NGUYỄN HỒNG ĐIỆP
Hình học tọa độ trong không gian
z = 0.8
A
B
C
a
uv
F
26 tháng 05, 2014
3
rd
−L
A
T
E
X−2014
02
TÓM TẮT TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Copyright c 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
Phần I
Hình học
3

Chương 1
Phương pháp tọa độ trong không gian
A. Vectơ trong không gian
Trong không gian cho các vectơ
−→
u
1

2
⇔



x
1
= x
2
y
1
= y
2
z
1
= z
2
•
−→
u
1
±
−→
u
2
=

x
1
±x

2
= x
1
.x
2
+ y
1
.y
2
+ z
1
.z
2
Hai vectơ vuông góc nhau ⇔
−→
u
1
.
−→
u
2
= 0 ⇔x
1
.x
2
+ y
1
.y
2
+ z

cos ϕ = cos

−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
u
1
.
−→
u
2


−→
u
1


.


−→
u

2
+ y
2
2
+ z
2
2
•
−→
A B =

x
B
−x
A
, y
B
−y
A
, z
B
−z
A

A B =

(
x
B
−x

+ y
B
2
,
z
A
+ z
B
2

 Tọa độ trọng tâm G của tam giác A BC: G

x
A
+ x
B
+ x
C
3
,
y
A
+ y
B
+ y
C
3
,
z
A

A
+ z
B
+ z
C
+ z
D
4

• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc cả hai vectơ xác định bởi
−→
u =

−→
u
1
,
−→
u
2

=





y
1
z


x
1
z
1
x
2
z
2





• Một số tính chất của tích có hướng

−→
a và
−→
b cùng phương ⇔

−→
a ,
−→
b

=
−→
0
A, B,C thẳng hàng ⇔

A B,
−→
AC

.
−→
AD =
−→
0





−→
a ,
−→
b




=


−→
a


.


 Diện tích tam giác: S
A BC
=
1
2




−→
A B,
−→
AC




 Thể tích khối hộp: V
A BC D.A

B

C

D

=



AD



B. Phương trình mặt phẳng
• Phương trình tổng quát
(
α
)
: a x +by + c z + d = 0 với (a
2
+ b
2
+ c
2
= 0).
• Phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua M

x
0
, y
0
, z
0

và có vectơ pháp tuyến

x −x
0
a
+
y −y
0
b
+
z −z
0
c
= 1, với a ,b,c = 0
• Nếu
−→
n = (a ,b, c ) là vectơ pháp tuyến của
(
α
)
thì k
−→
n ,k = 0 cũng là vectơ pháp tuyến của
(
α
)
. Do đó một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Trong một số trường hợp ta có
thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị cụ thể cho a (hoặc b hoặc c ) và
tính hai giá trị còn lại đảm bảo đúng tỉ lệ a : b : c.
C. Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho
(


⇔a
1
: b
1
: c
1
= a
2
: b
2
: c
2
•
(
α
)
song song

β

⇔
a
1
a
2
=
b
1
b

c
1
c
2
=
d
1
d
2
•
(
α
)
vuông góc

β

⇔a
1
a
2
+ b
2
b
2
+ c
1
c
2
= 0

x −x
0
a
=
y −y
0
b
=
z −z
0
c
7
E. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Đường thẳng d
1
qua M
1
và có vectơ chỉ phương là
−→
u
1
, d
2
qua M
2
và có vectơ chỉ phương là
−→
u
2
thì:

1
song song d
2
⇔




−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
0

−→
u
1
,
−−−→
M
1
M
2


1
,
−→
u
2

=
−→
0
• d
1
và d
2
chéo nhau ⇔

−→
u
1
,
−→
u
2

.
−−−→
M
1
M
2
= 0

cos
(
d
1
, d
2
)
=



cos

−→
u
2
,
−→
u
2




=


−→
u
1

n , khi đó góc giữa d và
(
α
)
là ϕ được tính bằng
sin ϕ =


−→
u .
−→
n




−→
u


.


