ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


10





CHUYÊNĐỀ2.CỰCTRỊCỦAHÀMSỐ
I.KIẾNTHỨCCƠBẢN
1.Điềukiệncầnđểmộthàmsốđạtcựctrị
Địnhlí1.Giảsửhàmsố
yf(x)=
đạtcựctrịtại
0
x
.Khiđónếutồntạiđạohàm
0
f'(x )
thì
0
f'(x ) 0=

2.Điềukiệnđủđểmộthàmsốđạtcựctrị
Địnhlí2.Chohàmsố
yf(x)=
liêntụctrênkhoảng
K
chứa
0

x
thì
f(x)
đạtcựcđạitại
0
x

x

a

0
x

b

f'(x)+

0

-

f(x)

CĐ
hàmsốđạtcựcđạitại
0
x

x

a

0
x

b

f'(x)-

0

+

f(x)
CT
ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh



f''(x)
,
i
f''(x)
vàđưarakếtluận.

II.PHÂNLOẠICÁCDẠNGBÀITẬP
Dạng1:Tìmcựctrịcủamộthàmsố
Bàitập1.Tìmcácđiểmcựctrịcủahàmsố
32
yx 3x 2=- +

Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D
=


+Tacó
2
x0
y ' 3x 6x y ' 0
x2
é
=
ê
=-=
ê
=
ê

2

+¥

-¥

2-
Dựavàobảngbiếnthiêntacó:
+Hàmsốđạtcựcđạitại
x0=
và
CÑ
y2=

+Hàmsốđạtcựctiểutại
x2=
và
CT
y2=-

Bàitập2.Tìmcácđiểmcựctrịcủahàmsố
2
x3x3
y
x2
-+
=
-

Hướngdẫn:

 Hàmsốđạtcựcđạitại
x1=
và
CÑ
y1=-

 Hàmsốđạtcựctiểutại
x3=
và
CT
y3=

Bàitập3.Tìmcácđiểmcựctrịcủahàmsố
2
x1
y
xx1
+
=
-+

Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D = 

+Tacó
()
()
22
31 x

5
xk2
6
p
p
p
p
é
ê
=+
ê
=-+=
ê
ê
=- +
ê
ë

+Tacó
y'' 3sinx cosx=- -
1
2
y''(x ) 3 0
y''(x ) 3 0
ì
ï
=- <
ï
ï


yx 3x 24x7=- - +
  b)
32
yx3x1=- + -
 c)
32
yx x 2x=-+


ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


13
d)
42
13
yxx
22
=-+
  e)
42
yx 5x 4=- +
 f)
42
yx2x1=- + +


Bàitập2.Tìmcựctrịcáchàmsốsau:
a)
2

2
=+   b)
ycosxsinx=-

Dạng2:Tìmđiềukiệnđểm ộthàmsốcócựctrị
Bàit ập1.Chohàmsố
()
322
1
yxmxm2m2x1
3
=++-++.Vớigiátrịnàocủa
m
thìhàmsố
đạtcựctiểutại
x1=-
.
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D

=


+Đểhàmsốđạtcựctiểutại
x1=-
thì
2
y'( 1) 0
m4m30

.Vớigiátrịnàocủa
m
thìhàmsốđạtcựcđạitại
x2=
.
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D

{}
\m=-

+Đểhàmsốđạtcựcđạitại
x2=
thì
()
2
m2
m2
y'(2) 0 2 m 1 m 3
y ''(2) 0 2 m 0
ì
ï
¹-
ì
ï
ï
-¹
ï
ï

.
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D

{}
\2= 

+Đểhàmsốhàmsốđạtcựcđạibằng
1
tại
x1=
thì:
ChunđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


14
()
2b c 6 0
y'(1) 0 b 3
y''(1) 1 c 0
2bc 1
ì
ìì
ï
ïï
=
==-
ï
ïï

đạivàmộtcựctiểu.
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D = 

+Tacó
2
y ' 3x 6x 3m=-+
.Đểhàmsốcómộtcựcđạivàmộtcựctiểuthìphươngtrình
y' 0=

phảicó2nghiệmphânbiệt
99m 0 m 1D= - >  <

 Chúý: Cho hàmsố

32
yax bx cxd(a0)=+++ ¹
.KhiđóhàmsốcóCĐ,CT

phương
trình
2
y' 3ax 2bx c 0=++=
có2nghiệmphânbiệt.
Bàitập5.Chohàmsố
42
yx mx m5=+
.Vớigiátrịnàocủa
m

m
0m0
2
- >  < 
Bàitập6.(B_2002).Tìm
m
để
42 2
ymx (m 9)x 10=+-+
có3điểmcựctrị.
Hướngdẫn:
3
y' 0 4mx 2(m 9)x 0= + - =

