TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
I. HỆ THỨC CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
1.
22
sin x cos x 1
,

2
sin x (1 cosx)(1 cosx)  2
cos x (1 sinx)(1 sinx)  

2.
sinx
tanx = ,(x k )
cosx 2

  
,

cosx
cotx = (x k )
sinx

,

   2
2
1
tan x 1,(x k )
2
cos x

    
,
2
2
1
cot x 1,(x k )
sin x
   2
2
2
tan x
sin x
1 tan x


;
2


cos(-α) = cosα

tan(-α) = -tan α

cot(-α) = -cot α
sin(π – α) = sinα

cos(π – α) = -cosα

tan(π – α) = -tanα

cot(π – α) = -cotα
sin( ) cos
2




cos( ) sin
2




tan( ) cot
2










  
  
  

sin( π + α) = -sin α
cos(π + α) = -cosα
tan(π + α) = tan α
cot(π + α) = cot α
||
||
sin( ) ( 1)
( ) ( 1)
( ) tan
cot
sin ,
cos cos
tan
( ) cot
k
k
kk
k
Z
k



4.
cotx.coty 1
cot(x y) =
cotx coty



IV. CÔNG THỨC NHÂN:
A. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI.
1.
2 2 2 2
cos2x=cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1    

2. sin2x = 2sinx.cosx = (sinx + cosx)
2

- 1 = 1 - (sinx - cosx)
23.
2
2tanx
tan2x
1- tan x


B. CÔNG THỨC NHÂN BA.

1 cos2x
3. tan x
1+cos2x







3
3
3
3cosx cos3x
4. cos x
4
3sin x sin3x
5. sin x
4
3sin x sin3x
6. tan x
3cosx cos3x










 
1
sinx.siny= - cos(x+y)-cos(x-y)
2

 
1
sinx.cosy= sin(x+y)+sin(x-y)
2

 
1
cosx.siny= sin(x+y)-sin(x-y)
2

VI. Công thức biến đổi tổng thành tích:
x+y x-y
cosx+cosy=2cos .cos
22

x+y x-y
cosx-cosy=-2sin .sin
22

TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
x+y x-y
sinx+siny=2sin .cos


3.
sin cos 2 cos( )
4
x x x


,
cos sin 2sin( )
4
x x x

  

4.
2 2 2 2
cos2x=cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1    

5. sin2x = 2sinx.cosx = (sinx + cosx)
2

- 1 = 1 - (sinx - cosx)
2Bảng giá trị các hàm số lượng giác của các góc đặc biệt:

x


0
o
30
o

45
o

60
o

90
o

120
o

135
o

150
o
180
o

0cosx

1

3
22
21
20-
1
2-

||

-
3-1

-
3
30cotx

||

31

3
30

  


   

  


Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt:
arcsin 2
sin sin ( )
arcsin 2
x m k
x m k Z
x m k





   

  


Chú ý:
+ sinx = ±1  x = ±
2

+ k2π

x m x k k Z
xk

  



       

  


Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt:
TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
arccos 2
cos cos arccos 2 ,( )
arccos 2
x m k
x m x m k k Z
x m k





      

  

2
xk



)

tan tan ,( )x m x k k Z
  
     tan tan arctan ,( )x m x m k k Z

     

tanu tanv u v k    

Chú ý:
+
tan 0 .x x k



+
tan 1 .
4
x x k



cot 0 .
2
x x k




+
cot 1 .
4
x x k


   

+
cot 1 .
4
x x k


     

2. Phương trình bậc 2 với một hàm số lượng giác.
Các dạng phương trình cơ bản.
a. asin
2

u(x) + bsinu(x) + c = 0.
b. acos

b. acos
3

u(x) + bcos
2

u(x) + ccosu(x) + d = 0.
c. atan
3

u(x) + btan
2

u(x) + ctanu(x) + d = 0.
d. acot
3

u(x) + bcot
2

u(x) + c cotu(x) + d = 0.
Cách giải:
Đặt t = sinu(x) (
1t
)
Phương trình trở thành: at
3

