N
g
u
y
ễn Côn
g
Phươn
g
gy g g
Lý thuyếttrường điệntừ
Lý

thuyết

trường

điện

từ
Các phương trình Poisson & Laplace
Nội dun
g
1. Giới thiệu
2. Giải tích véctơ
3. Luật Coulomb & cường độ điện trường
4. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
5. Năng lượng & điện thế
6. Dòng điện & vật dẫn
7. Điện môi & điện dun
g
g

g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
•Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất
•
Định

lý

nghiệm

duy

nhất
•Giải phương trình Laplace
•
Giảiphương trình Poisson
•
Giải

phương


V

E
Gradient th
ế
:
v
V



.
V


.
(Phương trình Poisson)
VVV

x
yz
VVV
V
x
yz

  

aaa
A

   


Các phương trình Poisson & Laplace
4
222
.
y
x
z
V
V
V
VVV
V
x
xyyzz xyz




   


      



     





   

Đặt
2
.
222
x
yz

xyz


(Hệ Descartes)
22
22 2
11
v
VVV
z



 

  



Các phươn
g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
• Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất
•
Định

lý

nghiệm

duy

nhất
•Giải phương trình Laplace
•
Giảiphương trình Poisson
•
Giải

phương

v


222
V
xyz




222
Phương

trình

Poisson:
(Phương trình Laplace, hệ Descartes)
222
2
222
0
VVV
V
xyz

   

22
22 2
11

7
sin sin
rr r r r
  
   
  
(Hệ cầu)
Các phươn
g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
•Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất
•
Định

lý

nghiệm

duy

nhất

t (1)
222
2
0
VVV
V





222
0
V
xyz



Giả sử phương trình Laplace có 2 nghiệm V
1
& V
2
, :
2
0
V

1
0
V

bờ

V
b
12bbb
VVV

() ( ) ( ).D .D D.VV V
12
VVV

12 12 12 12
[( ) ( )] ( )[ ( )]

VV VV VV VV







12
VVV
12
()D VV 
Các phương trình Poisson & Laplace
9
12 12 12 12
12 12


12 12
()()
V
VV VVdv





.

SV
ddv

DS D

Định lý đive:
12 12 12 12
[( ) ( )] [( ) ( )]
bb bb
VS
VV VVdv V V V V d       

S

12
bbb
VVV


VV VVdv VV VVdv  


VV

2
12 12
()()0. VV VV    
()()0
VV VVd




2
()
VV d


12 12
()()0
V
VV VVd
v





.

x
yz
V
x
yz
  

aaa
Tại biên giới V
1
= V
b1
, V
2
= V
b2
→
const =
V
V
=
0
V
1
= V
2
Các phương trình Poisson & Laplace
11
→
const

lý

nghiệm

duy

nhất
• Giải phương trình Laplace
•
Giảiphương trình Poisson
•
Giải

phương

trình

Poisson
• Nghiệm tích của phương trình Laplace
Phươ há lưới
•
Phươ
ng p
há
p
lưới
Các phương trình Poisson & Laplace
12
Giải phươn
g


2
2
0
dV
dx

VAxB 
VV

xyz

1
1
xx
VV


2
2
xx
VV


12
12
VV
A
xx


x
x


0
0
x
V


0
Vx
V
d

Các phương trình Poisson & Laplace
13
0
xd
VV


Giải phươn
g
trình Laplace (2)
Mặtdẫn
d
x
V
=

V

Mặt dẫn
x = 0
0
x
d
VV

E
V


0
Ea
x
V
d

0
Da
V



d
DE


Da

N
D
d


SN
D
d

 
0
VS



0
S
V
QdS dS






Q
C


S

11
0
VVV
V
z

   

  
   

 

1
0
V

 






   

1
0
ddV
dd

b
0
ln
a
VAaBV



ln 0
()
b
VAbBba
0
0
ln ln
ln
V
A
ab
Vb
B








0

b
Ví dụ 2
22
2
22 2
11
0
VVV
V
z

   

  
   

 

0
l
n
(/ )
ln( / )
b
VV
ba


   




 

2QL
C


 
Các phương trình Poisson & Laplace
16
ln( / )
S
S
QdS
aba

 

0
ln( / )
C
Vba
 
Giải phươn
g
trình Laplace (5)
z
Giả ử
V

   

  
   

 

Khe

hở
α
z
   
 

2
22
1
0
V




2
2
0
V






0
V
A





0
E
V
V

Các phương trình Poisson & Laplace
17
0
E
a
V






Giải phươn
g

VVV
Vr
rr r r r

  
   
  
   
  
   
  
sin sin
rr r r r
  
   
  
1
sin 0
V







2
sin 0
sinr



ln t
g
A
B






d
VA B

 

Các phương trình Poisson & Laplace
18
s
i
n

g
2


sin


Giải phươn

)
ln tg
2
VA B





/2
0V



V = V
0
α
Kh hở
lt



0
(/2)VV





V = 0





 




ln tg
2


sin ln tg
2
r



0
SN
V
DE



  

Các phương trình Poisson & Laplace
19

(
θ
)

(hệ
c
ầ
u
)
0
V
QdS dS



V = V
0
α
Kh hở
0
sin ln tg
2
S
r













2
0
00
sin
V
rddr
Q
r










s
i
n
dS
r
dd

20
0
ln cotg
2
C
V






Các phươn
g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
•Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất
•
Định

lý


trình Poisson (1)
0
2sechth
vv
xx


0,5
1
0v

Vùng p
Vùng n
2
(sech ;th )
x
x
x
xxx
ee
xx
ee ee





0
vv
aa

2
3
4
5
0
2
x
v
E
a


E
2
sech th
aa
dx


0
1
2
sech
v
a
dV x
C
dx a



x
a
x
EC
a


 
1
0C
Khi x → ± ∞ thì E
x
→ 0
Các phương trình Poisson & Laplace
22
0
2
sech
v
x
a
x
E
a



v

Giải phươn

x
a
v

2
4

0
2
sech
v
x
a
x
E
a



–5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
0
2
x
v
E

V


x
E
0
V

Giả sử
2
0
4
0
v
a
C


 
2
/
0
4
arctg
xa
v
a
Ve



2
0
4
C

 
Các phương trình Poisson & Laplace
23
arctg
4
Ve




1
2
3
4
5
–0,25
–0,5
/
x
a
v

Giải phươn
g
trình Poisson (3)

vv
aa

–5 –4 –3 –2 –1
12345
–0,5
1
/
x
a
v

4


2
0
0
2
v
xx
a
VV V


 
 
–
1
000

CS
Va




 
Các phương trình Poisson & Laplace
24
0
0
dV
dQ dQ
ICC
dt dt dV
 
0
Các phươn
g
trình Laplace & Poisson
•
Phương trình Poisson
Phương

trình

Poisson
•Phương trình Laplace
•
Định lý nghiệm duy nhất

25