SBVL 1 & 2

Trang 1 - 177

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU, CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .......................................... 7
 
1.1. NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯNG NGHIÊN CỨU VÀ ĐẶC ĐIỂM CỦA SBVL ........................... 7 
1.1.1. Nhiệm vụ môn học: .............................................................................................. 7 
1.1.2. Đối tượng nghiên cứu của môn học: .................................................................... 7 
1.1.3. Đặc điểm môn học: .............................................................................................. 8 
1.1.4. Các tài liệu tham khảo .......................................................................................... 8 
1.1.5. Hình Dạng Vật Liệu. ............................................................................................. 8 
1.2. NGOẠI LỰC. ................................................................................................................ 9 
1.2.1. Theo tính chất chủ động và bò động: .................................................................... 9 
1.2.2. Theo hình thức phân bố. ....................................................................................... 9 
1.2.3. Theo tính chất tác dụng. ....................................................................................... 9 
1.2.4. Theo khả năng nhận biết. .................................................................................. 10 
1.3. LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT ........................................................................ 10 
1.4. CÁC DẠNG CHỊU LỰC VÀ BIẾN DẠNG CƠ BẢN. ................................................... 12 
1.5. CÁC GIẢ THIẾT TRONG BÀI TOÁN SBVL: .............................................................. 13 
1.5.1. Giả thiết về sơ đồ tính. ....................................................................................... 13 
1.5.2. Giả thiết về vật liệu. ........................................................................................... 13 
1.5.3. Giả thiết về biến dạng và chuyển vò ................................................................... 14 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 1 ............................................. 15 
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT NỘI LỰC – ỨNG SUẤT ........................................ 16
 
2.1. KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC – PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT – ỨNG SUẤT .................. 16 
2.2. CÁC THÀNH PHẦN VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH NỘI LỰC ................................................ 17 
2.3. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC ..................................................................................................... 19 
2.4. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ................................ 23 

3.4.3. Thí nghiệm kéo vật liệu dòn ............................................................................... 33 
3.4.4. Thí nghiệm nén vật liệu dẻo ............................................................................... 33 
3.4.5. Thí nghiệm nén vật liệu dòn ............................................................................... 33 
3.5. ỨNG SUẤT CHO PHÉP – HỆ SỐ AN TOÀN – BA BÀI TOÁN CƠ BẢN .................... 34 
3.5.1. ng suất cho phép: ............................................................................................ 34 
3.5.2. Hệ số an toàn: .................................................................................................... 34 
3.5.3. Ba bài toán cơ bản: ............................................................................................ 34 
3.6. MỘT SỐ HIỆN TƯNG PHÁT SINH KHI VẬT LIỆU CHỊU LỰC ................................ 35 
3.6.1. Hiện tượng biến cứng ........................................................................................ 35 
3.6.2. Hiện tượng sau tác dụng ................................................................................... 35 
3.7. KHÁI NIỆM VỀ SỰ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT ............................................................ 37 
3.8. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH ................................................................................................ 37 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 3 ............................................. 38 
CHƯƠNG 4 : TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT ......................................................... 39
 
4.1. KHÁI NIỆM TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI 1 ĐIỂM................................................... 39 
4.1.1. Trạng thái ứng suất ............................................................................................ 39 
4.1.2. Biểu diễn trạng thái ứng suất ............................................................................. 39 
4.1.2.a. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 39 
4.1.2.b. Quy ước dấu ............................................................................................... 40 
4.1.3. Đònh luật đối ứng của ứng suất tiếp ................................................................... 41 
4.1.4. Mặt chính, phương chính và ứng suất chính. Phân loại trạng thái ứng suất ....... 42 
4.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG ............................................................................ 43 
4.2.1. Cách biểu diễn ................................................................................................... 43 
4.2.2 ng suất trên mặt cắt nghiêng. Phương pháp giải tích ....................................... 43 
4.2.3. ng suất chính và ứng suất tiếp cực trò .............................................................. 45 
4.2.3.a. Ứùng suất chính và phương chính ................................................................ 45 
4.2.3.b. ng suất tiếp cực trò .................................................................................... 46 
4.2.4. Các trường hợp đặc biệt: .................................................................................... 47 
4.2.4.a. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: ........................................................... 47 

6.2. UỐN THUẦN TÚY ...................................................................................................... 69 
6.3. UỐN NGANG PHẲNG ................................................................................................ 80 
6.4. KIỂM TRA BỀN ......................................................................................................... 86 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 6 ............................................. 94 
CHƯƠNG 7 : CHUYỂN VỊ DẦM CHỊU UỐN.................................................... 95
 
7.1. KHÁI NIỆM CHUNG ................................................................................................... 95 
7.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƯỜNG ĐÀN HỒI ........................................................... 97 
7.3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ....... 98 
7.4. PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ĐẦU .................................................................... 99 
7.5. PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (ĐỒ TOÁN) ................................................ 102 
7.6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU ĐỒ ............................................................................ 103 
7.7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH .............................................................................................. 103 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 7 ........................................... 104 
SBVL 1 & 2

Trang 4 - 177

CHƯƠNG 8 : XOẮN THUẦN TÚY ................................................................. 105
 
8.1. KHÁI NIỆM............................................................................................................... 105 
8.1.1. Đònh nghóa ........................................................................................................ 105 
8.1.2. Biểu đồ Nội Lực ................................................................................................ 105 
8.2. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN ............................................................... 106 
8.2.1. Thí nghiệm và nhận xét .................................................................................... 106 
8.2.2. Các giả thiết ..................................................................................................... 107 
8.2.3. Công thức ứng suất tiếp ................................................................................... 107 
8.2.4. Công thức tính biến dạng khi xoắn ................................................................... 109 
8.2.5. Điều kiện bền – điều kiện cứng ........................................................................ 110 
8.3. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT ...................................................... 110 


Trang 5 - 177

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 9 ........................................... 133 
CHƯƠNG 10: ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ........................... 134
 