+YCBT

phươngtrình
y' 0=
có3nghiệmphânbiệt
m3
0m3
é
<-
ê

ê
<<
ê
ë


ê
ï
ï
ï
ê
ï
ï
ỵ
þ
ê
ê

ë

ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


15
Bàitập7.Chohàmsố
2
mx 3m x (2m 1)
y
x1
+++
=
-
.Vớigiátrịnàocủa
m
thìhàmsốCĐ,CT.
Hướngdẫn:

÷
ç
÷
ç
èø

Chúý:
 Chohàmsố
2
ax bx c
y
mx n
++
=
+
.Khiđóhàmsốcócựctrị

hàmsốcóCĐ,CT


f'(x) 0=

có2nghiệmphânbiệt.
 Hàmsố
ax b
y
cx d
+
=
+

ymx2mx5=- + +
đạtcựctrịtại
4
x
3
= . Khiđó
4
x
3
= là
điểmcựcđạihaycựctiểu.
Bàitập3.Xácđịnh
a
đểhàmsố
1
y a sin x sin 3x
2
=+ đạtcựctrịtại
x
3
p
= .
Bàitập4.Tìm
m
đểhàmsố
()
32
yx m3x mxm5=- + + ++
đạtcựctiểutại
x2=

16
2
xb 2 b bc
yy'cxd
3 9a 3 3a 9a
ổử
ổử ổử
ữ
ữữ
ỗ
ỗỗ
ữ
ữữ
=+ + - +-
ỗ
ỗỗ
ữ
ữữ
ỗ
ỗỗ
ữ
ữữ
ỗỗ
ỗ
ốứ ốứ
ốứ

Gi
00
M(x ; y )

ữ
ữữ
ữữ
ỗỗ
ữỗ ỗ
ỗ
ốứ ốứ
ốứ ốứ
ốứ

Doúphngtrỡnhngthngqua2imcctrl:
2
2b bc
yc xd
33a 9a
ổử
ổử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
=- +-
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ


phicú2nghimphõnbittrỏidu
()
m0
0m2
3m 2
c
0
am
ỡ
ù
ạ
ù
ù
ù
<<
ớ
-
ù
=<
ù
ù
ù
ợ

Bitp2.Tỡm
m

32
11

ù
ù
ù
ợ

+Khiútacú
12
x;x
lnghimphngtrỡnh
f'(x) 0=
,kthpviyờucubitoỏntacú:
12 1
12 2
12
12
2(m 1) 3m 4
xx x
mm
m2
3(m 2) 2 m
x.x x
2
mm
m
3
x2x 1 3(m2)
x.x
m
ỡỡ
ùù

ợợ

ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


17
Bàitập3.Tìm
m
để
32
1
f(x) x mx mx 1
3
=-+-đạtcựctrịtại
12
x;x
thỏamãn:
12
xx 8-³

Hướngdẫn:
2
f'(x) 0 x 2mx m 0= - + =

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìphươngtrình
f'(x) 0=
phảicó2nghiệmphânbiệt:
m( ;0)(1; )Î-¥È+¥

+Khiđótacó

ê
= ³
í
ê
ï
+
ï
ê
ï
³
-³
ï
ê
ï
î
ë

Bàitập4(ĐHB_2007).Tìm
m
để
32 2 2
yx3x3(m1)x3m1=- + + - - -
cóCĐ,CTcáchđều
gốctọađộ
Hướngdẫn:
22
f'(x) 0 x 2x m 1 0= - - +=

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì
f'(x) 0=

xx2
+= +
.
Hướngdẫn:
22
f'(x) 0 3x 4(m 1)x (m 4m 1) 0= + - + - +=

+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì
f'(x) 0=
phảicó2nghiệmphânbiệt
m23
m23
é
<- -
ê

ê
ê
>- +
ë

+Tacó:
()
12
12
12
12
m1
xx 0
111


12
x;x
thỏa
mãn:
12
x2x<<
.
Hướngdẫn:
2
f'(x) 0 x 2(m 2)x 5m 4 0= + - + +=

ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


18
+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthì
f'(x) 0=
phảicó2nghiệmphânbiệt
m0
m9
é
<
ê

