SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

MÔN TOÁN HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN TỈNH ĐỒNG THÁP
NĂM HỌC: 2012 - 2013

Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
PHẦN 1: GIẢI TÍCH

CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I- Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: * Lược đồ các bước khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:

4
+ bx
2
+ c (a  0) đối xứng qua Oy
° hàm số y =
dcx
bax


đối xứng qua giao điểm hai đường tiệm cận.
Nếu



)(lim
0
xf
xx
(hoặc



)(lim
0
xf
xx
) thì x = x
0
là tiệm cận đứng.
Nếu

y
y'
x

y' > 0 x(a; b)  hàm
số tăng trên (a; b)

Bảng biến thiên

+
b
a
y
y'
x

Bảng biến thiên:

-
b
a
y
y'
x

Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
2

* Bài tập rèn luyện:


(ac  0)





0a
nghiệm2có0'y






0a
nghiệm2có0'y






0a
nghiệmcó10'y









0a
nghiệmcó 30'y






0a
nghiệmcó10'y






0a
nghiệm1có0'y

1
2
3
4
5
6
I
II

- 6x
2
+ 9x; b) y = x
3
+ 1; c) y =
3
1
x
3
- x
2
- 3x -
3
5
;
d) y = -x
3
+ 3x
2
- 3x - 1; e) y = 2x
3
- 3x
2
- 2; f) y = x
3
- x
2
+ x.
Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y =

xx 
.
Bài 5: Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a) y =
7
23


x
x
; b) y =
1
2


x
x
; c) y =
23
12


x
x
; d) y =
12
2


x

x
x 1
.

II. Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số:
1) Tìm giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) của hàm số:
a) Cách tìm giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) trên đoạn [a; b]:
 Tìm x
i
 [a; b] (i = 1, 2, , n) tại đó f'(x
i
) = 0 hoặc không xác đònh f'(x
i
).
 Tính f(a), f(b), f(x
i
) (i = 1, 2, , n).
 Tính GTLN = max[f(a), f(x
i
), f(b)] (i = 1, 2, , n)
GTNN = min[f(a), f(x
i
), f(b)] (i = 1, 2, , n).
b) Cách tìm giá trò lớn nhất (GTLN), giá trò nhỏ nhất (GTNN) trên một khoảng (a; b):
y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), ta có hai trường hợp:
x
a x
0
b
y'

Bài 3: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số y =
2
cos2x + 4sinx trên đoạn [0;
2

].
0 bcad

0bcad

A
B
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
4
Bài 4: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x
4
- 2x
2
+ 1 trên đoạn [0; 2].
Bài 5: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x- e
2x
trên đoạn [-1; 0].
Bài 6: Tím các giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) f(x) =
x45 
trên đoạn [-1; 1]; b) f(x) = 1 +
2
9 x
trên đoạn [-3; 3];

trên khoảng (-; +).

2) Tìm giao điểm của hai đường - Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò:
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thò (C
1
) và hàm số y = g(x) có đồ thò là (C
2
).
Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của (C
1
) và (C
2
).

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thò hai hàm số:
a) (C): y = x
2
- 2x + 2 và d: y = x; b) (C): y = x
3
+ 4x
2
+ 4x + 1 và d: y = x + 1;
c) (C): y = x
3
- 3x và d: y = x
2
+ x - 4. d) (C): y = x
4
- 4x

và d: y = m - 2.

3) Viết phương trình tiếp tuyến:
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thò là (C) và M(x
0
; f(x
0
))  (C); f(x) có đạo hàm tại x = x
0
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x
0
; y
0
) có dạng: y - y
0
= f'(x
0
)(x - x
0
).
* Chú ý:
 Với f'(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x
0
.
 Đường thẳng y = kx + m có hệ số góc là k.
 Nếu tiếp tuyến tại M(x
0

2
có đồ thò (C), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm có tung độ bằng
4.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này song song với
đường thẳng y = -3x + 1.
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x
3
- 5x
2
+ 2 biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng y =
7
1
x - 4.
Bài 5: Cho parabol (P) : y =
2
x
– 2x +3. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P) trong các trường hợp
sau:
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
a) tại điểm có hoành độ
0
x
= 1;

3
+ 6mx
2
+ 6x - 5 đồng biến trên R.
Bài 3: Đònh m y = x
3
- 3mx
2
+ (m + 2)x – m đồng biến trên tập xác đònh.

