GS. TSKHKT- PHAN KÌ PHÙNG
Ths. THÁI HOÀNG PHONG

GIÁO TRÌNH

SỨC BỀN VẬT LIỆU TẬP I ĐÀ NẴNG 2005

3.2. Trạng thái ứng suất phẳng 50
3.3. Trạng thái trượt thuần túy 58
3.4. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke tổng quát 59
3.5. Các thuyết bền 64
Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG 70
4.1. Khái niệm chung 70
4.2. Mô men tĩnh và các mô men quán tính 70
4.3. Mô men quán tính của một số hình đơn giản 74
4.4. Công thức chuyển trục của mô men quán tính 75
4.5. Hệ trục quán tính chính - công thức xoay trục của mô men quán tính 77
4.6. Vòng tròn Mohr quán tính 78
4.7. Bán kính quán tính 79
Chương 5: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG 84
5.1. Khái niệm 84
A. Dầm chịu uốn thuần túy phẳng 85
5.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 85
5.3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp lớn nhất 89
5.4. Điều kiện bền của uốn thuần túy phẳng 91
5.5. Khái niệm về hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang 93

7
B. Dầm uốn ngang phẳng 94
5.6. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của dầm uốn ngang phẳng 94
5.7. Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng 95
5.8. Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng 98
5.9. Các dạng bài toán cơ bản 101
5.10. Khái niệm về dầm chống uốn đều 104
5.11. Quỹ đạo ứng suất chính khi uốn 105
5.12. Thế n
ăng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng 106

7.7. Thanh có mặt cắt ngang tròn 155
7.8. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật 155
D. Thanh chịu lực tổng quát 160
7.9. Thanh có mặt cắt ngang tròn 160
7.10. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật 161
Chương 8 : KHÁI NIỆM CHUNG VỀ TỪ BIẾN 164
8.1. Mở đầu 164
8.2. Những đường cong từ biến 165
8.3. Phân tích quá trình từ
biến của vật liệu 166
8.4. Phương pháp mô hình hoá trong từ biến 171

8
8.5. Những mô hình cơ bản 172
Chương 9:
NHỮNG LÍ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TỪ BIẾN 176
9.1. Khái niệm chung 176
9.2. Lí thuyết hoá già 176
9.3. Lí thuyết chảy dẻo 179
9.4 Lí thuyết củng cố 180
9.5. Lí thuyết di truyền 181
9.6. Sự dão ứng suất trong các bu lông,(kéo- nén đúng tâm). 182
9.7. Xoắn thanh tròn 183
9.8. Bài toán uốn 184
9.9. Từ biến của cánh tuốc bin 187
Phụ lục 189
Tham khảo 205

Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 1966

5) Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng
Sức bền Vật liệu (T.1)

9
Nhà xuất bản Giáo dục 1997

6) Lê Ngọc Hồng
Sức bền Vật liệu
Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật ,Hà Nội 2000

7) Phan Kỳ Phùng, Đặng Việt Cương
Lý thuyết dẻo và Từ biến
Nhà xuất bản Giáo dục, 1997

10
4

LỜI NÓI ĐẦU Sức bền vật liệu là một môn học cơ sở, nó là gạch nối giữa các môn học cơ bản đến
các môn học kỹ thuật cho các ngành cơ khí, động lực, cầu đường, xây dựng, thủy lợi,
giao thông Để học tốt các môn chuyên môn ở các ngành học nói trên thì cần phải nắm
được các kiến thức các môn học cơ sở trong đó có môn học Sức bền vật liệu.
Giáo trình Sức bền vật liệu (Tập I) nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản về phương

