http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Chủ đề 13: CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
 
P là góc
giữa đường thẳng
a
và hình chiếu a

của nó trên
 
P , kí hiệu
là
 
 
,a P hay
 
 
,P a .
Đặc biệt:
 Khi
a
thuộc

3
2
a
SA SB SC   .
a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng
 
ABC .
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
 
ABC .
Lời giải:

a) Gọi O là trung điểm của BC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC .
Ngoài ra, theo giả thiết ta có SA SB SC  nên SO là trục đường tròn
của ABC , suy ra
 
SO ABC và
 
 
,SO d S ABC .
Trong SAO vuông tại O , ta có:
1
2 2
a
OA BC  (trung tuyến thuộc
cạnh huyền)
2
2
2

B
A
C
S
O

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Trong SAO vuông tại O, ta có:

3
2
cos
3
3
2
a
OA
SAO
SA
a
   .
Vậy ta được
 
 
3
cos ,

 

0
, 180P Q EOF  nếu

0
90EOF  .
Cách 2: Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Tìm giao tuyến
 
d của
 
P và
 
Q .
+ Bước 2: Chọn điểm O trên
 
d , từ đó dựng
 
Ox d trong
 
P , và
 
Oy d trong
 
Q .
+ Bước 3: Tính số đo của góc

xOy
.

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là
60
0
và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’.
a. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy
b. Tính góc giữa BC và AC’
c. Tính góc giữa (ABB’A’) và mặt đáy.
Lời giải:

a). Ta có d[(ABC), (A’B’C’)] = d[A, (A’B’C’)] = AH.
Ta có

0
( ', ( ' ' ')) ( ', ) ' 60 .AA A B C AA AH AA H  
Xét tam giác vuông AA’H vuông tại H, ta có

0 0
3 3
tan60 ' tan60 3 .
' 2 2
AH a a
AH A H
A H
    
b). Ta có


tan 2 3.
AH
AKH
HK
 
C
B
A
A'
C'
B'
H
K

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 Ví dụ 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
2AB a , 3SA a và vuông góc với mặt phẳng
 
ABCD .
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng
 
SAD và
 
SBC .

3 2 7SE SA AE a a a     7SE a  .
Hai tam giác vuông SAE và DEF có chung góc

E nên chúng đồng dạng, suy ra:

DF DE
SA SE

. 3. 21
7
7
SA DE a a a
DF
SE
a
    .
Trong ABD vuông tại A , ta có:

0
.sin 2 .cos60 3BD AB BAD a a   .
Trong BDF vuông tại D , ta có:

3
tan 7
21
7
BD a
BFD
DE
a

Suy ra
 
BC SAC BC AJ 
 
AJ SBC  .
Trong
 
SAC hạ OK SC tại K , suy ra OK AJ .
Do đó
   
 
   

, , ,SAD SBC BD AJ BD OK KOB   .
Trong nửa lục giác đều ABCD, ta có:
2 3 3
.
3 2 3
a a
OC   ,
3 1 3 2 3
.
2 3 2 3
a a a
OB    .
Trong SAC vuông tại A , ta có:
 
 
 
2

3
a
OK
KOB
OB
a
   .
Vậy ta được
   
 
2
cos ,
4
SAD SBC  .

B
A
S
D
C
K
O
J
B
A
S
D
C
O
J

Hạ AI SH tại I , suy ra
 
AI SCD .
Do đó
   
 

,SCD SBC IAJ .
Trong SAH vuông tại A , ta có:
3
2
a
AH  và
 
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
3
33
2
AI SA AH a
aa
    
 
 
 
15
5
a
AI  .

Bước 1: Trong mặt phẳng
 
,O d hạ OH d với H d .
Bước 2: Thực hiện việc xác định độ dài OH dựa trên hệ thức lượng
trong tam giác, tứ giác và đường tròn.
H
O
d

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Chú ý: + Nếu tồn tại đường thẳng
a
qua O và song song với d thì
   
, ,d O d d A d , với A a . + Nếu AO d I  thì
 
 
,
,
d O d
OI
d A d AI


OB AC  ,
1 2
3 6
a
OK OB  .
Trong OCK vuông tại O , ta có:
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 20
2 2
6 2
OH OK OC a
a a
    
   
   
   
20
a
OH 
.
K
A
d
O
a
K
A
d
O

 
 
 
 
30
10
a
IH  .
Vậy khoảng cách từ I tới CM bằng
30
10
a
.
Vì SI CM C  nên
 
 
,
2
,
d S CM
SC
d I CM IC
 
   
30
, 2 , 2
5
a
d S CM d I CM IH    .
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 
P . Tính độ dài của đoạn OH là khoảng cách từ O đến
 
P .
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Phương pháp:
1. Cho đường thẳng
 
d

 , để tính khoảng cách giữa d và
 

ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chọn một điểm A trên d , sao cho khoảng cách từ A đến
 

có thể được xác định dễ
nhất.
Bước 2: Kết luận
 
 
 
 
, ,d d d A
 
 .
A
D
B

 
Q có thể được xác định dễ
nhất.
Bước 2: Kết luận
   
 
 
 
, ,d P Q d A Q .
Ví dụ 5: Hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh
a
và có góc

0
60BAD  . Đường thẳng SO
vuông góc với mặt phẳng
 
ABCD và
3
4
a
SO  . Gọi E là trung điểm của BC , F là trung điểm của BE .
a) Chứng minh
   