5) Đònh tham số để hàm số đạt cực trò tại x
0
:
Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại x
0
thì f'(x
0
) = 0.

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Xác đònh m để hàm số y = x
3
- mx
2
+ (m -
3
2
)x + 5 có cực trò tại x = 1. Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay
cực đại?. Tính giá trò cực trò tương ứng.
Bài 2: Cho hàm số y =

+ 3x
2
.
b) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình -x
3
+ 3x
2
- m = 0.
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y =
1
32


x
x
tại điểm có hoành độ x
0
= -3 thuộc đồ thò
hàm số.
Bài 3: Cho hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 1, gọi đồ thò của hàm số là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 4: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x
3
- 3x + 1 trên đoạn [0; 2].
Bài 5: Cho hàm số y =

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số đã cho.
b) Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thò của hàm số đã cho tại
hai điểm phân biệt.
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
7
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

I. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ MŨ:
1/ Các đònh nghóa:
 a
n
= a. a a (n  Z
+
, n  1, a  R).

 a
1
= a, a  R; a
0
= 1; a
-n
=
n
a
1
.

n

a
a
= a
m – n
(a
m
)
n
= a
m.n
(ab)
n
= a
n
b
n
n
n
n
b
a
b
a
)(

b) Các tính chất biểu thò bằng bất đẳng thức:
i) Nếu 0 < a < b thì a
n
< b
n

)0(
)(
)(
4
1
4
3
4
1
3
2
3
1
3
4





a
aaa
aaa
; c)
6
2
3
4
)4(
a

Bài 2: Chứng minh rằng:
2352
)
3
1
()
3
1
( 
.
Bài 3: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
a) A =
3
5
9
39
; b) B =
5
23
22
2
; c) C =
3
3
aaaa
;
d) D =
4
3
2

thì x
1
= x
2
(x
1
> 0, x
2
>0).
c) Nếu a > 1 thì log
a
x > 0 khi x > 1, log
a
x < 0 khi 0 < x < 1.
Nếu 0 < a < 1 thì log
a
x > 0 khi 0 < x < 1, log
a
x < 0 khi x >1.
2/ Các đònh lí về lôgarít:
Đònh lí 1: Với mọi cơ số 0 < a  1, ta có:
x =
x
a
a
log
, x  R
*

; x = log

2
> 0, ta có:
2
log
1
log
2
1
log x
a
x
a
x
x
a


Đònh lí 4: Với mọi cơ số 0 < a  1, x > 0, ta có: log
a
x

= log
a
x
Hệ quả: Nếu
n
1


thì x

b.log
b
a = 1  log
a
b =
a
b
log
1
.
Hệ quả 2: Với mọi   0 và x > 0 thì
x
a
x
a
log
1
log



.

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2log
27
1
a

; i)
6log
1
6log
1
32

.
Bài 2: Tính
a)
2log320log
10log4log
22
22


. b)
)

(log
4
5
4
3
2
a
aaa
a
c)


2
1
logx = log3.
III. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT:
1/ Phương trình mũ cơ bản:
a
x
= a
b
 x = b, (a > 0, a  1)
a
x
= c  x = log
a
c,(a > 0, a  1, c > 0)
2/ Phương trình lôgarít cơ bản:
Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: log
a
x = log
a
b  x = b
log
a
x = c  x = a
c
3/ Bất phương trình mũ:
 Nếu a > 1 thì: a
f(x)
< a
g(x)


101
010
akhix
akhix
.
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
 Nếu a > 1 thì: (x
1
> x
2
 log
a
x
1
> log
a
x
2
).
 Nếu 0 < a < 1 thì: (x
1
> x
2
 log
a
x
1

a) 9
x
- 5.3
x
+ 6 < 0; b) log
0,5
(4x + 11) < log
0,5
(x
2
+ 6x + 8); c) log
3
(x+ 2) > log
9
(x + 2);
d)
x
x
2
2
log
1
1log 
; e)
3
2
45.125
5.74
12


x
– 17.4
x
+ 8 = 0 (x =
2
3
; x =
2
1

); d) 25
x
– 12.2
x
– 6,25.0,16
x
= 0 (x = 1);
e) 4
x
-
xxx 
 2.34
1
(x = 4); f) 5
x – 1
+ 5.0,2
x – 2
= 26 (x = 1; x = 3).
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 5



2
2
3.368
(x = 4; x =
18log
3

); d)
0455
1

 xx
(x = 0);
e) 6.9
x
– 13.6
x
+ 6.4
x
= 0 (x = 1); f)
10)245()245( 
xx
(x = 1);
i) 8
x
– 3.4
x
– 3.2

(x = -3; x = -2); b)
2162
2
5
6
2

 xx
(x = -3);
c) 2
x
+ 2
x - 1
+ 2
x – 2
= 3
x
- 3
x - 1
+ 3
x – 2
(x = x = 2); d) 2
x
.3
x – 1
.5
x – 2
= 12 (x = 2);
e) 3
4x + 8

1
lg2
2
lg4
1



 xx
(x = 10; x = 100); e) 1 + log
2
(x – 1) = log
x-1
4 (x = 3; x =
4
5
);
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
6
39


x
x
(x < -3 hoặc -2 < x < 1); b)
42
3
2

3
1
x
;
c) log
3
(x - 3) + log
3
(x - 5) < 1; f) log
2
(x + 3) ≥ 1 + log
2
(x – 1) (1 < x < 5);
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
10
CHỦ ĐỀ 3: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
 Bài toán: Tính

b
a
dxxf )(



b
a
dxxf )(

; b)


4
0
325 dxx
; c)



1
0
2
)( dxee
xx
.

: TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC
 Nếu hàm phân thức có bậc đa thức tử lớn hơn hoặc bằng bậc đa thức mẫu thì ta chia đa thức; nếu bậc
đa thức tử nhỏ hơn bậc đa thức mẫu ta dùng hệ số bất đònh A, B.

 Bài toán mẫu số 1: Tính


2
1
2
3
dx
x

x
x

=
2
3
+ ln2
 Bài toán mẫu số 2: Tính




4
2
3
2
dx
x
x

 Ta có




4
2
3
2
dx

4
2
34
13
dx
xx
x
.
 Ta có



5
4
2
34
13
dx
xx
x
=





5
4
)
3

+ bx + c có hai nghiệm x
1
, x
2
thì ax
2
+ bx + c = a(x - x
1
)(x - x
2
)
 Bài tập: Tính tích tích phân các hàm phân thức:
a)



3
2
1
1
dx
x
x
; b)


1
0
1
dx








x
B
x
A
xx
x
xx
x

=
)3)(1(
3)(


xx
BAxBA

Giải hệ:









xx
x
x
x
x
x

Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
11
e)


1
0
2
32xx
dx
; f)



0
1
2
32xx
dx

với x
0
 (a; b).
 Bài tập: Tính các tích phân sau:
a)




1
3
2x
dx; b)


2
0
2
dxxx
; c)


3
0
2
2dxxx
;
d)
dxxx


a
dxxf )(

 Đặt t = (x)  dt = '(x)dx
Đổi cận: x = a  t
1
= (a)
x = b  t
2
= (b)
Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C là hằng số)
Khi đó ta có I =
 

b
a
t
t
b
a
dttfCdxxxfCdxxf
2
1
)(.)(')].([.)(


 Bài toán 2: Tính J =

b
a

,
1
xa
xa


(đặt x = atant)
 Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)


1
0
2009
)1( dxxx
; b)
dxxx


1
0
8
2
1
; c)


2
1

1x
dxx
; g)

2
0
2cos
2sin

xe
x
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
12
a)


3
1
2
4 x
dx
; b)


1
0
2
 Đặt












v
dxdu
dxdv
u
. Khi đó ta có I =


b
a
vdu
a
b


1
0
dxxe
x
;
d)


2ln
0
dxxe
x
; e)


1
0
)1ln(2 dxxx
; f)

e
xdx
1
2
ln
.

: TÍCH PHÂN HÀM LƯNG GIÁC
 Thông thường khi tính tích phân hàm số lượng giác ta biến đổi lượng giác trước khi tính tích phân, gặp


dxxxx
;
d)

2
3
3
sin
cos


dx
x
x
; e)

2
0
22
cossin

xdxx
; f)


2
0
2
sin)32(

 Chú ý: Giả sử ,  là hai nghiệm thuộc đoạn [a; b] của phương trình f(x) = g(x) thì:
S =



a
dxxgxf )]()([
+




dxxgxf )]()([
+


b
dxxgxf

)]()([

 Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x
3
; x + y = 2 và trục hoành; b) y = 2x - x
2
; x + y = 0;
c) y
2

2
, trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = -1;
d) bởi đồ thò hàm số y =
1x
xx
2


và trục hoành;
e) bởi trục hoành, trục tung , đồ thò hàm số y = x
3
- 3x + 1 và đường thẳng x = -1.

: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI VẬT THỂ TRÒN XOAY
 Trong bài toán giới hạn của hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) (y = g(x) không phải
là trục Ox) thì vẽ hình để xác đònh hình phẳng tạo nên vật thể tròn xoay khi quay quanh Ox.

 Bài toán: Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0, quay xung quanh trục Ox
tạo thành một vật thể tròn xoay T. Tính thể tích vật thể tròn xoay T?
 Thể tích vật thể tròn xoay T là: V = 

b
a
dxxf
2
)]([
.
 Bài tập:
Bài 1: Tính thể tích các khối vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi
quay quanh trục Ox:

14
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC

1) Đònh nghóa:
 Số phức có dạng z = a + bi (a, b  R) với a là phần thực, b là phần ảo.

1
2
i

2
1
z
z
z


22
. baibaz 
; 
ibazibaz 


22
bazz 






+ b
2
)i  z
1
- z
2
= (a
1
- a
2
) + (b
1
- b
2
)i
 z
1
.z
2
= (a
1
a
2
- b
1
b
2
) + (a
1
b

2
1









(nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu)
 Số thực âm r có hai căn bậc hai là i
r
.

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Hãy thực hiện các phép tính:
a) 5 + 2i - 3(-7 + 6i); b) (2 -
3
i)(
2
1
+
3
i); c) (1 +
2
i)
2
; d)

z
; d) z + z
2
+ z
3
.
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
2
- 6x + 29 = 0; b) x
2
+ x + 1 = 0; c) x
2
- 2x + 5 = 0;
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
4
- 5x
2
+ 4 = 0; b) x
4
- 3x
2
- 4 = 0; c) 2x
4
+ 3x
2
- 5 = 0.

* Bài tập tự luyện:

54
32


; h)
i5
3
;
i)
)22)(4(
32
ii
i


; j)
iii
2
1
)2
2
3
)(
3
1
3( 
; k)
)
5
4

Tài liệu lưu hành nội bộ
15
d)
3 5i
2 4i
z


; e)
i
i
z
i
i





2
31
1
2
.
Bài 3. Tìm môđun của các số phức sau:
a) z = 1 + 4i + (1 - i)
2
; b) z = 4 – 3i + (1 – i)
3
.

