CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 1
số phức
PHN I. CC DNG TON
VN 1
dạng đại số của số phức
Cộng, trừ, nhân, chia số phức
A. TểM TT KIN THC
1. Số phức
Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i
2
= -1 được gọi
là một số phức.
a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo, i được gọi là đơn vị ảo.
Tập các số phức được kí hiệu là .
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R

.
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Hai số phức bằng nhau

'
z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); z z'
'
a a
b b





z
= a - bi.
Ta có: 2
2 2
zz' = z z' , zz a b z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z


* z là số thực khi và chỉ khi z =
z

6. Chia cho số phức khác 0
Nếu z = a + bi (a, b


) khác không thì số phức nghịch đảo của z là
1
-1
z = z
2
z
.
Thương của z' cho z khác không là:

z' z'z
-1
z'z
z



) cũng có nghĩa là
OM

biểu diễn số phức đó.
Ta có:Nếu
,u v

theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 2

u v

biểu diễn số phức z + z',
u v

biểu diễn số phức z z
-1
, k
( )u k



biểu diễn số phức
kz,

OM u z

1 3 1 3
1 3
2 2 2 2
1 2 2
1 3 1 3
2 2 2 2
i i
i
i i







Ví dụ 3: Tính
2 3 2009
1 ...i i i i

Bài giải
Ta có:
2010 2 3 2009
1 (1 )(1 ... )i i i i i i
. Mà
2010
1 2i
. Nên
2
2 3 2009

.
Hãy chứng minh rằng:
;
1
2 2 3
1 0; 1.z z z z z
z

.
Bài giải
Do
1 3
2
2 2
z i
. Nên
1 3 1 3
2
1 ( ) ( ) 1 0
2 2 2 2
z z i i
;
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 3
Lại có
1 3
1 1 1 3
2 2
1 2 2


2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
0 ( ) 0 2 0
0
0
0 (1 ) 0
0
0
0
2 0
(1 ) 0
0
0
0,
0
1
0 (do 1 0)
0
z x yi x y x y x y xyi
x
x
y y y y
x y x y
y
y
xy
x x









































Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i.
II. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ
1) Phương pháp giải
Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau:
Nếu số phức z được biểu diễn bởi vectơ
u

, số phức z' được biểu diễn bởi vectơ
'u

, thì
z + z' được biểu diễn bởi
'u u

; z - z' được biểu diễn bởi
'u u

; - z được biểu diễn bởi

Nếu véctơ
u

của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ
u

là
u z


, và từ
đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
'AB z z


.
CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC

Ngc Vinh 4
Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện
3
2 3
2
z i

. Tìm số phức z có modul nhỏ
nhất.
Bài giải
Xét biểu thức
3

3
13
9 6 13 9
2
13 3 13
3 2 2
13
MH OM
MH
OI




6 13 9 78 9 13
26
2 13
MH


.
Lại có
3
13
2 13 3 26 3 13
2
2 13
13 13
OH
OH


0 để
AC kOA

tức là w = kz. (Còn khi z
= 0, rõ ràng
z w z w
).
Vậy
z w z w
khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z

0 thì tồn tại
k R


để w = kz.
c. bài tập
1. Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có
z w z w
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
2. Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức z, w,
u, v thoả mãn các tính chất:
O
H
2
M
I
- 3
x

1 3
i i
i i
i i
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.

VN 2
Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa căn bậc hai của số phức
Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z
2

=
w được gọi là một căn bậc hai của số phức w.
a) Nếu w là số thực
+ w < 0 thì có hai căn bậc hai:
&wi wi


+ w

0 thì có hai căn bậc hai:
&w w


x y a b








Giải hệ tìm được
2
x
và
2
y
suy ra x và y để tìm z.
Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu.
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức
Cho PT:
2
0; (1) ( , , , 0)ax bx c a b c a


và có
2
4b ac


+ Nếu
0


Ngc Vinh 6
Biến đổi phương trình về dạng Az + B = 0, A, B
, 0
A


. Viết nghiệm
B
z
A 2) Ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình 2iz + 1 - i = 0
Bài giải
Nghiệm của phương trình là
(1 ) 1 1 1 1
2 2 2 2 2
i
z i
i i


.
II. Tính căn bậc hai và giảiphương trình bậc hai
1) Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai.
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình với chú
ý phải đưa về đúng dạng của phương trình.












2
3
x
y







Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có
2
3
x
y




8
2 6
10 1
x y x
x y
xy
x y y









3
1
x
y










2 2 2
2 2
2 2 2
33 49
33
2 56
65 16
x y x
x y
xy
x y y









7
4
x
y


d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là 2
2 2
3 4 2 3 4x iy i x y ixy i