Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 1 Mobile: 0976 266 202
I. Tóm tắt lý thuyết
Phương trình dạng chính tắc của Elip là
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
, trong đó
0
a b
.
Elip có tâm đối xứng là gốc tọa độ
0,0
O . Điểm
1 2 1 2
,0 , ,0 , 0, , 0,
A a A a B b B b
.
Tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của
E
là
, , , , , , ,
A a b B a b C a b D a b
.
Chu vi hình chữ nhật cơ sở của
.
Elip có hai đường chuẩn
2
:
a a
x
e c
.
Một điểm
0 0
,
M x y E
ta có tính chất
1 0
MF a ex
và
2 0
MF a ex
, được gọi là bán kính qua tiêu
điểm.
Có thể lượng giác hóa phương trình elip theo cách đặt
cos , sin , 0,2
x a t y b t t
của Elip
E
.
Dạng 2. Tìm điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước
Tư duy. Giả sử điểm cần tìm là
0 0
,
M x y
thuộc Elip ta có phương trình
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
.
Dựa vào giả thiết bài toán cho để thiết lập một phương trình thứ hai, giải hệ ta suy ra được
0 0
,
x y
.
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng cắt Elip tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước.
Tư duy. Ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc
0 0
,
x y
và giải hệ tìm ra
0 0
,
x y
, từ đó viết được phương trình đường thẳng cần tìm.
Dạng 4. Giao điểm của Elip với đường tròn hoặc Elip.
Tư duy. Nếu Elip cắt đường tròn hoặc cắt một elip khách thì chúng sẽ giao nhau tại bốn điểm phân biệt
theo thứ tự
, , ,
A B C D
và
ABCD
là hĩnh nhữ nhật.
Để bốn điểm đó là bốn đỉnh của một hình vuông khi và chỉ khi tọa độ của bốn điểm thỏa mãn điều kiện
2 2
x y
.
Dạng 5. Các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Tư duy. Với dạng bài toán này bạn đọc chú ý sử dụng bất đẳng thức Cơ bản
2 2
: 9
C x y
. Viết phương trình chính tắc của
Elip
E
có tâm sai bằng
1
3
, biết rằng
E
cắt
C
tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự
, , ,
A B C D
và
3
AB BC
,
AB
x y
x y
a b
.
Dễ thấy
ABCD
là hĩnh chữ nhật và điểm
,
A x y
thì
,
D x y
. Để
2 2
3 3 9
AB BC x y x y
.
Suy ra
.
Vậy phương trình của elip cần tìm là
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 4 Mobile: 0976 266 202
2 2
: 1
729 81
80 10
x y
E
.
nên
2 2
12 4
1
a b
.
Ta có tọa độ hai tiêu điểm
1
,0
F c
và
2
,0
F c
nên
1 2
2 3, 2 , 2 3, 2
MF c MF c
. Tam giác
.
Vậy phương trình cần tìm của Elip là
2 2
: 1
24 8
x y
E
.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
2,1
M và đường tròn
E
có phương trình chính tắc:
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
.
Đường tròn
C
có tâm là gốc tọa độ
0,0
O và bán kính
21
R . Hình chữ nhật cơ sở của
E
nội tiếp
trong
1 2 1 2 1 2
2 . . os60
F F MF MF MF MF c .
Suy ra
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 5 Mobile: 0976 266 202
2 2 2 2 2 2
2 2
4 2 1 2 1 1 2 . 1 2 1 2 . 1 2 10 2
c c c c c c c c
.
2 2 2
4 2
2 2 2
3
3 34 75 0
25
3
c a b
c c
c a b
12 9
x y
E
.
Với
2
25
3
c ta có hệ phương trình
2
2 2
2 2
2
44
21
3
25
19
3
3
a
a b
a b
b
: 1
44 19
3 3
x y
E
.
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho biết Elip
E
có chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng
16 2 3
, đồng thời một đỉnh của
E
tạo với hai tiêu điểm một tam giác đều. Viết phương trình đường
tròn
T
có tâm là gốc tọa độ và cắt
E
0,
M b
của
E
, tam giác
1 2
MFF
đều nên
0
1 1
3 3
sin60
2 2
c
MO MF MF b .
Lại có
2 2 2
c a b
, suy ra
3
2
a
b . Từ đây suy ra
8, 4 3
a b
2 2
2 2 2
1
64 48
x y
x y R
.
Khi đó nếu
E
cắt
T
tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự là
, , ,
A B C D
thì
ABCD
là hình chữ nhật. Nếu
điểm
R
.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
2 2
384
:
7
T x y .
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho điểm
1,3
M . Viết phương trình chính tắc của elip
E
, biết
E
đi qua
M
và khoảng cách giữa hai đường chuẩn của
E
là
2 4
2 2 2
2 4 10
40
a a
c a b
c
.
Vậy ta có hệ phương trình
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 7 Mobile: 0976 266 2024 2 2 2
2 2
4
2 2
2 2
2 2
1 9
1
41 400 0 25 16
1 9 75 48
8
x y
E
và
2 2
: 1
48
16
5
x y
E
.
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình chính tắc của elip
E
đi qua điểm
3,4
A , biết rằng
1
F
và
2
Tọa độ hai tiêu điểm
1
,0
F c
và
2
,0
F c
. Bán kính qua tiêu điểm
1
.3
c
AF a
a
và
2
.3
c
AF a
a
Vậy
4
2 2 2
1 2
2 .3 2 .3
81
.
