SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III
Năm học: 2013-2014
Môn thi : TOÁN. Khối : A, A
1
và B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
1
32
+
−
=
x
x
y
có đồ thị
)(C
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(C
của hàm số.
b. Tìm
m
để đường thẳng d:
mxy +−=
cắt
)(C
tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của
)(C

I dx
x
+ + +
=
+
∫
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Chứng minh AM vuông góc
với BN và tính thể tích hình chóp M.ABND biết SC
2a=
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho
zyx ,,
là các số dương thay đổi thỏa mãn
32 =++ zyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức : P =
2 2 2
2 2 2
2 2
4
2 4
xy yz zx
x y z
x y y z z x
+ +
+ + +
+ +
.
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

− z
y
x
. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng
∆
nằm
trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến
∆
bằng
23
.
Câu 9a (1,0 điểm). Cho số phức
z
thỏa mãn:
22 ++= zzz
và số phức
2
−=
zw
có mô đun nhỏ nhất.
Tìm một Argument của số phức z biết phần ảo của z là một số âm.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elíp có phương trình
)0(,1
2
2
2
2
>>=+ ba
b

1
32
)(
+
−
==
x
x
xfy
có đồ thị
)(C
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 1,0
*Tập xác định: R\{-1}
*Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên:
0
)1(
5
'
2
>
+
=
x
y
∀x≠-1
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞)
-Cực trị: hàm số không có cực trị
-Giới hạn và tiệm cận:
⇒==

O
3
2
-1
2
Nhận xét: Đồ thị nhận I(-1;2) làm tâm đối xứng.
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Tìm
m
để đường thẳng d:
mxy +−=
cắt
)(C
tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp
tuyến của
)(C
tại hai điểm đó song song với nhau.
1,0
-PT hoành độ giao điểm của d và
)(C
:

03)3()(
1
32
2

Theo bài ra tiếp tuyến của
)(C
tại hai điểm đó song song với nhau nên

( )
2
)1(
5
)1(
5
')('
21
2
2
2
1
21
−=+⇔
+
=
+
⇒= xx
xx
xfxf
(2)
Từ (1) và (2) ta có
123 =⇔−=− mm
0,25
0,25
2

= ⇔ = ± +
+)
cos 1 2x x k
π
= ⇔ =
KL:Vậy phương trình có 5 họ nghiệm như trên.
0,25
0, 5

0,25
3 Giải hệ phương trình:
2
2 2
( ) 4 1 0
( ) 2 7 2
x x y y y
y x y x y

+ + − + =


+ − − =


(x, y
∈
R).
1,0
Dễ thấy
0y ≠


+ + + =
 
⇔ ⇔
  
+ − + =
+ − − = +




+ − =


Đặt
2
1
,
x
u v x y
y
+
= = +
ta có hệ:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =

+) Với
5, 9v u= − =
ta có hệ:
2 2 2
1 9 1 9 9 46 0
5 5 5
x y x y x x
x y y x y x
  
+ = + = + + =
⇔ ⇔
  
+ = − = − − = − −
  
VN.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
(1;2)
và
( 2;5)−
0,25
0,25
0,25
0,25
4 Tính tích phân:
2 2
2
1
( 1) 2(ln )
(1 )
e

2 2
2 (1 ) 2 (1 )
e
e e
x e x
x dx
x x
−
+ = +
+ +
∫ ∫
+ Ta có:
2
1
1 1 1 1
ln 1 2ln 2 1 1
2 2 ln 2 2
(1 ) 1 1 (1 ) 1 1
e
e e e e
x x dx
dx xd dx
x x x x x e x x
− −
   
= = − + = + −
 ÷  ÷
+ + + + + +
   
∫ ∫ ∫ ∫

⊥
BN và tính
thể tích hình chóp M.ABND biết
2aSC =
.
1,0
I
E
N
M
D
C
B
H
S
A
Gọi H là trung điểm AD
)(ABCDSHADSH ⊥⇒⊥⇒
Gọi E là trung điểm BC khi đó ta có:
BNAEBCNABE ⊥⇒∆=∆
Gọi
BNMIABCDMISHMIBHAEI ⊥⇒⊥⇒⇒∩= )(//
AMBNAMEBN ⊥⇒⊥⇒ )(
(Đpcm)
Trong
SDC∆
vuông cân tại D nên ta có:
aSDSCSD =⇒=
22
2

ABNDABNDM
==⇒=⇒=
0,25
0,25
0,25
0,25
6 Cho
zyx ,,
>0,
32 =++ zyx
.Tìm MinP =
2 2 2
2 2 2
2 2
4
2 4
xy yz zx
x y z
x y y z z x
+ +
+ + +
+ +
. 1,0

333222222
8)4)(2()4(3 zyxzyxzyxzyx ++=++++=++
)42(324)28()4()(
222222232323
xzzyyxzyyxxzzxzyzyxyx ++≥++++++++=
xzzyyxzyx

2( 4 )
x y z
P x y z
x y z
− + +
⇒ ≥ + + +
+ +
Đặt
2 2 2
4t x y z= + +
. Do
2 2 2 2 2
3 ( 2 ) 3( 4 ) 3x y z x y z t= + + ≤ + + ⇒ ≥

9
2
t
P t
t
−
⇒ ≥ +
Xét hàm số
9
( ) , 3
2
t
f t t t
t
−
= + ≥

. Vậy
1
4 1,
2
MinP x y z= ⇔ = = =
0,25
7a
∆
ABC cân tại A, 2p= 18.
∈BA,
∆
:
07373 =−− yx
; B, C
Ox
∈
; điểm A có tung
độ dương. Viết PT d cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MN chia tam giác
ABC thành hai phần có chu vi và diện tích bằng nhau.
1,0
Ta có
)0;1(BOxB ⇒∩∆=
. Kẻ
BCAH
⊥
Gọi
)0;12()0;()7373;( −⇒⇒− aCaHaaA
Từ gt
1>⇒ a
)1(2),1(8 −=−==⇒ aBCaACAB

xx
HNAM ≡≡⇒ )0;2(,)73;2(
Vậy PT đường thẳng
02: =−xd
0,25
0,25
0,25
0,25
8a
(P):
01 =+−+ zyx
và d:
3
1
1
1
1
2
−
−
=
−
−
=
−
− z
y
x
,
)(PdI ∩=

)1;1;0(3)3;3;0(;
2
=== unu
⇒
Phương trình





+=
+=
=
tz
ty
x
IH
4
2
1
:

);;0()4;2;1( ttIHttH =⇒++⇒
mà



−=
=
⇔=⇔=

2
1
:)1;1;1(3
−
−
=
+
=
−
−
∆⇒−⇒−=
zyx
ptHt
0,25
0,25
0,25
0,25
9a
Cho số phức
z
thỏa mãn:
22 ++= zzz
và số phức
2
−=
zw
có mô đun nhỏ nhất.
Tìm Argumen của số phức z biết phần ảo của z là một số âm.
1,0
Gọi số phức có dạng:

−
+






−
=








−=−=
3
sin.
3
cos2
2
3
2
1
231
ππ
iiiz

F'
F
H
B'
B
A'
A
O
Gọi 4 đỉnh của (E) là A,A’,B,B’ (hình vẽ). Theo bài ra ta có
22
42 baba =⇒=
(1)
Gọi H là hình chiếu của O trên AB
⇒
OH là bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác
ABB’A’
4
111111
2
22222
=+⇒=+⇒=⇒
baOHOBOA
OH
(2)
Từ (1) và (2) ta có
155,20
222
=⇒== cba
Vậy tâm sai của Elip :
2

lớn nhất
⇔
IA ≡
=> (P) là mặt phẳng qua A nhận AH làm VTPT
)31;;21( tttHdH ++⇒∈
và
)3;1;2((0. ==⇒⊥ uuAHdAH
là véc tơ chỉ phương
của d)
)5;1;7()4;1;3( −−⇒⇒ AHH
Vậy phương trình (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
⇔ 7x +y - 5z -77 = 0
0,25
0,25
0,25
0,25
9b
X là tập các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 lập được từ 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một số trong X. Tính xác suất để số đó chia hết cho 5
1,0
-Ta có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5, bốn chữ số còn lại có
4
6
A
cách chọn nên có 5
4
6
A
số luôn có mặt chữ số 5 (kể cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên)
-Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên: Khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5,

+ e=5. Khi đó a có 5 cách chọn; b, c, d có
3
5
A
nên có
3
5
5A
số
⇒
Trong tập X có: 4
3
5
A
+
3
5
5A
=560 số
Vậy xác suất cần tìm là:
26
9
1560
540
=
0,25
0,25
0,25