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

0.1.KHÁI QUÁT.
0.1.1. Nhiệm vụ của môn học.
Môn học sức bền vật liệu có nhiệm vụ cung cấp những kiến thức cơ bản về phương
pháp tính toán độ bền (nghĩa là các kết cấu, chi tiết máy không bị phá hủy dưới tác dụng
của tải trọng). Xác định độ cứng vững (nghĩa là sự thay đổi kích thước hình học của các
kết cấu, chi tiết không được vượt quá một giới hạn cho phép). Tính toán về độ ổn định
(nghĩa là tính toán sao cho các kết cấu, chi tiết có khả năng bảo toàn trạng thái cân bằng
ban đầu), điều này chúng ta sẽ rõ khi gặp bài tóan ổn định.
Môn học này cũng đề cập đến một số kiến thức để tính toán cho hệ thanh, cho các
tấm, các vỏ, thanh thành mỏng Môn học này còn đề cập đến các bài toán về ứng suất
tiếp xúc, về các ống v.v Điều đó cũng có nghĩa là giáo trình này bao gồm những kiến
thức cơ bản của các môn học có liên quan "sức bền vật liệu", "cơ học kết cấu" và "lý
thuyết đàn hồi".
Ngày nay, khi mà khoa học đã phát triển thì các môn học được đan xen nhau,
không còn ranh giới rõ rệt nữa. Các môn học cơ học cũng vậy, nên những vấn đề được
trình bày dưới đây chúng tôi cũng theo xu hướng đó, nhằm cung cấp những kiến thức cơ
bản về cơ học có liên quan đến tính độ bền, độ cứng vững và độ ổn định đã nói ở trên,
nhưng lại phải tiết kiệm nhất, có lợi nhất. Nói một cách khác là phải giải quyết vấn đề tối
ưu nhất trong sản xuất là phải chọn kết cấu, chọn phương pháp tính, phải chọn vật liệu
sao cho có lợi nhất. Trong bản chất bài toán này, rõ ràng có mâu thuẫn ví như một chi tiết
càng có kích thước lớn thì có thể rất bền, rất cứng vững và rất ổn định nhưng lại không
kinh tế và cũng sẽ không thỏa mãn những yêu cầu khác. Chính vì những mâu thuẫn đó
chắc chắn nó sẽ là yếu tố thúc đẩy sự phát triển kỹ thuật tính toán, chế tạo của các vật liệu
mới Môn sức bền vật liệu cũng phải phát triển để đưa ra các mô hình tính toán, các
phương pháp tính toán hợp lý, để thỏa mãn các điều kiện trên.
0.1.2. Đối tượng nghiên cứu của môn học.
Môn sức bền vật liệu là một môn học nằm trong ngành Cơ học vật rắn biến dạng.
Khác với Cơ lý thuyết, nhằm khảo sát sự cân bằng và chuyển động của vật rắn tuyệt đối,

′
,e-
e
′
-
T
hanh và cách biu din thanh trong
tính tóan; f,h,i,g- Khung; j,k-Gi di ng;m,n-Khp c nh;o-Ngàm

a)
b) c)
d)
d
′
)
e)
)e
′
m) n) o)
V
A
H
A
R
V
A
H
A
M
A

], [lực/(chiều dài)
2
] hoặc là lực phân bố theo chiều dài [lực/chiều dài]. Ngoài ra còn
có lực tập trung, mô men tập trung, mô men phân bố.
* Tính chất tải trọng.
- Tải trọng tĩnh: Giá trị của lực tăng từ từ xem như không gây ra lực quán tính.
- Tải trọng động: Giá trị của lực tăng đột ngột (va chạm) hay kể đến lực quán
tính (dao động, chuyển động có gia tốc).
0.2.2. Các nguyên nhân khác.
Bao gồm sự gia tăng của nhiệt độ, sự chế tạo không chính xác các chi tiết máy hay
sự lún của các gối tựa trong công trình.
0.2.3. Các loại liên kết phẳng và phản lực liên kết .
a) Gối di động (khớp di động, con lăn): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh
một điểm và chuyển động tịnh tiến theo một phương nào đó. Liên kết hạn chế sự di
chuyển của thanh theo phương vuông góc với phương chuyển động tịnh tiến, nên theo
phương này liên kết sẽ phát sinh một phản lực V
A
: (hình 0.1j) hay (hình 0.1k).
b) Gối cố định (khớp, bản lề): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm
và hạn chế mọi chuyển động tịnh tiến trong mặt phẳng. Liên kết này phát sinh phản lực
theo một phương bất kỳ trong mặt phẳng. Trong tính toán ta thường phân lực này ra hai
thành phần vuông góc nhau H
A
và V
A
(xem hình 0.1m và 01 n).
c) Ngàm: Liên kết hạn chế mọi chuyển động trong mặt phẳng. Tại ngàm phát sinh
một mô men phản lực và một phản lực theo phương bất kỳ, phản lực này thường được
phân ra hai thành phần vuông góc nhau (xem hình 0.1o). Để xác định các phản lực, ta
xem thanh như vật rắn tuyệt đối và xét sự cân bằng của vật rắn đó dưới tác động của phản

