
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
giáo Nguyễn Văn Hợp, người đã luôn ủng hộ, động viên và cho em những lời
khuyên sâu sắc, quý báu trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này.
Em xin cảm ơn các thầy, các cô trong khoa Vật Lí trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật Lí Lí Thuyết đã tận tình giảng dạy, chỉ
bảo cho em trong suốt thời gian em học tập tại khoa.
Em xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong khoa đã luôn giúp đỡ và cho em
nhiều lời khuyên, lời động viên chân thành, bổ ích, đã cho em được sống, học tập và
làm việc trong một môi trường thân thiện.
Em xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo trường, khoa đã tạo điều kiện tốt cho
chúng em học tập.
Cuối cùng, con xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và là chỗ dựa vững chắc
cho con trong suốt thời gian học tập.
Hà Nội, tháng 4, năm 2014
Sinh viên
Trần Thị Hương Thảo



Thế kỉ 20, cơ học lượng tử có thể coi là một thành tựu trí tuệ của thời kì này.
Các tính chất của cơ học lượng tử đã giải thích được sự vận hành của laze,
transistor, kính hiển vi điện tử hay đi-ốt…. (các thiết bị điện tử không thể thiếu
trong xã hội hiện nay). Cơ học lượng tử đã tiên đoán về các tính chất của hạt cơ bản
phù hợp với các phép đo thực nghiệm.
Dù vậy, ngay từ đầu, cơ học lượng tử đã không được công nhận là một lí
thuyết đầy đủ với tất cả các nhà vật lí. Einstein-nhà vật lí lỗi lạc của mọi thời đại đã
phủ nhận tính đầy đủ của lí thuyết này. Đối với ông luôn luôn tồn tại một hiện thực
khách quan độc lập với nhận thức của chúng ta dù ở cấp độ vi mô hay vĩ mô. Ông
phủ nhận tính xác suất của sự tồn tại các trạng thái lượng tử với quan điểm”Chúa
không chơi xúc sắc”. Đặc biệt năm 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky và

nhận rằng nó còn có rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đã đặt nền móng
cho sự ra đời của lí thuyết thông tin lượng tử. Thứ hai, sự phát triển của khoa học
công nghệ kèm theo đó là sự xuất hiện của nhiều phòng thí nghiệm hiện đại, tinh vi
có khả năng thực hiện các thao tác và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử tác động
lên các trạng thái lượng tử đã thực sự có sức lôi cuốn mạnh mẽ các nhà khoa học
tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này. Nổi bật nhất là giải Nobel vật lí năm 2012
giành cho Serge Haroche và David J.wineland, những người đã phát minh ra các
phương pháp để thực hiện các thao tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử
riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được bản chất lượng tử của chúng, mở ra một kỉ nguyên
mới cho các nghiên cứu sâu rộng về thông tin lượng tử.
Vào năm 1937, George Stibitz đã chế tạo ra chiếc máy vi tính đầu tiên sử
dụng hệ đếm nhị phân, hay mã nhị phân, để thực hiện tính toán số học. Mã nhị phân
dùng hai con số là 0 và 1. Hiện nay, máy vi tính ngoài khả năng tính toán phức tạp,
chính là cơ sở hạ tầng của dịch vụ viễn thông. Viễn thông là việc truyền dẫn thông
tin qua một khoảng cách đáng kể về mặt địa lí. Một hệ thống viễn thông bao gồm ba
thành phần chính: bộ phát nhận thông tin mã hóa thông tin thành dạng tín hiệu, môi
trường truyền dẫn truyền tín hiệu đi và bộ thu nhận tín hiệu giải mã thành thông tin
ban đầu. Hiện nay, môi trường truyền dẫn đang được sử dụng là vô tuyến, sợi
quang kết hợp với vệ tinh thông tin và internet. Tập hợp các bộ phát, bộ thu thông
tin với nhau được gọi là một mạng. Mạng thông tin bao gồm bộ phận tổng đài dùng
2
để thiết lập kết nối. Khi truyền tín hiệu dưới dạng bit cổ điển thì nó có thể dễ dàng
bị đọc và sao chép trộm một cách y nguyên mà không bị phát hiện, thông qua hệ
thống tổng đài vì vậy truyền thông cổ điển là một quá trình không an toàn.
Năm 1982, Feynman đã chỉ ra rằng vật lí lượng tử không thể được mô tả một
cách hiệu quả bởi máy tính cổ điển, ông nghĩ đến một loại máy tính có hoạt động
trên nguyên tắc của cơ học lượng tử sẽ giải quyết được những vấn đề khó mà máy
tính số bình thường không thực hiện được. Đến năm 1985 David Deutsch dựa vào
tính chất lượng tử song song đã chỉ ra sự tồn tại của máy tính lượng tử với việc xử lí
thông tin được mã hóa trong các bit lượng tử một cách hoàn hảo. Hơn thế nữa, lí

