Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1 LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Đề tài “Nghiên cứu ứng dụng giải thuật di truyền cho
bài toán điều khiển tối ƣu đa mục tiêu” do PGS. TS Lại Khắc Lãi hƣớng dẫn là
công trình nghiên cứu của riêng tôi. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc,
xuất sứ rõ ràng.
Tác giả xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng nhƣ nội
dung trong đề cƣơng và yêu cầu của thầy giáo hƣớng dẫn, nếu sai tôi hoàn toàn xin
chịu trách nhiệm trƣớc hội đồng khoa học và trƣớc pháp luật.
Thái Nguyên, ngày 30/07/2010
Tác giả luận văn Đặng Ngọc Trung

Đặng Ngọc Trung

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3
MỤC LỤC
Nội dung
Trang phụ bìa
LỜI CAM ĐOAN 1
LỜI CẢM ƠN 2
MỤC LỤC 3
DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 7
MỞ ĐẦU 8
1. Lý do chọn đề tài. 8
2. Mục đích của đề tài 9
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 9
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 9
5. Cấu trúc của luận văn 10
Chương 1 TỔNG QUAN VỀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 11
1.1. CÁC GIẢI THUẬT TÍNH TOÁN TIẾN HÓA-GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 11
1.1.1. Khái quát. 11
1.1.2. Giải thuật di truyền kinh điển. 13
1.1.2.1. Mã hóa – Biểu diễn các biến bằng véctơ nhị phân. 14
1.1.2.2. Toán tử chọn lọc. 15

2.1.1.1. Khái niệm. 34
2.1.1.2. Điều kiện thành lập bài toán tối ƣu. 36
2.1.1.3. Tối ƣu hoá tĩnh và động. 38
2.1.2. Xây dụng bài toán tối ƣu. 39
2.1.2.1. Tối ƣu hóa không có điều kiện ràng buộc 39
2.1.2.2. Tối ƣu hóa với các điều kiện ràng buộc 40
2.1.3. Các phƣơng pháp điều khiển tối ƣu 45
2.1.3.1. Phƣơng pháp biến phân cổ điển Euler_Lagrange. 45
2.1.3.2. Phƣơng pháp quy hoạch động Bellman. 53
2.1.3.3. Nguyên lý cực tiểu Pontryagin _ Hamilton 57
2.2. TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU 60
2.2.1. Quy hoạch đa mục tiêu. 60
2.2.2. Một số phƣơng pháp giải. 64
2.2.2.1. Mô hình toán học của bài toán. 64
2.2.2.2. Phƣơng pháp nhƣợng bộ dần. 65
2.2.2.3. Phƣơng pháp thỏa hiệp. 65
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

5
2.2.2.4. Phƣơng pháp tìm nghiệm có khoảng cách nhỏ nhất đến nghiệm lý
tƣởng. 66
2.2.2.5. Phƣơng pháp giải theo dãy mục tiêu đã đƣợc sắp. 66
2.2.2.6. Phƣơng pháp từng bƣớc của Benayoun. 66
2.2.3. Giải thuật di truyền đa mục tiêu. 68
2.2.4. Phƣơng pháp đề xuất. 69
2.2.4.1. Giải thuật di truyền với các giá trị mục tiêu tự xác định. 69
2.2.4.2. Thuật toán tối ƣu từng mục tiêu 71

2
. 91
3. Khai báo hàm mục tiêu J
1
. 91
4. Khai báo hàm mục tiêu J
2
. 91
5. Chƣơng trình giải bài toán tối ƣu hai mục tiêu J
1
, J
2
. 92
Hình 3.3 Sơ đồ điều khiển mức của bình trộn
Hình 3.4 Sơ đồ công nghệ điều khiển mức bình trộn.
Hình 3.5 Sơ đồ khối điều khiển mức bình trộn với bộ điều khiển PD.
Hình 3.6 Lƣu đồ thuật toán
Hình 3.7 Sơ đồ mô phỏng điều khiển mức trên Simulink.
Hình 3.8 Kết quả mô phỏng với bộ giá trị thứ 9 của K
D
và K
P
trong bảng 3.1.
Hình 3.9 So sánh kết quả mô phỏng của bộ giá trị thứ 9 với bộ giá trị khác của
K
P
và K
D.

