LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH. Trần Hữu Phát,
người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền
tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày
càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau
Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội và các Giáo sư, Phó
Giáo Sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức
quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong
thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, tháng 9 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Xuân TuấnLỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Nguyễn Xuân Tuấn, học viên cao học khóa 2011 – 2013
chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose –
Einstein các khí Bose tương tác yếu”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của
riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng
với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, tháng 9 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Xuân Tuấn

các hiện tượng lượng tử tương tự với những hiện tượng đã biết trong thủy
động học cổ điển, chẳng hạn hiện tượng không ổn định Kelvin-Helmholtz,
không ổn định Rayleigh – Taylor. Đề tài: “Tính chất nhiệt động của ngưng tụ
1
Bose – Einstein các khí Bose tương tác yếu” nghiên cứu một cách hệ thống sự
phụ thuộc của áp suất và năng lượng của hệ vào nhiệt độ tuyệt đối, đặc biệt là
ở gần đúng nhiệt độ thấp và ở gần đúng nhiệt độ cao.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Trên cơ sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein, nghiên cứu khí Bose
tương tác yếu.
- Xác định sự phụ thuộc của áp suất và năng lượng vào nhiệt độ
T
ở
trong gần đúng nhiệt độ thấp và ở gần đúng nhiệt độ cao.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khí
Bose tương tác yếu, chỉ ra được sự phụ thuộc của áp suất và năng lượng
vào nhiệt độ T, vẽ được đồ thị liên hệ giữa áp suất và năng lượng vào
nhiệt độ T ở gần đúng nhiệt độ thấp.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Hệ khí Bose tương tác yếu một thành phần.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn.
- Phương pháp giải tích toán học.
- Phương pháp tính số.
6. Cấu trúc luận văn.
- Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ Bose – Einstein.
- Chương 2: Tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khí
Bose tương tác yếu.
2

thuyết đã làm rõ nhiều vấn đề, đưa ra và đã phát triển cách thức mạnh mẽ để
mô phỏng thực nghiệm.
Các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng không bị
ảnh hưởng, bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử
khác, phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh
dấu bởi bước sóng De Broglie
2
2
2
dB
B
k mT
π
λ
 
=
 ÷
 
h
, k
B
là hằng số Boltzmann,
m
là
khối lượng nguyên tử,
T
là nhiệt độ của khí. Ở nhiệt độ phòng bước sóng De
Broglie nhỏ hơn rất nhiều lần so với khoảng cách trung bình giữa các nguyên
tử. Điều này có nghĩa là sóng vật chất của các nguyên tử riêng lẻ là không
tương quan với nhau hoặc là bị rối vào nhau và khí có thể được mô tả bởi

Những kĩ thuật làm mát bằng laser, làm mát phân cực gradient và bẫy
từ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử. Những kĩ
thuật này đã thay đổi sâu sắc bản chất làm lạnh. Nguyên tử ở nhiệt độ dưới
mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nguyên tử
kiềm là rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser bởi vì quá trình có
quang học có thể được kích thích bởi laser có sẵn và bởi chúng có thuận lợi là
có cấu trúc mức năng lượng dễ làm mát ở nhiệt độ thấp, tuy nhiên nhiệt độ
thấp nhất mà làm mát bằng laser kĩ thuật có thể đạt được bị giới hạn bởi năng
lượng photon đơn. Các con đường thành công để ngưng tụ Bose-Einstein là
sự kết hợp hài hòa của phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một
kim loại kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi,
làm mát bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao được phép thoát ra khỏi mẫu
nguyên tử vì vậy năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm. Sự va
5
chạm đàn hồi làm phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bố
vận tốc của các nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell-Boltzmann
nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc
cường độ với nhược điểm duy nhất là số lượng của các nguyên tử bị mắc kẹt
giảm. Thách thức trong việc làm mát cho kim loại kiềm là câu hỏi là: làm thế
nào mật độ nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không
đáng kể, phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mật độ thấp, nơi mà ánh
sáng laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử. Mặt khác đòi hỏi phải có
mật độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, cần sản xuất tỉ lệ va
chạm đàn hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không để kéo
dài tuổi thọ của các khí bị mắc kẹt.
Cho bay hơi làm mát để làm việc, nguyên tử mất đi phải được cách li
nhiệt từ môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh
vực điện, vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương
pháp tốt nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường. Sau khi nguyên tử bị mắc
kẹt và làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và một điện thế được xây

 
(1.1)
trong đó
( )dN
ε
là số các mức năng lượng trong khoảng từ
ε
đến
d
ε ε
+
.
Ta đi tìm
( )dN
ε
. Theo quan điểm lượng tử, các hạt Boson chứa trong
thể tích
V
có thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác
định
( )dN
ε
bằng cách áp dụng công thức
2
2
( )
2
N k V
dN k dk dk
k

h
(1.3)
Ta có thể viết công thức (1.2) dưới dạng
2
2 3
( )
2
p dp
dN p V
π
=
h
(1.4)
Nhưng đối với các hạt phi tương đối tính
2
2
p
m
ε
=
(1.5)
Từ đó
2 3
2p dp m d
ε ε
=
(1.6)
do đó theo (1.4) ta được
3
2 3

dN d
ε ε ε
π
=
h
(1.8)
Như vậy theo công thức (1.2) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng
từ
ε
đến
d
ε ε
+
3
2 3
2
( )
2
exp 1
m Vg d
dn
ε ε
ε
ε µ
π
θ
=
−
 
−

(1.10)
Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học
µ
. Ta xét
một số tính chất tổng quát của thế hóa học
µ
đối với khí Bose lí tưởng. Đầu
tiên ta chứng minh rằng
0
µ
<
(1.11)
Thực vậy, hạt trung bình
( )dn
ε
chỉ có thể là một số dương, do đó, theo
(1.9), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu ở (1.9) là luôn luôn dương (nghĩa là
khi
0
µ
<
, để cho
exp
ε µ
θ
−
 
 
 
luôn luôn nhỏ hơn 1 với mọi giá trị của

ε µ
µ
θ
µ
θ
ε µ
θ
ε ε
ε ε
θ
ε µ
θ
θ
θ
ε µ
θ
∞
∞
∞
∞
−
 
 
 
∂
 − 
−  
∂
 
−

(1.12)
Nhưng do (1.11) nến
0
ε µ
− >
, do đó các biểu thức dưới dấu tích phân ở vế
phải của (1.12) là luôn luôn dương với mọi giá trị của
ε
, và vì vậy
0
µ
θ
∂
<
∂
(1.13)
Do đó, khi nhiệt độ hạ xuống
µ
có thể tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớn
hơn (nhưng vẫn âm) và cuối cùng
µ
có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không
(
0
µ
=
) ở cùng một nhiệt độ
0
T
bằng cách đặt

 
∫ ∫
h
h
(1.14)
biết rằng
0
2,31
1
x
xdx
e
∞
=
−
∫
ta được
2/3
4 1/3 2
0
2/3
(2 )
(2,31 )
N
g m V
π
θ
 
=
 ÷

0
θ θ
<
điều kiện (1.10) chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt
'
N N<
. Thực vậy đối với
0
θ θ
<
và
0
µ
=
điều kiện (1.10) có dạng phương trình (1.14), từ đó
3/2
'
0
N
N
θ
θ
 
=
 ÷
 
(1.17)
Do số hạt toàn phần trong hệ lại không đổi, vì vậy kết quả vừa thu được
phải được đoán nhận vật lí một cách đặc biệt. Điều mà
'

   
− −
   
   
h
(1.18)
Còn các hạt còn lại
'
N N−
, cần phải được phân bố như thế nào đó khác
đi, chẳng hạn như tất cả các số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là
chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn
0
T
một phần các hạt của khí Bose sẽ nằm
ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được
phân bố trên các mức khác theo định luật
1
exp 1
ε
θ
 
−
 
 
Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó, một số hạt của khí Bose
chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí Bose phân bố
khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không
tuyệt đối (

*
1
£
2
t
i
m
ψ ψ ψ
= ∂ − ∇
(2.2)
Bây giờ xây dựng Hamiltonian H và toán tử số hạt
3 *
N d x
ψ ψ
=
∫
, hàm
phân bố chính tắc lớn được đưa ra bởi công thức

( )
( , ) Tr
H N
e
β µ
β µ
− −
Ξ =
(2.3)
Ở đây
1

ở đây trường
( , )x
ψ ψ τ
=
bây giờ là hàm của thời gian ảo
it
τ
=
. Động lực
học của nó bị chi phối bởi mật độ Lagrangian Euclidean

2
* *
1
£
2
E
m
τ
ψ ψ ψ µψ ψ
= ∂ + ∇ −
(2.5)
11
ở đây chúng ta đã bao gồm cả các đóng góp từ thế hóa học.
2.1.1 Hình thức trường phức.
Vì tích phân (2.4) là Gaussian, nó có thể ngay lập tức được đánh giá.
Kết quả cho năng lượng tự do
ln /
β
Ω = − Ξ

