PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khoá IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục – đào tạo
phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có
năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực
thực hiện mục tiêu lớn của đất nước”.
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban
Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) đã đề ra:
Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những
phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo
điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu”.
Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh”.
Chương trình môn Toán thí điểm trường THPT (2002) chỉ rõ: “Môn
Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành
khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống; phát triển
khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể”.
GS. Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: “Cách dạy phổ biến hiện nay là
thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố
gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý,
cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để tính toán, chứng minh”.
1
GS. Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến
việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và
chán nản”.

mới cho bản thân, rút ra từ kho tàng hiểu biết chung của loài người và là quá
trình học sinh xây dựng, kiến tạo nên những kiến thức cho bản thân thông qua
các hoạt động để thích ứng với môi trường học tập mới”.
1.4. Xuất phát từ đặc điểm của tư duy toán học, đó là sự thống nhất giữa
suy đoán và suy diễn: Nếu trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được
thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên. Nhưng, nếu nhìn
Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, thì trong phương pháp của
nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, có thực nghiệm và quy nạp. Vì vậy, trong dạy học
Toán, phải chú ý tới cả hai thương diện, suy luận chứng minh và suy luận có
lý thì mới khai thác được đầy đủ các tiềm năng môn Toán để thực hiện mục
tiêu giáo dục toàn diện. G. Polia cho rằng: “Nếu việc dạy Toán phản ánh mức
độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó
phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý” [13].
1.5. Trong những thập kỷ qua, các nước trên thế giới và Việt Nam đã
nghiên cứu và vận dụng nhiều lý thuyết và phương pháp dạy học theo hướng
hiện đại nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh. J.Piaget cho rằng:
“Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức” và “Nhận
thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính người
học”. Thực tiễn dạy học cho thấy: do trình độ của học sinh không đồng đều và
thời lượng quy định cho từng tiết học không đủ cho tất cả các đối tượng học
3
sinh nắm bắt vấn đề; cần có những cách thức tổ chức dạy học cho từng loại
đối tượng học sinh mới có thể kích thích các em học tập tự giác, tích cực.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm ra những cách thức tổ chức dạy học phù hợp với các đối tượng học
sinh: học sinh yếu kém, học sinh trung bình và học sinh giỏi toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nghiệm vụ nghiên cứu những vấn đề sau:
• Khái niệm về trí tuệ, thích nghi trí tuệ;
• Quá trình nhận thức của học sinh THPT;

toán THPT.
6.4. Từ tư tưởng của luận văn có thể phát triển sang các chủ đề khác;
dạy học phải được xem là dạy cho học sinh biết cách thích nghi.
1. Cấu trúc luận văn
Phần mở đầu
Phần nội dung: Gồm 3 chương
Chương 1: cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: vận dụng một số quan điểm thích nghi trí tuệ trong dạy
học bộ môn toán thông qua chủ đề vectơ-toạ độ.
Chương 3: thực nghiệm sư phạm
Phần kết luận của luận văn
5
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm thích nghi, trí tuệ và thích nghi trí tuệ
1.1.1. Khái niệm thích nghi
J.Piaget định nghĩa thích nghi là quá trình tạo lập sự cân bằng giữa
hành động của cơ thể lên môi trường sống xung quanh. Đó là quá trình tác
động qua lại giữa cơ thể với môi trường.
Theo vế thứ nhất, cơ thể tác động lên các khách thể xung quanh nó
(chiều thuận ), qua đó hấp thụ các chất dinh dưỡng và biến đổi chúng phù hợp
với cấu trúc đã có của cơ thể. Quá trình hấp thụ và biến đổi chất dinh dưỡng
này được gọi là đồng hóa.
Theo chiều ngược lại, môi trường tác động lên cơ thể, do biến động nào
đó. Sự đáp lại tích cực của cơ thể dẫn đến làm thay đổi các cấu trúc đã có của
nó cho phù hợp với môi trường. Quá trình biến đổi này được gọi là điều ứng.
Như vậy, có thể định nghĩa thích nghi là sự cân bằng giữa đồng hóa và
điều ứng. quá trình này có tính chất hai mặt: tổ chức và thích nghi. Hai mặt
này không tách rời mà bổ sung cho nhau của một cơ thể duy nhất. Tổ chức là
mặt bên trong, còn thích nghi là mặt bên ngoài.