+ bt
2

ab
a b a b
   

  
   


   
nên có thể chọn 1 trong 2 cách.
* Nếu đặt
2 2 2 2
os ; sin
ab
c
a b a b



thì (1) 
22
sin( )
c
x
ab




* Nếu đặt

c
c a b
ab
   


TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867

5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx.
a. Dạng phương trình:
22
a.sin .sinxcos . os 0 (1)x b x cc x d   

b. Phương pháp giải:
- Bước 1: Xét cosx = 0,
(1) 0.ad  

TH1: Nếu
0ad
thì
2
xk



là nghiệm của phương trình (1).
TH2: Nếu
0ad


b. Phương pháp giải:
- Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm hay không.
- Bước 2: Giả sử cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho cos
3

x

0 và sử dụng các công thức:
22
23
1 sinx
(1 tan ); tan (1 tan )
os os
x x x
c x c x
   
.
Biến đổi phương trình ta nhận được 1 phương trình bậc 3 ẩn tanx.
- Bước 3: Nhẩm nghiệm để giải phương trình bậc 3 ẩn tanx. Từ nghiệm tanx ta sẽ tìm được
nghiệm x.
7. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng với sinx, cosx.
a. Phương trình đối xứng với sinx, cosx.
* Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0. (1)
* Phương pháp:
Đặt t = sinx + cosx =
2
2, 2
2 sin( )




(1)  at + b (
t
2

-1
2
) + c = 0  2at + b(t
2

- 1) + 2c = 0
 f(t) = bt
2

+ 2at + (2c - b) = 0
Giải biện luận f(t) = 0  Nghiệm
2, 2t



 Nghiệm x.
b. Phương trình nửa đối xứng với sinx, cosx.
* Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0. (2)
* Phương pháp:
Đặt t = sinx - cosx =
2
2, 2
2 sin( )




(2)  at + b (
2
1
2
t
) + c = 0  2at + b(1- t
2

) + 2c = 0
 g(t) = bt
2

- 2at - (2c + b) = 0
TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
Giải biện luận g(t) = 0  Nghiệm
2, 2t



 Nghiệm x.
8. Phương trình lượng giác đối xứng với tan, cot.
a.Dạng phương trình:
22
a(tan cot ) (tan cot ) 0x x b x x c    
(1).


x, cos
2N

x.
10. Phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc.
11. Phương trình lượng giác dạng phân thức.
Phương pháp chung:
Xét phương trình:
(sin, os,tan,cot)
(sin, os,tan,cot)
Fc
Gc
=0. (1)
- Bước 1: Đặt điều kiện mẫu thức G(sin, cos, tan, cot)

0. (2)
- Bước 2: Biến đổi (1) và tìm nghiệm x.
+ Biến đổi hệ quả: Sau khi tìm x phải thử điều kiện (2)
+ Biến đổi tương đương: Vừa biến đổi vừa kiểm tra điều kiện (2).
- Bước 3: Nếu biến đổi hệ quả thì thử điều kiện (2) để nhận nghiệm (1).
+ Thử điều kiện dạng thô: Thử bằng hàm số lượng giác.
+ Thử điều kiện dạng tinh: Thử bằng kết quả của x.
+ Phương pháp hình học: Biểu diễn nghiệm và (2) trên đường tròn đơn vị.
+ Phương pháp đại số: Giải phương trình nghiệm nguyên dạng vô định.
12. Phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Xét phương trình cơ bản.

(sin, os,tan,cot) (sin, os,tan,cot)f c g c


22
2
0
0
g
g
fg
fg
fg





  







c. Phương pháp 3: Xét tính tuần hoàn của tập nghiệm.
+ Tìm nghiệm trên 1 chu kỳ cơ sở T > 0 để phá dấu giá trị tuyệt đối.
+ Ứng với nghiệm x

o
 T ta có nghiệm trên R là x

o



TRUNG TÂM GIA SƯ HỌC TỐT
GIA SƯ TẠI NHÀ – LUYỆN THI TẠI TRUNG TÂM
www.giasuhoctot.com Hotline: 0975 465 867
b. Phương pháp: Sử dụng
22
0 sinx , cos ,sin , os 1x x c x
để đánh giá
sin ,cos
nm
xx
từ đó so
sánh với đẳng thức :
22
sin os 1x c x

15. Phương pháp lượng giác giải phương trình đại số
Các dạng biến đổi lượng giác.
Dạng 1: Nếu x
2

+ y
2

= 1 thì đặt
 
sin
0,2
os









Dạng 3: Nếu
||xm
thì đặt
 
sin ,
22
os 0,
xm
x mc


  


  








m

với
3
0, ,
22


   



   

Đặc biệt, với m=1 đặt x =
1
cos

với
3
0, ,
22


   



   
.