* Giả thuyết III: Biến dạng của vật thể là bé.
Hệ quả của các giả thuyết: Trong quá trình tính toán ta có thể:
- Sử dụng phép tính vi phân, tích phân, tức là có thể nghiên cứu một phân tố bé
để suy rộng ra cho cả vật thể lớn.
- Sử dụng sơ đồ không biến dạng, tức là xem đi
ểm đặt của ngoại lực không đổi
trong khi vật thể bị biến dạng.
- Áp dụng được nguyên lý độc lập tác dụng (hay còn gọi là nguyên lý cộng tác
dụng): "Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố bằng tổng tác dụng do từng yếu tố
riêng rẽ gây ra".

0.4. Lịch sử và sự phát triển của môn học.
Sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm, được xây dựng trên một số kết quả
và giả thuyết rút ra từ những thí nghiệm tương ứng với các bài toán cụ thể, sự lập luận
trên cơ sở thực nghiệm vừa mang tính khoa học vừa giúp cho việc thiết lập các công thức
tính toán ít phức tạp hơn về mặt toán học.
Vào thế kỷ 17 Nhà bác học Galiles đã làm thí nghiệm v
ề sự chịu lực của một dầm
Côngxon để làm cơ sở cho các thiết kế và đóng các tàu biển phục vụ cho sự phát triển
hàng hải. Nhưng trên thực tế trong thế kỷ 17 chưa có các công trình tầm cỡ. Sự phát triển
môn học Sức bền và các môn học của cơ học thực sự phát triển từ thế kỷ 18 đến nay.
Năm 1729 Buynphighe đã đưa ra lý thuyết về quan hệ
phi tuyến giữa ứng suất và biến
dạng. Sau đó năm 1768 Hooke cho rằng ở một giai đoạn nào đó thì quan hệ ứng suất và
biến dạng là quan hệ tỷ lệ thuận. Và trong các bài toán của Sức bền vật liệu chủ yếu vật
liệu làm việc tuân theo định luật Hooke này.
Các nhà bác học như Poisson, Euler, Lomorovsov, Ortrografski đã có nhiều đóng
góp cho sự phát triển của cơ học nói chung và cho môn học Sức bề
n vật liệu nói riêng.
Nhà bác học Người Pháp Navie đã cho ra đời giáo trình Sức bền vật liệu đầu tiên vào

σ-Ứng suất; ε-Biến dạng.
- Nếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke thì phương trình trên tuyến tính
hay còn gọi là đàn hồi tuyến tính.
- Nếu quan hệ đó không phải là tuyến tính
bậc nhất nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện quá trình
đặt tải và cất tải là thuận nghịch. Nghĩa là khi đặt
tải, quan hệ giữa ứng suất
σ và biến dạng ε là
đường cong OAB, thì khi cất tải tương quan đó
cũng giảm theo đường BAO (đường không liên
tục BAO thực tế trùng với đường liên tục BAO-
trên hình BAO được vẽ tách ra để dễ nhìn) và biến
dạng mất đi hoàn toàn khi không còn tải (xem
hình 0.2).
Ta xem bài toán này là đàn hồi nhưng
không phải tuyến tính mà là đàn hồi phi tuyến và
biểu thức (0.1) vẫn phù hợp.
Chúng ta hãy xét thí nghiệm kéo một mẫu thép (đại diện cho vật liệu dẻo), thì quan
hệ gi
ưã ứng suất và biến dạng được trình bày trên hình 0.3.
Rõ ràng giai đoạn đầu
OA là đàn hồi tuyến tính vận liệu làm việc tuân theo định
luật Hooke, tức là ứng suất và biến dạng là quan hệ bậc nhất. Đến điểm B nào đó, nếu ta
cất tải thì nó không theo đường cũ mà nó đi theo đường song song với
OA
. Khi tải trọng
Hình 0.2: Quan hệ
giữa ứng suất và
biến d
ạ