Viễn chuyển trạng thái lượng tử (VCTTLT) là một giao thức được đề xuất
lần đầu tiên bởi Bennet cùng với 5 cộng sự của ông vào năm 1993. Thành phần
chính của VCTTLT là một kênh rối lượng tử và một phép đo Bell, kết hợp với kênh
truyền tin cổ điển. Để hiểu rõ hoạt động của giao thức này chúng ta xét một bài
toán. Alice và Bob là hai người sống ở hai nơi khác biệt, khi còn ở với nhau họ đã
tạo chung với nhau một cặp rối. Nhiều năm sau đó, Alice được giao nhiệm vụ
chuyển cho Bob một trạng thái lượng tử an toàn và nguyên vẹn. Cả Alice và Bob
đều không biết về trạng thái này và Alice cũng không thể gửi trực tiếp trạng thái
này qua kênh truyền cho Bob được vì có thể bị thất lạc hoặc nghe trộm. May mắn
rằng họ đã tạo với nhau một cặp rối từ trước nên nhiệm vụ này có thể hoàn thành
bằng việc Alice gửi đi một lượng nhỏ bit cổ điển từ kết quả phép đo của cô ấy. Sau
khi nhận được kết quả, Bob chỉ cần thực hiện các thao tác địa phương là thu được
trạng thái cần gửi. Đến đây, nhiệm vụ của Alice đã hoàn thành.
Chúng ta có thể đặt ra tình huống điều gì sẽ xảy ra nếu Alice biết trạng thái
cần gửi? Một giao thức mới đã ra đời, đó là Viễn tạo trạng thái lượng tử (VTTTLT).
Tuy nhiên, trong VTTTLT, mọi thông tin đã được để lộ cho Alice biết, khả năng
thông tin bị rò rỉ là rất cao. Khắc phục điều này, đảm bảo thông tin được an toàn
tuyệt đối, một ý tưởng mới ra đời đó là ta sẽ thêm người gửi, tức là ít nhất sẽ gồm
hai người gửi, giả sử bao gồm Alice và Charlie. Thông tin của trạng thái cần gửi sẽ
được tách ra làm hai phần theo một quy tắc nhất định nào đó, mỗi một người tham
gia gửi sẽ biết duy nhất một phần thông tin đó. Trong trường hợp này thay vì thực
hiện phép đo Bell lên qubit của mình. Người gửi sẽ thực hiện các phép đo von
Neumann trên qubit của mình dựa trên hệ cơ sở phụ thuộc vào thông tin của trạng
4
thái gốc. Nhờ vậy thông tin được đảm bảo an toàn tuyệt đối. Giao thức được thực
hiện như trên gọi là Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử (ĐVTTTLT).[2]
Để hoàn thành bài toán truyền tin theo phương thức ĐVTTTLT, những
người gửi và người nhận ban đầu cũng phải được chia sẻ với nhau những trạng thái
rối giống như một nguồn tài nguyên không thể thiếu cho quá trình thực hiện. Các
nguồn rối là vô cùng phong phú, họ có thể tạo với nhau các cặp rối EPR, trạng thái

chỉ thực hiện với giá trị bất kì của văn bản đó. Điều này khiến việc ký trở nên đơn
giản hơn và chữ ký ngắn hơn. Tuy nhiên, nó cũng làm nảy sinh vấn đề khi hai văn
bản khác nhau lại cho ra cùng một giá trị băm. Đây là điều có thể xảy ra mặc dù xác
suất rất thấp.[3]
Vật lý của các hệ lượng tử sẽ mở ra một cánh cửa về khả năng hấp dẫn cho
mật mã, vẽ ra và truyền tải khoa học trong sự hiện diện của kẻ tấn công. Một mục
tiêu chính của mật mã cổ điển là để xác nhận nguồn gốc của văn bản. Giống như
một chữ ký viết tay trên tài liệu giấy, một chữ ký số xác nhận một tài liệu điện tử và
đảm bảo rằng nó đã không bị giả mạo. Tầm quan trọng của kỹ thuật số chữ ký để
thương mại điện tử hiện đại mà Rivest đã viết " chúngcó thể được chứng minh là
một trong những phát minh cơ bản và hữu ích của mật mã hiện đại ". Sự an toàn của
tất cả các cách thức chữ ký kỹ thuật số khóa công khai phụ thuộc vào sự bất lực của
kẻ giả mạo, để giải quyết các vấn đề toán học khó, chẳng hạn như sự phân tích
thành thừa số các số lớn. Không may, với một máy tính lượng tử, sự phân tích thành
thừa số trở nên dễ kiểm soát, do đó cho phép chữ ký bị giả mạo.[8]
Chữ kí số phát triển rất mạnh, một văn bản vừa không bị quên bởi người
nhận, vừa không bị tấn công. Sự an toàn của chữ kí số phải dựa trên cơ sở là máy
điện toán phức tạp ví dụ như EIGamal và DSA.Tuy nhiên, nó có thể bị tấn công bởi
mối đe dọa vào máy tính số và sự nổi bật của máy tính lượng tử là sự phân phối dễ
dàng. Trong mật mã lượng tử, chúng ta có thể giảm sự phức tạp, ví dụ, vấn đề phân
tích thừa số nhanh hơn, với nguồn năng lượng nhỏ hơn mật mã cổ điển bởi sử dụng
trạng thái lượng tử song song.
Khác với mật mã cổ điển, mật mã lượng tử có cơ sở là những tính chất vật lí,
ví dụ, người nghe trộm có thể dò ra sự đổ sập của trạng thái lượng tử trong quá trình
đo. Thông tin về chữ kí lượng tử (QMS) là một công nghệ mà kết hợp lí thuyết
lượng tử với mật mã cổ điển và tận dụng kết quả đo lượng tử để hoàn thành tuyệt
đối an toàn.
6
Zeng đã nghiên cứu về phân phối thông tin chữ kí lượng tử trên bộ ba trạng
thái GHZ, nhưng đề án của ông thuộc về cách phân xử phân phối chữ kí, đó là một