SOF SBC .
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng
 
SBC .
Lời giải:


 
,
1
2
,
d O SBC
OC
AC
d A SBC
 
 
 
 
 
3
, 2 , 2
4
a
d A SBC d O SBC OH    .
Ví dụ 6: Cho hình chóp .S ABCD có 6SA a và vuông góc với mặt phẳng
 
ABCD , đáy ABCD là nửa
lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính 2AD a .
a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng
 
SCD .
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng
 
SBC .
D




 
CD SAC 
   
SCD SAC  .
Hạ AH SC , ta có ngay
 
AH SCD .
Vậy AH là khoảng cách từ điểm A tới
 
SCD .
Trong SAB vuông tại A , ta có:
   
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2
6 3
AH SA AC a
a a
    
2AH a 
.
Gọi I là trung điểm của AD , suy ra: BI CD
 
BI SCD 
 
 

AD SCB 
 
 
 
 
, ,d AD SBC d A SBC  .
Hạ AK BC , ta được:
BC AK
BC SA





 
BC SAK 
   
SBC SAK  và
   
SBC SAK SK  .
Hạ AG SK , ta có ngay
 
AG SBC .
Vậy AG là khoảng cách từ điểm A đến
 
SBC .
Trong SAK vuông tại A, ta có:
 
2 2
2 2 2 2

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

c) Nhận xét rằng:
AK AD
AK SA





 
AK SAD  .
Giả sử mặt phẳng
 

song song với
 
SAD cắt AK tại E , khi đó:
   
 
3 1
,
4 2
a
d SAD AE AK

  
E là trung điểm của AK .
Ta đi xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng
 

 

là MNPQ, ngoài ra vì: MN CD PQ  MNPQ là
hình thang.
MQ SA
 
MQ ABCD  MQ MN  MNPQ là hình thang vuông.
Từ đó, ta được
 
1
.
2
MNPQ
S MN PQ MQ  .
Trong đó:
 
1 3
2 2
a
MN AD BC   vì MN là đường trung bình của tứ giác ABCD,
1
2 2
a
PQ BC  vì PQ là đường trung bình của SBC ,
1 6
2 2
a
MQ SA  vì MQ là đường trung bình của SAB .
Suy ra
2

Bước 2: Chọn M trên
a
, dựng
 
MH P tại H .
Bước 3: Từ H , dựng đường thẳng
1
a a và cắt b tại B .
Bước 4: Từ B , dựng đường thẳng song song với MH , cắt
a
tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc
chung của
a
và b .

Cách 2: Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Dựng mặt phẳng
 
P vuông góc với
a
tại O.
Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc
1
b của b trên
 
P . Dựng
hình chiếu vuông góc H của O trên
1
b .
Bước 3: Từ H , dựng đường thẳng song song với

P
H
A B
a
b
b'
A
P
B
a
b

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380 2. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Tính độ dài đoạn vuông góc chung (nếu có).
Cách 2: Tính
 
 
,d a

với
 

là mặt phẳng chứa b song song với
a

 
OH SBC  . Vậy OH là khoảng cách từ O
đến
 
SBC .

Với hình thoi ABCD, ta có: BD a vì ABD đều
2
a
OB  ,
3
2 2. 3
2
a
AC AO a   .
Trong OBC vuông tại O , ta có:
 
2 22 2 2 2
1 1 1 1 1 13
3
3
2
OI OB OC a
a
a
    
 
 
 
39

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Vậy khoảng cách từ O đến
 
SBC bằng
3
4
a
.
b) Nhận xét rằng: AD BC
 
AD SBC 
   
 
 
 
, , ,d AD SB d AD SBC d J SBC   .
Mặt khác, ta lại có
 
JO SBC I  nên:
 
 
 
 
,
2
,

' ( ì ( ' '))
BC B C
BC A B CD
BC CD v CD BCC B


 

 
O
C
B
D
A
A'
D'
B'
C'
I
K
A
B
C
D
O
I
J

3SA a . Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa SI và AC.
Lời giải
Gọi O là tâm của đáy ABCD, từ O dựng đường thẳng d song song với SA, khi đó mặt phẳng chứa BD và d
vuông góc với AC tại O. Từ I hạ IK BD tại K và từ S hạ
SH d
tại H thì suy ra KH là hình chiếu vuông
góc của SI lên mặt phẳng (BD, d). Từ O hạ
ON HK
tại N, khi đó d(SI, AC) = ON.

Xét tam giác vuông OKH, ta có
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 8 1 25
3 3
2
4
ON OK OH SA a a a
a
      
 
 
 
. Suy ra
3
.
5
a
ON 
A

SH
a x



Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc

. Tính
a) Chiều cao hình chóp S.ABCD;
b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng (SCD);
c) Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng trung trực cạnh BC.
Ds: a)
5
tan
2
a

b)
2
5 tan
5tan 4
a
HI




c)
2

b) Khoảng cách giữa AC và SD; Ds:
2 2
4
ah
a hhttp://baigiangtoanhoc.com Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

c) Khoảng cách giữa BC và SD. Ds:
2 2
4
bh
b h

Bài 6: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) AD và SB Đs:
21
7
a

b) SA và BD Đs:
21
7
a


a) Chứng minh rằng tam giác AB' I vuông ở A.
b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB' I). =>
30
cos
10
 