MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Phươ ng pháp:
Ta thường dùng các biến đổi cơ bản sau

sin c o s 2 sin 2 cos
4 4
a a a a
 
   
   
   
   

.

sin 3 cos 2sin 2cos
3 6
a a a a
 
   
   
   
   

.

3 sin c o s 2sin 2cos
6 3
a a a a
 


 
        
 
 
,
k


.
Vậy nghiệm của phương trình là :
6 2
k
x
 
  
,
k


.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau

4 4
4 sin os 3 sin 2 4
2 2
x x
c x
 
   


 
           
 
 

2 2
1
6 6
sin(2 ) , .
2
7
6 2
2 2
3
6 6
x k
x k
x k
x k
x k
 




 




k


.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau

2 2
2cos 2 3 os4 4cos 1
4
x c x x

 
   
 
 


3
Giải
Phương trình
 
3 1 os 4
2
c x

 
   
 
 
2 2

12
36 3
x k
k
x


 

 




 


Vậy nghiệm của phương trình là :
12
, .
36 3
x k
k
k
x


 

 

 
 
.
Khi đó phương trình


4

2
2 3 os 2sin 3 cos sin 4 3 3 sinx cos
c x x x x x
    



2
3 2cos 1 sin 4 sin 2 sin 4 3 sinx cos
x x x x x
      
2 2
3 6
3 os2 sin 2 3 sinx cos sin 2 sin
3 6
2 2
3 6
x x k
c x x x x x
x x k
 




 


,
k


, kết hợp điều kiện t a có
2
6
3
k
x
 
 
v ớ i
1 3
k n
 
,
n


.
Vậy nghiệm của phương trình là :
2
6
3

x k


  
,
k


.
2.
2 2 cos (sinx cos ) os2 3
x x c x
  
Đáp số: Phương trình vô nghiệm.
3.
3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0
x x x x
  
Đáp số:
2
;
18 3 6 2
k k
x x
   
    
,
k



x x
x x


 

Đáp số:
2
18
3
k
x
 
  
,
k


.
6.
2 4
2sin sin sin 2 3 cos cos os 1
3 3 3 3
x x x x x c x
   
       
     
       
       
HD:

c x

 
  
 
 
. Đáp số:
5
24
x k


 
,
3
8
x k


 
,
k


.
8.
2 3
2 os( ) 6 sin( ) 2sin( ) 2sin( )
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x



.

Dạng 2: Đưa về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác
Phươ ng pháp:
Dùng các phép biến đổi cơ bản đưa phương trình dạng phức tạp về phương
trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau



2
cos 2sin 3 2 2cos 1
1
1 sin 2
x x x
x
  




2

Giải
Điều kiện:
sin 2 1
x
 

cos 2
2 4
x x k


     
.Kết hợp kiện
2
4
x k


  
,
k


.
Vậy nghiệm của phương trình là:
2
4
x k


 
,
k


.

   
2
cos 0
6
2cos 3cos 0
6 6
3
cos
6 2
x
x x
x

 


 
 
 

 
   

     
   

   
 
 



 
 
 
 

v ô n g h i ệ m .
Vậy nghiệm của phương trình là:
2
3
x k


 
,
k


.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau

2
tan 5sin 1
4
x x

 
  
 
 








2 2
1 tan 1 tan 1 tan 1 6 tan
x x x x
    


2
tanx 7 tan 5tan 2 0 tan 0
x x x
     
x k

 
,
k


(thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của phương trình là:
x k


,


 
,
2
3
x k


 
,
k


.
2.
   
2 2sin 1 4 sinx 1 os 2 sin 2
4 4
x c x x
 
   
      
   
   
HD: Đưa phương trình về dạng:


2
sin 2 1 sinx 2 0
x

 
   
    
   
   
. Đáp số:
2
2
x k


 
,
5
2
6
x k


  
,
k


.
4.
os2 3 sin 2 3 sinx cos 4 0
c x x x
    
HD:Đưa phương trình về dạng:

 



HD:Đưa phương trình về dạng:
2
3sin 2 sin 2 4 0
x x
  
. Đáp số:
5
2
4
x k


 
,
k


.
6.


2
5sin 2 3 1 sinx tan
x x
  


1
sin 2 1
x x x x
x
  



HD:Đưa phương trình về dạng:
2
2sin 3 2 sin 2 0
x x
  
. Đáp số:
2
4
x k


  
,
k


.
8.
2 2
2 1
sin sin 1 cos
3 3 2

Đưa phương trình về dạng tích điều quan trong nhất là làm sao phát hiện
được nhân tử chung một cách nhanh nhất. Ngoài phương pháp sử dụng công thức biến đổi lượng
giác: biến tích thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc Ta thường dùng các biến đổi cơ
bản sau đây:




2
sin 1 cos 1 cos
a a a
  
;




2
os 1 sina 1 sina
c a   

 
2
1 sin 2 sin cos
a a a
  
;
 
2
1 sin 2 sin c o s


1




1 os2 os3 cos sinx sin 2 0
c x c x x x
      
2
2sin 2sin 2 sin sinx 2sin cos 0
x x x x x
    


sinx 2sin 2sin 2 1 2cos 0
x x x
    




sinx 2sin 1 2cos 1 2cos 0
x x x
 
    
 




x k
x k
x k











  



  



 


,
k


. Vậy nghiệm của phương trình là:



,
k


.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau

9
os2 3sin 2 5 2 sin 3
4
c x x x

 
   
 
 


2

Giải
Phương trình







      

k


. Vì
2 2 2
4 2 5
 
n ê n
4sin 2cos 5 0
x x
  
v ô n g h i ệ m
Vậy nghiệm của phương trình là:
4
x k


  
,
k


.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau

os2 3sin 2 6cos 9sin 8 0
c x x x x
    

x x
   
1 sinx 0
sinx 1 2
6cos 2sin 7 0
2
x k
x x


 

     

  

,
k


vì
2 2 2
6 2 7
 
n ê n
6cos 2sin 7 0
x x
  
v ô n g h i ệ m .
Vậy nghiệm của phương trình là:

x k


  
,
4
x k


 
,
k


.
2.
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c

 
  
 
 

HD: Đưa phương trình về dạng:



   

HD: Đưa phương trình về dạng:
 
sin 2cos 1 0
4
x x

 
  
 
 
. Đáp số:
4
x k


 
,
2
3
x k


  
,
k


.




1 s inx sinx cos sin x cos 1 0
x x
    
. Đáp số:
2
x k


,
2
2
x k


 
,
k


.
6.
   
4 2
sinx 3 sin sinx 3 sin 1 0
2 2
x x
    

x
    
. Đáp số:
2
2
x k


 
,
2
4
x k


  
,
k


.
8.
4 6
os os2 2sin 0
c x c x x
  
HD: Đưa phương trình về dạng:


4 2

  
  
.Đáp số:
,
x k


k


.
10.
2sin 2 os2 7sin 2cos 4
x c x x x
   
HD: Đưa phương trình về dạng:




2sin 1 2cos sinx 3 0
x x
   
.Đáp số:
5
2
6
x k




Giải
Phương trình


1
 
3
3
1 (sin os ) 3sin cos sinx cos sin 2
2
x c x x x x x
     

Đặt
sinx cos
t x
 
, với
2
t 


2
1
sin x cos
2
t
x


4 4
x k
x k
x x
x k
x k
 




 
 


   


  
 

        

 

 

 
  


8 os ( ) os3
3
c x c x

 


2

Giải
Đặt
3 3 os3 os3
3 3
t x x t x t c x c t
 

          
, khi đó p hương trình


2


3 3 3 3 2
8cos os3 8cos 3cos 4 os 12cos 3cos 0 3cos 4cos 1 0
t c t t t c t t t t t
           
2
6
cos 0 cos 0

 


 
      


 
  

  

 






,
k


.
Vậy nghiệm của phương trình là:
6
x k


 

sin x cos 0 si n 2 0
x x
  
.
Khi đó phương trình


3
3 3 2 2
(t a n cot ) (tan cot ) (t a n cot ) 6
x x x x x x
      
     
3 2
tanx+cotx 3tan cot tanx+cotx tanx+cotx 2 tan co
t (t a n cot ) 6
x x x x x x
      
     
3 2
tan cot tan c o t 2 tan cot 8 0
x x x x x x
       
. Đặt
tanx+cotx 2
t t
  
. Khi đó
ta có:


Bài tập: Giải các phương trình sau
1.
3 3
sin os os2
x c x c x
 

HD: Đưa phương trình về dạng




sin cos sinx cos sin x cos 1 0
x x x x
    
,Đặt
sin cos
t x x
 
. Đáp số:
4
x k


  
,
2
x k




 
,
k


.
3.
3 2
os os 2sin 2 0
c x c x x
   
HD: Đưa phương trình về dạng




1 sinx sinx+cos s i n x c o s 1 0
x x
   
,Đặt
sin cos
t x x
 
. Đáp số:
2
2
x k





 
,
4
x k


  
,
k


.
5.


2 2
3cot 2 2 sin 2 3 2 cos
x x x
  

HD: Chia 2 vế phương trình cho
2
sin
x
rồi đặt


2

10 2 2 10 2
x x
 
   
  
   
   
HD: Đặt
3
2sin sin 3
10 2
x
t t t

   
. Đáp số:
3
2
5
x k


 
,
14
2
5
x k



x k


 
,
k


.
8.
2 2
3tan 4 tan 4cot cot 2 0
x x x x
    
HD: Đưa phương trình về dạng:
   
2
tanx+cotx 4 tanx+cotx 4 0
  
. Đáp số:
4
x k


  
,
k


.


,
5
3
x


.
2. (TSĐH khối B_2002)
2 2 2 2
sin 3 o s 4 sin 5 os 6
x c x x c x
  

14
Đáp số:
x k


,
9
k
x


,
k


.

x


.
4. (TSĐH khối A_2003)
2
os2 1
cot 1 sin sin 2
1 t anx 2
c x
x x x
   


Đáp số:
4
x k


 
,
k


.
5. (TSĐH khối B_2003)
2
cot t anx 4sin 2
sin 2
x x

 
,
4
x k


  
,k


.

7. (TSĐH khối B_2004)


2
5sin 2 3 1 sinx tan
x x
  

Đáp số:
2
6
x k


 
,
5
2 ,

k


.
9. (TSĐH khối A_2005)
2 2
os 3 cos 2 os 0
c x x c x
 
Đáp số:
2
k
x


,
k


.
10. (TSĐH khối B_2005)
1 sinx cos s i n 2 os2 0
x x c x
    
Đáp số:
4
x k


  

,
k


.
12. (TSĐH khối A_2006)


6 6
2 sin os si n x cos
0
2 2sin
x c x x
x
 



Đáp số:
5
2
4
x k


 
,
k



14. (TSĐH khối D_2006)
os3 os2 cos 1 0
c x c x x
   
Đáp số:
,
x k


2
2
3
x k


  
,
k


.
15. (TSĐH khối A_2007)




2 2
1 sin cos 1 os sinx 1 sin 2
x x c x x
    

k
x
 
 
,
5 2
,
18 3
k
x
 
 
,
2
,
18 3
k
x
 
 
k


.
17. (TSĐH khối D_2007)
2
sin os 3 cos 2
2 2
x x
c x

x
x
x


 
  
 
 
 

 
 
Đáp số:
4
x k


  
,
8
x k


  
,
5
,
8
x k

20. (TSĐH khối D_2008)


2sin 1 cos2 s i n 2 1 2cos
x x x x
   

Đáp số:
2
2
3
x k


  
,
4
x k


 
,
k


.
21. (TSĐH khối A_2009)


  

Đáp số:
2
6
x k


  
,
2
42
7
k
x
 
 
,
k


.
23. (TSĐH khối D_2009)
3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0
x x x x
  
16
Đáp số:
18 3
k
x
 


Đáp số:
2
6
x k


  
,
7
2
6
x k


 
,
k


.
25. (TSĐH khối B_2010)



sin 2 cos 2 cos 2cos2 s i n 0
x x x x x
   
Đáp số:
4 2

k


.
27. (TSĐH khối A_2011)

2
1 sin 2 os2
2 sin x sin 2
1 cot
x c x
x
x
 



Đáp số:
2
2
x k


 
,
2
4
x k



.
29. (TSĐH khối D_2011)

sin 2 2cos sinx 1
0
t anx 3
x x
  



Đáp số:
2
3
x k


 
,
k


.
30. (TSĐH khối A,A1_2012)
3 sin 2 os2 2cos 1
x c x x
  
Đáp số:
2
x k

2
3
x k


 
,
2
3
k
x


,
k


.
32. (TSĐH khối D_2012)

sin3 os3 sinx cos 2 os2
x c x x c x
   

Đáp số:
7
2
12
x k