ụng (d
ão)

14
không còn nữa, vật thể còn có một lượng biến dạng thể hiện bằng đoạn OC. Biến dạng
này được gọi là biến dạng dẻo (hay biến dạng dư). Lý thuyết nghiên cứu quy luật hình
thành biến dạng dẻo và trạng thái ứng suất tương ứng được gọi là lý thuyết dẻo.
Chúng ta hãy lưu ý các tính chất sau đây của vật liệu:
Một thanh thép treo chịu tác dụng lực kéo (hình 0.4), khi đặt tải P gây nên một độ
giãn dài
∆l nào đó. Nếu để lực P không đổi này tồn tại lâu dài thì độ giãn tiếp tục tăng lên
mặc dù sự tăng này rất chậm, hiện tượng này càng rõ rệt khi vật liệu làm việc ở môi
trường nhiệt độ cao. Hiện tượng đó được gọi là hiện tượng sau tác dụng hay
hiện tượng
dão.
Một ví dụ khác: ta siết chặt êcu để ghép 2 tấm thép với nhau (hình 0.5) bằng một
lực nào đó, nghĩa là đã tạo cho bulông một giá trị ứng suất nhất định. Nhưng đến một thời
gian đủ dài nào đó ta nhận thấy êcu lỏng ra, nghĩa là ứng suất trong bulông giảm đi. Hiện
tượng đó gọi là
hiện tượng nới.
Hiện tượng sau tác dụng và hiện tượng nới đều thể hiện một bản chất của vật liệu
đó là biến dạng tiếp tục thay đổi khi ứng suất do P sinh ra không đổi hay ứng suất giảm
(mối nối lỏng ra), khi biến dạng không thay đổi (khoảng cách ban đầu của 2 tấm thép đã
xác định)
được gọi chung là hiện tượng từ biến.
Hiện tượng từ biến xuất hiện cả trong giai đoạn đàn hồi và giai đoạn chảy dẻo. Vì
vậy lý thuyết từ biến được ứng dụng trong lý thuyết đàn hồi và cả lý thuyết dẻo.
Gần đây đã phát sinh một ngành mới là lý thuyết cảm biến. Nó nghiên cứu những
quy luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật li
ệu do

(B), (hình1.2). Xét sự cân bằng của một phần, ví
dụ phần (A), (hình 1.3). Phần (A) được cân
bằng nhờ nội lực của phần (B) tác dụng lên
phần (A). Nội lực này phân bố trên diện tích
mặt cắt của phần (A) và hợp lực của chúng cân
bằng với các ngoại lực thuộc phần đang xét (A).
Ngược lại n
ếu ta xét sự cân bằng của phần B, thì
phần A cũng tác dụng lên B các nội lực tương tự
nhưng có chiều ngược lại.

1.1.3. Khái niệm về ứng suất.
Chung quanh điểm K (trên mặt cắt
thuộc phần A), ta lấy một phân tố điện tích vô
cùng bé
∆F, hợp lực của nội lực tác dụng lên
∆F là P∆ , (hình 1.4; 1.5).
Ta có :
P//
F
P
∆
∆
∆

Ta gọi
F
P
p
tb

, MN/m
2

Thường người ta phân ứng suất ra hai thành phầ:
- Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, ký hiệu
σ
.
- Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, kí hiệu
τ .
Như vậy
22
P τ+σ= , P: Độ lớn của ứng suất tại K.
P
3
P
1
P
2
P
5
P
4
P
6
Hình 1.1:Một vật thể
ch
ịulực
Hình 1.3: Sự cân bằng
l
ựcphầnA

Hình1.2: Phương pháp
m
ặtcắt
K16

Trong nhiều trường hợp thành phần ứng suất tiếp trên mặt cắt còn được phân
thành hai thành phần theo hai phương vuông góc nào đó.
- Ứng suất pháp được coi là dương khi nó cùng chiều với pháp tuyến ngoài
n
của mặt cắt (ứng suất kéo), ngược lại là âm (ứng suất nén), (xem hình 1.6a).
- Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài n của mặt cắt quay một góc
90
0
cùng với chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng ( n,τ ) thì chiều của pháp tuyến đó trùng với
chiều của ứng suất tiếp, ngược lại ứng suất tiếp được coi là âm, (xem hình 1.6 b).1.2. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC.
Người ta thường thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt
ngang. Sự thu gọn đó cho ta một lực R và một mô men M. Nói chung R và M có phương,
chiều bất kỳ trong không gian. Để tính
toán, ta phân R ra thành ba thành phần (ta
thường chọn Oxyz sao cho Ox, Oz nằm
trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống,
Oz trùng trục thanh), hình 1.7:
- Thành phần nằm trên trục z gọi là
lực dọc và kí hiệu N

là 6 thành phần nội lực trên mặt cắt ngang và chúng được
xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét:
0PN
n
1i
izz
=+
∑
=

Hình 1.6: Ứng suất, a- Ứng suất
chiều dương; b-Ứng suất chiều âm
τ > 0

τ
< 0

σ > 0

σ
< 0

nn
a) b)
Hình 1. 4:Hợp lực
c
ủanộilực
P
3
P


Hình 1.7: Các thành phần của
n
ộilực
y
x
P
1
P
2
P
3
(A)

N
z
Q
x
Q
y
M
y
M
x
M
z
O

z


n
1i
ixx
=+
∑
=

0)P(mM
n
1i
iyy
=+
∑
=

0)P(mM
n
1i
izz
=+
∑
=

Trong đó:
∑
)P(m
ix
,
∑
)P(m

τ
;
∫
=
F
zyy
dFQ
τ∫
=
F
zx
ydFM
σ
;
∫
=
F
zy
xdFM
σ
;
∫
−=
F
zyzxz
dF)xy(M
ττ

2
P
1
P
3
n

m

P
5
P
4
P
6
Hình 1.8: Một vật
th
ể chịulực
z
y

18
M
x
> 0 khi nó làm căng các thớ về phía y > 0 (phía dưới).Ngược lại các nội lực âm.

*
Ví dụ 1: Cho một thanh chịu lực như hình 1.11a. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu
đồ nội lực


, M
x
có dấu + thì coi như giả định ban
đầu của ta là đúng và Q
y
, M
x
đúng là dương theo quy định. Nếu kết qủa tính toán mà Q
y
,
M
x
mang dấu -, thì ta phải đổi chiều Q
y
và M
x
trở lại, cũng có nghĩa là nội lực âm theo
quy định ở trên.
Bây giờ ta sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường trong cơ lý
thuyết hay các phương trình đã trình bày ở trên để xác định Q
y
và M
x
.
Chú ý: - Khi chiếu lên một trục nào đó thì các mô men là ngẫu lực không có trong
phương trình.
a)
b)
c)
(Q

lực; b-Xét sự cân bằng lực của phần dầm, c- Biểu
đ
ồ l
ự
c cắt
Q
y
; d- Biểu đồ mô men M
y
d)
(M
x
)
P
2
P
1
P
3
Hình1.9:Các thành
phần nội lực và
chiều dương ở phần
bên trái của mặt
y

n

m

Q

dương ở phần bên phải
của mặt cắt
m
-n
19
- Khi lấy mô men đối với một điểm nào đó thì lực qua điểm đó có mô men bằng 0.
(1) Phương trình 1: 0PQ
n
1i
iyy
=+
∑
=

Suy ra Q
y
- P = 0, vậy Q
y
= +P
Như vậy lực cắt Q
y
= +P, dấu ta giả định ban đầu là đúng và không phụ thuộc z.
(2) Phương trình 2: 0)P(mM
n
1i
ixx
=⋅+

và vẽ biểu đồ của chúng.
Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh, ví dụ mặt phẳng
(yoz) thì hợp lực của nội lực cũng nằm trong mặt phẳng đó, ta có bài toán phẳng.
Cũng tương tự như trên, chúng ta cắt thanh bởi mặt cắt [11] vuông góc với trục
thanh cách đầu tự do 1 đoạn z và xét sự cân bằng của phần bên trái, ta vẽ lớ
n ra ở hình
1.12b. Đoạn thanh này cũng phải cân bằng do các lực q, Q
y
và M
x
tác dụng. Chúng ta
cũng vẽ Q
y
, M
x

trọng tâm của mặt cắt [11]:
1
Hình 1.12: Xác định nội lực và vẽ
bi
ểu đồ nộilực
x
y

O
z
11
1
l
z z
q
q
q
l
2
2
ql
(Q
y
)
(M
x
)
Q
y
a) b)


quay ngược lại, tức là nó làm căng phía âm của trục y hay căng các thớ trên của dầm nên
mang dấu - trong biểu đồ. Đồng thời mô men M
x
nội lực là một hàm số bậc 2 so với z.
Cuối cùng ta xây dựng được các biểu đồ Q
y
và M
x
(trên hình vẽ 1.12c, d).
Chú ý bề lõm của đường bậc 2 hứng lấy các mũi tên do q tác dụng.
*
Ví dụ 3: Cho một dầm chịu lực như hình 1.13a. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu
đồ của chúng.
Bài toán này có khác trước là việc đầu tiên ta phải xác định cho được phản lực ở
các gối tựa A và B. Tại A là gối kép, đáng lẽ phản lực tại đó có hai thành phần phản lực
theo phương y và phương z, nhưng do lực chỉ có theo phương y thẳng đứng, nên tại A chỉ
có thành phần phản lực theo phương y, ta kí hi
ệu là Y
A
và ở gối tựa B dĩ nhiên chỉ có một
thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là Y
B
. Để xác định Y
A
và Y
B
, ta phải xét sự
cân bằng của toàn dầm do các lực P và hai phản lực Y
A

A
= Y
B
= +
2
P
và kết quả có dấu + chứng
tỏ chiều phản lực Y
A
và Y
B
đã chọn hướng lên là đúng và giá trị bằng một nửa lực P. Các
phản lực Y
A
, Y
B
còn có thể được suy luận ra như sau: Do tính chất đối xứng Y
A
phải
bằng Y
B
và đây là hệ lực song song, nên Y
A
+ Y
B
= P, vậy:
Y
A
= Y
B

cân bằng của nó khi đã giả định chiều của Q
y
và M
x
ở mặt cắt [11].
- Tính lực cắt Q
y
.
Chiếu tất cả các lực lên trục y, ta có:
ΣP
(y)
= Q
y
- Y
A
= 0
Suy ra Q
y
= + Y
A
, kết quả mang dấu +, chứng tỏ chiều của Q
y
ta vẽ ban đầu là
đúng và theo quy định Q
y
này là dương. Q
y
trong đoạn AC là hằng số không phụ thuộc
vào z.
- Tính mô men M

2

2

Y
B
Y
A
l-z

2
p
−
2
p
4
Pl
Y
A
Y
B
l/2

l/2

1

1

2


c)

P

A

O
1
O
2

22
Suy ra M
x
= +Y
A
⋅z, kết quả dấu +, chứng tỏ ta chọn chiều của mô men M
x
như hình
1.13b là đúng và mô men này dương vì nó làm căng phía dưới hay phần dương của trục
y.
Mô men M
x
là hàm số bậc nhất của tọa độ z. Như vậy nội lực trong đoạn AC đã
được xác định, ta hoàn toàn có thể vẽ biểu đồ Q
y
, M
x
trong đoạn này.

= -Y
B
, kết quả mang dấu (-) ; chứng tỏ chiều Q
y
ta chọn dương như hình vẽ
là không đúng và Q
y
phải được đổi chiều lại là âm theo quy định. Q
y
không phụ thuộc tọa độ
z.
-Tính mô men M
x
.
Lấy mô men đối với trọng tâm O
2
của mặt cắt [22], (xem hình 1.13c).

()
∑
2
o
M
= Y
B
(l-z) - M
x
= 0
Vậy : M
x


q=1kN/m

A

D

B

C

O

y

14m

10m
8m

6m

1

1

V
A
V
B

A
= 3kN
Tính nội lực tại mặt cắt 1-1 (xem hình 1.15).
Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần trái:
Σy = 0 => -V
A
+q⋅10+Q
y
= 0
=> Q
y
= -7kN
Σm
0
= 0
=>-V
A
⋅14+q⋅10⋅9+M+M
x
= 0
=>M
x
=-92 kNm .
Biểu đồ nội lực: Là đường
biểu diễn sự biến thiên của nội lực
dọc trục thanh. Hoành độ trọng
tâm mặt cắt ngang lấy trên trục
song song với trục thanh, tung độ
là các giá trị của nội lực tại các
mặt cắt ngang tương ứng.

) .
Hình 1.15: Tính nội lực của
m
ặtcắt1
1
V
A
14m
10m
y

Q
y
N
Z
z

M
x
M=44kNm

H
A
q=1kN/m

A

D

O

D
V
A
V
B

24
Giải: a) Tính phản lực . Hệ phương trình xác định phản lực : Σz = 0 => H
A
= 0
(1)
Σm
A
= 0 => V
B
= 2ql (2)
Σy = 0 => V
A
= ql (3)
Kiểm tra có: ΣM
C
= 0
b) Tính nội lực. Dùng phương pháp mặt cắt: Trên AC, tưởng tượng mặt cắt
ngang 1-1 (có trọng tâm O với hoành độ z: 0≤z≤1, gốc A), chia dầm ra hai phần, xét cân
bằng AO (hình 1.17).
Từ các phương trình:
Σz = 0 => N
z
= 0
Σy = 0 => Q

qql
2
1
ql
2
22
=−
Trên đoạn CB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 2-2
(có trọng tâm O với hoành độ z: l≤ z ≤2l, gốc A) chia
dầm ra hai phần, xét cân bằng phần ACO (xem hình
1.8).
0N0z
2
=⇒=Σ

qzVQ0y
AY
−
=⇒=Σ

M
2
z
qzVM0m
2
Axx
−−⋅=⇒=Σ
Tại C(z = l): Q
Y
= 0, M

x
= 0
Tại B(z=l): M
x
= 0
Nhận xét:
a) Trên những đoạn thanh: q = 0 ⇒ biểu đồ
Q
Y
là đường thẳng song song với trục hoành, biểu đồ M
x

là đường bậc 1; q = const ⇒ Q
y
bậc 1, và M
x
bậc 2.
b) M
x
đạt cực trị tại những điểm mà Q
Y
= 0.
c) Bề lõm của M
X
hứng mũi tên lực phân bố q.
Hình 1.19: Dùng
phương pháp mặt
cắt
z


y

z

1

1

N
z
z

A

O

q

V
A
Hình 1.18:Dùng
phương pháp mặt
c
ắt
H
A
q

M
x

y
(hoặc M
X
) có bước nhảy và độ lớn bước nhảy
bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mô men tập trung) tại các điểm ấy.
Ví dụ tại các điểm A, B, C, D (trên hình 1.20).
Biểu đồ như hình 1.20
1.4. Liên hệ vi phân giữa tải trọng phân bố với lực cắt và mô men uốn trong thanh
thẳng.
* Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu tải trọng phân bố bất kì q(z) và các
thành phần nội lực trên hai mặt cắt như hình 1.21.
Σy = 0 ⇒ Q
y
+ q(z)dz -(Q
y
+dQ
y
) = 0
Hình 1.20: Biểu đồ biểu thị các điểm
ch
ịulực đặcbiệt

M

Q
(ql)
0
0,5
-1,0
0,5

433
A C B D
1
44
87

173

259345

130

216

302

388

431
l l l
Hình 1.21: Sơ đồ biểu diễn sự
liên quan giữa tải trọng phân
b
ố vớilựccắtv
àmômen
(A)
dz