Bảng 3.1 Kết quả chạy chƣơng trình giải thuật di truyền. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

8

MỞ ĐẦU


9
2. Mục đích của đề tài
- Xây dựng bài toán tối ƣu đa mục tiêu gắn liền với các hệ thống thực hiện nay.
- Ứng dụng giải thuật gen di truyền (GA) để tìm lời giải tối ƣu cho bài toán tối ƣu đa
mục tiêu.
- Tiếp tục nghiên cứu và hoàn thiện hơn nữa việc lựa chọn và tính toán phƣơng án
nâng cao chất lƣợng điều khiển mức cho dây chuyền sản xuất nƣớc ngọt.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết của bài toán điều khiển tối ƣu.
- Các kỹ thuật trong giải thuật gen di truyền GA.
- Các hệ thống điều khiển có nhiều đầu vào và nhiều đầu ra với các ràng buộc
và hạn chế, cụ thể là điều khiển tối ƣu đa mục tiêu cho bài toán điều hiển mức dung
dịch.
- Mô hình hóa và mô phỏng hệ thống để kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
a. Ý nghĩa khoa học
Bài toán tối ƣu đa mục tiêu là một hƣớng nghiên cứu mới có thể ứng dụng cho
nhiều dây chuyền công nghệ trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhằm tìm kiếm ra
phƣơng án tối ƣu nhất trong sản xuất và kinh doanh về các chỉ tiêu chất lƣợng nhƣ
trong ngành luyện kim, ngành hóa chất, ngành năng lƣợng Trong khi sản phẩm
đầu ra lại phụ thuộc rất nhiều vào các yếu tố trong quá trình công nghệ. Trong đề tài
này ứng dụng giải thuật di truyền nhằm giải quyết bài toán tối ƣu với hai chỉ tiêu
chất lƣợng chính trong bài toán điều khiển mức nhƣ sau:
+ Ổn định chính xác nhất: Chỉ tiêu sai lệch mức điều khiển là nhỏ nhất.
+ Thời gian ổn định nhanh nhất: Chỉ tiêu thời gian quá độ nhỏ nhất.
Bằng việc ứng dụng giải thuật di truyền vào giải quyết bài toán sẽ giúp cho
việc tính toán đƣợc thông minh hơn, nhanh gọn hơn, mềm dẻo hơn và đặc biệt có
ƣu điểm hơn hẳn trong tìm kiếm toàn cục.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

11
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
(Genetic Algorithm - GA)

1.1. CÁC GIẢI THUẬT TÍNH TOÁN TIẾN HÓA-GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
1.1.1. Khái quát.
Giải thuật di truyền ( GA – Genetic Algorithm) là giải thuật tìm kiếm, chọn
lựa các giải pháp tối ƣu để giải quyết các bài toán thực tế khác nhau, dựa trên cơ chế
chọn lọc của tự nhiên: Từ tập lời giải ban đầu, thông qua nhiều bƣớc tiến hóa, hình
thành tập lời giải mới phù hợp hơn, và cuối cùng dẫn đến lời giải tối ƣu toàn cục.
Trong tự nhiên, mỗi cá thể muốn tồn tại và phát triển phải thích nghi với môi
trƣờng, cá thể nào thích nghi hơn thì tồn tại, cá thể nào kém thích nghi thì bị tiêu
diệt. Trong mỗi cá thể, các gen liên kết với nhau theo cấu trúc dạng chuỗi, gọi là
nhiễm sắc thể (NST). Mỗi NST đặc trƣng cho mỗi loài và quyết định sự sống còn
của cá thể đó. Do môi trƣờng tự nhiên luôn biến đổi nên cấu trúc NST cũng thay đổi
để thích nghi với môi trƣờng và thế hệ sau luôn thích nghi hơn thế hệ trƣớc. Cấu
trúc này có đƣợc do sự trao đổi thông tin có tính ngẫu nhiên với môi trƣờng bên
ngoài hoặc giữa các NST với nhau.
Từ ý tƣởng đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu và xây dựng nên giải thuật di
truyền dựa trên cơ sở chọn lọc tự nhiên và quy luật tiến hóa. Giải thuật di truyền sử
dụng các thuật ngữ đƣợc lấy từ di truyền học nhƣ: lai ghép, đột biến, NST, cá thể,…

Giải thích:
Tại lần lặp thứ t, GA xác định một tập hợp các lời giải có thể (các cá thể hay
NST) gọi là quần thể
 
