rõ hơn về hệ hình thức Lagrange và việc áp dụng vào
giải các bài toán cơ học, chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý Hamiton,
hàm Lagrange và áp dụng giải toán cơ học” để nghiên cứu trong đề tài
này.
2. Mục đích nghiên cứu :
- Hệ thống lại các khái niệm cơ sở của cơ học giải tích,

I. Khái niệm liên kết và tọa độ suy rộng
1. Số bậc tự do
Xét một cơ hệ gồm N chất điểm M
1
, M
2
,…, M
N
chuyển động đối với hệ
quy chiếu quán tính. Vị trí chất điểm M
i
trong không gian được xác định bán
kính vectơ
( , , )
i i i i
r x y z
r
. Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải cho N bán kính
vectơ
i
r
r
hay 3N tọa độ Dexcartes,
, , , 1,2,
i i i
x y z i N=
. Số thông số độc lập
cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do
( s ) của nó .
Chú ý số bậc tự do của cơ hệ tự do là 3N. Trong đó cơ hệ tự do là cơ hệ

3 2 3 2 3 2 23
2 2 2 2
1 3 1 3 1 3 31
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
x x y y z z r
x x y y z z r
x x y y z z r
− + − + − − =
− + − + − − =
− + − + − − =
Trong ví dụ này 9 tọa độ trong hệ liên hệ với nhau bởi 3 phương
trình liên kết do đó số bậc tự do là 6.
- Trong trường hợp tổng quát liên kết trong cơ hệ biểu diễn bởi k phương
trình.
1 1 1 1 1 1
( , , , , , , , , , , , , , , ) 0,( 1, )
N N N N N N
f x y z x y z x y z x y z t k
α
α
= =
& & & &
& &
Hay là
1 2 1 2
( , , , , , , ) 0
N
N

( 1, )k
α
=
gọi là liên kết phi hôlônôm. Cơ hệ chịu
liên kết phi hôlônôm gọi là cơ hệ phi hôlônôm.
Cơ hệ gồm N chất điểm liên hệ với nhau bởi k phương trình liên kết thì
có số bậc tự do là s = 3N – k.
3. Tọa độ suy rộng
Sự có mặt của các liên kết làm cho bài toán chuyển động của cơ hệ trở
nên phức tạp hơn vấn đề đặt ra là làm thế nào để khử được các liên kết nếu
hạn chế chỉ xét các hệ hôlônôm thì vấn đề trên được giải quyết bằng khái
niệm tọa độ suy rộng.
Giả sử cơ hệ gồm N chất điêm M
i
(i = 1, …N ) chịu k liên kết hôlônôm
được biểu diên bằng k phương trình :
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 4
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
1 2
( , , , , ) 0
N
f r r r t
α
=
ur ur uur
,
( 1, )k
α

có điểm treo M
1
với
lượng m
1
chuyển động không ma sat trên một đường thẳng nằm ngang chiều
dài con lắc là l
Hệ chuyển động bởi các phương
trình liên kết sau:
1 1 2
2 2 2
2 1 2
0, 0, 0
( ) 0
y z z
x x y l
= = =
− + − −
Hệ có số bậc tự do là: s = 3N – k =
3.2 – 4 = 2 nên có hai tọa độ suy rộng
1 1 2
,q x x q
ϕ
= = =
Khi đó ta có mối liên hệ giữa các
tạo độ:
2 2
sin , osx x l y lc
ϕ ϕ
= + =

L L q q t L q q t
= ≡
& &
gọi là hàm Lagrange của cơ hệ, các đối số
số của hàm là thời gian t, các tọa độ suy rộng và các đạo hàm của chúng theo
thời gian
/ , 1,
i i
q dq dt i s≡ =
&
hàm này xác định mọi đặc tính của cơ hệ
hôlônôm.
Để viết được phương trình Lagrange xác định mọi đặc tính của cơ hệ ta
bổ sung một số kiến thức cơ bản về phép tính biến phân :
Cho hàm số
( )y y x=
ta xét tích phân :
[ ]
( , , ) ( )
b
a
I F y y x dx I y x
′
≡ =
∫
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 6
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Trong đó F là một hàm nào đó của (x,y) và y’ = dy/dx. Tích phân I phụ

