TÌM TÒI LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong giảng dạy và học tập việc áp dụng kiến thức đang học vào giải một bài
toán nào đó thì ít nhiều cũng đã định hướng cho việc tìm tòi lời giải bài toán đó
bằng kiến thức đang học. Nhưng đứng trước một bài toán thì việc vận dụng
những kiến thức đã biết để giải bài toán đó cũng có thể đơn giản, cũng có thể sẽ
lúng túng không tìm ra được phương pháp giải. Lý do là người giải không biết
lựa chọn mảng kiến thức nào để vận dụng cho phù hợp. Trong bài viết này tôi
xin trình bày việc phân tích nội dung một bài toán để tìm tòi lời giải bài toán đó
từ những kiến thức thuộc chương trình THPT.
Trong kì thi tuyển sinh đại học năm 1980, có một bài toán sau là đề dự trữ cho
khối A – B:
Bài toán: Cho
, ,a b c
là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác vuông,
c
là độ
dài cạnh huyền;
,x y
là các số thực thay đổi thoả mãn hệ thức
.ax by c+ =

Chứng minh rằng
2 2
1.x y+ ≥
Sau đây chúng tôi sẽ phân tích cách nhìn nhận nội dung bài toán để đưa ra
những lời giải tương ứng.
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Phân tích 1. Yêu cầu của bài toán là chứng minh bất đẳng thức, vì vậy ý nghĩ
đầu tiên là có thể áp dụng các bất đẳng thức cổ điển để giải bài toán này không?

ax by c x y x y
c c
+ +
+ +
+ = ⇒ = + ≤ + = ⇒ + ≥
Phân tích 3. Đưa bất đẳng thức cần phải chứng minh về bất đẳng thức đồng bậc
của biến là
, ,x y
ta có bất đẳng thức cần phải chứng minh tương đương với
2 2 2 2
( ) ( ) .c x y ax by+ ≥ +
Sử dụng phép biến đổi tương đương, ta có lời giải sau:
Lời giải 3. Từ giả thiết ta có
2 2 2 2 2 2
1 ( ) ( )x y c x y ax by+ ≥ ⇔ + ⇔ +

2 2 2 2 2
( )( ) ( ) 0a b x y ax by⇔ + + − + ≥
2
( ) 0,ay bx⇔ − ≥
luôn đúng.
Phân tích 4. Nếu chúng ta nhìn hệ thức
,ax by c+ =
như là phương trình của
một đường thẳng
∆
trong mặt phẳng toạ độ và biểu thức
2 2
x y+
là bình phương

r r r r
Chúng ta có lời giải sau:
Lời giải 5.
2 2 2 2 2 2
. . . 1.c ax by u v u v a b x y x y= + = ≤ = + + ⇒ + ≥
r r r r
2
Phân tích 6. Nếu ta đặt
2 2
,x y S+ =
(xem như là giá trị của biểu thức
2 2
x y+
)
thì chúng ta đã tạo thêm một đẳng thức. Như vậy chúng ta có thể xem
,x y
như
là nghiệm của hệ phương trình
2 2
.
ax by c
x y S
+ =


+ =

Vì vậy chúng ta phải tìm các giá trị
của
S

có bậc là 2, vì vậy sau khi thế ẩn này theo ẩn kia
từ hệ thức liên hệ vào biểu thức thì chúng ta thu được tam thức bậc hai. Có thể
sử dụng dạng chính tắc của tam thức bậc hai vào tìm cực trị được không ? Từ đó
chúng ta có lời giải sau:
Lời giải 7.
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
( ) 2 1 1.
a b bc
x y a b y bcy c y
a a a b
+
 
 
+ = + − + = − + ≥
 ÷
 
+
 
Phân tích 8. Bất đẳng thức cần phải chứng minh ở đây có hai biến
,x y
, liên hệ
bởi biểu thức bậc nhất
.ax by c+ =
Vì vậy nếu xem mỗi cặp số
( ; )x y
như là toạ

c c
a b c

< <



+ =

nên có thể xem điểm
( ; )M a b

nằm trên đường tròn
2 2 2
a b c+ =
, tâm
(0;0)O
bán kính
.c
Vì vậy có thể lượng
giác hoá bằng cách đặt
.cos , .sin , 0; .
2
a c b c
π
α α α
 
= = ∈
 ÷
 

2 2 2 2
1 2
( ) ( )
( )
,
z z ax by ay bx c
z z ax by ay bx i
z a b c z x y

= + + − ≥

= + + − ⇒

= + = = +



2 2 2 2
1 2 1 2
. 1.c x y z z z z c x y
⇒ + = = ≥ ⇒ + ≥
4
Bài toán trên có thể mở rộng và tổng quát hoá theo các hướng sau:
Mở rộng điều kiện của các hằng số, ta có bài toán.
1. Cho trước các số thực
, , ,a b c k
, khác 0 và các số thực
,x y
thay đổi thoả
mãn điều kiện

1
.
n
i i
i
a x b
=
=
∑
Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2 2
1
, ( 0, 1, ).
n
i i i
i
k x k i n
=
≠ =
∑
Với các bước phân tích tương tự, ta có các lời giải sau cho bài toán:
(Đề thi đại học khối A – 1980). Cho
, , 0.a c b c c> > >
Chứng minh rằng
( ) ( ) .c a c c b c ab− + − ≤
(1)
Cách 1. Dùng các phép biến đổi tương đương.
( )
2

( ) ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )c a c c b c c b c c a c ab− + − ≤ + − + − =

( ) ( ) .c a c c b c ab⇒ − + − ≤
Cách 3. Sử dụng phương pháp tham số hóa
Đặt
,a c b c
α β
= + = +
với
0, 0
α β
> >
.
Ta có
(1) ( )( ),c c c c
α β α β
⇔ + ≤ + +
bình phương hai vế ta được bất đẳng
thức tương đương:
( )
2
0,c
αβ
− ≥
đúng
, 0
α β
∀ >

= ⇒ − + − =
 
uuur uuur
Do đó
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤
(vì
·
sin 1AOB ≤
).
Cách 5. Sử dụng phương pháp hình học
Lời giải 1.
Ta có thể xem
, ,c a c b c− −
là độ dài của
các đoạn thẳng.
6
AB
C
H
c
a
b
a c
−
b c−
Dựng hai tam giác vuông CHA và CHB
có chung cạnh góc vuông
CH c=
, .HA a c HB b c= − = −


là tiếp tuyến của (O) và (O’).
Vậy
( ) ( ) .c a c c b c ab− + − ≤
Cách 6. Sử dụng phép thế lượng giác
Lời giải 1.
Vì
0 1, 0 1,
c c
a b
< < < <
nên tồn tại
, 0;
2
π
α β
 
∈
 ÷
 
sao cho
2 2
cos , cos .
c c
a b
α β
= =
Khi đó
2 2 2 2
(1) ( cos ) cos ( cos ) cos .sin( ) .VT a a b b b a ab ab
α β β α α β

c
c
a
b
K
Ta được
sin sin
2 2
a b
P
α β
= +
và
cos cos
2 2 2 2
a b b a
β α
− = −
. Suy ra
2 2 2
2 2
2
sin sin cos cos cos( ).
2 2 2 2 2 2 4 4 2
a b a b b a a b ab
P
α β β α α β
     
+ − = + + − = + − +
 ÷  ÷  ÷

( ) 2 ( ) [( ) 4 ] 2 ( ) 0y c a b y c a c a b y c y a b c y⇒ + − = − ⇒ − + − + + =
(2).
Do phương trình (2) có nghiệm c, nên
4 2 4 2 2 4 2
0 0 0 0 0 0
' 0 ( ) [( ) 4 ] 0 4 ( ) 0 .
c
y a b y a b y y ab y y ab∆ ≥ ⇒ + − − + ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤
Cách 8. Dùng khảo sát hàm số
Lời giải 1. (Xem c là đối số).
Xét hàm số
( ) ( ) ( ),f c c a c c b c= − + −
với
{ }
(0;min , ).c a b∈
Ta có:
( )( ( )( ) )
'( ) 0 .
2 ( )( )
a c b c a c b c c
ab
f c c
a b
c a c b c
− + − − − −
= = ⇔ =
+
− −

'( ) 0 ( )( ) 0

+∞
 ÷
+
 

8
Vậy,
max ( ) ,
ab
f c f ab
a b
 
= =
 ÷
+
 
suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải 2. (Xem a (hoặc b là đối số)).
Xét hàm số
( ) ( ) ( )f x c x c bx c b c= − − + −
với
( ; )x c∈ +∞
và
b c>
.
Ta có
( ( ))
'( ) 0 .
2 ( )
cb xc b x c

 
 ÷
−
 
và nghịch biến trên
;
bc
b c
 
+∞
 ÷
−
 
,
mà
0,
bc
f
b c
 
=
 ÷
−
 
suy ra
( ) 0, ( ) ( ) .f a a c c a c c b c ab≤ ∀ > ⇒ − + − ≤
Cách 9. Dùng số phức
Xét các số phức
1 2
, .z c i a c z c i b c= + − = + −

9
Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ).
n n n n n
n n n
i i i i i i i i
i i i i i
c a c c b c a b
= = = = =
− + − ≤
∏ ∏ ∏ ∏ ∏
C. KẾT LUẬN
Bài viết này là một trong những kinh nghiệm được tôi đúc rút ra trong quá trình
học tập và giảng dạy với mọi đối tượng học sinh, từ học sinh yếu kém đến học
sinh khá giỏi. Bằng cách giảng dạy cho học sinh tập dượt phân tích bài toán để
tìm ra cách giải, tôi thấy học sinh phát huy được khả năng sáng tạo, tư duy logic,
tạo cho các em niềm say mê trong học tập và nghiên cứu khoa học. Với mong
muốn gốp phần làm cho sự nghiệp giáo dục ngày càng phát triển tôi viết bài này
để trao đổi kinh nghiệm giảng dạy cùng các đồng nghiệp. Bài viết có thể không
tránh khỏi thiếu sót, rất mong các thày cô cùng trao đổi, góp ý, để tôi có thể bổ
sung cho bài viết được hoàn thiện hơn.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của
người khác
Tôi xin chân thành cám ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2013

Nguyễn Văn Nhiệm