10.1. KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG ............................. 134 
10.2. LỰC TỚI HẠN CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM ............................... 136 
10.2.1. Thanh liên kết khớp 2 đầu: ............................................................................. 136 
10.2.2. Thanh có các liên kết khác............................................................................ 137 
10.2.3. Ứùng suất tới hạn ............................................................................................. 138 
10.2.4. Giới hạn dùng của công thức Euler ................................................................ 138 
10.3 ỔN ĐỊNH NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI ........................................................................... 142 
10.3.1. ÝÕ nghóa ........................................................................................................... 142 
10.3.2. Công thức thực nghiệm Iasinski ..................................................................... 142 
10.3.3. Công thức lí thuyết môđun tiếp tuyến ............................................................. 143 
10.4 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ....................... 144 
10.4.1. Phương pháp tính ........................................................................................... 144 
10.4.2. Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lí ............................................................ 146 
10.5 XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯNG ........................ 148 
10.5.1. Khái niệm ....................................................................................................... 148 
10.5.2. Phương pháp năng lượng xác đònh lực tới hạn ............................................... 148 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 10 ......................................... 149 
CHƯƠNG 11: UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI ............................. 150
 
11.1. ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN ............................................................................................ 150 
11.2. PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC ................................................................................ 150 
11.3. PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG ................................................................................. 151 
11.4. ỨNG SUẤT VÀ KIỂM TRA BỀN ............................................................................ 152 
11.5. THANH CÓ ĐỘ CONG BAN ĐẦU .......................................................................... 153 

Trang 7 - 177 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU, CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯNG NGHIÊN CỨU VÀ ĐẶC ĐIỂM CỦA SBVL
1.1.1. Nhiệm vụ môn học:
Sức bền vật liệu là môn học kỹ thuật cơ sở, nghiên cứu tính chất chòu lực của vật liệu
để đề ra phương pháp tính về độ bền, độ cứng và độ ổn đònh của các bộ phận công
trình, gọi chung là vật thể - chòu các tác động khác nhau như tải trọng, sự thay đổi nhiệt
độ và chế tạo không chính xác, nhằm thỏa mãn yêu cầu an toàn và tiết kiệm vật liệu.
Mục đích của môn học này là xây dựng các khái niệm và phương pháp tính, có khả
năng dự báo trước về tình trạng chòu lực của vật thể cần thiết kế. Đề ra các phương
pháp tính toán sao cho các bộ phận của công trình đảm bảo 3 điều kiện:
+ Bền
+ Cứng
+ n đònh
Dưới tác dụng của ngoại lực
+ Bền: Cấu kiện không bò đứt vỡ và nếu xuất hiện vết nứt thì vẫn nằm trong phạm vi
cho phép dưới tac dụng của ngoại lực
+ Cứng: Cấu kiện không bò biến dạng quá lớn làm ảnh hưởng đến sự làm việc bình
thường của công trình dưới tác dụng của ngoại lực
+ n đònh: Dưới tác dụng của ngoại lực, bộ phận của công trình không bò thay đổi
hình dáng ban đầu của chúng.
1.1.2. Đối tượng nghiên cứu của môn học:
- Cơ lý thuyết: đối tượng nghiên cứu là vật thề rắn tuyệt đối (chỉ xét đến sự cân bằng
lực mà không kể đến biến dạng)
- SBVL: đối tượng nghiên cứu là vật rắn thực (BT, gạch đá, gỗ, thép..) dưới tác dụng
của ngoại lực, chúng bò biến dạng
SBVL 1 & 2


SBVL 1 & 2

Trang 9 - 177

1.2. NGOẠI LỰC.
Ngoại lực là lực tác động từ môi trường hoặc vật thể bên ngoài lên vật thể đang xét.
Đây là loại tác động quan trọng và thường gặp trong thực tế. Ngoại lực được phân loại
theo nhiều cách khác nhau.
1.2.1. Theo tính chất chủ động và bò động:
Ngoại lực được phân ra tải trọng và phản lực. Tải trọng là những lực chủ động, nghóa
là có thể biết trước về vò trí, phương và độ lớn. Tải trọng là “ đầu vào” của bài toán,
thường được qui đònh bởi các qui phạm thiết kế hoặc được tính toán theo kích thước của
vật thể. Phản lực là những lực thụ động (phụ thuộc vào tải trọng) phát sinh tại vò trí liên
kết vật thể đang xét với các vật thể xung quanh nó.

1.2.2. Theo hình thức phân bố.
Ngoại lực được phân ra lực tập trung và lực phân bố.
+ Lực tập trung: là lực tác dụng tại 1 điểm của vật thể. Trong thực tế khi điện tích
truyền lực bé thì người ta coi như truyền lực qua 1 điểm để đơn giản hóa sự phân tích.
Ví dụ: Trọng lượng một chiếc xe ô tô truyền xuống mặt cầu được thay bằng các lực
tập trung đặt tại trọng tâm của diện tích tiếp xúc giữa các bánh xe và mặt cầu, hoặc
phản lực tại mặt tiếp xúc của gối tựa cũng được thay bằng lực tập trung.
+ Lực phân bố là lực tác dụng trên 1 diện tích, một thể tích hay 1 đường của vật thể.
Lực trọng trường là 1 ví dụ của lực phân bố thể tích vì nó tác động lên mọi điểm của
trong vật thể.
Cường độ của lực phân bố thể tích có thứ nguyên là lực/ thể tích.
Cường độ của lực phân bố diện tích có thứ nguyên là lực/ diện tích.
Cường độ của lực phân bố trên 1 chiều dài có thứ nguyên là lực/ chiều dài.
1.2.3. Theo tính chất tác dụng.
Ngoại lực được phân ra lực tónh và lực động.

SBVL 1 & 2

Trang 11 - 177

a. Gối di động (khớp di động):

Gối di động là loại liên kết cho phép thanh quay chung quanh một khớp và có thể di
động theo một phương nào đó. Liên kết hạn chế sự di chuyển của thanh theo phương
vuông góc với phương di động, vì vậy theo phương này liên kết sẽ phát sinh một phản
lực làm cản trở sự di động của thanh. Sơ đồ gối di động được biểu diễn như trên hình
vẽ.
b. Gối cố đònh (khớp cố đònh)
Gối cố đònh là loại liên kết chỉ cho phép thanh quay chung quanh một khớp, còn hạn
chế mọi di chuyển thẳng khác của thanh. Vì vậy tại liên kết đó sẽ xuất hiện một phản
lực có phương bất kỳ, phản lực này được chia ra 2 thành phần: thành phần nằm ngang
và thành phần thẳng đứng.
c. Ngàm:
Ngàm là loại liên kết không cho phép thanh quay hoặc di chuyển bất cứ theo phương
nào. Tại ngàm sẽ phát sinh một momen phản lực M chống lại sự quay của thanh và một
phản lực theo phương bất kỳ chống lại sự di chuyển của thanh theo phương đó. Phản
lực này cũng được tách làm hai thành phần : thành phần nằm ngang và thành phần
thẳng đứng.
Tóm lại:
+ Gối di động chỉ ngăn cản 1 chuyển động thẳng và phát sinh 1 phản lực V theo
phương của liên kết.
+ Gối cố đònh ngăn cản chuyển vò thẳng theo phương bất kì và phát sinh phản lực
cũng theo phương đó. Phản lực thường được phân tích ra thành 2 thành phần V và H.
+ Ngàm ngăn cản bất kì chuyển vò thẳng nào và chuyển vò xoay. Phản lực thường
được phân tích ra 3 thành phần V, H và M.
Các thành phần phản lực được xác đònh từ điều kiện cân bằng tình học. bài toán

3.
0X =
∑
;
0
A
M =
∑
;
0
B
M =
∑
(AB không vuông góc với x)
Bài toán không gian có 6 phương trình cân bằng độc lập.
SBVL 1 & 2

Trang 12 - 177

0X =
∑
;
0Y =
∑
;
0Z =
∑
;
0
X

, được đònh nghóa bởi tỉ so
Δdx
và
dx
:
Δ
=
x
dx
dx
εPhân tố trên chỉ có thể thay đổi góc, không thay đổi chiều dài. Độ thay đổi của góc
vuông ban đầu gọi là biến dạng góc hay biến dạng trượt, kí hiệu là
γ

SBVL 1 & 2

Trang 13 - 177 Khi vật thể bò biến dạng, các điểm trong vật thể nói chung bò thay đổi vò trí. Độ
chuyển dời từ vò trí cũ sang vò trí mới của 1 điểm gọi là chuyển vò dài. Góc hợp bởi vò trí
của 1 đoạn thẳng trước và trong khi biến dạng của vật thể được gọi là chuyển vò góc.
1.5. CÁC GIẢ THIẾT TRONG BÀI TOÁN SBVL:
Khi giải bài toán SVBL, người ta chấp nhận 1 số giả thiết nhằm đơn giản hóa vấn đề
nhưng cố gắng đảm bảo sự chính xác cần thiết phù hợp với yêu cảàu thực tế. Các giả
thiết này liên quan đến sơ đồ hình học của vật thể, tính chất của vật liệu và tính chất
biến dạng, chuyển vò của vật thể.

composite nền nhựa sợi thủy tinh có đònh hướng… thì cần thiết xét tỉ mó đến cấu trúc vật
liệu khi phân tích bài toán cơ học.
Mọi vật thể thật sẽ có thay đổi hình dáng dưới tác dụng của ngoại lực. tính chất đàn
hồi của vật thể là khả năng khôi phục lại hình dạng ban đầu của nó khi ngoại lực thôi
tác dụng. nếu quan hệ giữa ngoại lực và biến dạng là bậc nhất, thì vật liệu được gọi la
đàn hồi tuyến tính.
Đối với các vật liệu, quan hệ ứng suất và biến dạng cho đến khi bò phá hoại nói
chung là những đường cong. Nếu giới hạn biến dạng trong 1 phạm vi đủ bé thì quan
hệ này là 1 đường thẳng (chẳng hạn đối với thép ) hoặc có thể sấp xỉ bằng 1 đường
thẳng. Giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính làm giảm bớt sự phức tạp của bài toán SBVL.
1.5.3. Giả thiết về biến dạng và chuyển vò
Khi chòu tác động ngoài, vật thể có biến dạng và chuyển vò bé. Vì vậy, có thể khảo
sát sự cân bằng của vật thể hoặc các bộ phận của nó trên hình dạng ban đầu.
Giả thiết này xuất phát từ điều kiện cứng của các vật thể được sử dụng trong thực tế
kó thuật. điều kiện cứng đòi hỏi biến dạng và chuyển vò lớn nhất trong vật thể phải nằm
trong 1 giới hạn tương đối nhỏ. Giả thiết biến dạng bé và đàn hồi tuyến tính thường đi
với nhau. Khi biến dạng lớn thì vật liệu thường thể hiện tính chất đàn hồi phi tuyến hoặc
đàn dẻo và bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều.
• Khi vật thể có chuyển vò bé và vật liệu đàn hồi tuyến tính thì có thể áp nguyên lý
cộng tác dụng như sau:
Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra sẽ bằng tổng đại lượng do
tác động của các nguyên nhân riêng lẽ.
SBVL 1 & 2

Trang 15 - 177 • Nguyên lý cộng tác dụng biến bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản nên
dễ giải quyết hơn. Vì vậy nó thường được sử dụng trong SBVL.
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 1

thể cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực. Tưởng tượng 1 mặt phẳng cảét qua và chia
vật thể thành 2 phần A và B. Hai phần này sẽ tác động lẫn nhau bằng hệ lực phân bố
trên diện tích mặt tiếp xúc theo đònh luật lực và phản lực. Nếu ta tách riêng phần A thì
hệ lực tc động từ phần B vào nó phải cân bằng với ngoại lực ban đầu như trên H.2.2 .