ê
>
ê
ë


÷
ç
÷
=- - +++
ç
÷
ç
÷
ç
èø


PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà:
()
2
22
ym1xm1
33
=- + + +

+Khoảngcáchgiữahaiđiểmcựctrịlà:
222 222
21 21
4 4 13 4.13
AB ( x x ) (m 1 )(x x ) (4m 4) m
9999
æö
÷
ç
÷

tacó:
2
f(x) (2mx m 1)g(x) (3m 1) x m(m 1)(1 2m)=+ +


PTđườngthẳngquaCĐ,CTlà:
2
y(3m1)xm(m1)(12m)=- - + - -

+YCBT
2
(3m 1) 4
m1
m(m 1 )(1 2m) 0
ì
ï
=-
ï
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î

Bàitập9.Tìm
m
để

y(21m)x3
99
=-+-
+YCBT
2
2310
(21 m ).3 1 m
92
- =-=

Bàitập10.Tìm
m
để
42 4
f(x) x 2mx 2m m=- + +
cóCĐ,CTlậpthànhtamgiácđều.
Hướngdẫn:
2
x0
y' 0
xm
é
=
ê
=
ê
=
ê
ë


xm
é
=
ê
=
ê
=
ê
ë

+Đểhàmsốcó3cựctrịthìphươngtrình
y' 0=
phảicó3nghiệmphânbiệt
m0¹

+Khiđó3điểmcựctrịlà:

44
A(0;1),B(m;1 m),C(m;1 m) AB AC -  =

+Để
ABCD
vuôngcânthì
AB.AC 0 m 1= =


Chúý2.Chohàmsố
2
ax bx c
y

2b
yx
pp
=+

ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


20
Cách2.Tacó
()
2
2
ax bx c r rp
ymxny'm
px q px q
px q
++
==++=-
++
+
.Gọi
00
M(x ; y )
là
điểmcựctrị.Khiđótacótạođộ
M
thỏamãnhệ:
()
()

ï
=++
ï
ï
ì
+
ï
ï
=
ï
+
ï
ï
ï

íí í
ïï ï
=
-=
ïï ï
î
=+
ïï
ïï
+
+
ïï
î
ï
î


11 22
A(x ; 2x 3), B (x ; 2x 3)-+ -+
.Tacó
CÑ CT 12
yy 4xx2m3-=-==

Bàitập13.Tìm
m
để
2
mx 3m x (2m 1)
y
x1
+++
=
-
cóCĐ,CTnằmvề2phíacủa
Ox

Hướngdẫn:
+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt
f'(x) 0=
có2nghiệmphânbiệt
()
1
m; 0;
6
æö
÷

=
+
cóCĐ,CTcùngvớigốctọađộ
tạothànhmộttamgiácvuôngtạiO.
Hướngdẫn:
+ĐểhàmsốcóCĐ,CTthìpt
f'(x) 0=
có2nghiệmphânbiệt
m0¹

+Gọi
A, B
là2điểmcựctrị
()( )
A 2 m; 2 , B 2 m; 4m 2 -+ -

+Để
OABD
vuôngtạiO
OA.OB 0 m 4 2 6==-
 

ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


21
Bàitập15.(B.2005)Cho ( )
m
1
ymx C

èø

+Tiệmcậnxiên
()
2
1
:mx y 0 d A, m 2m 1 0 m 1
2
D-=D=-+==

Bàitập16.(A.2012)Cho
()
422
yx 2m1x m=- + +
.Tìm
m
đểđồthịhàmsốcó3điểmcựctrị
tạothànhmộttamgiácvuông.
Hướngdẫn:
+Hàmsốcó3điểmcựctrị
m1>-

+Cácđiểmcựctrịcủahàmsốlà
()
()()
2
A0;m,B m1;2m1,Cm1;2m1-+ +

+YCBT
AB.AC 0 m 0==

xmx1
y
xm
+-
=
-
.Tìm
m
đểhàmcócóCĐ,CTvàviếtphươngtrình
đườngthẳngquaCĐ,CT.
Bàitập2.Tìm
m
đểhàmsố
22
x4mx5m9
y
x1
++-
=
-
cóCĐ,CTtráidấunhau.
Bàitập3.Xácđịnh
m
đểhàmsố
()()
32
1
ymxm1xm1x1
3
=-++++đạtcựctrịtại