=
Bây giờ ta xét hiệu số :
[ ]
( , , ) ( , , )
δ δ δ
′ ′ ′
≡ + + −
∫
b
a
I F y y y y x F y y x dx
Nếu hàm y(x) cần tìm , tức là phiếm hàm I có giá trị dừng thì
δ
I
phải
bằng không, khai triển lượng trong dấu ngoặc của
δ
I
đến bậc nhất của
δ
y
và
y
δ
′
( Định nghĩa vi phân hàm F và để ý
0x
δ
=
), ta được :

a
b b
a a
F F dy
I y dx
y y dx
F F d
y y dx
y y dx
F d F d F
y y y dx
y dx y dx y
F d F d F
ydx y dx
y dx y dx y
δ δ δ
δ δ
δ δ δ
δ δ
 
∂ ∂
= +
 ÷
′
∂ ∂
 
 
∂ ∂
= +
 ÷

F d F F
I ydx y
y dx y y
δ δ δ
 
∂ ∂ ∂
= − + =
 ÷
′ ′
∂ ∂ ∂
 
∫
Bây giờ chúng ta đưa ra giả thiết bổ sung :
( ) ( )y a y b
δ δ
=
Nghĩa là xem biến phân
y
δ
triệt tiêu tại các cận của tích phân, ta suy
được :
0
b
a
F d F
ydx
y dx y
δ
 
∂ ∂

(t
2
) , i = 1,…,s. Theo nguyên lý Hamilton
chuyển động của cơ hệ từ thời điểm t
1
đến t
2
chỉ xảy ra sao cho tích phân xác
định
2
1
t
t
S Ldt=
∫
có giá trị dừng, tức là
0S
δ
=

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 8
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Lượng S gọi là hàm tác dụng của cơ hệ.
Theo phép tính biến phân đã trình bày ở trên ta sẽ thu được hệ s phương
trình Lagrange sau :
0 , 1,2, ,
i i
d L L

của q và t.
( , )
d
L L f q t
dt
∗
= +
2. Hàm Lagrange có tính chất cộng được : Hàm Lagrange của cơ hệ
gồm các thành phần không tương tác bằng tổng tất cả các hàm
Lagrange của các thành phần đó.
1 2

N
L L L L= + + +
Ta tìm hàm Lagrange của từng cơ hệ sau :
+ Cơ hệ cô lập gồm N chất điểm không tương tác với nhau
+ Cơ hệ cô lập gồm N chất điểm tương tác với nhau.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 9
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
1. Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm không tương
tác với nhau :
Trước hết, xét chất điểm chuyển động tự do đối với hệ qui chiếu quán
tính K. Chất điểm chuyển động tự do là chất điểm cô lập; hệ qui chiếu quán
tính nên không gian là đồng nhất và đẳng hướng, thời gian là đồng nhất.
+ Tính đồng nhất không gian qui định hàm Lagrange sẽ không thay đổi
khi tịnh tiến trong không gian. Có nghĩa là hàm Lagrange của chất điểm sẽ
không phụ thuộc vào bán kính vectơ
r

2
( )L L v=
chuyển đến hệ
2
( )L L v
′ ′
=
. hàm này có
cùng dạng và chỉ khác hàm
2
( )L L v=
một đạo hàm toàn phần theo thời gian
của một hàm
( , )f r t
r
bất kỳ nào đó, nghĩa là :
2 2
( ) ( ) ( , )
d
L v L v f r t
dt
′
= +
r
Chú ý rằng :
2 2 2 2 2 2
( ) 2 ( 2 )
d
v v V v vV V v V t rV
dt

tính chất cộng được của hàm Lagrange thì Hàm Lagrange của hệ có dạng:
2
1
1
2
N
i i
i
L mv
=
=
∑
Đại lượng
2
1
1
2
N
i i
i
T m v
=
=
∑
gọi là tổng động năng của hệ.
2. Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm tương tác với
nhau:
Trong trường hợp này hàm Lagrange ngoài động năng của hệ cần thêm
vào một hàm nào đó đặc trưng cho tương tác giữa các chất điểm, chúng ta kí
hiệu hàm này bằng – U và U gọi là thế năng tương tác giữa các chất điểm. Đối

