TRƢỜNG ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
Bài giảng TOÁN THỐNG KÊ

Mục lục
Chương 4. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ 3
 3
 3
1.2.  3
 3
 3
 3
2.2.  5
 5
 5
2.2.  5
2.3.  6
 8
4.1.  8
4.2.  8
4.3.  kê 8
 8
5.1.  8

ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 2
Chương 6. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 22
 22
 22
1.2.  22
 23
 23
 23
a) 
2
. 23

2
24
c) Chú thích: 25
 27
 28

22
xy
σvà σ

 47
 48
III.  49
3.1.  49
3.2.  50
 52
 54
CÁC BẢNG SỐ 57
  57
 58
  59
  60

Bài giảng Toán Thống kê 3
Chương 4. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ
I. TỔNG THỂ VÀ MẪU
1.1. Tổng thể .
 

 





nhiên.

II. BỐ TRÍ MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU
2.1. Sắp xếp số liệu

1
, x
2
, , x
n

i

 

 





nhau là x
1
, x
2

k

n
1
n
2

n
k
T
1
+ n
2
+ n
k
= n.
C
i

i

n
n
f
i
i


i





k
xx
h
minmax





0
 x
min
; x
i
= x
0
+ i
k
 x
max

i  1
, x
i


i  1
,


2
+ n
k
= n.

i

n
n
f
i
i





Thí dụ: 
1,20
1,26
1,21
1,17
1,19
1,25
1,22
1,22
1,19
1,18
1,25
1,19

Ta có: x
max
= 1,26; x
min
= 1,15

(1,14; 1,16] 
X (kg)
1,14  1,16
1,16  1,18
1,18  1,20
1,20  1,22
1,22  1,24
1,24  1,26
n
i

3
7
8
11
6
5
  :
X(kg)
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19


5
2.2. Biểu diễn hình học của mẫu

X
x
1
x
2

x
k
f
i
f
1
f
2

f
k
và c
X
x
0
 x
1
x
1
 x

III. CÁC SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA MẪU


3.1. Trung bình mẫu

1
, x
2

n







n
1i
i
n21
x
n
1
n
x xx
x

kk2211
xn
n
1
n nn
xn xnxn
x
(4.1a)
 
.

2.2. Phƣơng sai mẫu

1
, x
2

n

2
=



n
1i
2
i
)xx(
n

ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 6
s*
2
=
 
2
n
1i
2
i
2
2
n
1i
i
n
1i
2
i
2
n
1i
i
n







(4.2a)

2
=



k
1i
2
ii
)xx(n
n
1
(4.3)

s*
2
=
 
2
k
1i
2

















 


 

(4.3a)

1
+ n
2

k
.


2
i
)xx(
1n
1
(4.4)

2
=
 
1n
xnx
)1n(n
xxn
2
n
1i
2
i
2
n
1i
i
n
1i
2
i





2
=
 
1n
xnxn
)1n(n
xnxnn
2
k
1i
2
ii
2
k
1i
ii
k
1i
2
ii











là
  
i
và
x
   
i
n hay xa tâm
x
  


x
.
chỉ dùng phƣơng sai hiệu chỉnh của mẫu s
2
mà không dùng

2


Bài giảng Toán Thống kê


- Cách 1: 
x
n
i
n
i
x
i
n
i
x
i
2
163
2
326
53138
164
3
492
80688
165
5
825
136125
166
5
830
137780
167


45,165
20
3309
x 

 s*
2
=
2
)45,165(
20
547511

=1,84750  

2
=
19
)45,165(20547511
2

= 1,94474  s = 1,3945
Thí dụ 2.  
X (kg)
1,14  1,16
1,16  1,18
1,18  1,20
1,20  1,22
1,22  1,24

1,16-1,18
1,17
7
8,19
9,5823
1,18-1,20
1,19
7
8,33
9,9127
1,20-1,22
1,21
12
14,52
17,5692
1,22-1,24
1,23
6
7,38
9,0774
1,24-1,26
1,25
5
6,25
7,8125
Tổng
40
48,12
57,9216



= 0,00085  s = 0,0292
IV. MẪU NGẪU NHIÊN
4.1. Mẫu ngẫu nhiên
Xét     X. 
i

   (X
1
, X
2

n
).

1
, X
2

n


i

 .

1
, x
2


i



;
 :
 
n
XX
*S
n
1i
2
i
2




; và
 :
 
1n
XX
S
n
1i
2
i
2

các đặc trƣng của mẫu ngẫu nhiên là các thống kê.


 
V. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT DÙNG TRONG TOÁN THỐNG KÊ
5.1. Các định lý về phân phối chuẩn




Bài giảng Toán Thống kê 9
, 
2
) thì:
Z =

X
~ N(0, 1)
   
1
, X

 














n
n
1
XE
n
1
X
n
1
EXE
n
1i
i
n
1i

2
2
2
n
1i
i
2
n
1i
i

N(
x
, 
x
2
), Y~N(
y
, 
y
2
) thì X  Y ~ N(
x
 
y
, 
x
2
+ 
y

5.2. Phân phối khi-bình phƣơng (
2
)
Định nghĩa: 
1
, X
2

n
  

2
n
2
2
2
1
2
X XX 
 khi-. K

2
~ 
2
(n).
    
2
~ 
2
(n)     

2

n
  nhau




n
1i
2
i
X
n
1
X
T
 . K
f(q)
n
1
n
2 

O 
2
(,n
10
       

          
 
 
.

P(|T| > t(/2, n) ) =  
trong /2, n) (hay t
/2, n
).
, dòng n.




t(0,025; 31) = t(0,025;35) = t(0,025; n) = 1,96, n
t(0,05; 31) = t(0,05;35) = t(0,05; n) = 1,645, n
5.4. Phân phối Fisher-Snedecor
Định nghĩa: 
1
, X
2

n
và Y
1


khi-

F(0,05; 12; 9) = 3,073
5.5. Phân vị mức 1 – 
  


P( X < X

)  1    P(X  X

)

F(X

)  1   
)X(F
0








1dx)x(f)X(F
X


,m
1
) fF
Đồ thị hàm mật độ biến Fisher
n,m bậc tự do
f(t)
n
1

n
2

/2 /2

-t(/2,n
1
) O t(/2,n
1
) tT
Đồ thị hàm mật độ biến Student
n bậc tự do (n
1
> n
2
)
49,5
.

x
= 46,7; s*
2
= 2,3100; s* = 1,5199; s
2
= 2,5567, s = 1,6021
2.   
X
95
96
97
98
99
100
n
i
)
2
5
7
6
4
1



 c)


1
5
22
21
39
32
29
47
14
37
21
14
10
28
26
16
20
35
41
30
36
6
27
18
17
31
25
23
54

X
0-10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60

n
i
8
10
17
7
6
2
c)
x
= 24,80; s
2
= 185,6735, s = 13,6262
5. 
108 112 108 120 112 114 115 112 115 118 116 110


x
= 113,33; s*
2
= 12,7222; s* = 3,5668; s
2


n

X,    
i
 
i
 
(x
1
,x
2

n


1-  = 
0

2-  
1
, 
2
] sao cho P(
1
   
2
) = P  P
 thì [
1


n
). G
0
.
G 

.
1.2 Các loại ƣớc lƣợng

1-G  
E(G) = .



. Ta có:
E(G ) = E(G)  E() =    = 0

2-G 

D(G) .
3-G  
G :
 
n
limP G 1

    
, >0
ó  

1i
i
X
n
1
X

 


E(X
i
) = ; D(X
i
) = 
2
, i
Ta có:

 















n
1i
2
i
22
XX
1n
1
*S
1n
n
S


D(X) = 
2


2
=
 



n
1i

1
=
=
 



n
1i
i
2
i
)]X()X(2)[X()X(
n
1
=
=
 



n
1i
i
n
1i
2
i
XX2)X(
n

n
1
)X(
n
1
n
1i
2
i



=



n
1i
22
i
)X()X(
n
1
.

