Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH
I. ĐẠO HÀM
1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =
1x
|x|
+
tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
− 2x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007

– 3x + 2 ) ( x
4
+ x
2
– 1 ) b) y =
1xx
x2x
2
3
++
−
c) y =
qpx
cbxax
2
+
++
9) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5
b) y = sin
2
(cos 3x)
c) y = ln
3
x d) y = e

+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x
11) Tính đạo hàm của hàm số
f(x) =



≥
<
0x nếu x
0x nếu x
2
3
tại điểm x
0
= 0

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x
d) y = cos x e) y = ln (x
2
+ x – 2 )
13) Chứng minh rằng :
a) Với y= 3 +
x

+2e
−
x
. Chứng minh rằng : y’’’−13y’−12y = 0
d) Cho y =
4x
3x
+
−
. Chứng minh rằng : 2(y’)
2
= (y−1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
. Chứng minh rằng: y’ = cotg
4
x
15) Cho f(x) =
xsin1
xcos
2
2
+
. Chứng minh rằng :
3)
4

f(x) = sinx.e
x
d) f(x) =
xxcosxsin3
+−
18) Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
−2x
2
+ π .
19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
x4cos
4
1
Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R
20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) f(x) = ln (sinx) tại x
0
=
4
π

+1. b) y = f(x) = 2x
2
−x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.
i)
1x

đồng biến trên các khoảng xác đònh của
nó. Kq: m = 0
27) Đònh m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên nửa khoảng [1;+∞).
Kq: m ≤
5
14
−
28) Chứng minh rằng :
x1e
x
+>
, ∀x > 0.
29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng
khoảng xác đònh) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x
1xx
y
2
−

2
−
++−
=
luôn đồng biến trên từng khoảng xác
đònh của nó.
32) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng biến trên khoảng
(1;+∞). Kq:
223m −≤
33) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3
34) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 −
2
x
2
, với x > 0 .
II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
35) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:
a) y = x
3

38) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trò. Kết quả : m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:





=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f
Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1
39) Đònh m để hàm số y = f(x) =
x1
mx4x
2
−

−mx
2
+(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số:
a) Có cực trò. Kết quả: m <−1 V m > 2
b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2
c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <−2 V m > 2
43) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x
4
+2mx
2
−2m+1.
Hd và kq : y’=−4x(x
2
−m)
 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
 m > 0: 2 cực đại x=
m±
và 1 cực tiểu x = 0
44) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2
+
+−
có hai điểm cực trò nằm
khác phía so với Ox. Kết quả : m >
4
1
45) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3

x
y
2
4
++−=
. c) y =
21x
3
+−
48) Đònh m để hàm số có cực trò :
a)
2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3
b)
1x
2mmxx
y
22
−
−++−
=
. Kết quả: m<−2 V m>1
49) Đònh m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =
3
x
3
−mx
2

R
Min
f(x) = f(1) = 2
53) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
−2x+3 trên [0;3].
Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
54) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1.
Kết quả :
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = −4
55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m
3
, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp)
mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi
xây ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần

trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0;
2
3
)
59) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
60) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kết quả:
R
Max
y=f(1)= 4
61) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kết quả:
);0(
Min
±∞
y=f(1)= −3
62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +
2
x4 −
.
Kết quả:
522)2(fyMax
]2;2[
−==
−
;
7)2(fyMin

[
−==
−

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH
64) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R
Max
y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả:
R
Min
y=f(0)=5; Không có
R
Max
y
c)

3
1
;
R
Max
y=3
65) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2
++
+
=
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−

66) Cho hàm số
( )
π∈α
+α−
α+−α
= ;0
1cosx2x
cosx2cosx
y
2

+∞
g(t) = g(0) =
2
1
⇒
);0(
Min
+∞
f(x) = f(1) =
2
1
68) Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx−
xsin
3
4
3
trên đoạn [0;π]
(Đề thi TNTH PT 2003
−
2004)
Kết quả:
];0[
Max
π
f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=
3
22
;
];0[
Min

a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH
72) Chứng minh rằng đồ thò (C):
1xx
1x2
y
2
++
+
=
có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết
phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này.
Hướng dẫn và kết quả:
(C) có 3 điểm uốn A(−2;−1), B(−
2
1
;0), C(1;1).
→−→−
= AC
2
1
AB
⇒ A, B, C thẳng hàng.
Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc
3
2
xx

2
(2;0)
74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm
cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox.
b) Tìm m để (C
m
):y = x
3
−3mx
2
+2m(m−4)x+9m
2
−m cắt trục hoành tại 3 điểm
cách đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng).
Hướng dẫn và kết quả:
a) Cho y = 0⇔ ax
3
+bx
2
+cx+d = 0 có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, lập thành cấp số cộng

Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m
2
−m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1.
Điều kiện đủ : Chọn m = 1.
75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :
a) y=x
3
−3x
2
+2. b)
2x
4xx
y
2
+
+−
=
.
76) Chứng minh rằng đồ thò của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có
điểm uốn:
a)
2x
1x
y
−
+
=
. b) y = x +
x
1

hoành độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11.
79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) :
y=x
3
−3x
2
−9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
Hướng dẫn và kết quả :
• Lập phương trình hoành độ giao điểm :
ax+b = x
3
−3x
2
−9x+1⇔ f(x) = x
3
−3x
2
−(a+9)x+1−b = 0.(1)
• Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thò hàm số (1) là
I(1;−a−b−10)∈Ox ⇒ −a−b−10 = 0 ⇒ a+b = −10.
• Điều kiện đủ : a+b = −10 ⇒ f(x) = (x−1).g(x) = 0 với
g(x) = x
2
−2x+b−1. YCBT ⇔




):y = x
3
−3mx
2
+2m(m−4)x+9m
2
−m có điểm uốn :
a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 .
b) Đối xứng với M(−3;−6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 .
c) Đối xứng với N(5;−20) qua Ox. Kết quả : m= 5 .
d) Đối xứng với P(−7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 .
V. TIỆM CẬN
82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số :
a) y =
2x3x
1x2
2
2
+−
−
. Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2
b) y =
2x
1xx
2
+
+−
. Kết qua û: x = −2 và y = x−3
83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thò các hàm số :
a) y = 1+

++++
=
.
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C
m
).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C
m
) đi qua I(1;2).

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH
87)Tìm trên đồ thò (C):y =
1x
2x
+
+
điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai
tiệm cận là nhỏ nhất.
88) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) =
2x
1x3x
2
−
−+
. Chứng minh rằng tích các
khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d
1
.d
2

g) y=2x
2
−x
4
-1 h) y=x
4
-1
i) y =
1x
1x
−
+
j) y =
2x
x2
+
k) y =
1x
x
2
−
l) y =
2x
4
1x
+
−−

m) y =
x1

+
=
và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành
độ giao điểm.
91) A.Vẽ đồ thò (C) hàm số y = x
3
+3x
2
−2
B.Biện luận bằng đồ thò (C) số nghiệm của pt: x
3
+3x
2
−(m−2) = 0
92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=
4
1
x+3 và tiếp
xúc với đồ thò (C) hàm số y= −x
3
+3x
2
−4x+2.
93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y=x
3
+3x
2
+1 biết tiếp tuyến đi qua
gốc toạ độ O.
94) Dùng đồ thò (C): y = x

97) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x
3
−3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó
làm tâm đối xứng.
98) Cho hàm số y = x
4
−4x
3
−2x
2
+12x−1.
a) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số có trục đối xứng.
b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox.
Hướng dẫn và kết quả:
a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thò (C) : Tìm đến y
(3)
và cho y
(3)
= 0 , tìm được
nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng
của (C).
b) Cho Y= 0, tìm được X=
104
±±
⇒ y=0 và x =1
104
±±
.

2x
2x
+
−
c) (C
3
): y = f
3
(x) =
2x
2x
+
−
d) (C
4
): |y| = f
4
(x) =
2x
2x
+
−
e) (C
5
): y = f
5
(x) =
2x
2x
+

2
−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình đường thẳng đó.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH
Lời giải 1:
1. Dự đoán đường thẳng cố đònh:
Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm+x
2
+x−1−y=0, phương trình này
có ∆= (x)
2
−1.(x
2
+x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố đònh.
Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm=−x
2
−x+1+y (2)
Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1 là đường
thẳng cố đònh.
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng cố đònh: ( Bắt đầu lời giải)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m

2
−1= ax+b⇔ x
2
+(2m+1−a) x+m
2
−b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m
⇔ ∆ =(2m+1−a)
2
−4.1(m
2
−b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1)
2
+4b+4=0 với ∀
m
⇔



=++
=−
044b1)-(a
01a
2
⇔



−=
=
1b

:y=9x+1, d
2
:y=x+1 cố đònh tiếp xúc (C
m
)
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với d
1
, và tiếp xúc d
2
: ( Bắt đầu lời giải)
• d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:







=
+
+=
+
+−+
9

m
): y=mx
3
−3(m+1)x
2
+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng
cố đònh tại một điểm cố đònh.
Hướng dẫn giải: Tìm được (C
m
) đi qua hai điểm cố đònh A(0;1) và B(3;−23) và tiếp
tuyến của (C
m
) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố đònh.
105) Chứng tỏ rằng (d
m
): y=(m+1)x+m
2
−m luôn tiếp xúc với một parabol cố đònh.
Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y=
4
1
x
2
3
x
4
1
2
−+−
là parabol