(2.7)
ở đây
2 /
n
n
ω π β
=
tương ứng với tần số Matsubara. Sau đó chúng ta có
1
( , ) ln( )
n k
k n
i
β µ ω ε µ
β
∞
=−∞
Ω = − + −
∑ ∑
(2.8)
ở đây
2
/ 2
k
k m
ε
=
là năng lượng đơn hạt. Nó có thể theo quy tắc tổng phân kì
bằng cách lấy đạo hàm với chú ý đến
k k

e T e
β
β µ
−
 
Ω = + −
 
 
∑
(2.10)
Sau khi loại bỏ hằng số vô hạn, áp suất của khí bây giờ là đơn giản
/P V= −Ω
. Lấy thể tích vô hạn ta được
3
( )
3
1
( , ) ( ) ln(1 )
(2 ) 2
k
k
d k
P T e
β ε µ
β µ ε µ
π
− −
 
= − − + −
 

µ
như một hàm của nhiệt độ và mật độ, từ áp
suất sau đó có phương trình trạng thái, nó bao gồm đường tới hạn, xác định
bởi
0
µ
=
, tức là
3/2
3
3
1
(3 / 2)
(2 ) 1 2
k
d k mT
e
βε
ρ ζ
π π
 
= =
 ÷
−
 
∫
(2.13)
Vì mật độ cao hơn giá trị tới hạn, áp suất trong khí được xem là không phụ
thuộc vào mật độ, pha ngưng tụ này có một hệ số nén vô hạn, điều đó là phi
vật lí. Lực thế giữa các hạt sẽ giải quyết các vấn đề này và ngưng tụ Bose-

có dạng
2
ˆ
2
ab ab ab
M i
m
τ
µ δ
 
∇
= ∂ − +
 ÷
 
ò
(2.16)
13
ở đây
ab
ò
là tenxơ phản đối xứng hai chiều với
12
1=ò
. Sau khi biểu diễn tác
động tương ứng trong điều kiện của các thành phần Fourier phức trong (2.7),
hàm phân bố bây giờ được đưa bởi hàm tích phân
* * * *
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1
, ,
1

2
ψ
ở thời gian cố định với đường truyền
:
(0)
11
1
1
k
D
e
=
:
(0)
22
2
1
k
D
e
=
(2.18)
Trong khi đó số hạng động lực học cung cấp tương tác với đỉnh đơn giản
:
n
ω
:
n
ω
−

truyền. Sự tương tác động sẽ xáo trộn các trường trong hai sơ đồ vòng lặp
14
(2.21)
này. Trường một sẽ chuyển sang trường hai và ngược lại với hằng số liên kết
là
n
ω
. Khi hàm truyền tự do có
1 2
0
, 0
ψ ψ
=
thì chỉ các vòng lặp với một số
chẵn của tương tác sẽ đóng góp. Sau đó chúng ta sẽ tìm thấy năng lượng tự do
đầy đủ
=
2 4 6
1 2
,
1 2 1 2 1 2
1
ln( )
2 1( ) 2( ) 3( )
n n n
k k
n k
k k k k k k
e e
e e e e e e

. Chúng ta tìm được
D
11
=
*
1 1
ψ ψ
=
= + + + …
=
(0) (0) (0) (0)
11 11 22 11
( ) ( )
n n
D D D D
ω ω
+ −

+
(0) (0) (0) (0) (0)
11 22 11 22 11
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
D D D D D
ω ω ω ω
− − +
=
(0)
11 2
2 (0) (0) 2

(2.24)
và
D
12
=
*
1 2
ψ ψ
=
= + + …
=
2
1 2
n
n k k
e e
ω
ω
+
(2.25)
với
21 12
= −
D D
. Những kết quả này đơn giản có thể tóm tắt trong phương
trình Dyson-Schwinger cho đường truyền đầy đủ
(0) (0) (0)
ab ab ac cd db
D D D D= + Π
(2.26)

=
 ÷
 
(2.27)
Lấy nghịch đảo sau đó chúng ta dễ dàng có
2
1
2
1
1 2
1
k n
ab a b ab
n k
n k k
e
D M
e
e e
ω
ψ ψ
ω
ω
−
 
= = =
 ÷
−
+
 

. Trong lí thuyết lượng tử hóa lần hai nó sẽ tương ứng với một số
hạng tương tác
* 2
( )
λ ψ ψ
trong Lagrangian.
Lagrangian của trường vô hướng thực tương đối tính
Ψ
có thể được
viết như sau
2
2 4
0 0
1
£
2 2
m
µ
µ
λ
= ∂ Ψ∂ Ψ − Ψ − Ψ
(2.30)
trong thời gian thực. Ở đây
0 3
µ
=
và
0
λ
là hằng số nối tương đối tính. Vì