( )
i k
r r−
r r
.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 11
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
+ Tính đẳng hướng của không gian qui định hàm cần tìm không phụ
thuộc vào chiều của
( )
i k
r r−
r r
nên thế năng U phụ thuộc vào độ lớn
i k
r r−
r r
Vậy hàm Lagrange của cơ hệ cô lập có N chất điểm tương tác với nhau
cóa dạng:
2
1
1
( , , )
2
N
i i i
i
L mv U r r

=
= − −
∑
r r
Nên ta được phương trình chuyển động:
i
i i
dv
m F
dt
=
r
uur
với
i
i
U
F
r
∂
= −
∂
uur
r
là lực thế tác dụng lên chất
điểm M
i
. Các phương trình
i
i i

, thế năng có thể được xác
định nhờ và lực thế tác dụng trên.
Trường hợp hệ hạt tự do U = 0 ,
0 0
i
i i i
dv
F hay m hay v const
dt
= = =
r
uuuuur
r
r
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 12
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Đó chính là biểu thức của định luật quán tính của Niutơn.
B. Bài tập
Bài tập 1:
Chất điểm M có khối lượng m chuyển động theo vòng khuyên tròn bán
kính r trong khi vòng khuyên tròn quay đều quynh đường kính thẳng đứng AB
của nó với vận tốc góc
ω
. Tìm hàm Lagrange và phương trình vi phân mô tả
chuyển động của M. Tìm mômen lực cần thiết giữ cho vận tốc góc không đổi.
Lời giải :
Chuyển động của chất điểm M có thể mô tả bằng một tọa độ suy rộng
ϕ

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 13
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Chọn B làm gốc thế năng, thế năng của M là:
( cos )U r r mg
ϕ
= −
.
Hàm Lagrange của M:
2 2
( ) ( sin ) ( cos )
2 2
L T U
m m
r r r r mg
ϕ ω ϕ ϕ
= −
= + − −
&
Ta có phương trình Lagrange:
( )
2 2 2
2 2 2
2
0
( ) sin .cos .sin 0
sin .cos .sin 0
( cos ).sin 0
d L L

W v W r cos
ω ω ϕ ϕ
 
= =
 
uur ur ur
&
, Lực
c
mW
uur
tác dụng lên M theo phương vuông
góc với mặt phẳng hình vẽ và có chiều tùy thuộc vào chiều chuyển động của
M trong vành khuyên ( ở đây có chiều từ ngoài vào).
Như thế vận tốc góc
ω
sẽ thay đổi. Muốn tần số này không đổi ta cần đặt
vào M một mômen có hướng ngược với hướng gia tốc Criôlit và có độ lớn
2 2
. sin 2 . sin .sin 2
c
M mW r m r cos m r
ϕ ω ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ
= = =
& &
Hay
. sin
c
M mW r
ϕ

&
* Động năng T của con lắc bằng :
2 2 2
1
( )
2
T m l l
ϕ
= =
&
&
* Ta tìm thế năng U:
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.
Để tìm thế năng năng của con lắc ta xét trên một đoạn dịch chuyển
ds
r
(hình dưới). Thế năng do trọng lực gây ra được xác định theo công thức:
dU Pds− =
r
r
. Tích vô hướng và
chiếu lên các trục tọa độ ta được:
( )
( sin )
dU Pdy
Pd lcos
P cos dl l d
ϕ
ϕ ϕ ϕ
− = −

ϕ ϕ
∂ ∂
− =
∂ ∂
⇔ − +
= − − =
&
&
&
&
(1)
2

2
0
( ) ( sin ) (2)
sin 0
d L L
dt
d
ml mgl
dt
ml mgl
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂
− =
∂ ∂
⇔ − −