i)
2
.
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) x
2
- 4x + 7 = 0; b) x
3
+ 8 = 0; c) x
2
- 2x + 2 = 0;
d) x
2
- x + 1 = 0; e) x
2
+ 3x + 3 = 0.
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) z
2
+ 5 = 0; b) z
2
+ 2z + 2 = 0; c) z
2
+ 4z + 10 = 0;
d) z
2
- 5z + 9 = 0; e) -2z
2
+ 3z - 1 = 0; g) 3z
2

3
, SA = a.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Các cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60
0
.
Tính thể tích khối chóp.
Bài 7: Nếu hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a và góc ASB bằng 60
0
. Tính thể tích khối
chóp.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông
góc với đáy (ABCD). Nếu SA = 2a, AB = a, BC = 3a thì thể tích khối chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại A, mặt bên BB'C'C là hình vuông có
diện tích bằng 2a
2
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 10: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a
3
và hình chiếu
vuông góc với A' lên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy một
góc 60
0
. Đỉnh A' cách đều các đỉnh ABCD. Tính thể tích khối hộp.

II. MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN:
Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 60
0
. Xác đònh tâm và bán

.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Bài 13: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
Bài 14: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, chiều cao h = a
3
. Tính diện tích
mặt trụ nội tiếp trong lăng trụ.
* Một số bài toán trong các đề thi:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh
bên SB bằng a
3
.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của
cạnh BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 6*: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' =
a
2

= xx' + yy' + zz'
ª









'
'
'
zz
yy
xx
vu

ª
u

cùng phương
v

(
0


v





''
;
''
;
''
],[
yx
yx
xz
xz
zy
zy
vu

ª
222222
'''
'''.
),cos(
zyxzyx
zzyyxx
vu
vu
vu



; y
A
- y
B
; z
A
- z
B
) ª AB =
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx 

ª Trung điểm của AB: I(
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx 
)
ª Trọng tâm tam giác ABC: G(
3
;
3
;
3
CBACBACBA

kjv



12 
và
)2;7;1(w

.
a) Tìm tọa độ
d

biết
wvud


3
3
1
4 
; b) Tìm tọa độ
e

biết
vuwe

4)(2 
.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(4; -1; 1), B(2; 1; 0), C(2; 3; 4). Tính chu vi tam giác
ABC.


= (2; 5; 8).
a) Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ
cba



,,
không đồng phẳng.
b) Hãy phân tích vectơ
d

theo hai vectơ
ba


,
từ đó kết luận gì về ba vectơ
dba


,,
.
c) Phân tích vectơ
u

= (2; 4; 11) theo ba vectơ
cba



Tài liệu lưu hành nội bộ
19
Hỏi bộ ba nào thẳng hàng?
Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho vectơ
a

= (1; -3; 4).
a) Tìm y
0
và z
0
để cho vectơ
b

= (2; y
0
; z
0
) cùng phương
a

.
b) Tìm tọa độ của vectơ
c

biết rằng
a

,
c


 ,
và
u

=
21
.
Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(1; 0;1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh
còn lại của hình hộp.
Bài 12: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó. Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao
của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Bài 13: Cho các điểm A(2; 1; -2), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D  Oy.
a) Tính diện tích ABC;
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC;
c) Tính góc giữa hai đường thẳng OA và BC.
Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1). Hãy tìm trên mặt phẳng
(Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A, B, C.

2. Phương trình mặt cầu:
ª Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính r có dạng:
(x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= r

+ y
2
+ z
2
+ 4x + 8y - 2z - 4 = .
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.
b) (S) có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ.
c (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; -3 và B(-2; 3; 5;
d (S) đi qua bốn điểm A(1; 2; 2, B(0; 0; 1, C(2; 4; 1, C(4; 2; -1.
Bài 3: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu khi đó xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu:
a) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
+ 8x + 4y - 12z - 100 = 0; b) x
2
+ 2y
2
+ z
2
- 6x + 2y - 16z - 26 = 0;
c) x
2
+ y
2
+ z
2


) có giávuông góc với mp().
ª Nếu mặt phẳng () song song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương
ba