sống nhằm đạt được sự cân bằng giữa (a) việc thích nghi với môi trường hiện
tại (b) việc hình thành môi trường mới và (c) việc lựa chọn những môi trường
mới”.
Trước hết trí tuệ đòi hỏi tri thức, hay kiến thức song tâm điểm của trí
tuệ là cái tri thức ngầm, không chính thức, học được ở trường đời, chứ không
phải là loại kiến thức hiển lộ được dạy chính thức trong nhà trường. Người ta
7
có thể là "một bộ từ điển bách khoa sống" song vẫn tỏ ra có ít hoặc không có
trí tuệ bởi vì các kiến thức người ta cần để khôn ngoan sáng suốt lại chẳng tìm
thấy trong bách khoa toàn thư, trong cái kiểu giảng dạy thấy ở hầu hết các
nước (trừ nơi nào có dạy theo kiểu thông thái của Socrat). Trí tuệ đòi hỏi tư
duy phân tích, song đó cũng không phải là kiểu tư duy phân tích đang được
nhấn mạnh ở các trường hay đo đạc qua các trắc nghiệm về năng lực học vấn.
Quan điểm của Sternberg về tư duy sáng tạo cũng rất mới lạ độc đáo
Theo ông, những giải pháp khôn ngoan, sáng suốt (hàm ý trí tuệ) cũng thường
là những giải pháp sáng tạo. "Tư duy sáng tạo thường vội vã, phiêu lưu, trong
khi đó tư duy trí tuệ lại cân bằng". Nói như vậy không có nghĩa là cùng một
con người không thể vừa sáng tạo lại vừa sáng suốt khôn ngoan, mà ông
muốn nói rằng loại tư duy cần để vừa sáng tạo vừa sáng suốt khôn ngoan là
một loại khác và không nhất thiết phải tìm thấy ở cùng một con người.
Với cái tri thức ngầm này, người có trí tuệ phải có được sự cân bằng
giữa các lợi ích, của ta-của người-của toàn thể. Có được sự cân bằng này rồi
còn phải biết hành động để đáp ứng sự cân bằng đó. Vì vậy người ta phải biết:
thích ứng với môi trường hiện hữu và nếu thay đổi mình để thích ứng với môi
trường đó chưa đủ thì lại phải hình thành và thay đổi môi trường đó. Và khi
cảm thấy rằng không thể nào thích ứng được hoặc khó có thể thích ứng hay
thay đổi môi trường đó thì phải biết lựa chọn môi trường mới ví dụ như quyết
định rời bỏ một công việc, một cộng đồng, hay bất cứ điều gì khác.
Tóm lại, lý thuyết cân bằng về trí tuệ cho thấy sự khác biệt về chất giữa
trí thông minh, hiểu biết thông thường và sự thông minh hiểu biết sáng suốt

thời điểm khác nhau trong cuộc đời.
9
8. Chỉ cho học sinh thấy tầm quan trọng của tư duy đối thoại mà nhờ đó
chúng hiểu được lợi ích và các ý tưởng từ nhiều quan điểm khác nhau.
9. Dạy học sinh tìm kiếm và đi đến lợi ích chung, một lợi ích mà ở đó ai
cũng có phần chứ không phải chỉ mình và những người thân của mình được
hưởng.
10. Khuyến khích và ban thưởng cho trí tuệ.
11. Dạy học sinh theo dõi và suy nghĩ các sự kiện trong cuộc đời của
chúng. Một cách để nhận ra lợi ích của những người khác là bắt đầu nhận
dạng những lợi ích của mình.
12. Giúp học sinh hiểu được tầm quan trọng của việc phòng ngừa bản thân
chống lại sức ép của việc mất cân đối giữa lợi ích của bản thân và lợi ích của
nhóm.
J. Piaget lại tiếp cận trí tuệ từ một hướng khác, dựa trên các “sơ đồ nhận
thức”. Theo J.Piaget, sơ đồ là những phạm trù kiến thức giúp ta giải thích và
hiểu được thế giới. Sơ đồ bao gồm không những một kiến thức mà cả quá
trình đạt được kiến thức đó. Khi có tiếp cận với một thông tin mới, thông tin
mới này sẽ được thêm vào, điều chỉnh hay làm thay đổi sơ đồ đã có trước đó.
Trên quan điểm đó J.Piaget cho rằng, cuộc sống là sự sáng tạo không
ngừng các dạng thức ngày càng phức tạp và là sự cân bằng ngày càng tăng
của các dạng thức này đối với môi trường. “Trí tuệ là một hình thức của
trạng thái cân bằng mà toàn bộ các sơ đồ nhận thức hướng tới”.
Nhìn từ góc độ biểu hiện, ta có thể tham khảo quan điểm của thuyết liên
tưởng: Trí tuệ đặc trưng bởi khả năng liên tưởng các biểu tượng, các khái
niệm, quan hệ khi chủ thể tác động vào môi trường giải thích đúng đắn các
tình huống mới [45].
Như vậy chưa có một định nghĩa nhất quán nào về trí tuệ nhưng có một
điều thống nhất giữa các quan điểm mà ta nhìn thấy được đó là năng lực giải
10