Bây giờ ta lại xét 1 phân tố diện tích bao quanh điểm khảo sát C trên mặt cắt có
phương pháp tuyến. gọi
Δ
p
là vecto nội lực tác dụng trên dA. Ta đònh nghóa ứng suất
toàn phần tại điểm khảo sát là:
Δ→
Δ
==
Δ
JGJG
JJG
0
lim
v
A
p dp
p
AdA

Thứ nguyên của ứng suất : lực/ [chiều dài]
2
.
Chú ý rằng: đònh nghóa ứng suất như trên đòi hỏi sự liên tục của vật thể, như được
giả thiết trong phần trước.

với phương pháp tuyến của mặt cắt ngang, còn 2 trục kia nằm trong mặt cắt ngang. Khi
đó ta có thể phân tích vecto ra 3 thành phần theo 3 trục: thành phần theo phương trục z,
gọi là lực dọc
z
N
, 2 thành phần nằm trong mặt cắt và hướng theo trục x và y, kí hiệu là
x
Q
và
y
Q
, được gọi là lực cắt. Vecto momen cũng được phân tích ra 3 thành phần quay
quanh 3 trục được kí hiệu là
x
M
,
y
M
và
z
M
. Các momen
x
M
,
y
M
được gọi là momen uốn,
còn momen
z

∑
1
0
n
xix
i
QP

SBVL 1 & 2

Trang 18 - 177 Trong đó:
ix
P
,
iy
P
,
iz
P
hình chiếu của lực P xuống các trục x, y, z
Dùng các phương trình cân bằng momen đối với các trục tọa độ ta có:
=
+=
∑
1
()0
n

yi
mP
,
()
zi
mP
: các momen của các lực Pi đối với các trục x, y, z
Bản chất của cách xác đònh Nội lực tại 1 vò trí bất kì chình là cân bằng lực của
phần còn lại sau khi cắt ra.
Các thành phần nội lực có liên hệ với các thành phần ứng suất như sau:

+ Lực dọc là tổng các ứng suất pháp.
+ Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó.
+ Momen uốn là tổng các momen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y.
+ Momen xoắn là tổng các momen của các ứng suất tiếp đối với trục z.
Nếu
σ
z
,
τ
zx
,
τ
zy
gọi là các thành phần ứng suất tại điểm Momen(x,y) trên mặt cắt
ngang, ta có biểu thức sau:
σ
=
∫
ZA

A
MxdA
;
ττ
=−
∫
(. .)
zzxzy
A
MyxdA

Trong đó, dA là phân tố diện tích bao quanh điểm M(x,y)
Nhờ có quan hệ mà có thể tìm được các thành phần ứng suất khi biết các thành
phần nội lực.
Trong trường hợp bài toán phẳng (được xét chủ yếu trong các chương sau) ta chỉ có
3 thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng yz, bao gồm
z
N
,
y
Q
,
x
M
.
Quy ước dấu của các thành phần nội lực này như sau:
+ Lực dọc được xem là dương khi có chiều hướng ra ngoài mặt cắt (nghóa là gây kéo
cho đoạn thanh đang xét )
+ Lực cắt được xem là dương khi có khuynh hướng làm quay đoạn thanh đang xét
theo chiều kim đồng hồ.


Xác định phản lực gối tựa VA và VB Hệ trục toạ độ được xác định như trên hình vẽ. Xét nội
lực trên mặt cắt ngang 1-1 nào đó có hồnh độ z.
Xét sự cân bằng của phần bên trái của thanh. Ðặt các
thành phần nội lực trên mặt cắt theo chiều dương như hình
vẽ. Lập các phương trình cân bằng :
Phương trình của momen uốn là hàm bậc II theo z Biểu đồ nội lực của thanh như hình 1-9

Ví dụ 2 : vẽ biểu đồ nội lực của thanh đặt trên 2 gối tựa và chịu tác dụng của một lực tập
trung P đặt cách gối tựa bên trái một khoảng cách a như hình vẽ (1-10)
SBVL 1 & 2

Trang 21 - 177

Bài giải:

Xác định các phản lực ở gối tựa : VA , VB

Vì các đoạn AC và CB có nội lực khác nhau nên ta phải tính riêng cho từng đoạn
a. Ðoạn AC:


x
= 0 : M
x
+ V
A
.z = 0 => M
x
= - V
A
.z z = 0 => M
x
= 0
b. Ðoạn CB:

Lập phương trình cân bằng của phần bên phải:
z = l => M
x
= 0
Từ đó nhận thấy
•
Nơi nào có lực tập trung thì nơi đó có bước nhảy của biểu đồ lực cắt. Bước
nhảy có trò số bằng trò số của lực tập trung .
•
Nơi nào có momen tập trung thì biểu đồ momen ở nơi đó có bước nhảy. Trò số
bước nhảy bằng trò số momen tập trung
2.4. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ
2.4.1. Thanh thẳng:
Xét 1 dầm chòu tải trọng bất kì. Giữa cường độ của tải trọng phân bố q(z), lực cắt
y
Q

và momen uốn
x
M
tại một mặt cắt bất kì z, sẽ tồn tại các liên hệ vi phân nhất đònh mà
thông qua các biểu thức. ta nhận thấy là đạo hàm của momen uốn là lực cắt, đạo hàm
của lực cắt là lực phân bố.

Thật vậy, xét đoạn thanh vi phân có chiều dài dz, được giới hạn bởi 2 mặt cắt 1-1, 2-
2 như trên. Nội lực tác dụng trên mặt cắt 1-1 là Lực cắt và M. nội lực tác dụng trên mặt
cắt 2-2 so với mặt cắt 1-1 đã tăng thêm 1 đọan vi phân dQ và dM và trở thành Lực cắt
y
Q
+ dQ và Momen
x
M

dz
Qdz qzdz M M dM

bỏ qua lượng vô cùng bé bậc hai:
() .
2
dz
qzdz
nên ta có:
=
x
y
dM
Q
dz

Vậy đạo hàm của momen uốn tại 1 mặt cắt bằng lực cắt tại mặt cắt đó.
Và ta có:
=
2
2
()
x
dM
qz
dz

nghóa là: đạo hàm bậc hai của momen uốn tại 1 điểm chính là bằng cường độ của tải
trọng phân bố tại điểm đó.
2.4.2. Thanh cong:

4. Vò trí có momen tập trung quay thuận kim thì biểu đồ momen trượt xuống chính
bằng giá trò tập trung.
5. Độ chênh lệch lực cắt trong đoạn có lực phân bố q là q.a
6. Đoạn không có lực phân bố đều thì lực cắt là đường nằm ngang, momen là đường
ngang hoặc đường xiên.
7. Chú ý các vò trí tiếp tuyến tại các vò trí có lực phân bố và không có lực phân bố.
8. Momen được vẽ theo thớ căng (không cần để dấu nhưng phải hiểu ngầm: momen
âm vẽ ở trên)
9. Kiểm tra lại tại 1 số vò trí nút khung hoặc tại 1 số vò trí phức tạp.
SBVL 1 & 2

Trang 26 - 177

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 2
1.

Phân biệt khái niệm nội lực và ứng suất.
2.

Qui ước dấu của các giá trò nôi lực khi xét mặt cắt.
3.

Thành thạo xác đònh nội lực theo phương pháp mặt cắt của các dầm đơn giản.
4.

Vận dụng tốt các nhận xét trong việc vẽ biểu đồ Nội lực.
5.

Học thuộc lòng giá trò phản lực và biểu đồ nội lực của các sơ đồ đơn giản sau (12
so đồ)

Trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang của thanh luôn luôn giữ phẳng và vuông
góc với trục của thanh.
Ý nghóa của giả thuyết này là trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất
pháp
z
σ
mà không thể có thành phần ứng suất tiếp
τ
. Thật vậy, nếu có thành phần
ứng suất tiếp thì mặt cắt ngang của thanh sau biến dạng sẽ không còn phẳng và
vuông góc với trục thanh nữa, như vậy lưới ô vuông sẽ không trở thành lưới ô chữ
nhật. (Hình 2-1).
SBVL 1 & 2

Trang 28 - 177

3.1.2.
Giả thuyết về các thớ dọc

Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau cũng không đẩy nhau
ra.
Ý nghóa của giả thuyết này là thành phần ứng suất pháp trên các mặt cắt dọc
phải bằng không.
x
σ
=
y
σ
= 0
Ngoài hai giả thuyết trên, ta vẫn coi vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi: vật

(H.3.3b).

SBVL 1 & 2

Trang 29 - 177

Ta thấy biến dạng các thớ dọc như GH đều bằng HH’ và không đổi, mặt cắt ngang
trong suốt quá trình biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh, điều này cho
thấy các điểm trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp
z
σ
không đổi (H.3.3d)
Ta có
σ
=
∫
z z
A
dA N

Vì
z
const
σ
=
nên ta được :

σ
=
z z

=
(b)
Trong đó:
E : là hằng số tỷ lệ, được gọi là môđun đàn hồi khi kéo (nén), nó phụ thuộc vào vật
liệu và có thứ nguyên
()
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2
lực
chiều dài
, đơn vò N/m
2

Bảng 3.1 : Trò số E của 1 số vật liệu (tham khảo trong tài liệu) Từ (a) ta tính
dz
δ
, sau đó thế (b) vào, ta được biến dạng dài dọc trục của đoạn dz là
:
σ
δε
== =
zz
z
N

NNL
Ldz L
EAEA
(3.3)
Nếu thanh gồm nhiều đoạn chiều dài Li và trên mỗi đoạn
z
N
, E, A không đổi thì ta
sẽ có :

Δ= Δ =
∑∑
zi i
i
NL
LL
EA
(3.3’)
Tích số EA được gọi là độ cứng khi chòu kéo hay nén đúng tâm của thanh. Đôi khi
người ta còn dùng độ cứng tương đối EA/L là tỷ số độ cứng và chiều dài thanh.
3.3.2. Biến dạng ngang
Theo phương ngang thanh cũng có biến dạng, ta chọn z là trục thanh, x, y là các
phương vuông góc với z (H.3.3d). Nếu ta gọi
ε
x
và
ε
y
là biến dạng dài tương đối theo 2
phương x và y, thì ta có quan hệ :

thí nghiệm là đoạn thanh đường kính d
0
, diện tích A
0
.

3.4.2.2. Thí nghiệm
Tăng lực kéo từ 0 đến khi mẫu đứt, với bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo, ta nhận
được đồ thò quan hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài
Δ
L
của mẫu như H.3.6. Ngoài ra,
sau khi mẫu bò đứt ta chắp lạo, mẫu sẽ xó hình dáng như H.3.7.

3.4.2.3. Phân tích kết quả
Quá trình chòu lực của vật liệu có thể chia làm 3 giai đoạn.
OA: giai đoạn đàn hồi, tương quan giữa P và
Δ
L
bậc nhất. Lực lớn nhất trong giai
đoạn này là lực tỉ lệ P
tl
, ứng suất tương ứng trong mẫu là giới hạn tỉ lệ:

0
σ
=
tl
tl
P

P
A
(3.7)
Nếu ta gọi chiều dài mẫu sau khi đứt (H.3.7) là L
1
và diện tích mặt cắt ngang nơi đứt
là A
1
thì ta có các đònh nghóa đặc trưng cho tính dẻo của vật liệu như sau:
Biến dạng dài tương đối (tính bằng %):
10
0
100%
δ
−
=
LL
L
(3.8)
Độ thắt tỉ đối (tính bằng %):
01
0
100%
ψ
−
=
AA
A
(3.9)
3.4.2.4. Biểu đồ

và cả môđun đàn hồi :
tan
σ
α
ε
==
E

Nếu kể đến sự biến đổi diện tích mặt cắt ngang ta sẽ có biến dạng tương quan
ε
z
và
ứng suất thực (đường nét đứt).
SBVL 1 & 2

Trang 33 - 177 3.4.3. Thí nghiệm kéo vật liệu dòn
Biến dạng kéo vật liệu dòn có dạng đường cong (H.3.9). Vật liệu không có giới hạn tỉ
lệ và giới hạn chảy mà chỉ có giới hạn bền:
0
σ
=
b
b
P
A
(3.10)
Tuy vậy, người ta cũng qui ước 1 giới hạn đàn hồi nào đó và xem đồ thò quan hệ lực