−→
n


G. Khoảng cách
• Khoảng cách từ điểm A



a
2
+ b
2
+ c
2
• Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua M
0
và có vectơ chỉ phương
−→
u là
d (A,∆) =




−−−→
M M
0
,
−→
u






−→

)
=




−→
u
1
,
−→
u
2

.
−−−→
M
1
M
2







−→
u
1

và ∆
2
song song nhau là khoảng cách từ M
1
∈∆
1
tới ∆
2
.
• Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng
(
α
)
song song nhau là khoảng cách từ
điểm M
0
∈d tới
(
α
)
.
H. Phương trình mặt cầu
• Mặt cầu tâm I (a ,b, c), bán kính R có phương trình
(S) : (x −a )
2
+ (y −b)
2
+ (z −c )
2
= R

(
α
)
) > R : mặt phẳng không cắt mặt cầu.
• d (I ,
(
α
)
) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, khi đó mặt phẳng còn gọi là tiếp diện của
mặt cầu. Tọa độ tiếp điểm M
0
là tọa độ hình chiếu vuông góc của I xuống
(
α
)
.
• d (I ,
(
α
)
) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn C (I

, r ), còn gọi là đường tròn
giao tuyến, khi đó
 Tâm I

là tọa độ hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng
(
α
)

= R
2
. Xét
vị trí tương đối của d và (S) ta dùng một trong hai cách:
1. Lập phương trình giaođiểm (phương trình (∗)) của d và (S), bằng cách lấy x, y , z từ phương
trình đường thẳng thay vào phương trình (S) và giải phương trình theo ẩn t
• Phương trình (∗) vô nghiệm: d và (S) không có điểm chung.
• Phương trình (∗) có 1 nghiệm: d tiếp xúc với (S).
• Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt: d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
2. So sánh khoảng cách d
(
I , d
)
và R
• d
(
I , d
)
> R: d và (S) không có điểm chung.
• d
(
I , d
)
= R: d tiếp xúc với (S).
• d
(
I , d
)
< R: d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Khi cần tìm chính xác tọa độ giao điểm d và (S) ta dùng cách thứ 1.

, y
0
, z
0

∈(α).
(
α
)
: a
(
x −x
0
)
+ b

y −y
0

+ c
(
z −z
0
)
= 0
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của A B
1. Tìm tọa độ I là trung điểm của A B, tính
−→
A B.
2. Viết phương trình mặt phẳng

)
là
−→
n =
(
a ,b, c
)
.
2. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
3 Dạng 3
Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua M và vuông góc với đường thẳng d có vectơ chỉ phương
−→
u =
(
a ,b, c
)
1. Do
(
α
)
song song


a ,
−→
b

2. Viết phương trình mặt phẳng (α).
Bài toán thường gặp của dạng này “Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B, C”.
1. Ta lập 2 vectơ từ 3 điểm:
−→
A B,
−→
AC
2. Vectơ pháp tuyến của (A BC ) là
−→
n =

−→
a ,
−→
b

3. Viết phương trình mặt phẳng
(
A BC
)
.
A
B
C
5 Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng chéo nhau

(
α
)
là
−→
n =

−→
u ,
−→
AN

3. Viết phương trình
(
α
)
.
A
α
d
d
M
1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(
α
)
11
7 Dạng 7
Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau d
1

4. Viết phương trình
(
α
)
qua M và có vectơ pháp tuyến là
−→
n .
α
d
1
M
d
2
8 Dạng 8
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d
1
và song song d
2
(d
1
và d
2
chéo nhau).
1. Tìm
−→
a ,
−→
b là các vectơ chỉ phương của d
1
, d

d
2
9 Dạng 9
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
và

β

sao cho
(
α
)
chứa d
1
,

β

chứa d
2
và
(
α

10 Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d và vuông góc với

β

.
1. Tìm
−→
u là vectơ chỉ phương của d và
−→
n
β
là vectơ pháp tuyến của

β

.
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là
−→
n
α
=

−→
u ,
−→



γ

cho x (hoặc y hoặc z ) hai giá trị cụ thể để xác định
hai điểm A, B trên d . Khi đó bài toán quay về các dạng đã biết.
Cách 2 Dùng phương trình chùm mặt phẳng.
12 Dạng 12
Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với