a n an
⊥ ↔ =


⊥ ↔ =

r r rr
r r rr
khách thể nhận thức, đưa nó vào trong các sơ dồ nhận thức đã có. Về lý
thuyết, đồng hóa không làm thay đổi (phát triển ) nhận thức, nó chỉ mở rộng
(làm tăng trưởng) cái đã biết. Điều ứng là quá trình thích nghi của chù thể với
những đòi hỏi đa dạng của môi trường, bằng cách tái lập những đặc điểm của
khách thể vào cái đã có, qua đó biến đổi sơ đồ đã có, tạo ra sơ đồ mới, dẫn
đến trạng thái cân bằng giữa chủ thể với môi trường. Cân bằng là tự cân bằng
của chủ thể giữa hai quá trình đồng hóa và điều ứng. Trong đồng hóa, các
kích thích được chế biến cho phù hợp với sự áp đặt của sơ đồ đã có. Còn
trong điều ứng, chủ thể buộc phải thay đổi sơ đồ cũ cho phù hợp với hoàn
cảnh mới. Như vậy đồng hóa là tăng trưởng , điều ứng là phát triển.
Ví dụ trong mặt phẳng học sinh đã được trang bị quy trình chứng minh
một véctơ bằng véctơ-không:
Để chứng minh
0
r
r
=a
ta chứng minh:
với
nm

r



⊥


⊥

r
v
r r
r
v
bằng này nhanh chóng bị phá vỡ do sự biến động của các yếu tố bên ngoài,
mà các sơ đồ đã có không đáp ứng được. Cơ thể buộc phải tiến hành đồng hóa
và điều ứng mới, tạo ra trạng thái cân bằng mới, dẫn đến sự thích nghi mới
cao hơn. Cứ như vậy, cân bằng thường xuyên được thiết lập và bị phá vỡ. Quá
trình hình thành và phát triển trí tuệ là sự liên tục hình thành các sơ đồ mới
trên cơ sở các sơ đồ đã có. Toàn bộ sự hình thành, phá vỡ và tái hình thành
các sơ đồ tạo thành một hệ thống sơ đồ phát triển theo một hướng nhất định.
Tóm lại, thích nghi trí tuệ là quá trình tạo lập sự cân bằng giứa sự đồng
hóa của thực nghiệm vào những cấu trúc diễn dịch và sự điều ứng của cấu
trúc ấy vào những sự kiện của thực nghiệm. Nói một cách khái quát, sự thích
nghi đòi hỏi một sự tác động qua lại giữa chủ thể và khách thể, sao cho chủ
thể có thể nhập vào khách thể mà vẫn tính đến những đặc điểm của mình; sự
thích nghi càng sâu sắc hơn khi đồng hóa và điều ứng đó càng được phân hóa
và bổ sung cho nhau tốt hơn [37].
Từ gốc độ phát triển trí tuệ, theo tâm lí học hoạt động: Thích nghi trí tuệ
biểu hiện khả năng chuyển hóa các chức năng tâm lí bên ngoài vào bên trong
thông qua công cụ ký hiệu với tư cách là công cụ tâm lí quy định tính chất xã
hội-lịch sử và thông qua hoạt động hợp tác giữa các chủ thể nhận thức.

quy luật quy định sự tồn tại, vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng .
Đó là con đường lý luận trong việc tiếp thu tri thức, kỹ năng, kỹ xão. Những
hiểu biết đó không chỉ đúng và thích hợp cho một tình huống nào đó, mà nó
đúng và thích hợp cho mọi hoàn cảnh tương tự. Do đó hoạt động dạy phải
phải tạo được ở người học những hoạt động thích hợp với mục đích của việc
14
tiếp thu. Sự tiếp thu như thế chỉ có thể diễn ra trong hoạt động học được điều
khiển một cách có ý thức của người lớn.
Hoạt động học không chỉ hướng vào việc tiếp thu những tri thức, kỹ năng,
kỹ xão mới mà còn hướng vào việc tiếp thu cả những tri thức của chính bản
thân hoạt động, nói cách khác là tiếp thu được cả phương pháp giành tri thức
đó (cách học). Do đó trong khi tổ chức hoạt động cho học sinh, người dạy vừa
phải ý thức được tri thức, kỹ năng, kỹ xão nào cần được hình thành ở học
sinh, vừa phải có một quan niệm rõ ràng thông qua sự tiếp thu tri thức, kỹ
năng, kỹ xão đó thì học sinh sẽ lĩnh hội được cách học gì, con đường giành tri
thức, kỹ năng, kỹ xão đó như thế nào (nói cách khác là những tri thức về hoạt
động học).
c) Đặc điểm hoạt động học tập của học sinh THPT
Nội dung và tính chất của hoạt động học tập ở học sinh THPT khác rất
nhiều so với hoạt động học tập của học sinh trung học cơ sở. Sự khác nhaucơ
bản không phải ở chổ nội dung học tập ngày một sâu hơn, mà là ở chổ hoạt
động học tập của học sinh THPT đòi hỏi tính năng động và tính độc lập ở
mức độ cao hơn nhiều; đồng thời cũng đòi hỏi, muốn nắm được chương trình
một cách sâu sắc thì cần phải phát triển tư duy lý luận.
Học sinh càng trưởng thành, kinh nghiệm sống ngày càng phong phú, các
em càng ý thức được rằng mình đang đứng trước ngưỡng cữa của cuộc đời.
Do vậy thái độ có ý thức của các em đối với học tập ngày càng phát triển. Đặc
biệt thái độ đối với các môn học trở nên có lựa chọn hơn. Ở các em đã hình
thành những hứng thú học tập gắn liền với khuynh hướng nghề nghiệp. Cuối
bậc THPT các em đã xác định được cho mình một hứng thú ổn định đối với

16
∗ Sự phát triển trí tuệ nói ở đây được giới hạn trong hoạt động nhận thức,
tức là hoạt động phản ánh bản thân hiện thực khách quan (thuộc về thế giới tự
nhiên, xã hội, và ngay cả thế giới nội tâm).
∗ Điểm đặc trưng nói lên bản chất của sự phát triển trí tuệ là ở chổ vừa thay
đổi cấu trúc cái được phản ánh, vừa thay đổi phương thức phản ánh chúng.
Theo quan điểm này, phát triển trí tuệ không chỉ là việc tăng số lượng tri thức
nhiều hay ít, cũng không phải ở chổ nắm được phương thức phản ánh các tri
thức đó. Nếu hiểu thiên về một mặt nào đó thì dẫn đến khuynh hướng nhồi
nhét kiến thức, hoặc dẫn đến xem nhẹ việc trang bị kiến thức cơ bản, hiện đại
cho học sinh mà chăm chú trau dồi thủ thuật trí óc, kỹ xão trí tuệ. Do đó trong
sự phát triển trí tuệ cần được hiểu là sự thống nhất giữa việc vũ trang tri thức
và việc phát triển một cách tối đa phương thức phản ánh chúng (con đường,
cách thức, phương pháp…đi đến tri thức đó, nói gọn là giành lấy tri thức,
cách học). Trong sự thống nhất đó, dẫn đến làm thay đổi cấu trúc bản thân hệ
thống tri thức (mở rộng, cải tiến, bổ sung, cấu trúc lại) làm cho hệ thống tri
thức ngày càng thêm sâu sắc và phản ánh đúng bản chất, tiếp cận dần với
chân lý và điều chỉnh, mở rộng các phương thức phản ánh, thậm chí đi đến
xóa bỏ những phương thức phản ánh cũ, lạc hậu để hình thành những phương
thức phản ánh mới, hợp lý hơn, sáng tạo hơn, phù hợp với quy luật tự nhiên
và xã hội.
b) Các chỉ số của sự phát triển trí tuệ
Bàn về vấn đề này, có ý kiến của các tác giả như: J.Piaget, N.D.Lêvitôp,
N.A.Mensinxcaia, E.N.Cabanôva Menle, I.Canmưvôca, V.A.Cruchetxki,
Đ.B.Encônhin…Tựu trung, sự phát triển trí tuệ nổi rõ ở các chỉ số sau đây:
Một là, tốc độ của sự định hướng trí tuệ (sự nhanh trí) khi giải quyết các
nhiệm vụ, bài tập, tình huống…không giống với bài tập mẫu, nhiệm vụ, tình
huống quen thuộc.
17
Hai là, tốc độ khái quát (chóng hiểu, chóng biết). Tốc độ này, được xác

• Ở học sinh THPT, ghi nhớ có chủ định giữ vai trò chủ đạo trong hoạt
động trí tuệ, đồng thời vai trò của ghi nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa
ngày một tăng rõ rệt (các em biết sử dụng tốt hơn các phương pháp ghi nghớ:
tóm tắt ý chính, so sánh đối chiếu…). Đặc biệt các em đã tạo được tâm thế
phân hóa trong ghi nhớ. Các em biết tài liệu nào cần nhớ từng câu từng chữ,
cái gì cần hiểu mà không cần nhớ…Nhưng một số em còn ghi nhớ đại khái,
chung chung, cũng có khi các em đánh giá thấp việc ôn tập tài liệu.
• Do cấu trúc của não phức tạp và chức năng của não phát triển; do sự phát
triển của các quá trình nhận thức nói chung, do ảnh hưởng của hoạt động học
tập mà hoạt động tư duy của học sinh THPT có thay đổi quan trọng. Các em
có khả năng tư duy lý luận, tư duy trừu tượng một cách độc lập sáng tạo trong
những đối tượng quen biết đã được học ở trường. Tư duy của các em chặt chẽ
hơn, có căn cứ và nhất quán hơn. Đồng thời tính phê phán của tư duy cũng
phát triển…Những đặc điểm đó tạo điều kiện cho học sinh thực hiện các thao
tác tư duy toán học phức tạp, phân tích nội dung cơ bản của khái niệm trừu
tượng và nắm được mối quan hệ nhân quả trong tự nhiên và trong xã hội.
Tuy vậy hiện nay số học sinh THPT đạt tới mức tư duy đặc trưng cho lứa
tuổi như trên còn chưa nhiều. Nhiều khi các em chưa chú ý phát huy hết năng
lực độc lập suy nghĩ của bản thân, còn kết luận vội vàng theo cảm tính…Việc
giúp các em phát triển khả năng nhận thức là một nhiệm vụ quan trọng của
giáo viên.
1.2.3. Cấu trúc năng lực toán học của học sinh
Theo V.A.Cruchetxki: “Những năng lực toán học được hiểu là những
đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ)
19
đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những
điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công
trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn
học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến
thức, kỹ năng, kỹ xão trong lĩnh vực Toán học”.

khác các em cũng phải trải qua nhiều khó khăn, vất vả mới thiết lập nổi các
mối quan hệ giữa các phần tử toán học của bài toán. Khi tri giác bài toán loại
mới, lúc đầu chỉ thấy những dữ kiển rời rạc; vì vậy hầu như các em bao giờ
cũng không thấy được các dữ kiện khác suy ra từ các dữ kiện đã cho.
- Việc chế biến thông tin thu được trong quá trình giải toán:
• Không thể khái quát hóa tài liệu toán học theo các dấu hiệu bản chất ngay
cả khi có sự giúp đỡ của thầy giáo và sau nhiều bài luyện tập trung gian cùng
loại.
• Không nhận thấy một quá trình rút gọn nào, ngay cả khi luyện tập nhiều
lần. Quá trình lập luậ của các em kém bao giờ cũng mang một nét nổi bật là
khai triển, quá thừa, quá chi tiết cho nên gây ra ấn tượng là cấu trúc
cồng kềnh, “nặng nề”. Đồng thời lập luận của các em còn thiếu chặt chẽ,
thiếu chính xác, thiếu liên tục, thiếu phân chia logic một cách đúng đắn.
• Lời giải tìm được hầu như cắt đứt mọi khả năng chuyển sang phương
pháp hoạt động mới. Các em cảm thấy rất khó khăn khi chuyển từ sơ đồ tư
duy này sang sơ đồ tư duy khác. Phương pháp giải được tìm thấy đầu tiên đã
hạn chế việc tìm các phương pháp giải khác của chính bài toán đó.
• Không chú ý đến chất lượng lời giải.
- Việc lưu trữ thông tin toán học: Ghi nhớ kém tài liệu toán học
khái quát, các ký hiệu và các quan hệ toán học trừu tượng và nói riêng
21
các loại bài toán, các sơ đồ lập luận và chứng minh, các cách giải toán
khái quát. Các em thường chỉ nhớ các dữ kiện bằng số cụ thể, các sự kiện
cụ thể liên quan đến bài toán.
Những đặc điểm toán học của học sinh trung bình:
- Việc thu lượm thông tin về bài toán:
Học sinh trung bình khi tri giác bài toán thuộc loại mới thường chỉ thấy
các phần tử toán học riêng biệt. Đối với các em thường cần đặt nhiệm vụ
riêng thiết lập các mối quan hệ giữa các phần tử toán học của bài toán để
trong quá trình phân tích và tổng hợp các em tìm ra được các mối quan hệ ấy.