 
12
, , ,
t t t
n
P t x x x
. Mỗi lời giải
t
i
x
đƣợc đánh giá nhằm xác
định độ phù hợp của nó. Sau đó, một tập hợp các lời giải đƣợc hình thành nhờ sự
lựa chọn các lời giải phù hợp hơn. Một số phần tử của tập hợp này đƣợc tái xuất
thông qua lai ghép và đột biến. Từ đó hình thành quần thể mới P(t + 1) với hy vọng
chứa các cá thể phù hợp hơn quần thể trƣớc đó.
Toán tử “lai ghép” kết hợp các đặc trƣng của hai NST cha và mẹ hình thành
hai NST con tƣơng ứng chẳng hạn bằng cách hoán vị các đoạn thích hợp của hai
NST cha và mẹ. Ví dụ, nếu cặp nhiễm sắc thể cha mẹ đƣợc biểu diễn dƣới dạng hai
véctơ:
   
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
, , , , ; , , , ,a b c d e a b c d e
thì cặp véctơ con cháu nhận đƣợc sau khi lai
ghép có thể là:
   
1 1 1 2 2 2 2 2 1 1

 Các thao tác cơ bản trong giải thuật dựa trên khả năng tích hợp ngẫu nhiên,
mang tính xác suất chứ không tiềm định.
1.1.2. Giải thuật di truyền kinh điển.
Mô tả giải thuật
Giải thuật di truyền kinh điển sử dụng mã hóa nhị phân, mỗi cá thể đƣợc mã
hóa là một chuỗi nhị phân có chiều dài cố định.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

14
1.1.2.1. Mã hóa – Biểu diễn các biến bằng véctơ nhị phân.
Ta sử dụng véctơ nhị phân có độ dài L nhƣ một NST để biểu diễn giá trị thực
của biến
 
;.
xx
x l u
Độ dài L của NST phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán.
Một bit mã hóa x ứng với một giá trị trong khoảng
0;2
L


sẽ đƣợc ánh xạ lên giá trị
thực thuộc miền
 
;.
xx

i
x
có thể nhận giá trị trong miền
 
;
i i i
D a b
và
   
1
, , 0
k i i
f x x x D  
. Ta muốn tối ƣu hóa hàm f với độ chính xác cho trƣớc là
6 số lẻ đối với giá trị của các biến.
Rõ ràng là để đạt đƣợc độ chính xác nhƣ vậy mỗi miền
i
D
đƣợc phân cắt
thành
 
6
*10
ii
ba
miền con bằng nhau. Gọi
i
m
là số nguyên nhỏ nhất sao cho:
 


Trong đó, decimal(chuỗi
2
) cho biết giá trị thập phân của chuỗi nhị phân đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

15
Bây giờ, mỗi NST (là một lời giải) đƣợc biễu diễn bằng chuỗi nhị phân có
chiều dài
1
.
k
i
i
Lm



Trong đó,
i
m
bit đầu tiên biểu diễn các giá trị trong miền
 
;
ii
ab
;…;

1
.
i
N
i
i
i
f
p
f



Trên vòng tròn Roulette, mỗi chuỗi
trong quần thể chiếm một khe có độ rộng tỷ lệ với độ phù hợp của chuỗi. Độ rộng
của khe đƣợc tính theo tỷ lệ phần trăm độ phù hợp của chuỗi với tổng độ phù hợp
của toàn quần thể là 100%. Các bƣớc tiến hành thủ tục quay Roulette:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

16
- Đánh số các cá thể trong quần thể. Tính tổng độ phù hợp của bài
toán quần thể sumfitness, và ứng với mỗi cá thể tính một tổng chạy
subtotal bằng tổng độ phù hợp của cá thể đó với độ phù hợp của các
cá thể đứng phía trƣớc.
- Sinh một số ngẫu nhiên r trong khoảng từ 0 đến tổng độ phù hợp
sumfitness.
- Cá thể đầu tiên trong quần thể có tổng chạy subtotal lớn hơn hoặc







     




b) Chọn lọc xếp hạng
Với dạng này các cá thể đƣợc sắp xếp theo giá trị của hàm mục tiêu. Cá thể
đầu tiên là cá thể tốt nhất và cá thể cuối cùng là cá thể tốt nhất. Cá thể thứ
 
Nj

trong dãy sẽ có xác suất chọn lựa là:
1
.
N
Nj
k
j
p
k


 Lai ghép một điểm
Lai ghép một điểm đƣợc thực hiện rất đơn giản. Với hai cá thể cha mẹ đã chọn
12
,;PP
toán tử này cần sinh một vị trí ngẫu nhiên k
 
1 kL
, sau đó hai cá thể
con đƣợc tạo thành bằng cách tráo đổi các gen của cặp cha mẹ tính từ điểm cắt.
Chẳng hạn,
   
12
111 0 0 0 1 0 1 0 ,PP0 1 0 1 1 0 0 1 1 1
là hai chuỗi nhị
phân độ dài 10, giả sử điểm cắt đã chọn là
7,k 
thế thì hai con đƣợc sinh ra là:
   