Vậy elip cần tìm có phương trình là
2 2
: 1
45 20
x y
E
.
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình chính tắc của elip
E
biết đường
tròn nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh là bốn đỉnh của
E
có bán kính bằng
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 8 Mobile: 0976 266 202Bốn đỉnh của
E
lần lượt là
,0 , 0, , ,0 , 0,
A a B b C a D b
là bốn đỉnh của một hình thoi. Gọi
H
là
hình chiếu của
O
xuống cạnh
CD
. Đường tròn tâm
O
.
Vậy phương trình elip cần tìm là
2 2
: 1
16 9
x y
E
.
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình chính tắc của elip
E
biết rằng
.
Vậy elip cần tìm có phương trình
2 2
: 1
8 4
x y
E
.
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 9 Mobile: 0976 266 202Dạng 2. Tìm điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho Elip
2 2
: 1
9 4
x y
E
, biết
,
M x y E
ta có phương trình
2 2
0 0
1
9 4
x y
.
Ta có
1 0
5
3
3
MF x
và
2 0
5
3
3
MF x
. Vậy
1 2 0 0 0
5 5 9 5
3 3 3 3
3 3 10
MF MF x x x
.
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho elip
2 2
: 1
4 1
x y
E
và điểm
2,0
A . Tìm hai
điểm
A
và
B
trên
E
sao cho tam giác
ABC
đều.
Giải. Điểm
0 0
,
C x y
, ta có
3
,
2
BC
d A BC . Suy ra
2
0 0
2
0 0
2 3 2
2
2 3
y
x
x y
.
Từ đây ta có phương trình
2
2 0
0
7 7 7 7
B C
hoặc
2 4 3 2 4 3
, ; ,
7 7 7 7
B C
.
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 10 Mobile: 0976 266 202Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho elip
2 2
: 1
0 0
1
9 4
x y
. Tam giác vuông
1 2
MFF
, có
1 0 0
5 ,
MF x y
và
2 0 0
5 ,
MF x y
. Vậy
2 2 2 2
1 2 0 0 0 0
. 5 0 5
.
Vậy có bốn điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
1 2 3 4
3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5
, ; , ; , ; ,
5 5 5 5 5 5 5 5
M M M M
.
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho elip
2 2
: 1
4 3
x y
E
có hai tiêu điểm
, ta có phương trình
2 2
0 0
1
4 3
x y
và
0
2,2
x .
Bán kính qua tiêu điểm
1 0
1
2
2
MF x
và
2 0
1
2
2
MF x
.
Vậy
2 2
2 2 2
1 2 0 0 0 0
2
x
, suy ra
0
0
y
. Vậy
2 2
1 2
4
MF MF
đạt giá trị nhỏ nhất khi
2,0
M .
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 11 Mobile: 0976 266 202Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng giao với Elip thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho elip
2 2
0 0
,
A x y E
, ta có phương trình
2 2
0 0
1
9 4
x y
.
Do
M
là trung điểm của
AB
nên
0 0
4 ,2
B x y
, nhưng do
B E
nên ta có phương trình
2 2
0 0
4 2
.
Nhận thấy điểm
A
và
M
thuộc đường thẳng
8 9 25 0
x y
, nên phương trình đường thẳng cần tìm là
:8 9 25 0
x y
.
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm
nên điểm
1,1
M nằm ngoài
E
. Suy ra 3
MA MB
.
Gọi điểm
0 0
,
B x y E
, ta có phương trình
2 2
0 0
1
4 1
x y
.
. Nhưng do
A E
nên ta có
phương trình
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 12 Mobile: 0976 266 202
2 2
0 0
3 2 3 2
1
4 1
x y
.
Vậy ta có hệ phương trình
2 2
0 0
.
Hệ trên vô nghiệm, do vậy không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
2 2
,
3 3
M
và cắt
elip
2 2
E
. Nên ta có
2
MA MB
.
Gọi điểm
0 0
,
B x y E
, ta có phương trình
2 2
0 0
1
4 1
x y
. Gọi
,
A x y
thì do
2
MA MB
. Nhưng do
A E
nên ta có phương trình
2 2
0 0
2 2 2 2
1
4 1
x y
.
Ta có hệ phương trình
2 2
2
0 0
0 0
0
0
.
Với
0,1
B đường thẳng cần tìm đi qua điểm
M
và
B
x y
và
:5 70 50 0
x y
.
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 14 Mobile: 0976 266 202Dạng 4. Giao điểm của Elip với đường tròn hoặc Elip
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho 2 elip
2
2
1
: 1
16
x
E y
và
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
432
1
`16 16
92
16 55
28
11
4 9 36
1
55
9 4
x
y x
x y
x y
x y x y
y
E
và
2
E
có phương trình là
2 2
92
:
11
C x y .
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013Email: [email protected] 15 Mobile: 0976 266 202IV. Các bài toán đã thi
Câu 1(TSĐH Khối A 2008). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình chính tắc của
elip
E
biết rằng
. Tìm tọa độ điểm
A
và
B
thuộc
E
, có hoành độ dương sao cho tam giác
OAB
cân tại
O
và có diện tích lớn nhất.
Đáp số.
2
2,
2
A
và
2
2,
2
B
. Viết phương trình chính tắc của elip
E
, biết rằng
E
có độ dài trục lớn bằng
8
và
E
cắt
C
tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.
Đáp số.
2 2
: 1
16
16
3
x y
E
: 1
20 5
x y
E
.
Copyright: Tài liệu đại học ©