4/ Phép đo lượng tử.
()!*+,-'
Đánh giá sự phụ thuộc của xác suất thành công trong đồng viễn tạo trạng thái
lượng tử vào rối lượng tử
Nghiên cứu giao thức viễn chuyển chữ kí lượng tử, cách tấn công bằng hạt
rối phụ trợ và đề xuất giao thức mới đảm bảo sự an toàn của viễn chuyển chữ kí
lượng tử trước sự tấn công của hạt rối phụ trợ.
./01
Bố cục của khóa luận gồm 3 chương:
●  !: Các khái niệm cơ bản (giới thiệu các khái niệm cơ bản cần
thiết cho việc tính toán ở các phần sau)
●  !: Sự phụ thuộc của xác xuất thành công trong đồng viễn tạo
trạng thái lượng tử vào sự lựa chọn nguồn rối( thế nào là Đồng viễn tạo trạng
thái lượng tử và sự phụ thuộc của xác xuất thành công trong đồng viễn tạo trạng
thái lượng vào sự lựa chọn nguồn rối )
●  !(: Viễn chuyển chữ kí lượng tử ( Chúng tôi trình bày về chữ kí
lượng tử, viễn chuyển chữ kí lượng tử và cách tấn công bằng hạt rối phụ trợ, đề xuất
giao thức mới chống lại sự tấn công của giao thức hạt rối phụ trợ ).
8
 !
23425/
!&6$78!9:;!#
Các nguyên tử và các hạt vật chất có kích thước nguyên tử (
10
10 m
−
) tuân
theo một tập hợp quy tắc gọi là cơ học lượng tử. Sự khác biệt giữa cơ học lượng tử
và cơ học cổ điển là ở chỗ hệ có thể đồng thời tồn tại ở mọi trạng thái có thể có của
chúng. Đó chính là nội dung của nguyên lí chồng chất trạng thái.

2
11
cP =
và sau phép đo hệ lập tức đổ sập về
trạng thái
1
ψ
. Tương tự, khi ta thực hiện phép đo lên trạng thái
ψ
, kết quả đo
trạng thái
2
ψ
là
2
A
thì xác suất thu được kết quả
2
A
là
2
22
cP =
và sau phép đo hệ
lập tức đổ sập về trạng thái
2
ψ
.
/7<!=
Bit lượng tử (quantum bit) [1,2] hay qubit được xem là khái niệm cơ bản và

Trạng thái lượng tử của qubit là một vectơ đơn vị trong không gian Hilbert
hai chiều được biểu diễn dưới dạng
0 0 0
0 1 ,Ψ = +
α β

(1.2)
hay
0
,
α
β
 
Ψ =
 ÷
 
(1.3)
với các thông số
,
α β
là các số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
1
Ψ Ψ =
,
2 2
1
α β
+ =
và
{ }

:
( )
'
0 0
0
0 1
i
r r e
β α
φ φ
α β
− −
Ψ = +

0 0
0 1
i
r r e
φ
α β
−
= +
. (1.5)
( )
'
0 0
0
0 1z x iyΨ = + +
,
(1.6)

cos 0 sin 1
i
e
ϕ
θ θ
= +
. (1.8)
10
Mặt khác:
0
0
'
00 =⇒=
ψθ
,
(1.9)
0
0
'
1
2
ϕ
ψ
π
θ
i
e=⇒=
.
(1.10)
Nên ta biểu diễn trạng thái qubit như sau:

xác định một điểm trên quả cầu đơn vị gọi là quả cầu
Bloch. Mỗi trạng thái của qubit được biểu diễn bằng một điểm trên mặt quả cầu.
Trạng thái của bit cổ điển chỉ có thể nằm trên hai cực Nam và Bắc của quả cầu
Bloch còn trạng thái của qubit là tổ hợp tuyến tính của cả hai trạng thái đó nên nó
nằm tại mọi điểm trên quả cầu, được minh họa trên hình vẽ (1.1)
Hình 1.1 : Quả cầu Bloch có bán kính đơn vị được dùng để biểu diễn hình học cho
qubit. Vị trí của mỗi qubit được xác đinh thông qua hai tham số
,
θ ϕ
.
Bất kì hệ lượng tử nào có hai trạng thái tồn tại cũng có thể dùng để biểu diễn
qubit trong thực tế. Ví dụ, trong quang lượng tử khi đối tượng nghiên cứu là số hạt
11
photon thì qubit được biểu diễn bởi trạng thái Fock của chúng. Cụ thể, một số hình
thái của qubit được thể hiện trên bảng :
Hệ lượng tử Tính chất vật lý
0
1
Photon
Phân cực tuyến
tính
Ngang Dọc
Photon Trạng thái Fock Chân không
Trạng thái một
photon
Electron Hình chiếu spin Lên Xuống
Chấm lượng tử Spin Xuống Lên
Nguyên tử Hidro Mức năng lượng Mức cơ bản Mức kích thích
Bảng 1.1: Các hình thái vật lý của qubit
(>07<!=

N
α α α
Φ = + + +
,
(1.12)
với các thông số
( )
1,2, ,2
N
i
i
α
=
là các số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn
hóa
2
2
1
1
N
i
i
α
=
=
∑
. Nếu trạng thái
12 N
Φ
thỏa mãn điều kiện:

được gọi là trạng thái rối N qubit.
Sau đây ta xét trường hợp trạng thái hai qubit:
{ } { }
1 1 2 2
0 , 1 , 0 , 1
lần lượt là các hệ cơ sở trực chuẩn một qubit trong hai
không gian H
1
và H
2
.
Không gian H
1

⊗
H
2
xác định trạng thái hai qubit có các vectơ cơ sở như
sau
{ }
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 , 0 1 , 1 0 , 1 1
. Khi đó trạng thái tổng quát của hai qubit
được viết dưới dạng
00 01 10 11
ϕ α β γ δ
= + + +
,
(1.15)
với

Ta dễ dàng chứng minh (1.16) là một trạng thái rối. Thật vậy, giả sử ta viết
trạng thái
ϕ

dưới dạng tích:
( ) ( )
' ' ' '
0 1 0 1
ϕ α β γ δ
= + +

( )
' ' ' ' ' ' ' '
00 01 10 11
α γ α δ β γ β δ
= + + +
.
(1.17)
Để thỏa mãn đẳng thức ta phải có
13
' ' ' '
0
α δ β γ
= =
.
(1.18)
Tuy nhiên, mọi trường hợp đều không thỏa mãn và
( )( )
1010
''''

trên hạt này ngay lập tức ảnh hưởng đến trạng thái của hạt kia cho dù chúng ở cách
xa nhau.
Xét trạng thái rời có dạng (1.19). Khi ta thực hiện phép đo lên qubit thứ nhất
ở trạng thái
0
. Kết quả này xảy ra với xác suất :
0
1 1
Pr 1
2 2
= + =
. (1.21)
Sau phép đo trạng thái (1.19) bị suy sụp thành:
( ) ( )
( )
'
2 2
1 2 00 1 2 01
1
00 01
2
1 2 1 2
ϕ
+
= = +
+

ϕ
=
(1.22)

1
ở qubit thứ hai thì rõ
ràng xác suất của kết quả này
1
Pr 0
=
. Vậy ở trạng thái rối (1.19), mỗi phép đo lên
qubit thứ nhất đều ảnh hưởng đến kết quả lên qubit lại, mặc dù chúng ở xa nhau.
Trạng thái (1.19) chính là một trong bốn cặp rối EPR. Bốn trạng thái EPR
được viết đầy đủ ra như sau:
( )
1100
2
1
+=
+
φ
(1.25)
( )
1100
2
1
−=
−
φ
(1.26)
( )
1001
2
1

( )
ABCABC
GHZ 111000
2
1
+=
. (1.29)
Các trạng thái rối GHZ có thể viết dưới dạng tổng quát như sau:
( )
∑
=
⊕⊕−=
1
0
,,
,,1
2
1
k
ABC
lk
ABC
nmk
nkmkkG
. (1.30)
tạo thành tám vectơ cơ sở cho phép đo GHZ
Đối với rối nhiều thành phần hơn GHZ có dạng
( )
NN
GHZ

( )
2 1
,U t t
là toán tử unitary thỏa mãn:
( ) ( )
( )
2 1 2 1
, exp /U t t iH t t= − − h

(1.34)
Một máy tính cổ điển được tạo nên từ các cổng logic cổ điển không thuận
nghịch, điều đó có nghĩa rằng nếu ta xác định kết quả đầu ra của một máy tính thì
không thể xác định đầu vào của nó. Máy tính lượng tử được xây dựng bởi hệ thống
các cổng lựợng tử logic thuận nghịch mà thực tế chính là các toán tử unitary nói ở
trên. Các cổng logic lượng tử bao gồm các cổng đơn và đa qubit, tuy nhiên người ta
16
đã chứng minh được rằng bất kì một cổng đa qubit nào cũng có thể được tạo nên từ
các cổng đơn qubit tổng quát và một cổng hai qubit đặc biệt như controlled-NOT
chẳng hạn. Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một vài cổng lượng tử logic phổ biến:
.?! @&A
Cổng lượng tử đơn qubit
),(
θϕ
U
[1,2,7] với
θϕ
,
là các số thực, là một toán tử
chuyển trạng thái biến một qubit đầu vào thành một qubit khác ở đầu ra.
Biểu diễn toán học của nó là một ma trận

Ở đây
1U U
+
=
, vậy cổng logic lượng tử là thuận nghịch chứ không bất
thuận nghịch như cổng logic cổ điển.
Ta thấy



+=
−=
−
1cos0sin1
1sin0cos0
ϕϕ
ϕϕ
θ
θ
i
i
eU
eU
. (1.36)
Dưới đây ta cụ thể hóa cho các trường hợp cổng lượng tử đơn qubit:
•Toán tử đơn vị
Đây là toán tử không làm biến đổi trạng thái ở đầu ra. Ma trận biểu diễn của
nó có dạng:



σ
. (1.38)
đây là toán tử
x
σ
có tác dụng lật bit .
0 1
1 0
x
x
σ
σ

=


=


. (1.39)
• Toán tử Pauli
y
σ
17
Ma trận biểu diễn của
y
σ






. (1.41)
• Toán tử Pauli
z
σ
Ma trận biểu diễn của
z
σ








−
=
10
01
z
σ
(1.42)
Toán tử
z
σ
có tác dụng đảo pha.
0 0
1 1

1
H
. (1.44)
Đây là cổng lượng tử Hadamard
( )
H

tác động lên một qubit
x
, với
{ }
0,1x =
được xác định bởi các công thức sau:
( )
( )
1
1 1
2
x
H x x x= − + −
, (1.45)
xét cụ thể ta được:
( )
( )
1
0 0 1
2
1
1 0 1
2

I
σ σ
σ
+

=

=

. (1.48)
19
Mặt khác chúng cũng thỏa mãn các hệ thức
2
2
2
x y y x z
y z z y x
z x x z y
i
i
i
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ

− =

− =



0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 1 0
CNOT
CNOT
CNOT
CNOT
 =

=


=


=

. (1.52)
Cổng CNOT có thể được biểu diễn bằng ma trận sau:
20
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
CNOT
 
 ÷
 ÷
=
 ÷

 ÷
 ÷
 ÷
= + = + =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
. (1.55)
Cho hệ đi qua cổng CNOT
+
=
















=

=
ψψ
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
0100
1000
0010
0001
'
CNOT
. (1.56)
Ta thấy
+
ψ
chính là một trong bốn trạng thái EPR. Như vậy hệ (1.55) đã bị
rối sau khi đi qua cổng CNOT.
Xét trạng thái rối (1.16) được biểu diễn như sau:
21
( )
1

2
CNOT
ϕ ψ
   
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
= = = =
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
   
. (1.58)
( ) ( )
1 1
00 10 0 1 0
2 2
ψ
= + = +
. (1.59)
Như vậy trạng thái (1.16) đã được gỡ rối, trở thành trạng thái rời.
● Cổng
CROT

1
RR
. (1.62)
Ta có :
+>
'
CC
CROT
''
0000
CCCC
=
. (1.63)
+>
'
CC
CROT
'
10
CC
=
( )
( )
'
10
1
CC
R
ϑ










−
ϑ
ϑ
sin
cos
'
1
C
=
( )
'
11sin0cos
CC
ϑϑ
+−
=
''
11sin10cos
CCCC
ϑϑ
+−
. (1.64)





−
ϑϑ
ϑϑ
cossin
sincos
C








1
0
'
1
C
23