12
111 0 0 0 1 01 0CC1 1 1 0 1 0 1 1 0 0

Thủ tục lai ghép đơn giản nhƣ sau:
Procedure lai_mot_diem (k, P1, P2; var C1, C2);
Begin
For i:= 1 to k do
Begin
C1[i]:= P1[i]; C2[i]:= P2[i];

Chẳng hạn,
   
12
111 0 0 0 1 0 1 0 ,PP0 1 0 1 1 0 0 1 1 1
là hai chuỗi nhị phân
độ dài 10, giả sử các điểm cắt đã chọn là 2, 5, 8 thế thì hai con đƣợc sinh ra là:
   
12
1 01 1011 01 0CC1 1 0 0 1 1 1 0 0 0
.
Thủ tục lai ghép đƣợc viết tƣơng tự nhƣ trên.
 Lai ghép mặt nạ
Loại lai ghép này còn gọi là lai ghép đều; với hai cá thể cha mẹ đã chọn P
1
,
P
2
trƣớc hết phát sinh một chuỗi nhị phân ngẫu nhiên cũng có độ dài L gọi là chuỗi
mặt nạ. Sau đó các con đƣợc tạo ra dựa trên chuỗi mặt nạ này để quyết định lấy
thành phần của cá thể cha hay mẹ. Chẳng hạn gen thứ I của cá thể con C
1
đƣợc lấy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

19
là gen thứ i của P
1

1.1.2.4. Toán tử đột biến.
Toán tử đột biến làm thay đổi các thông tin của quần thể ở mức bit (gen).
Đột biến làm thay đổi giá trị của một bit bất kỳ theo xác suất p
m
. Mỗi bit đều có cơ
hội đột biến nhƣ nhau. Thuật toán đột biến thƣờng dùng là:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

20
For i:= 1 to m do
If random[0,1] < p
m
then invert(Parent[i]);
Trong đó, invert(u) là hàm đảo ngƣợc bit u.
1.1.2.5. Hàm phù hợp.
Biến đổi hàm mục tiêu thành hàm phù hợp:
Do giá trị phù hợp trong giải thuật di truyền là không âm, nên để áp dụng GA
cho bài toán tối ƣu ta cần phải chuyển giá trị hàm mục tiêu thành hàm phù hợp.
Nếu bài toán tối ƣu là cực tiểu hàm mục tiêu
 
gx
thì ta chuyển sang hàm
phù hợp nhƣ sau:
 
   
 
0

0
00
min min
min
C g x g x C
fx
g x C

  







Trong đó,
min
C
là tham số đầu vào,
min
C
có thể là giá trị tuyệt đối bé nhất của
các hàm mục tiêu trong tập hiện tại hoặc trong k vòng lặp cuối.
Bài toán minh họa giải thuật di truyền kinh điển
Ta xét bài toán sau:
Cực tiểu hóa hàm Rastrigin:
   
 
2

Trƣớc hết để mã hóa bài toán, giả thiết rằng cần độ chính xác đến 10
4
. Trên
miền xác định của x có độ dài
 
 
5.12 5.12 10.24  
, cần đƣợc chia thành
4
10.24*10 102400
khoảng bằng nhau. Từ đó, số bit cần thiết để mã hóa x phải là
17 vì
16 17
2 65536 102400 2 131072   
. Tƣơng tự nhƣ vậy, biến y cần 16 bit để
mã hóa vì
15 16
2 32768 64000 2 65536   
.
Nhƣ vậy, mỗi nhiễm sắc thể cần đƣợc mã hóa thành một chuỗi nhị phân 33
bit. 17 bit đầu dành cho x và 16 bit sau dành cho y.
Bảng 1.1 cho một ví dụ về quần thể khởi tạo gồm 20 cá thể. Các giá trị tƣơng
ứng của x, y và hàm f(x, y) đƣợc tính cụ thể để tiện theo dõi. Giải thuật trình bày trong ví dụ này sử dụng các tham biến sau:
- Kích cỡ quần thể cố định là 20 cá thể.
- Xác suất lai ghép là 1, xác suất đột biến là 0.01.
Giải thuật đƣợc tiến hành với 20 lần chạy độc lập, mỗi lần chạy một quần thể
đƣợc khởi tạo ngẫu nhiên, sau đó thực hiện ba lần lặp, mỗi lần lặp ứng với