cái chung trong cái khác nhau về bề ngoài.
• Khuynh hướng rút gọn nhanh chóng và cơ bản quá trình lập luận toán
học và hệ thống các phép toán tương ứng (khuynh hướng này thường xuất
hiện ngay trong bài toán đầu tiên thuộc loại mới đối với các em).
• Tính linh hoạt của quá trình tư duy khi giải toán: thể hiện trong việc
chuyển dễ dàng và nhanh chóng từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác
trí tuệ khác trong tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, trong việc
thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những phương pháp giải rập khuôn.
• Khuynh hướng về sự rõ ràng, đơn giản và tiết kiệm của lời giải: học sinh
giỏi toán thường không thỏa mãn với lời giải đầu tiên mà các em tìm được.
Các em vẫn tiếp tục công việc tìm tòi để tìm hiểu xem có thể làm cho lời giải
tốt hơn không, có thể giải bài toán đơn giản hơn không. Các em chỉ cảm thấy
thỏa mãn khi lời giải các em tìm được là tiết kiệm, là hợp lý, là “đẹp”.
• Chuyển một cách nhanh chóng và dễ dàng từ quá trình tư duy thuận sang
quá trình tư duy đảo, là tính thuận nghịch dễ dàng của quá trình lập luận, các
liên hệ được hình thành ở các em có ngay đặc tính thuận nghịch.
23
- Việc lưu trữ thông tin toán học: trí nhớ toán học của học: trí nhớ
toán học của học sinh giỏi mang một tính chất khái quát và hoạt động,
liên quan đến khả năng giử lại và nhanh chóng khôi phục các sơ đồ tư
duy khái quát, các quan hệ khái quát trong lĩnh vực số và dấu. Trí óc các
em giử lại không phải tất cả các thông tin toán học đối với các em mà chủ
yếu giữ lại những thông tin nào biểu hiện các cấu trúc khái quát và thu
gọn, đã tước bỏ các dữ kiện cụ thể. Đó là cách thức tiện lợi nhất để giử lại
thông tin toán học: việc lưu trữ thông tin dưới dạng khái quát và cô đọng
không làm nặng óc bởi thông tin thừa và do đó cho phép có thể giử lại
thông tin lâu hơn và sử dụng nó dễ dàng hơn.
- Khuynh hướng toán học hóa các hiện tượng của thế giới xung
quanh, thường xuyên chú ý đến các khía cạnh toán học của các hiện
tượng, chú ý mọi nơi đến các quan hệ không gian và số lượng, các tương

Nhà nghiên cứu không chỉ hướng vào phát hiện trình độ hiện thời mà còn
phải phát hiện ra vùng phát triển gần nhất thông qua sự hợp tác giữa trẻ em
với nhà nghiên cứu trong quá trình các em giải quyết nhiệm vụ. Nghĩa là, khi
làm rõ khả năng của trẻ trong tình huống có sự hợp tác, chúng ta sẽ xác định
được các chức năng tâm lý đang chin muồi mà trong thời gian gần nhất sẽ
phải đạt tới trình độ hiện tại. Theo L.X.Vưgôtxki, nguyên tắc hợp tác nhằm
phát hiện vùng phát triển gần nhất cho phép trực tiếp nghiên cứu cái đã quy
định sự chin muồi về tâm lý, trí tuệ và điều kiện để chúng được hoàn thiện
trong tương lai. Điều này có giá trị thực tiễn to lớn trong dạy học phát triển.
Ông cho rằng mọi ý đồ dạy học tách rời sự phát triển, coi hai yếu tố này độc
lập với nhau, hoặc cho rằng dạy học trùng khớp với sự phát triển đều dẫn đến
sai lầm làm hạn chế vai trò của dạy học và phát triển phải thường xuyên có
25