β

và

γ

.
1. Tìm
−→
n
β
,
−→
n
γ
là các vectơ pháp tuyến của

β

và

α
)
13
13 Dạng 13
Tìm tập hợp điểm cách đều hai mặt phẳng
(
α
)
và

β

1. Gọi M (x, y , z ) là điểm cách đều
(
α
)
và

β

2. Ta có: d
(
M ,
(
α
))
= d

M ,


(
α
)
ta được hai phương trình (1), (2).
4. Do d
(
M ,
(
α
))
= k nên ta được phương trình (3).
5. Từ (1), (2) ta khử d , và từ (3) tìm mối liên hệ giữa a ,b, c.
6. Cho a một giá trị cụ thể và tìm b, c , d (đảm bảo điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 0).
15 Dạng 15
Cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d . Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
chứa d sao cho
khoảng cách từ A đến
(
α
)
là lớn nhất.

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R tại điểm H.
1. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là
−→
I H .
3. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
17 Dạng 17
Viết phương trình mặt phẳng song với

β

: a x +by + c z + d = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
1. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
2. Do
(
α
)
song song với

β

nên phương trình

,
−→
u
2
là các vectơ chỉ phương của d
1
, d
2
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là
−→
n =

−→
u
1
,
−→
u
2

= (a , b, c )
3. Phương trình mặt phẳng
(
α
)
có dạng

: a x +by + c z + d = 0 với a
2
+ b
2
+ c
2
= 0
3. Tìm tọa độ A, B là hai điểm phân biệt thuộc d
4. Do A, B thuộc
(
α
)
nên ta được phương trình (1), (2). Khử d và tìm một ẩn theo hai ẩn còn
lại ta được phương trình (3)
5. Ta có: d
(
I ,
(
α
))
= R, ta được phương trình (4). Thay (3) vào (4) ta được phương trình (5) gồm
hai ẩn
6. Từ (5) ta cho một ẩn một giá trị cụ thể và tìm được a ,b, c , d (lưu ý a
2
+ b
2
+ c
2
= 0)
7. Viết phương trình mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B,C biết H là trực tâm
tam giác A BC .
Cách 1:
1. Gọi giao điểm của
(
α
)
với các trục tọa độ là A(a , 0, 0); B(0,b, 0);C (0, 0, c )
2. Do H là trực tâm tam giác A BC nên ta có:
−→
HA.
−→
BC = 0,
−→
H B.
−→
AC = 0,
−→
HC .
−→
A B = 0. Từ đó ta được
3 phương trình và giải tìm được a ,b,c
3. Viết phương trình mặt phẳng.
A
B
C
H
Cách 2:
1. Chứng minh OH ⊥
(

16 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A
C
B
H
O
24 Dạng 24
Viết phương trình mặt phẳng qua M

x
0
, y
0
, z
0

và cắt các trục tọa độ tại A, B,C sao cho OA =
kO B = l OC .
1. Mặt phẳng
(
α
)
có phương trình
(
α
)
: a
(
x −x
0

2
+ b
2
+ c
2
= 0)
5. Viết phương trình mặt phẳng.
25 Dạng 25
Viết phương trình mặt phẳng qua M

x
0
, y
0
, z
0

và cắt các trục tọa độ tại A, B,C sao cho thể tích
tứ diện OA BC nhỏ nhất.
1. Gọi giao điểm của
(
α
)
với các mặt phẳng tọa độ là A(a , 0, 0); B(0,b, 0);C(0, 0, c) với a ,b, c > 0
2. Mặt phẳng
(
α
)
có phương trình
(

1
3
·B.h =
1
3
·
1
2
·OA.O B.OC =
1
6
abc
5. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm
x
0
a
,
y
0
b
,
z
0
c
ta được
x
0
a
+
y

z
0
⇔V ≥27x
0
y
0
z
0
6. Dựa vào bất đẳng thức trên và điều kiện trở thành đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy
rút ra kết luận.
7. Viết phương trình mặt phẳng.
1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(
α
)
17
26 Dạng 26
Viết phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh tứ diện A BC D.
Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểm M , N thì
• Hoặc nó đi qua trung điểm I của M N
• Hoặc nó song song với M N .
Vì vậy để mặt phẳng
(
α
)
cách đều 4 đỉnh của tứ diện thì :
• Hoặc mặt phẳng
(
α
)

α
4
)
qua P,S,R.
3. Viết phương trình mặt phẳng
(a)
(
α
5
)
qua M N và SR
(b)
(
α
6
)
qua N P và QS
(c)
(
α
7
)
qua M P và QR.
4. Kết luận: có 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A
B
C
D
M
N

A
α
d
I
B
27 Dạng 27
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với mặt phẳng

β

một góc là x
◦
.
1. Tìm
−→
n
β
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

β

và tìm tọa độ hai điểm phân biệt A, B nằm
trên d
2. Phương trình mặt phẳng
(
α
)
có dạng
(
α

−→
n
α
,
−→
n
β




=


−→
n
α
.
−→
n
β




−→
n
α



.
2. Khi đó H là tọa độ giao điểm d và
(
α
)
.
Cách 2: tọa độ điểm H được xác định bởi:
1. H thuộc
(
α
)
.
2.
−−→
M H và
−→
n
(
α
)
cùng phương nhau.
2 Dạng 2
Tìm tọa độ M

là điểm đối xứng của M qua
(
α
)
.
1. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M xuống

⇔
−→
I A và
−→
I B cùng hướng.
A
α
d
d
M
B
I
α
B
I
A
20 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Cách 2:
Khoảng cách đại số từ A

x
A
, y
A
, z
A

tới
(
α

))
> 0
• A và B nằm khác phía
(
α
)
⇔d
(
A,
(
α
))
.d
(
B,
(
α
))
< 0
4 Dạng 4
Cho hai điểm A, B và mặt phẳng
(
α
)
. Tìm điểm M ∈
(
α
)
sao cho M A + M B ngắn nhất.
1. Xác định vị trí tương đối của A, B với

α
)
, A

là điểm đối xứng của A qua
(
α
)
. Tìm tọa độ H và A

.
• Ta có: MA +M B = M A

+M B ≥A

B. Dấu bằng xảy ra ⇔M nằm trên đường thẳng A

B.
Do đó M A + M B bé nhất ⇔ M là giao điểm của A

B và
(
α
)
.
• Viết phương trình tham số A

B và tìm tọa độ M .
A
α

α
)
.
• Ta có: |MA −M B| ≤ A B. Dấu bằng xảy ra ⇔ M nằm trên đường thẳng AB và không
nằm trên đoạn thẳng A B. Do đó |M A −M B| lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm
của đường thẳng A B và
(
α
)
.
• Viết phương trình tham số A B và tìm tọa độ M .
A
α
M
B
Trường hợp 2: A, B nằm khác phía với
(
α
)
• Gọi H là tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên
(
α
)
, A

là tọa độ đối xứng của A qua
(
α
)
. Tìm tọa độ H,A

d
M
B
H
A

∗ Nếu thay điều kiện
(
α
)
là đường thẳng ∆ ta cũng lập luận tương tự bài toán trên.
22 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
6 Dạng 6
Trong mặt phẳng tọa độ Ox y z cho ba điểm A(a ; 0; 0), B(0,b,0),C (0; 0; c) với a ,b, c là những số
dương thay đổi sao cho a
2
+ b
2
+ c
2
= k . Xác định a ,b, c để khoảng cách từ O tới
(
A BC
)
là lớn
nhất.
1. Phương trình mặt phẳng (A BC ) là : (A BC ) :
x
a
+

+
1
b
2
+
1
c
2
≥3
3

1
a
2
b
2
c
2
và k = a
2
+b
2
+c
2
≥3
3

a
2
b