,
thì mặt phẳng () có
một vectơ pháp tuyến là
],[ ban



.
M(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
vectơ pháp tuyến của mp(

)

u
= (A; B; C)

0
) + C(z - z
0
) = 0
* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:
a) () đi qua điểm M(2; 0; 1) và nhận vectơ
n

= (1; 1; 1) làm vectơ pháp tuyến.
b) () đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vectơ
u

= (0; 1; 1),
v

= (-1; 0; 2).
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua A(2; -1; 4) và vuông góc BC biết B(3; 2; -1), C(0; -2; -1).
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6).
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(3; 1; -1), B(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng ()
có phương trình x - y + z + 1 = 0.
Bài 6: Viết phương trình mp(P) đi qua A(0; 2; 0) và song song mp(Q): 2x + 3y - 4z - 2 = 0.
Bài 7: Viết phương trình mp(Q) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; -1), C(0; 3; 0) và chứng minh bốn điểm A,
B, C và D(-1; -3; 4) tạo thành một tứ diện.
Bài 8: Lập phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Bài 9: Lập phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp:
a) () chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2);
b) () đi qua hai điểm A(-1; 4; -1), B(1; 1; 3) và song song với trục Oy.
c) () đi qua điểm O và chứa đường thẳng AB với A(1; 2; 3), B(-1; 1; 3).

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(2; 1; 3) và nhận mp(P): 2x - 2y + z - 16 = 0 làm tiếp diện.

Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
21
Bài 4: Cho đường thẳng d:
2
1
1
1
2




zyx
. Viết phương trình mặt cầu có tâm trên d và tiếp xúc với hai
mặt phẳng (): x + y - 2z + 5 = 0 và (): 2x – y + z + 2 = 0.
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương
trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
Bài 6: Cho A(1; 0; 2), B(1; 1; 0),C(0; 0; 1), D(1; 1; 1).
a) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình đường cao DH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc vơí mặt cầu ngoại tiếp tứ diện tại A.
Bài 7: Viết phương trình mp(P) song song với trục Oz, vuông góc mp(Q): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt
cầu (S): x
2
+ y
2
+ z

000

có phương trình tham số









)(
0
0
0
Rt
ctzz
btyy
atxx

* Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng đi qua hai điểm P(2; 3; -1) và Q(1;
2; 4).
Bài 2: Viết phương trình tham của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua A(3; 2; -1) và song song với đường thẳng
43
1
2
1 zyx


tz
ty
tx
46
32
23
và d':








tz
ty
tx
20
41
5
.
Bài 4: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng





04523

sx
2
32
chéo nhau và vuông góc nhau.
Bài 6: Lập phương trình đường thẳng d biết:
a) d đi qua điểm A(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P):x - 2y + 1 = 0;
Tài liệu ôn thi TN THPT môn Toán 12
Tài liệu lưu hành nội bộ
22
b) d đi qua B(-1; 2; -3), song song với (Q):x + 2y - z = 0 và vuông góc với d':








tz
y
tx
3
0
2
;
c) d tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z

.
Bài 8: Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng
1
1
4
2
3
2 



 zyx
trên mp(P): x + 2y + 3z + 4 = 0.
Bài 9: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các trường hợp:
a)
,
5
4
3
3
2
2
:
1





 zyx


 zyx
, ':
4
1
2
1
4
2 





 zyx
.
5. Vò trí tương đối và khoảng cách:
Bài 12: Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) đến mặt phẳng 2x - y + 2z - 9 = 0.
Bài 6: Cho A(2; -2; 0), B(4; 2; -2), Viết phương trình mp(P) vuông góc với AB và cách M(1; -1; 0) một
khoảng bằng 3.
Bài 8: Cho (): 4x + ay + 6z - 10 = 0, (): bx - 12y - 12z + 4 = 0. Xác đònh a, b để () // () rồi tính khoảng
cách từ () đến ().
Bài 9: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Tín độ dài đường cao thuộc đỉnh A của tứ diện
ABCD.