BẢN
3.5.1. ng suất cho phép:
Ta gọi ứng suất nguy hiểm, kí hiệu
0
σ
, là trò số ứng suất mà úng với nó vật liệu được
xem là bò phá hoại. Đối với vật liệu dẻo
0
σ σ
=
ch
, đối với vật liệu dòn
0
σ σ
=
b
.
Nhưng khi chế tạo, vật liệu thường không đồng chất hoàn toàn, và trong quá trình sử
dụng tải trọng có thể vượt qua tải trọng thiết kế, điều kiện làm việc của kết cấu hay chi
tiết chưa được xem xét đầy đủ, các giả thiết tính toán chưa đúng với sự làm việc của kết
cấu. Vì thế ta không tính toán theo
0
σ
. Chúng ta phải chọn 1 hệ số an toàn n>1 để xác
đònh ứng suất cho phép:
[]
0
σ
σ
=


- Kiểm tra bền : là kiểm tra xem ứng suất trong thanh có thỏa mãn điều kiện bền
không?
[]
5%
σσ
=≤±
z
z
N
A

- Chọn kích thước mặt cắt ngang : đây là bài toán thiết kế, ta phải đònh kích thước
mặt cắt ngang của thanh sao cho đảm bảo điều kiện bền. Từ (3.16) ta có :

[]
5%
σ
≥±
N
A

- Đònh tải trọng cho phép : từ (3.16) ta dễ dàng xác đònh được nội lực lớn nhất có
thể đạt được của thanh là:
[]
5%
σ
≤±
z
NA

Hiện tượng sau tác dụng là hiện tượng xuất hiện biến dạng dẽo theo thời gian làm
thay đổi ứng suất và biến dạng trong vật thể chòu tác dụng của ngoại lực.
SBVL 1 & 2

Trang 36 - 177

Ðối với kim loại, nếu ứng suất ban đầu càng lớn, môi trường làm việc có nhiệt độ
càng cao thì hiện tượng sau tác dụng xảy ra càng rõ rệt. Hiện tượng sau tác dụng được
chia ra:
a./ Hiện tượng chùng
Hiện tượng chùng là hiện tượng biến dạng thay đổi theo thời gian khi ứng suất được
giữ không đổi.
Thí nghiệm cho thấy, nếu tác dụng vào mẫu một lực đủ lớn để mẫu có thể biến
dạng dẽo, sau đó giữ cho lực không đổi thì ta thấy mẫu bò biến dạng liên tục theo thời
gian. Ta gọi đó là hiện tượng chùng .
Ban đầu thanh có biến dạng tức thời (0 (đường OA), biến dạng này có thể là đàn hồi
hay đàn hồi dẽo tùy theo trò số của tải trọng. Ta có thể chia đồ thò trên làm 3 giai đoạn:
- Ðoạn AB: biểu diễn giai đoạn thứ nhất của hiện tượng chùng, tốc độ biến dạng
(biến dạng dẽo) lúc đầu tăng nhanh, sau giảm dần do vật liệu bò biến cứng.
- Ðoạn BC: biểu diễn giai đoạn thứ hai của hiện tượng chùng, tốc độ biến dạng
trong giai đoạn này được xem như không đổi trong một thời gian dài do hiện tượng biến
cứng và hiện tượng chùng trừ khử lẫn nhau .
- Ðoạn CD: biểu diễn giai đoạn phá hoại của vật liệu: tốc độ biến dạng tăng nhanh
dần đến lúc phá hoại. Hiện tượng chùng càng tăng làm cho tính biến cứng của vật liệu
càng giảm .
Những cánh tuốc- bin trong nhà máy nhiệt điện làm việc ở nhiệt độ cao, do hiện
tượng chùng làm cho cánh tuốc- bin dãn dài ra có thể gây va đập vào thành ống.
b./ Hiện tượng rão
Hiện tượng rão là hiện tượng ứng suất thay đổi theo thời gian do sự xuất hiện biến
dạng dẽo trong vật thể chòu lực khi biến dạng toàn phần được giữ không đổi.

thay đổi mặt cắt ngang đột ngột, vì như vậy sẽ gây ra ứng suất cục bộ lớn.
3.8. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
Hệ siêu tónh là hệ mà người ta không thể tính được nội lực ở tất cả các bộ
phận nếu chỉ sử dụng các điều kiện tónh học
Ðể giải bài toán SIÊU TĨNH này ta phải thiết lập thêm phương trình biến dạng.

Ví dụ: Xét thanh bò ngàm ở hai đầu chòu lực như hình vẽ. (Hình 2-19)
Dưới tác dụng của lực P tại các ngàm A và B phát sinh phản lực VA và VB
Viết phương trình cân bằng lên phương thẳng đứng ta được:
VA + VB - P = 0
Như vậy ta có một phương trình cân bằng nhưng phải tìm hai ẩn số VA và VB .
SBVL 1 & 2

Trang 38 - 177

Ta phải lập phương trình thứ hai, đó là phương trình biến dạng. Vì thanh bò ngàm
ở hai dầu nên biến dạng toàn phần phải bằng 0, do đó phương trình biến dạng được
viết là: Dl = 0
Tưởng tượng tách bỏ ngàm B và thay vào đó là phản lực VB.
Từ các phương trình thiết lập ta tìm được các phản lực VA và VB và từ đó có thể
tính được ứng suất trong thanh.
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 3
1.

Nắm vững khái niệm: modun đàn hồi hệ số an toàn, ứng suất cho phép.
2.

Phân biệt được vật liệu dẻo, vật liệu dòn.
3.


trạng thái ứng suất tại điểm này.