* * 2
1
£ ( )
2
t
i
m
ψ ψ ψ λ ψ ψ
= ∂ − ∇ −
(2.32)
với hằng số liên kết phi tương đối tính
2
0
3 / 2m
λ λ
=
.
2.2.1 Trạng thái cơ bản cổ điển.
Bao gồm các tương tác ở trên. Lagrangian Euclidean (2.5) mô tả các
boson được thay đổi thành
17
2
* * * 2
1
£ ( )
2
E
m
τ
ψ ψ ψ µψ ψ λ ψ ψ

=
và do đó
2
( )P
µ λρ
=
. Mật độ năng lượng ở trạng thái cơ bản
( )
ρε
xuất phát từ biến
đổi nhiệt động lực học Legendre
( ) ( )P
ρ µρ µ
ε
= −
(2.35)
Bằng cách này chúng ta đã khắc phục một trong những vấn đề của khí lí
tưởng Bose, cụ thể là hệ số nén vô hạn của pha ngưng tụ. Điều cần tiếp theo
là bao gồm lượng tử và dao động nhiệt xung quang trạng thái cơ bản cổ điển.
2.2.2 Sự dao động Gaussian.
Biểu thị trường dao động bằng
χ
, Chúng ta có thể viết trường Bose
đầy đủ như sau
[ ]
1
( ) ( )
2
x v x
ψ χ

M
bây giờ là
2
ˆ
( ) 2
2
ab ab ab a b
M i v v v v
m
τ
λ µ δ λ
 
∇
= ∂ − − × + +
 ÷
 
ò
(2.38)
Lấy biến đổi Fourier của toán tử, nó trở thành

2
2
3
k n
ab
n k
v
M
v
ε µ λ ω

2
2 4
1 2
( , )
a ab b
d d x M
V v v
e D D e
β
µ λ
τ χ χ
β
β µ χ χ
 
 
− +
− − +
 
 ÷
 
 
∫ ∫
Ξ =
∫
(2.40)
V là thể tích của hệ và
2
int 1
£ ( ) ( )
4

, năng
lượng kích thích bây giờ là
19
2 2
( )( 3 )
k k k
v v
ω ε µ λ ε µ λ
= − + − +
(2.43)
Tổng hợp các tần số Matsubara có sử dụng (2.9), chúng ta có được năng
lượng tự do

2 4
1 1 1
( , ) ln(1 )
2 4 2
k
k
k
v v v T e
V V
βω
µ λ
µ ω
 
Ω = − + + + −
 
 
∑

→
nó trở nên tuyến tính và miêu tả cho các kích thích phonon.
Đây là hệ quả của định lí Goldstone, cái đòi hỏi sự kích thích với sự tán sắc
tuyến tính tương quan khi một sự đối xứng liên tục bị phá vỡ tự phát.
2.2.3 Tái chuẩn hóa.
Tổng vô hạn trong (2.44) được xem là khác nhau rõ rệt trong giới hạn
tử ngoại
k
→ ∞
. Một phân kì tương tự cũng được tìm thấy. Chúng ta có thể
loại bỏ phân kì mạnh bằng cách trừ đi số hạng đầu tiên trong (2.10) vì vậy
chúng ta tìm lại được áp suất trong khí không tương tác. Lấy giới hạn thể tích
vô hạn sau đó chúng ta sẽ có thế năng hiệu dụng

3
2 4
3
1
( , , ) ( ) ln(1 )
2 4 (2 ) 2
eff
d k
U v T v v T e
βω
µ λ
µ ω ε µ
π
−
 
= − + + − + + −

χ
.
Ở nhiệt độ không chúng ta có được thế năng hiệu dụng sau khi tái chuẩn hóa
2 4
3
2 4
3
( , , 0)
2 4
1 1 1
( )
2 (2 ) 2 4
eff
U v T v v
d k
v v
µ λ
µ
ω ε µ δµ δλ
π
= = − +
+ − + − +
∫
(2.48)
Điều này bây giờ có thể tạo hữu hạn bởi hiệu chỉnh lượng
δµ
và
δλ
. Thế
năng hiệu dụng phụ thuộc vào nhiệt độ đóng góp trong (2.46) là hữu hạn và vì

π ε π ε
Λ Λ
= = − + − +
   
+ − + − + + −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
Phân kì trong tích phân sau bị loại bỏ vì chứa số hạng phản
3
3
3 2
2
(2 ) 3
d k
λ
δµ λ
π π
Λ
= = Λ
∫
(2.49)
và
21
3 2 2
3 2
(2 )
d k
m
λ λ

. Sau
đó chúng ta có kết quả hữu hạn

2 4
3 2 4
2
3
( , , 0)
2 4
1
2
2 (2 ) 2
eff
U v T v v
d k v
v
µ λ
µ
λ
ω ε µ λ
π ε
= = − +
 
+ − + − +
 ÷
 
∫
(2.52)
Với giá trị vô hạn cho hằng số liên kết
µ