− − =

⇔


− =

&
&

Bài tập 3:
Một vật P có khối lượng m
1
nối với một ròng rọc B có khối lượng m
2
có
bán kính r, được đặt lên trên một chiếc nêm có khối lượng m
3
( như hình vẽ ).
Vật B chuyển động kéo ròng rọc lăn trên mặt phẳng nghiêng của nêm. Sử
dụng cơ học gải tích, hãy xác định quảng đường đi của vật P trong hai trường
hợp chiếc nêm đứng yên và chiếc nêm chuyển động. Biết vận tốc ban đầu
bẳng 0, vị trí ban đầu cảu vật là x
0
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 16
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Lời giải: a, Khi chiếc nêm đứng yên

Khi đó hàm lagrange.
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
1 1 1 1 1
sin . sin .
2 2 2 2 8
L T U m x m v J m gx m g x m x m x m gx m g x
ω α α
= − = + + + − = + + −
& & &&
Các phương trình Lgrange :
( )
1 2 1 2
1
0 sin 0
4
d L L d
m x m x m g m g
dt x x dt
α
∂ ∂
 
− = ⇔ + − − =
 ÷
∂ ∂
 
&& &&
&
( )
1 2 1 2

1
sin
4
m m x m g m g t x t x
α
 
+ = − + +
 ÷
 
&
Với điều kiện ban đầu của ban toán
0
0 0 0
,
t
x x v x x= = =
&
nên ta có quảng
đường vật đi được trong thời gan t là :
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 17
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
( )
2
1 2
0
1 2
sin
1

v v v v s v= + = =
&
r r r
&
Thay vào phương trình Lagrange và tương tự cách làm như trên lấy tích
phân 2 lần ta được:
2
0 0
1
2
x kt x t x= + +

Với
( )
1
2
2
1 2 1 2
1 2 3
3 os
sin
8 4 4
m c
k m g m g m m
gm m m
α
α
−
 
= + + −

hệ.
Với:
1
2 2 2
1 2
1
2
1 1
2 2
sin .
T m x m v J
U m gx m g x
ω
α
= + +
− = +
&
&
Trong đó :
2 2x v r
ω
= =
&
.
Khi đó thay vào hàm Lagrange ta nhận được.
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
1 1 1 1 1
sin . sin .
2 2 2 2 8

+ =
&&
, với:
( )
( ) ( ) ( )
2
1,5
1,5
A B
A B A B A B
k m m
m m m m m m m
α
+
=
+ + + −
Nếu ở thời điểm đầu :
0 0
0, 0,t x x= =
&
.
Khi đó.
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1 os ; os . 1,5 .)
A B B A A B
a
y c t x P P m m ac t m g m g
α α

và tọa độ biểu diễn theo t. Ở thời điểm đầu t = 0,
ϕ
=
ϕ
0
, x
A
= 0.
Lời gải:
Hệ có hai bậc tự do chọn x,
ϕ
làm các tọa độ suy rộng hàm Lagrange
L = T = U với động năng và thế năng là:
( )
2 2 2 2 2
1 2
1
2 2 2 2
0
1 1 1 1
2 2 2 24
1
, ,
2
3 1 1
os
4 2 3
1
os os .
2

& & &
Ta biết rằng khi góc lệch
ϕ
là nhỏ thì sin
ϕ
≈
ϕ
;
sin ; 0x
ϕ ϕ ϕ ϕ
≈ ≈
&
&
, khi đó
thay vào các phương trình Lagrange :
0, 0
d L L d L L
dt x x dt
ϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂
− = − =
∂ ∂ ∂ ∂
&
&
Ta được các phương trình sau:
( )
0
3 2
2
0

x lp l kt
P p
ϕ ϕ
+
= =
+
= −
+
Đây là hai tọa độ cần tìm.
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 21
Đào Văn Thoại
Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng
của nó trong cơ hệ vật lý
Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 22
Đào Văn Thoại