Như vậy, trạng thái ứng suất tại 1 điểm bao gồm tất cả những thành phần ứng
suất trên các mặt cắt đi qua điểm đó.
Trạng thái ứng suất tại 1 điểm đặc trưng cho mức độ chòu lực của vật thể tại điểm
đó. Những thành phần ứng suất của trạng thái ứng suất tại 1 điểm có liên hệ với nhau.
Bởi vậy, chúng ta cần nghiên cứu trạng thái ứng suất, tìm ra đặc điểm mối liên hệ giữa
ứng suất, xác đònh ứng suất nguy hiểm để từ đó tính toán độ bền và đoán biết dạng phá
hỏng của vật thể chòu lực.
4.1.2. Biểu diễn trạng thái ứng suất
4.1.2.a. Phương pháp nghiên cứu
Để biểu diễn trạng thái ứng suất tại 1 điểm trong vật thể, ta tưởng tượng tách 1 phân
tố hình lập phương vô cùng bé bao bọc lấy điểm K. Phân tố bé đến mức thể tích của nó
gần như bằng 0, khi đó có thể xem như các bề mặt của phân tố đi qua điểm K. Để
thuận lợi cho việc tính toán, ta chọn hệ trục tọa độ xyz có các trục song song với các
SBVL 1 & 2

Trang 40 - 177

cạnh của phân tố. Trạng thái ứng suất của phân tố sẽ được biểu diễn như trên H.4.2.
Trên các mặt của phân tố sẽ xó 9 thành phần ứng suất, gồm 3 ứng suất pháp
,,
σ σσ
x yz
và 6 ứng suất tiếp
,,,,,,
τ τττττ
xyyzzxyxzyxz
. Mỗi thành phần ứng suất có 2
chỉ số. Chỉ số thứ nhất chỉ rõ phương pháp tuyến của mặt tọa độ có ứng suất tác

Phân tố hình hojp tách ra từ vật thể đàn hồi tại điểm K phải ở trạng thái cân bằng về
lực và mômen.
Xét cân bằng về lực tác dụng lên phân tố, ta có thể thu được các phương trình vi
phân cân bằng là hệ phương trình cơ bản của lí thuyết đàn hồi. Tuy vậy, trong SBVL để
đơn giản hóa người ta thường sử dụng các giả thuyết thay cho việc giải các phương trình
này cho nên phương trình vi phân cân bằng không được đề cập tới ở đây.

Để xét cân bằng về mômen của phân tố trên, chọn 1 trục SONG SONG với trục z và
đi qua trọng tâm của phân tố. Trên H.4.3 chỉ biểu diễn những lực tham gia vào phương
trình cân bằng mômen đối với trục z và phương trình này được viết như sau:

τ τ
=
xy yx
dxdydz dxdydz
(4.1)
trong đó, bỏ qua mômen của những lực vô cùng bé bậc cao, chẳng hạn như lực
khối. Ta thu được:
τ τ
=
xyyx
(4.2)
Tương tự, viết phương trình cân bằng mômen đối với 2 trục còn lại, ta thu được biểu
thức:
;
τ τττ
==
yz zy xz zx
(4.3)
Như vậy, ta thu được nguyên lí đối ứng của ứng suất tiếp : trên 2 mặt vuông góc,

⎣⎦
x xy xz
ỹ yz
zx zy z
T

Chú ý rằng, khi ta biểu diễn trạng thái ứng suất qua các phân tố ứng suất với các hệ
tọa độ khác nhau, các thành phần ứng suất trên các bề mặt của phân tố ứng suất tuy
thay đổi song chúng vẫn biểu diễn cùng 1 trạng thái ứng suất.
4.1.4. Mặt chính, phương chính và ứng suất chính. Phân loại trạng
thái ứng suất
Lí thuyết đàn hồi chứng minh được rằng tại 1 điểm bất kì của vật thể luôn tồn tại
3 mặt tương hỗ vuông góc mà trên các mặt đó chỉ tác dụng ứng suất pháp chứ
không có ứng suất tiếp. Những mặt đó gọi là mặt chính. Phương vuông góc với mặt
chính gọi là phương chính . ng suất pháp tác dụng trên mặt chính gọi là ứng suất
chính và được kí hiệu là
1
σ
. Các ứng suất chính được quy ước sắp xếp theo thứ tự
123
σ σσ
>>
.
Ví dụ, cho 3 ứng suất chính chính là 200N/cm
2
, -400N/cm
2
, -500N/cm
2
.

Xét 1 phân tố vô cùng bé như trên H.4.6a. ng suất trên mặt vuông góc với trục z
bằng 0 và mặt này là 1 mặt chính vì có ứng suất tiếp bằng 0. Đễ dễ hình dung, ta biểu
diễn phân tố trên mặt phẳng bằng cách chiếu toàn bộ lên mặt phẳng Kxy (H.4.6b). Để
xác đònh trạng thái ứng suất tại 1 điểm, cần xác đònh các thành phần ứng suất trên 1
mặt cắt nghiêng bất kì.
4.2.2 ng suất trên mặt cắt nghiêng. Phương pháp giải tích

SBVL 1 & 2

Trang 44 - 177

Ta cần phải xác đònh ứng suất trên mặt cắt nghiêng SONG SONG với trục z và có
pháp tuyến u tạo với trục x 1 góc
α
(ta quy ước
0
α
>
khi quay ngược chiều kim đồng
hồ kể từ trục x), với giả thiết là đã biết ứng suất
,,
σ στ
x yxy
. Tưởng tượng cắt phân tố
bằng 1 mặt cắt nghiêng chia phân tố ra làm 1 phần, ta xét cân bằng của 1 phần phân tố
(H.4.7).
Trên mặt nghiêng, ứng suất kí hiệu
σ
u
và

được các phương trình sau:
22
cos sin 2 sin cos
σ σασαταα
=++
ux y xy
(4.4a)
22
( )sin cos (cos sin )
τ σσ α ατ α α
=− − + −
uv x y xy
(4.4b)
Dùng các hệ thức lượng giác :
22
11
cos (1 cos2 ); sin (1 cos2 )
22
1
sin cos sin 2
2
α αα α
αα α
=+ =−
=