0.334
34.059
0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1
-1.939
-0.611
22.524
0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
-1.880
-1.302
21.137
0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1
-2.513
-0.043
9.278
0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0
-1.679
1.622
36.983
1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
3.686
1.196
35.643
0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1
-3.611

1
18.9940
4.5914
2.3519
1.5755
2
1.7636
1.4756
0.0073
0.0041
3
10.2420
6.2550
2.2117
1.0201
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

23
4
7.5143
1.2903
1.0606
0.0028
5
7.9467
0.1667
0.2841


Trung
bình
8.3498
2.7631
1.4358
1.3749
Bảng 1.2 Kết quả của 20 lần chạy độc lập
1.1.3. Giải thuật di truyền mã hóa số thực.
Trong phần này chỉ nghiên cứu giải thuật di truyền mã hóa số thực (RCGA –
Real – Coded Genetic Algorithm ) để giải các bài toán tối ƣu giá trị thực trong
không gian
n

và không có các ràng buộc đặc biệt.
Một cách tổng quát, bài toán tối ƣu số thực có thể xem là một cặp
 
,Sf
,
trong đó
n
S  
và
:f S S
là một hàm n biến. Bài toán đặt ra là tìm véc tơ
 
1
, ,
n
x x x S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

24
1.1.3.1. Toán tử chọn lọc.
Ta thấy toán tử chọn lọc đã trình bày trong GA kinh điển không cần một đòi
hỏi đặc biệt nào trong việc mã hóa số thực, vì vậy trong GA mã hóa số thực, toán tử
chọn lọc vẫn đƣợc áp dụng nhƣ đối với GA kinh điển. Cụ thể gồm các dạng: chọn
lọc tỷ lệ, chọn lọc xếp hạng hay chọn lọc cạnh tranh.
1.1.3.2. Toán tử lai ghép.
GA mã hóa số thực cũng đƣợc áp dụng các toán tử lai ghép nhƣ GA kinh điển
bao gồm lai ghép một điểm, lai ghép nhiều điểm, lai ghép mặt nạ. Ngoài ra do cách
mã hóa quần thể, ngƣời ta còn nghiên cứu và đề xuất nhiều dạng khác nhau của toán
tử lai ghép trong RCGA. Dƣới đây là một số dạng toán tử lai ghép thƣờng đƣợc sử
dụng với giả thiết cặp cá thể cha mẹ chọn để tiến hành lai ghép là:
 
1
, ,
m
X x x
và
 
1
, ,
m
Y y y
.
a) Lai ghép 1 điểm (One – point Crosover).
Lai ghép một điểm là lai ghép đơn giản nhất đƣợc sử dụng cả trong GA mã

k
(1 j
1
< j
2
< ….< j
k
< m), lai ghép đa điểm
tạo ra cặp con (X
’
, Y’) bằng cách đánh số các đoạn [ j
t
, j
t+1
] từ 0 trở đi sau đó:
x
’
i
lấy bằng x
i
tại các đoạn có số hiệu chẵn và bằng y
i
tại các đoạn có số hiệu lẻ.
y
’
i
lấy bằng x
i
tại các đoạn có số hiệu lẻ và bằng y
i

xy
y i i i x i i i








.
d) Lai số học (Arithmetic Crosover).
Phép lai này chọn một số thực a (0< a <1); các con X
’
, Y
’
đƣợc tính bởi:
''
* (1 )* , * (1 )* .
i i i i i i
x a x a y y a y a yx     

e) Lai ghép Heuristic.
Giả sử với cặp bố mẹ (X, Y) đã chọn, trong đó cá thể X có độ thích nghi (giá trị
hàm mục tiêu) tốt hơn các thể Y thì toán tử này tạo một con duy nhất X
’
từ

cặp X, Y
bởi:

I = max (x
i
, y
i
) – min (x
i
, y
i
) với mỗi i.
Khi đó thành phần thứ i của cá thể con tạo ra là một số ngẫu nhiên chọn trong
khoảng
 
( , ) * ( , ) * .
i i i i
min x y I max x y I   

Toán tử BLX -  đã đƣợc thử nghiệm và chứng minh tính hiệu quả của nó với giá
trị tốt nhất là
  
.
g) Toán tử lai ghép SBX .
Toán tử SBX là toán tử lai ghép áp dụng cho giải thuật di truyền mã hóa số
thực (RCGA), tại hai cá thể con từ một cặp cá thể cha mẹ chọn lọc . SBX đƣợc Deb
và Agrawal giới thiệu năm 1995 và đã đƣợc chọn làm toán tử tạo sinh cơ bản trong
nhiều nghiên cứu khác.
Giải thuật được trình bày chi tiết như sau: