www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 1 -
I/ PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính
chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu 2 (1 điểm):
Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu 3 (1 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu 4 (1 điểm):
- Tìm giới hạn.
- Tìm ngun hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu 5 (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vng góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh
của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện
tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Phương pháp tọa độ trong khơng gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 9b (1 điểm):
- Số phức.
- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lơgarit.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số. www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 2 -
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị:
- Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải của 3 dạng hàm số sau:

- Lƣu ý khi vẽ đồ thị:
+ Khơng đƣợc vẽ đồ thị ra ngồi mặt phẳng tọa độ.
+ Nét vẽ đồ thị phải trơn, khơng có chỗ gấp khúc. Thể hiện sự “uốn” của đồ thị tại các điểm uốn.
+ Đánh dấu tọa độ của các giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ; các điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn
(nếu có).
2. Phƣơng trình lƣợng giác:
- Ghi nhớ các cơng thức lƣợng giác, quan hệ giữa các góc lƣợng giác, giá trị lƣợng giác của các góc đặc
biệt và cách giải các dạng phƣơng trình lƣợng giác đƣợc nêu trong SGK.

- Nắm vững các bất đẳng thức thơng dụng, đặc biệt là BĐT Cơ-si và BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki.
- Với một số bài tốn tìm cực trị của hàm nhiều biến, ta nên quy về cực trị của hàm 1 biến rồi dùng ứng
dụng của đạo hàm trong việc tìm min, max của hàm số.
7. Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong khơng gian: Nên ghi định hƣớng làm bài (sơ đồ
giải) trƣớc khi giải.
8. Số phức: Một số bài tốn có thể ứng dụng cơng thức Moa-vrơ nếu có thể đƣa các số phức về dạng
lƣợng giác của các góc đặc biệt.

www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 4 -

Vấn đề 1: Tìm cực trò của hàm số 16
1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1. 16
2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2. 16
Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 16
Vấn đề 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị 16
Vấn đề 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 17
1. Định nghĩa: 17
2. Chú ý: 17
Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 17
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng) 17
Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) 18
1. Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1) 18
2. Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2) 18
3. Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3) 18
4. Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x
0
) + y

Version 2 – Tháng 2/2013 - 5 -
Vấn đề 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C
1
): y = f(x) và C
2
): y = g(x) 21
Vấn đề 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song
hoặc vng góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc 21
Vấn đề 14: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với
đồ thị (C): y = f(x) 21
Vấn đề 15: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp
tuyến đó vng góc với nhau 21
Vấn đề 16: HỌ ĐỒ THỊ 22
Vấn đề 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
m
): y = f(x, m) 22
Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng có đồ thị nào của họ đồ thị (C
m
): y = f(x, m) đi qua 22
Vấn đề 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (C
m
): y = f(x, m) đi qua 22
Vấn đề 20: TẬP HỢP ĐIỂM 23
1. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M. 23
2. Dạng 2: 23
Vấn đề 21: HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng) 23
1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
()y f x
. 23
2. Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số

3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 29
Đối với một hàm số lượng giác: 29 3.1.
Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx 29 3.2.
Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx: 29 3.3.
4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 30
Tổng bình phương : 30
4.1.
Đối lập : 30 4.2.
Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC 30
1. Phƣơng pháp 1: Dùng các cơng thức lƣợng giác đƣa về phƣơng trình dạng tích. 30
2. Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng trình đại số: 31
3. Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác về việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác bằng
cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. 31
4. Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số 32
Vấn đề 4: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC 36
1. Tam giác thường ( các đònh lý) 36
Chú ý: 37 1.1.
2. Hệ thức lượng tam giác vuông: 37
Vấn đề 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ 37
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Ax = B 39
39 1. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PT VÀ BPT ÔN THI ĐẠI HỌC:
Vấn đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 39
40 1. MỘT SỐ VÍ DỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC:
Phƣơng pháp đƣa về dạng tích 42 1.1.
Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 42 1.2.
Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax
2
+ bx + c = 0 ( a  0) 43
Vấn đề 4: DẤU NHỊ THỨC 44
Vấn đề 5: DẤU TAM THỨC 44

Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẩu: 48 1.5.
1.5.1. TH1: Mẩu ln dƣơng hoặc ln âm thì ta quy đồng khử mẩu: 48
1.5.2. TH2: Mẩu âm dƣơng trên từng khoảng thì ta chia thành từng trƣờng hợp: 49
Dạng 2: 49 1.6.
Dạng 3: 50 1.7.
Dạng 4: (Đặt ẩn phụ khơng triệt để). 50 1.8.
Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lƣợng giác). 51 1.9.
Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình). 51 1.10.
2. Phƣơng pháp hàm số 52
Vấn đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54
Vấn đề 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54
Vấn đề 1: BẢNG TÍCH PHÂN 55
1. Công thức NewTon _ Leibnitz : 55
2. Tích phân từng phần : 55
3. Đổi cơ số : 55
4. Tính chất : 55
5. Bảng tích phân : 55
Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 57
Vấn đề 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 58
Vấn đề 4: Thiết lập công thức truy hồi 58
Vấn đề 5: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 58
1. Diện tích hình phẳng 58
2. Thể tích vật thể 59
Vấn đề 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 60
Vấn đề 2: Khoảng cách trong không gian 61
www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 8 -

Thể tích: 67 2.2.
3. HÌNH NĨN CỤT 67
Diện tích: 67 3.1.
Thể tích: 68 3.2.
4. HÌNH CẦU 68
Vấn đề 8: GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 68
www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 9 -
1. PHƯƠNG PHÁP: 68
2. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
trong khơng gian 68
Vấn đề 1: BẤT ĐẲNG THỨC 73
1. Đònh nghóa : 73
2. Tính chất : 73
3. BĐT Cô Si : 73
4. BĐT Bunhia Côp ski (chú ý) 73
5. BĐT BecnuLi : 73
6. BĐT tam giác : 74
Vấn đề 2: Cấp số cộng, cấp số nhân 74
1. Cấp số cộng: 74
2. Cấp số nhân: 74
3. Ví dụ: 74
Vấn đề 1: VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ : 76
Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG 76
1. Phương trình tham số : 76
2. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A
2

1
và d
2
: 78
12. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d
1
và d
2
: 78
Vấn đề 3: ĐƢỜNG TRÕN 79
1. Phƣơng trình đƣờng tròn: 79
2. Sự tƣơng giao giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn: 79
3. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn 79
www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 10 -
Dạng 1: Tiếp tuyến của (C) tại M(x
0
;y
0
) có dạng: 79 3.1.
Dạng 2: Tiếp tuyến của (C) đi qua M(x
0
;y
0
) 79 3.2.
Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vng góc) với đƣờng thẳng : Ax + By 3.3.
+ C = 0 79
Dạng 4: Tiếp tuyến của (C) khi biết trƣớc hệ số góc k: 80 3.4.

Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 85
1. Phƣơng trình tham số : 85
2. Phƣơng trình tổng qt : 85
3. Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn : 85
4. Các dạng chính tắc : 85
5. Chùm mặt phẳng : 86
www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 11 -
6. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG 86
7. GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 86
8. KHOẢNG CÁCH 86
Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 87
1. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 87
Phƣơng trình của các trục tọa độ : 87 1.1.
Chuyển dạng phƣơng trình tổng qt sang dạng tham số, chính tắc : 87 1.2.
2. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG 87
3. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 88
4. GĨC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 88
Góc giữa hai đƣờng thẳng : 88
4.1.
Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng : 89 4.2.
5. KHOẢNG CÁCH 89
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : 89 5.1.
Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng : 89 5.2.
Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau : 89 5.3.
6. HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG 89
Điểm 89 6.1.
Đƣờng thẳng 90 6.2.

6. Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và

(Q) 91
7. Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;

(Q) và // với dt (d) 91
8. Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. 91
9. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A 91
10. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (

) 91
11. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và


(Q) 91
12. Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h 91
13. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h 91
14. Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc


90
0
92
15. Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(

)một góc


90
0


(P) 94
5. Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vng góc với cả 2 dt (d
1
),(d
2
) 94
6. Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp 94
7. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) 94
8. Dạng 8: Viết pt đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đƣờng thẳng d
1
, d
2
: 94
9. Dạng 9: Viết pt đƣờng thẳng d song song d
1
và cắt cả d
2
, d
3
95
10. Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vng góc đƣờng thẳng d
1
và cắt d
2
95
11. Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp
()

, cắt đƣờng thẳng d' 95

0
, 45
0
,
60
0
) 96
18. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d
1
góc
00
(0 ;90 )


. 96
19. Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d
1
góc
00
(0 ;90 )


. 96
20. Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vng góc d
1
và khoảng cách từ M đến d bằng h. 97
Vấn đề 7: CÁC DẠNG TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 97
1. Dạng 1. Xác định vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng và mặt phẳng 97
2. Dạng 2. Xác định hình chiếu vng góc của điểm M lên mặt phẳng
()

()

100
8. Dạng 8. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

qua M và cắt
1

,
2

với
1

,
2

chéo nhau và
khơng đi qua M 100
9. Dạng 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

cắt
1

,
2

và song song với
3


để 12.2.
MA MB
max. 104
Dạng 3: Cho 2 điểm
1 1 1 2 2 2
( ; ; ); ( ; ; )A x y z B x y z
. Tìm
M 
cho trƣớc sao cho (MA + 12.3.
MB) min 104
Vấn đề 8: CÁC DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU 105
1. Phƣơng trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R 105
2. Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 105
3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu 105
4. CÁC DẠNG TOÁN 105
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A 105 4.1.
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB 106 4.2.
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp() 106 4.3.
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 106 4.4.
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α) 106 4.5.
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A. 106 4.6.
Dạng 7: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu: 106 4.7.
Vấn đề 1: HÀM SỐ LIÊN TỤC 107
Vấn đề 2: ĐẠO HÀM 107
www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 14 -
1. Đònh nghóa đạo hàm : 107
2. Qui tắc tính đạo hàm : 107

Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT 113
www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 15 -
1. Ngun tắc đếm 113
Chú ý: 113
1.1.
2. XÁC SUẤT 113
Khơng gian mẫu: 113 2.1.
Xác suất: 113 2.2.
CÁC CƠNG THỨC 113 2.3.
Vấn đề 3: Nhị thức NIUTƠN 114
1. Cơng thức nhị thức Newtơn: 114
2. Các nhận xét về cơng thức khai triển:
()
n
ab
114
3. Một số dạng đặc biệt: 114
4. Các dạng tốn ứng dụng nhị thức NewTơn 115
1. Khái niệm số phức 117
2. Biểu diễn hình học: 117
3. Cộng và trừ số phức: 117
4. Nhân hai số phức : 117
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z a bi
118
6. Môđun của số phức : z = a + bi 118
7. Chia hai số phức: 118

Xét dấu f

(x). Nếu f

(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

Tính f

(x).
 Giải phương trình f

(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).

Tính f

(x) và f

(x
i
) (i = 1, 2, …).
+ Nếu f

(x


Hàm số bậc ba
32
y ax bx cx d   
có cực trị

Phương trình y

= có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng hai cách:
+
32
0 0 0 0
()y x ax bx cx d   

+
00
()y x Ax B
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y

.

Hàm số
2
''
ax bx c

0
0
()
()
()
Px
yx
Qx

hoặc
0
0
0
'( )
()
'( )
Px
yx
Qx

Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.


Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et.

Vấn đề 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị
1. Hàm số bậc ba


  

Các điểm (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2. Hàm số phân thức
2
()
()
()
P x ax bx c
y f x
Q x dx e

  

.


Giả sử (x

Vấn đề 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
1. Định nghĩa:
 Đƣờng thẳng
0
xx
đgl đƣờng tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít nhất một trong các điều
kiện sau đƣợc thoả mãn:

0
lim ( )
xx
fx


 
;
0
lim ( )
xx
fx


 
;
0
lim ( )
xx
fx

f x y



 Đƣờng thẳng
,0y ax b a  
đgl đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít nhất một trong
các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:

 
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b

  
;
 
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b

  

2. Chú ý:
a) Nếu
()
()
()

fx
a b f x ax
x
 
  Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng)
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc khơng xác định.
+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
 Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phƣơng).
– Tính y.
– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.
+ Vẽ các đƣờng tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị nhƣ giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trƣờng
hợp đồ thị khơng cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm
thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 18 -
y

2

O
Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng)

 Cơ sở của phƣơng pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hồnh độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
 Để biện luận số nghiệm của phƣơng trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:
1. Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phƣơng trình hồnh độ giao điểm của hai đƣờng:
(C): y = f(x)
d: y = m
 d là đƣờng thẳng cùng phƣơng với trục hồnh.
 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
2. Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tƣơng tự nhƣ trên, có thể đặt g(m) = k. Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
3. Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3)
(k: khơng đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phƣơng trình hồnh độ
giao điểm của hai đƣờng:
(C): y = f(x)

 d quay quanh điểm cố định M
0
(x
0
; y
0
).
 Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, … của (C) đi qua M
0
.
 Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận.
Chú ý:


Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:



x



thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với


Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 19 -
x
1
x
A
x
B

x
C

C
(C)
y
CĐ

y
A
o
x
2

x
a > 0
y
CT

B

B
f(0
)
x
1

x
A

x
B

x
C

C
(C)
y
CĐ

y

A
o
x
2

x
a < 0
y

o
x
2

y
CT

y
CĐ

1. Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3
Trƣờng hợp 1: 1.1.
(1) chỉ có 1 nghiệm

(C) và Ox có 1 điểm chung



CĐ CT
f không có cực trò h a
f có cực trò
hb
yy
( .1 )
2
( .1 )
.0




(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt



2
( .3)
.0
CĐ CT
f có cực trò
h
yy





2. Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt 2.1.


(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương


2
.0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò









Vấn đề 9: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG.

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
(C) của hàm số tại điểm
 
0 0 0
; ( )M x f x
.
Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
 
0 0 0
; ( )M x f x
là:
y – y
0
= f (x
0

2
+ bx + c thì (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau  phƣơng trình
2
ax bx c px q   
có nghiệm kép. Vấn đề 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng)

www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 20 -
1. Bài tốn 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm
 
0 0 0
;M x y
:


Nếu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0


(x
0
).(x – x
0
)
2. Bài tốn 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trƣớc.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.


Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Tính f

(x
0
).




có hệ số góc k

f

(x
0
) = k (1)



(*)


Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của

.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến

có thể được cho gián tiếp như sau:
+

tạo với chiều dương trục hồnh góc

thì k = tan


+

song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+

vng góc với đường thẳng d: y = ax + b (a

0) thì k =
1
a



), y

0
= f

(x
0
).


Phương trình tiếp tuyến

tại M: y – y
0
= f

(x
0
).(x – x
0
)




đi qua
( ; )
AA
A x y
nên: y

A
)




tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )
'( )
AA
f x k x x y
f x k

  



(*)

Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc
1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có
nghiệm:

( ) ( )
'( ) '( )

Version 2 – Tháng 2/2013 - 21 -
Vấn đề 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C
1
): y = f(x) và C
2
): y = g(x)

1. Gọi

: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
).
u là hồnh độ tiếp điểm của

và (C
1
), v là hồnh độ tiếp điểm của

và (C
2
).




tiếp xúc với (C
1
) và (C


(v)

u = h(v) (5)


Thế a từ (2) vào (1)

b =

(u) (6)


Thế (2), (5), (6) vào (3)

v

a

u

b. Từ đó viết phương trình của

.
2. Nếu (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ x
0



Vì

// d nên f

(x
0
) = k
d
(1)
hoặc



d nên f

(x
0
) =
1
d
k

(2)


Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x
0
. Từ đó tìm được M(x


( ) ( ) (1)
'( ) (2)
MM
f x k x x y
f x k

  



Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f

(x) + y
M
(3)


Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Vấn đề 15: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp
tuyến đó vng góc với nhau

Gọi M(x
M

).f

(x) + y
M
(3)


Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)

(3) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.


Hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau

f

(x
1
).f

(x
2
) = –1
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hồnh thì
www.VNMATH.com

0
= f(x
0
, m) (1)
Xem (1) là phƣơng trình theo ẩn m.
Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (C
m
) đi qua M.
 Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (C
m
) đều đi qua M.
Khi đó, M đƣợc gọi là điểm cố định của họ (C
m
).
 Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (C
m
) đi qua M.
 Nếu (1) vơ nghiệm thì khơng có đồ thị nào của họ (C
m
) đi qua M.

Vấn đề 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
m
): y = f(x, m)
Cách 1:


Gọi M(x
0
; y

Am + B = 0,

m

Dạng 2: (1)


2
0Am Bm C  
,

m


0
0
A
B





(2a)


0
0
0
A

) là điểm cố định (nếu có) của họ (C
m
).
M(x
0
; y
0
)

(C
m
),

m

y
0
= f(x
0
, m),

m (1)


Đặt F(m) = f(x
0
, m) thì F(m) = y
0
khơng đổi.


)

(C
m
),

m

y
0
= f(x
0
, m) vơ nghiệm m (1)


Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:


Dạng 1: (1)

Am + B = 0 vơ nghiệm m


0
0
A
B











(2b)
Chú ý:

Kết quả là một tập hợp điểm.


Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị khơng đi qua.

Vấn đề 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (C
m
): y = f(x, m) đi qua


Ta có: M(x
0
; y
0
)

(C
m
)


Trƣờng hợp 1: M
()
()
x f m
y g m






Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:
F(x, y) = 0 (gọi là phƣơng trình quĩ tích)
Trƣờng hợp 2: M
()
()
x a hằng số
y g m






Khi đó điểm M nằm trên đƣờng thẳng x = a.
Trƣờng hợp 3: M
()
()
x f m
y b hằng số

có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
+ Giữ ngun phần đồ thị (C) ở phía trên trục hồnh.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dƣới trục hồnh qua trục hồnh.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.
2. Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số
 
y f x
.
Đồ thị (C) của hàm số
 
y f x
có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
www.VNMATH.com
Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học
ếp
Version 2 – Tháng 2/2013 - 24 -
(d)
(C)
(D)
B
A
I
A
B
I
+ Giữ ngun phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.
y A x
Qx

, với A(x) là đa thức, a là số ngun.


Khi đó
x
y







Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x ngun để Q(x) là ước số của a.


Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.

Vấn đề 23: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d

d là trung trực của đoạn AB

Phương trình đường thẳng

vng góc với d: y = ax = b có dạng:

Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d

I

d, ta tìm
được m

x
A
, x
B


y
A
, y
B


A, B.
Chú ý:

A, B đối xứng nhau qua trục hồnh


AB
AB
xx
yy







A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a


2
AB
AB
x x a
yy




Vấn đề 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I

I là trung điểm của AB.
www.VNMATH.com