Phương trình (4.4) có thể biến đổi thánh 1 dạng tiện sử dụng hơn:
cos2 sin 2
22
σ σσσ

mặt v:
cos2 sin 2
22
σ σσσ
σ ατ α
+ −
=− −
xy xy
vxy
(4.6)
Lấy tổng 2 phương trình (4.5a) và (4.6), ta có:
σ σσσ
+=+
uv xy
(4.7)
Biểu thức trên cho thấy, tổng của ứng suất pháp tác dụng trên 2 mặt vuông góc của
phân tố ứng suất phẳng tại điểm là hằng số và không phụ thuộc vào góc
α
.
4.2.3. ng suất chính và ứng suất tiếp cực trò
Từ phương trình (4.5),ta thấy ứng suất phụ thuộc vào góc nghiêng của mặt cắt. Ta
cần xác đònh vò trí mặt cắt, trên đó tác dụng ứng suất pháp và ứng suất tiếp cực trò.
4.2.3.a. Ứùng suất chính và phương chính
Ngoài mặt chính là mặt đã biết vuông góc với trục z, ta nhận thấy 2 mặt chính còn lại
phải là những mặt SONG SONG với trục z ( vì phải vuông góc với mặt chính đã có).
Trên mặt chính không có ứng suất tiếp cho nên ta tìm 2 mặt chính còn lại bằng cách
cho
τ
uv
trong (4.5b) bằng 0.

0
α
sai khác nhau 180
0
, tức là có 2 giá trò khác nhau 1
góc 90
0
. Vì vậy, ta có thể kết luận rằng có 2 mặt chính vuông góc với nhau và SONG
SONG với trục z. Trên mỗi mặt chính có 1 ứng suất chính tác dụng.
Ta nhận thấy 2 ứng suất chính này đồng thời cũng là ứng suất pháp cực trò (kí hiệu là
1
σ
hay
1
σ
). Thật vậy, lấy đạo hàm của ứng suất pháp trong (4.5a) theo góc
α
rồi cho
=0, ta lại thu đợc phương trình xác đònh góc (4.8). Giá trò ứng suất chính có thể tính được
bằng cách thế ngược trò số của
α
trong (4.8) vào (4.5a). Để ý rằng:
SBVL 1 & 2

Trang 46 - 177

0
00
22
00

uv
đối với
α
và cho đạo hàm này bằng 0, ta có:
()cos22sin20
τ
σσ ατ α
α
=− − − =
uv
xy xy
d
d
(4.11)
từ đó :
tan2
2
σ σ
α
τ
−
=−
x y
xy
(4.12)
So sánh 2 phương trình (4.12) với (4.8) ta được:
0
1
tan2
tan2

σσ
τ τ
−
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
xy
xy
(4.14)
Ta có thể thu được 1 biểu thức khác của ứng suất tiếp cực trò từ các giá trò của ứng
suất chính được xác đònh trong công thức (4.10). Lấy giá trò
1
σ
trừ đi
2
σ
, ta có:
12
max
2
σ σ
τ
−
=
(4.15)
SBVL 1 & 2

Trang 47 - 177


0;
σ σττ
== =
xy xy

Thay vào (4.10), ta có
max 1,3
min
σ στ
==±
hay là :
13
σ στ
=− =
(4.17)
Hai phương chính được xác đònh theo công thức (4.8) như sau :
0
tan2
α
=∞
hay là :
0
42
π π
α
=+
k
(4.18)
Như vậy, những phương chính xiên góc 45
0

Trang 48 - 177

22
22
22
σσ σσ
σ ττ
+−
⎛⎞⎛⎞
−+= +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
xy xy
uuv xy
(4.19a)
Đặt
2
22
;
22
σσ σσ
τ
+−
⎛⎞
==+
⎜⎟
⎝⎠
xy xy
xy
cR

hồi tuyến tính tức là tuân theo đònh luật Hooke. Với các giả thiết trên, ta có thể dễ dàng
nhận được mối quan hệ giữa biến dạng và ứng suất trong vật thể.
SBVL 1 & 2

Trang 49 - 177

- Trạng thái ứng suất đơn : trong chương 3, ta đã có công thức của đònh luật Hooke
liên hệ giữa ứng suất pháp và biến dạng dài trong trạng thái ứng suất đơn:
σ
ε
=
E
Trong đó :
ε
: là biến dạng dài tương đối theo phương ứng suất
σ
. Khi đó, theo
phương vuông góc với
σ
cũng có biến dạng dài tương đối
'
ε
ngược dấu với
ε
.
'
σ
εε
=− =−
vv

12
()
σ
εσ
=−
v
E

Biến dạng dài theo phương I do
3
σ
gây ra :
3
13
()
σ
εσ
=−v
E

Biến dạng dài theo phương I do cả 3 ứng suất (………) sinh ra sẽ là tổng của 3 biến
dạng trên:
[]
111 12 13 1 2 3
1
() () () ( )
ε εσ εσ εσ σ σ σ
=++=−+
v
E

liên hệ giữa biến dạng dài tương đối và ứng suất pháp theo 3 phương vuông góc bất kì
x, y, z ta vẫn có công thức:
1
()
1
()
1
()
εσσσ
εσσσ
εσσσ
⎡⎤
=−+
⎣⎦
⎡⎤
=−+
⎣⎦
⎡⎤
=−+
⎣⎦
xxyz
yyzx
zzxy
v
E
v
E
v
E
(4.30)

chiều dài
và
đơn vò thường dùng là N/m
2
hay MN/m
2
. Môđun đàn hồi trượt là 1 hằng số vật lí có thể
suy ra từ môđun đàn hồi E và hệ số Poisson
μ
như sẽ trình bày ở phần sau:
- Trạng thái ứng suất khối: do ứng suất tiếp chỉ làm biến dạng bề mặt vuông góc với
bề mặt mà nó tác dụng chứ không ảnh hưởng tới biến dạng góc trên các mặt khác, cho
nên trong trường hợp ứng suất khối, ngoài (4.31a) ta cũng có các công thức khác liên
hệ các thành phần ứng suất tiếp và các góc trượt còn lại như sau:

τ
γ
=
yz
yz
G
(4.31b)

τ
γ
=
xz
xz
G
(4.31c)