E(S*
2
) =



=
)X(D)X(D
n
1
n
1i
i



=
nn
1
2
n
1i
2




= 
2

n
2

=
2
n


2
*S
1n
n
E
=
 
2
*SE
1n
n

=
2
n
1n
.
1n
n



= 
2


2

2

n
) 

i
là:
X
i
0 1
P
1  p p
Ta có: E(X
i
) = 0.(1  p) + 1.p = p, 
    nên X là  
~ B(n, p)) và
n
i
i1
XX






n
i
i1
1
FX

1
   
2
) = PP  
T G = G(X
1
, X
2
, , X
n
) , ta 
 G G
1
= G
1
(X
1
, X
2
, , X
n
) và G
2
= G
2
(X
1
, X
2
, , X

), 
2
= G
2
(x
1
, x
2

n
)
P 
1
, 
2
 sao cho:
P(  [
1
, 
2
]) = P

Bài giảng Toán Thống kê


, x
2

n

Giải: 



n
1i
i
X
n
1
X

.

a) Trƣờng hợp biết phƣơng sai D(X) = 
2
.

X ~ N ,
n






= P 











n
.u|X|P
2
= P.

22
P X u . X u .
nn



    


= P
 là:
22
X u . ; X u .

Thí dụ 1: 
 
x
= 99,82mm. Hãy 
  
Giải:  
0,025
= 1,96.
 
[99,82 
2
1,96
25
; 99,82 +
2
1,96
25
]  [99,036; 100,604]

ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 16
b) Trƣờng hợp không biết phƣơng sai 











)1n;2/(t
n
S
|X|
P
= P 







n
S
)1n;2/(t|X|P
= P

   
22

2


22
, n 1 , n 1
22
ss
x t . ; x t .
nn








Thí dụ 2: 


9,5
9,7
9,8
9,9
10,1
10,2

i
)
2

)3,196(29,1927.20
2

= 0,0319
025; 19) = 2,093
 
[9,815 
0,0319
2,093
20
; 9,815 +
0,0319
2,093
20
]  [9,731; 9,899] 

Bài giảng Toán Thống kê 17
2.3. Ƣớc lƣợng phƣơng sai của phân phối chuẩn
Bài toán: , 
2


2
2
S1n


~ 
2
(n 1).
  
2
(
2

; n 1) và 
2
(1
2

; n 
2
22
2
1 ,n 1 ,n 1
22
(n 1)S
P

  








1
, x
2

n
) thì tính 
2


22
22
/2,n 1 1 /2,n 1
(n 1)s (n 1)s
;
   






Thí dụ 1: 

2
= 0,0319. Ta có  = 1  0,90 = 0,10

2
= 204,5777 nên:
2
2
8.204,5777 40,83
s
8.7


= 0,0364

2

2
(0,025; 7) = 16,013; 
2
(0,975; 7) = 1,690;

2
:






69,1
0364,0.7
;
013,16

pF
thì
n
pq
pF
~ N(0, 1).
P 
/2
 = 1  P 















2
u
n
pq
|pF|
P


 
(5.2) 
22
2 2 2 2
/2 /2
2
p(1 p) u u
|f p| u 1 p 2f p f 0
n n n


   

       
   
   
 [p
1
, p
2
]
 c k 
n
k
f 
 f 
 
  


= 1,96


0,125.0,875 0,125.0,875
0,125 1,96 ; 0,125 1,96
200 200




 (0,079; 0,171)
Chú thích: 
22
22
1,96 1,96
1 p 2.0,125 p 0,125 0
200 200
   
    
   
   

 1,0192p
2
 0,2692p + 0,0156  0  [0,086; 0,178]
Thí dụ 2: 


Giải: 
63,0


  

a) Trƣờng hợp ƣớc lƣợng kỳ vọng 
2
2u
n


nên có:
2
2
2
22
2u 2 n u
n


   



2

2
và thay 
2


2




   


 
2
/2
2
u1
n ; vì p(1 p)
44

  


Thí dụ:    ý   sao
    bao
nhiêu 
Giải:
T:

2
2
1.96
4.0,03
= 1067,11
 1068 .


45
46
49
51
53
57

i

2
5
9
35
43
22
14
 0,95.
Đs:
x
= 50,70; s
2
= 10,5992; [50,140; 51,260]
4. (6), 
2


x
i
2,1
2,3

150
160
165
170
175
180
185
n
i
4
12
14
25
25
14
6
.


Đs: a)
x
= 170,85; s
2
=65,1793; [169,27; 172,43];
b) f = 0,45; [0,3525; 0,5475] (hoặc [0,3561; 0,5476] nếu giải bất phương trình)
6. (11)
2

X
180-190

35
37
39
40
n
i

1
1
2
2
2
1
1