3
2
∫
−
−+
107) Tính
dx
)2x(
2xx
3
3
∫
−
−+
108) Tính
∫
+−
−
2x3x
dx)3x2(
2

109) Tính
∫
−1x
dxx3
3
2
110) Tìm A, B , C để sinx−cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx−2sinx) +C
Kq: A=

d) y=
xsinxcos
x2cos
+
tgx−cotgx+C
sinx+cosx+C

112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x
3
−x
2
+2x−1 biết rằng F(0) = 4.
Kết quả: F(x) =
3
x
4
x
34
−
+x
2
−x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx.
Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH
114) Tìm A và B sao cho với mọi x≠ 1 và x≠2 , ta có:
1x
B

a)
∫
dx.gxcot
b)
∫
dx.xgcot
2
c)
∫
xdxcos.xsin
2
l nsinx+C
−cotgx−x+C
3
1
sin
3
x+C
d)
∫
dx
xln.x
1
e)
∫
+3xcos2
e
.sinxdx
f)
∫

3
1
2
dx
x
x4x
c)
∫
−
−
2
2
2
dx|1x|
d)
∫
π
4
0
2
xdxtg
1
12
4
4
4 π−
e)
∫
π
π

223 −+
3
1
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
1
0
1x
dx
b)
∫
−
2
1
2
)1x2(
dx
c)
dx
1xx
2x4
1
0
2
∫
++
+

dx.
xsin
xcos
i)
∫
π
π
−
+
2
3
dx.
xcosxsin
xcosxsin
3
2
ln2
2
1
ln(
3
+1)
0

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH
e)
∫
+
2ln

x
xln
3
1Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH
118) Chứng minh rằng:
a)
2xsin23
dx
4
4
3
4
2
π
≤
−
≤
π
∫
π
π
b)
108dx)x117x(254
11
7

d)
∫
π
4
0
4
xdxtg
e)
2
4
4
sin
dx
x
π
π
∫
f)
1
3
0
1 xdx
−
∫
g)
dx1xx
1
0
2
∫

2
−
2
1
12
83 −π
3
4
4
3
)122(
3
1
−
33
π
)21e(2 −+
4
3

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 17 - Soạn cho lớp LTĐH
120) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
m)
∫
−
2
2
2

2
1x
dx
r)
1
2
2
1
2
1 x
dx
x
−
∫
s)
∫
+
1
0
x
e1
dx
t)
∫
π
+
2
0
xcos1
dx

9π
6
π
x=sint. Kq:
16
π
)32ln(
2
1
3 ++
3
33 π−
TS+e
x
−e
x
.Kq:l n
1e
e2
+
1
1
4
π
5
1
121) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫

xdx
x
π
∫
1
2ln
4
−
π

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 18 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
e)
2
0
sin .cosx x xdx
π
∫
f)
∫
e
1
2
dx)x(ln
g)
∫
+
1
0

∫
ln2−
2
1
π+
−
e
1e
2
2
1e
2
+
π
122) Chứng minh rằng:
a)
∫∫
ππ
=
2
0
2
0
dx)x(cosfdx)x(sinf
Hd: x=
2
π
−t
b)
∫∫

dx)gx(cotfdx)tgx(f
Hd: x=
2
π
−t
e)
∫∫
π
π
π=
2
00
dx)x(sinfdx)x(sinxf
. Áp dụng, tính:
∫
π
+
0
2
dx
xcos1
xsin.x
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=π −t. Lần 2, để tính
∫
π
π
2
dx)x(sinf
ta đặt x=
2

0
a
a
dx)x(f2dx)x(f
. Hd: t=−x
124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0)
thì:
0dx)x(f
a
a
∫
−
=
. Hd: t=−x

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 19 - Soạn cho lớp LTĐH
125) Chứng minh rằng:
0xdxsinx
8
8
76
∫
π
π
−
=
. Áp dụng bài 124).
126) Chứng minh rằng:
∫∫

∫∫
−
=
a
0
2
a
a
2
dx)x(f.xcos2dx)x(f.xcos
. Áp dụng bài 123).
130) Chứng minh rằng
∫∫
−=−
1
0
mn
1
0
nm
dx)x1(xdx)x1(x
. Hd:x=1−t
131) Tính các tích phân sau:
Tích phân Kết quả
a)
∫
−
++
2
2

e
e
1
dx|xln|
f)
∫
+
1
0
2
3
dx
1x
x
g)
∫
π
2
0
6
dx .sinxcosx-1
Hs lẻ: 0
)31(
6
+
π
64
2ln
256
15

3
x2
dx)1xe(x
l)
∫
π
+
4
0
dx
x2cos1
x
m)
∫
π
+
−
4
0
2
dx
x2sin1
xsin21
n)
∫
+
32
5
2


x3
dx ex
s)
∫
+
e
l
2
dx .lnx
x
1x
12 −
7
4
e4
3
2
−
)2ln
2
(
4
1
−
π
2ln
3
5
ln
4

1
(n≥1)
b) Áp dụng tính I
3
=
∫
1
0
x3
dx.ex
. Kết quả: 6−2e
133) Cho I
n
=
∫
π
4
0
n
dx.xtg
(n∈ N )
a) Chứng minh rằng I
n
> I
n+1
. Hd: In>In+1,∀x∈(0;
4
π
)
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa I

1
+
.
134) Tính I
n
=
∫
π
0
n
dx.nxcos.xcos
(n∈ N )
Hướng dẫn: đặt



=
=
dx.nxcosdv
xcosu
n
, tìm được I
n
=
2
1
I
n
−
1

xcosu
1n
, tìm được I
n
=
n
1n −
I
n
−
2
.
Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
• n=2k ( n chẵn): I
n
=
2
.
n 4.2
)1n (3.1 π−
• n=2k+1 ( n lẻ): I
n
=
n 5.3
)1n (4.2 −
136) Cho I
n
=
∫
π

+
dx.xsindv
xsinu
1n
b) Chứng minh f(n+1)=f(n)⇒ f(n)=…=f(0)=
2
π
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
• n=2k ( n chẵn): I
2k
=
2
.
k2 4.2
)1k2 (3.1 π−
• n=2k+1 ( n lẻ): I
2k+1
=
)1k2 (5.3
k2 4.2
+
137)a) Tính I
0
=
∫
−
−
1
0
2xx

π
2
0
n
dx.xsin.x
và tính I
3
.
Kết quả:
63)
2
(
3
+π−
π
139) Giải phương trình:
∫
x
0
t
dt.e
= 0. Kq: 0
140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= −x
2
+3x−2, d
1
:y = x−1 và
d
2
:y=−x+2 Kq :

144) Cho hai đường cong :
2
:)2:)(
2
1
x
yxyP ==
2
(Pvà
.
a) (P
1
) và (P
2
) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P
1
) và (P
2
). Kq :
3
4
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y
2
-2y+x = 0 và (d) : x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y
2
+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao điểm của (P) và
(d) là nghiệm phương trình y
2

– 8x + 1 ; (d): y = 6. Kq :
96
2401
d) (P): y = − x
2
+ 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung. Kq : 9

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 23 - Soạn cho lớp LTĐH
e) (C): y = x
3
– 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x =
2
1
−

Kq :
64
27
f) (C): y=
2
1
x
2
−2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ






h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x. Kq: 4
i) y
2
= 2x + 1; y = x – 1 . Kq:
3
16
j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2. Kq: 2ln2−1
147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
quay quanh trục Ox:

2
2
x
2
1
2
2
2
2
3
e :Kq 0y,2x,1x,.exyf)
61 :Kq 1
4
y
9
x
:(E)e)
3
32
: Kq xy,4xyd)

(d) và phần trên d của (E). Kq: 5π−
4
315
149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2−x
2
, (C): y=
2
x1−
và Ox.
Kq:
23
28 π
−
150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y
2
= x
3
(y≥0) , y = 0, x= 1
a) Quay quanh trục Ox. Kq:
4
π

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 24 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Quay quanh trục Oy. Kq:
7
4π
151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=
1x
1x

5
=
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số.
154) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác
nhau? Kết quả:
96A.4
3
4
=
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:
421.A.31.A
2
3
3
4
=+
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là
A={0,3,6,9} Vậy có 3
18!3.3A.
3
3
==
số chia hết cho 3.
155) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau? Kết quả: 5.
600A

a) Bắt đầu bởi 19? Kết quả: 1.1.3!=6
b) Không bắt đầu bởi 135? Kết quả: 5!
−
1.1.1.2!=118
158) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2,3,
4, 5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480
159) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3
chữ số này bằng 9. Kết quả: Có 3 tập X
1
={1;2;6} ,
X
2
={1;3;5} và X
3
={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số.
160) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: còn 7. Xếp
chữ số 3: còn 6. Xếp chữ số 4: còn 5. Xếp chữ số 5: còn 4. Xếp chữ số 1
vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự). Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5080 số.
Hoặc: 1 0 1 2 3 1 5 4
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5 trong 8 ô
vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ tự ). Vậy có
67201.A
5
8
=
số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu ( có
840A.1

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều