ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Phạm Ngọc Hưng
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẬN SAI SỐ CỦA CÁC HÀM
NỬA LIÊN TỤC DƯỚI
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
Mã số: 60 46 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ
Thái Nguyên - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học -
Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trương
Xuân Đức Hà. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô
giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS. Trương Xuân Đức
Hà, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình
nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các
thầy cô trong khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính
để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến
gia đình, BGH trường THPT Thị xã Mường Lay - Điện Biên và các bạn
trong lớp Cao học K4, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và làm luận văn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Mục lục
Mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5

lần đầu trong [10]. Bài toán được phát biểu như sau: Cho một hàm nửa
liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} xác định trên không gian metric đủ X,
chúng ta nói rằng f có một cận sai số toàn cục tại mức α nếu tồn tại số
thực dương τ thỏa mãn
τd(x, [f(x) ≤ α]) ≤ (f(x) − α)
+
, ∀x ∈ X,
trong đó [f ≤ α] := {x ∈ X : f(x) ≤ α}, d(x, [f ≤ α]) là khoảng cách từ
điểm x đến tập [f ≤ α], và t
+
= sup(t, 0).
Năm 1952, Hoffman đã đạt được các kết quả cho các hàm lồi đa
diện dạng f(x) = max
1≤j≤m
(a
T
j
x + b
j
), trong đó a
1
, · · · , a
m
∈ R
m
và
b
1
, · · · , b
m

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách tổng quan, có hệ
thống những khái niệm và các kết quả cơ bản, quan trọng về cận sai số
toàn cục đối với các hàm nửa liên tục dưới đã được đưa ra chủ yếu trong
[1],[2], [3]. Sau đó chúng tôi trình bày một số ứng dụng thể hiện mối liên
hệ giữa cận sai số và các vấn đề liên quan từ các bài báo [4],[5].
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về các hàm nửa liên tục dưới,
nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, một số khái niệm dưới vi phân
tổng quát của các hàm không lồi.
Chương 2: Trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số cho
một hàm nửa liên tục dưới và cho bài toán chứa tham số. Các điều kiện
này được thể hiện qua độ dốc mạnh, dưới vi phân của hàm lồi và dưới vi
phân tổng quát.
Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của cận sai số, đó là tìm điều
kiện đủ của tính chính quy metric và ứng dụng phân tích độ nhạy của bài
toán tối ưu tổng quát.
Do thời gian và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận
tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, năm 2012
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát những kiến thức về
hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, dưới vi
phân Fréchet, dưới vi phân xấp xỉ. Các kết quả chủ yếu được trích dẫn
trong [6], [7],[8], [9].
1.1 Hàm nửa liên tục

f(x
0
) ≥ lim sup
x→x
0
f(x),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
trong đó lim sup
x→x
0
f(x) = inf
η>0
sup{f(x)|x ∈ X, ||x − x
0
|| ≤ η}.
Ví dụ 1.1.3. 1) Hàm
f(x) =

1 nếu x < 0
−1 nếu x ≥ 0
là hàm nửa liên tục dưới trên R.
2) Cho Ω ⊂ X là tập đóng, khi đó hàm chỉ số của Ω
I
Ω
(x) =

0 nếu x ∈ Ω
+∞ nếu x = Ω
là nửa liên tục dưới trên Ω.

x
2
− 1)
2
, ∀x = (x
1
, x
2
) ∈ X. Khi đó, dễ thấy f là hàm liên tục và
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ X, nhưng f không đạt cực tiểu trên X.
Như vậy khi f bị chặn chúng ta có khái niệm cực tiểu xấp xỉ như sau:
với ε > 0 cho trước, một điểm x
ε
∈ X được gọi là ε - cực tiểu xấp xỉ của
f trên X thỏa mãn
inf
x∈X
f(x) ≤ f(x
ε
) ≤ inf
x∈X
f(x) + ε.
Năm 1974 [8], Ekeland đã chứng minh được trong không gian metric
đầy đủ, nếu x
ε
là ε - cực tiểu xấp xỉ của một hàm nửa liên tục dưới thì
chúng ta luôn tìm được một ε- cực tiểu xấp xỉ mới x
∗
tốt hơn và điểm này
là cực tiểu chính xác của hàm "nhiễu" của f.


).
(iii) f(x
∗
) < f(x) +


λ

d(x, x
∗
), ∀x ∈ X\{x
∗
}.
1.3 Giải tích lồi
1.3.1 Tập lồi
Trong mục này chúng ta luôn giả thiết (X, || · ||) là không gian tuyến
tính định chuẩn, X
∗
là không gian đối ngẫu của X. Với x
∗
∈ X
∗
, x ∈ X
ta kí hiệu < x
∗
, x >= x
∗
(x).
Định nghĩa 1.3.1. Cho C là một tập con của X. Khi đó, C được gọi là

, , x
n
), x
i
≥ 0, i = 1, 2, , n} (orthan dương).
2) M = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ |x|} .
Mệnh đề 1.3.5. Cho C là một tập lồi trong X, x
0
∈ C. Khi đó tập
N(x
0
, C) = {t ∈ X
∗
:< t, x − x
0
>≤ 0, ∀x ∈ C}
là một nón lồi.
Đặc biệt, nếu x
0
∈ intC thì N(x
0
, C) = {0}.
Định nghĩa 1.3.6. Tập N(x
0
, C) được xác định trong Mệnh đề 1.3.5 được
gọi là nón pháp tuyến của tập C.
1.3.2 Hàm lồi
Định nghĩa 1.3.7. Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là hàm lồi nếu với mọi
x
1

y∈C
< y, x > .
4) Hàm khoảng cách từ một điểm x ∈ X đến tập lồi C:
d(x, C) = inf
C
||x − y||.
Mệnh đề 1.3.10. Cho f : X → R ∪ {+∞}. Khi đó các khẳng định sau
là tương đương
(i) f là hàm lồi trên X.
(ii) Tập trên đồ thị epif = {(x, α) ∈ X × R : f(x) ≤ α} là tập lồi.
(iii) f(
m

k=1
λ
k
x
k
) ≤
m

k=1
λ
k
f(x
k
) với mọi x
k
∈ X,
m

∗
, x − x
0
>≤ f(x) − f(x
0
) với mọi x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x
0
được gọi là dưới vi phân của
f tại x
0
và được kí hiệu là ∂f(x
0
). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân
tại x
0
nếu ∂f(x
0
) = ∅.
Ví dụ 1.3.14. 1) Hàm afin f : R
n
→ R, xác định bởi f(x) =< c, x > +α,
với c, x ∈ R
n
, α ∈ R có dưới vi phân với mọi x ∈ R
n
và ∂f(x) = {c}.
2) Dưới vi phân của hàm chỉ số I

Định lý 1.3.15. Một hàm lồi chính thường f trên X có dưới vi phân khác
rỗng tại mỗi điểm x
0
∈ int(domf).
Định lý 1.3.16. Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi. Khi đó ta có các
khẳng định sau:
(i) x
∗
∈ ∂f(x
0
) ⇔ (x
∗
, −1) ∈ N
epif
(x
0
, f(x
0
).
(ii) ∂f(x
0
) là tập lồi đóng.
(iii) ∂f(x
0
) = {(Df(x
0
))
∗
} nếu f khả vi tại x
0

∗
(x). Chúng ta nhắc
lại một số khái niệm trong [7], [9], [16].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Định nghĩa 1.4.1. [9] Cho X là không gian Banach thực và f : X →
R ∪ {+∞} là hàm số. Với x ∈ domf ta gọi tập hợp sau:
∂
F
f(x) =

x
∗
∈ X
∗
: lim inf
u→x
f(u) − f(x)− < x
∗
, u − x >
||u − x||
≥ 0

(1.1)
là dưới vi phân Fréchet của hàm f tại x. Khi ∂
F
(x) = ∅ ta nói hàm f khả
dưới vi phân Fréchet tại x.
Ví dụ 1.4.2. 1) Cho hàm số f(x) = max{x, 0}, x ∈ R. Khi đó ∂
F

u
|u|
=
−x
∗
u
−u
= x
∗
.
Do đó với x
∗
< 0 hoặc x
∗
> 1 thì (1.2) không thỏa mãn. Vậy ∂
F
f(0) =
[0, 1].
2) Cho hàm f(x) = −|x|, x ∈ R. Khi đó ∂
F
f(0) = ∅. Thật vậy, Với
x
∗
∈ ∂
F
f(0) chúng ta có
lim inf
u→0
−|u| − ux
∗

trong đó (Df(x))
∗
là hàm liên hợp của Df(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Mệnh đề 1.4.5. Nếu f là hàm lồi thì dưới vi phân Fréchet của hàm f tại
điểm x
0
trùng với dưới vi phân theo nghĩa của giải tích lồi, tức là
∂
F
f(x
0
) = {x
∗
∈ X
∗
:< x
∗
, u − x
0
>≤ f(u) − f(x
0
), ∀u ∈ X}.
Định nghĩa 1.4.6. [9] Cho Ω là một tập con khác rỗng của X và x ∈ Ω.
Khi đó tập
N
F
(x, Ω) =


∗
2
) ∈ R × R : lim sup
(u
1
,u
2
)
Ω
−→(0,0)
x
∗
1
u
1
+ x
∗
2
u
2

u
2
1
+ u
2
2
≤ 0



∗
∈ N
F
(x, Ω).
Mệnh đề 1.4.10. Cho hàm số f : X → R ∪ {+∞} và tập trên đồ thị
epif = {(x, ν) ∈ X × R : f(x) ≤ ν}. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) x
∗
∈ ∂
F
f(x) ⇔ (x
∗
, −1) ∈ N
F
((x, f(x)), epif).
(ii) Nếu ν ≥ f(x) và (x
∗
, λ) ∈ N
F
(x, ν), epif) thì λ ≤ 0.
(iii) Nếu λ = 0 trong (ii) thì ν = f(x) và −x
∗
/λ ∈ ∂
F
f(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
Nhận xét 1.4.11. Xét hàm số f(x) = −|x|, theo Mệnh đề 1.4.9(i) nếu
x
∗

≥ −ε

.
N
ε
F
(x|Ω) =

x
∗
∈ X
∗
: lim sup
u
Ω
−→x
< x
∗
, u − x >
||u − x||
≤ ε

.
1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ
Định nghĩa 1.4.12. [3] Cho X là không gian Banach, f : X → R∪{+∞}
là hàm số. Khi đó hàm số xác định bởi công thức
f

(x, u) = lim
t0

lim sup
x
f
−→x
0
∂
−
f
x+L
(x)f(x) =

L∈F (X)
lim
ε0
x
f
−→x
0
sup∂
−
ε
f
x+L
(x)
được gọi là dưới vi phân xấp xỉ của hàm f tại x. Trong đó
lim sup
x
f
−→x
0

0
}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
Ví dụ 1.4.14. Cho hàm số f(x) = −|x|, x ∈ R. Khi đó ∂
A
f(0) = {−1; 1}.
Định nghĩa 1.4.15. Cho C là tập con đóng của X và x
0
∈ C. Chúng ta
gọi một A - nón pháp tuyến tại x
0
được định nghĩa bởi
N
A
(x
0
, C) := R
+
∂
A
d(x
0
, C).
Định lý 1.4.16. [3] Cho f : X → R là hàm số thỏa mãn điều kiện
Lipschitz tại ¯x với hàm số Lipschitz k
f
. Khi đó các khẳng định sau là
tương đương
(i) x

→ 0
+
thỏa mãn:
||x
∗
i
|| ≤ (k
f
+ 1)(1 + ε
i
).
f(x)−f(x
i
)− < x
∗
i
, x−x
i
> +ε
i
||x−x
i
|| ≥ 0, ∀x ∈ B(x
i
, r
i
)∩(L+x
i
).
1.4.3 Dưới vi phân tổng quát

3
) Nếu x ∈ domf là cực tiểu địa phương của f + g thì ∀ε > 0 tồn
tại x, y ∈ X, x
∗
∈ ∂f(x), y
∗
∈ ∂g(y) thỏa mãn:
||x − x|| ≤ ε, ||y − x|| ≤ ε, f(x) ≤ f(x) + ε, ||x
∗
+ y
∗
||
∗
≤ ε.
Ví dụ 1.4.19. Các dưới vi phân sau đều thỏa mãn các điều kiện (P
1
)−(P
3
)
1) Dưới vi phân Clarke - Rockafellar[16] ∂
C
f(x) tại x ∈ domf của hàm
nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞}
∂
C
f(x) = {x
∗
∈ X
∗
| < x

tại x ∈ domf, X là không gian hữu hạn
chiều
∂
−
f(x) = {x
∗
∈ X
∗
| < x
∗
, u >≤ f

(x, u), ∀u ∈ X},
trong đó
f

(x, u) = lim
t0
v→u
inf
f(x + tv) − f(x)
t
.
3) Dưới vi phân Fréchet trên không gian Asplund trong Định nghĩa 1.4.1
và dưới vi phân xấp xỉ trong Định nghĩa 1.4.12.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
Chương 2
Điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai
số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
được gọi là các tập mức đóng, mở của f.
Cho α, β ∈ R, α < β chúng ta đặt [α < f < β] := [f < β]\[f ≤ α]
được gọi là "lát" giữa mức α và β. Nếu β = +∞ ta viết
[f > α] := [α < f < +∞].
Định nghĩa 2.1.1. Cho X là không gian metric, f : X → R ∪ {+∞} là
hàm nửa liên tục dưới, α ∈ R và β ∈ R ∪ {+∞} với α < β. Ta nói rằng
f có một cận sai số toàn cục giữa mức α và β nếu tồn tại một số dương σ
thỏa mãn
f(x) − α ≥ σd(x, [f ≤ α]), với f(x) ∈ (α, β).
Chúng ta thấy rằng nếu bất đẳng thức trong Định nghĩa 2.1.1 thỏa mãn
với số σ > 0 thì nó cũng thỏa mãn với các số σ nhỏ hơn. Do đó trong Định
nghĩa 2.1.1 chúng ta sẽ quan tâm tới supremum của các số σ.
Định nghĩa 2.1.2. Cho X là không gian metric và f : R → R ∪ {+∞}
là hàm nửa liên tục dưới với α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞} với α < β. Ta gọi
σ
α,β
(f) là supremum của những số σ ∈ [0, +∞) thỏa mãn
f(x) − α ≥ σd(x, [f ≤ α]), với mọi x ∈ [α < f < β].
và do đó
σ
α β
(f) = inf
x∈[α<f<β]
f(x) − α
d(x, [f ≤ α]
. (2.1)
với quy ước
σ

Với x /∈ domf đặt |∇f|(x) := +∞.
Ta gọi số thực mở rộng không âm |∇f|(x) là độ dốc mạnh của f tại x.
Ví dụ 2.1.4. Cho hàm số f : R → R xác định bởi công thức
f(x) =

x nếu x < 0
x
2
nếu x ≥ 0.
Khi đó |∇f|(0) = 1.
Thật vậy, hàm f không đạt cực tiểu tại x = 0. Ta có
|∇f|(0) = lim sup
y→0
−f(y)
|y|
. (2.2)
Xét các trường hợp sau:
Nếu y < 0 ta có
−f(y)
|y|
=
−y
−y
= 1.
Nếu y > 0 ta có
−f(y)
|y|
=
−y
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Mặt khác, do M là tập lồi nên ta chọn y
n
= λ
n
z + (1 − λ
n
)x ∈ M, λ
n
∈
(0, 1], λ
n
→ 0. Ta có
lim
y
n
→x
||x − z|| − ||y
n
− z||
||x − y
n
||
= lim
λ
n
→0
||x − z|| − ||λ
n

(f). (2.4)
Chứng minh. Ta có thể giả sử inf
U∩[α<f<β]
|∇f| < +∞ nên U ∩ [α < f <
β] = ∅ và vế phải của bất đẳng thức là dương nên [f ≤ α] = ∅.
Cho σ > 0 thỏa mãn
inf
U∩[α<f<β]
f(x) − γ
d(x, [x, [f ≤ γ])
> σ, với mọi γ ∈ (α, β),
với x ∈ U ∩ [α < f < β] và đặt γ
n
:= f(x) −
1
n
với n ∈ N đủ lớn sao cho
γ
n
≥ α. Khi đó tồn tại x
n
∈ [f ≤ γ
n
] thỏa mãn
f(x) − γ
n
≥ σd(x, x
n
).
Do đó ta có

)
≥ σ.
Suy ra
|∇f|(x) = lim sup
x
n
→x
f(x) − f(x
n
)
d(x, x
n
)
≥ σ.
Từ định nghĩa của infimum chúng ta suy ra kết luận của mệnh đề.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
Trong trường hợp X là không gian metric đầy đủ, sử dụng nguyên lý
biến phân Ekeland[8] chúng ta thu được mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.7. Cho X là không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪
{+∞} là hàm nửa liên tục dưới, với x ∈ X, σ > 0, r > 0 thỏa mãn
f(x) < inf
B
r
(x)
f + σr.
Khi đó, tồn tại x ∈ B
r
(x) thỏa mãn |∇f|(x) < σ và f(x) ≤ f(x).
Chứng minh. Lấy 0 < σ

d(x, y), ∀y ∈ B
r
(x)\{x}.
Suy ra
f(x) − f(y)
d(x, y)
< σ

, ∀y ∈ B
r
(x)\{¯x}.
Do đó
lim sup
y→x
f(x) − f(y)
d(x, y)
≤ σ

.
Vậy |∇f|(x) = |∇f|
B
r
(x)
(x) ≤ σ

< σ.
Nhận xét 2.1.8. Nếu [f ≤ α] = ∅ và [α < f < β] = ∅ thì inf
[α<f<β]
|∇f| =
0, hay nói cách khác nếu 0 < inf

|∇f| ≥ σ.
Khi đó [f ≤ α] = ∅ và
τd(x, [f ≤ α]) ≤ (f(x) − α)
+
, ∀x ∈ U ∩ [f < α + τρ].
Chứng minh. Giả sử ngược lại [f ≤ α] = ∅, tức là f(x) > α, ∀x ∈ X. Lấy
x ∈ U ∩ [α < f < α + σρ] ta có
f(x) < α + σρ ≤ inf
X
+σρ.
Áp dụng Mệnh đề 2.1.7 ta tìm được x ∈ B
ρ
(x) ⊂ B
ρ
(U) và thỏa mãn
α < f(x) ≤ f(x) < α + σρ và |∇f|(x) < σ.
Suy ra x ∈ B
ρ
(U) ∩[α < f < α +σρ] và |∇f|(x) < σ. Điều mâu thuẫn
giả thiết.
Định lý 2.1.10. Cho X là không gian metric đầy đủ, f : X → R ∪{+∞}
là hàm nửa liên tục dưới, α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞}với α < β. Khi đó
inf
[α<f<β]
|∇f| = inf
α≤γ<β
σ
γ,β
(f) = inf
α≤γ<β

(x)
+σr.
Theo Mệnh đề 2.1.7 tồn tại x ∈ B
r
(x) thỏa mãn g(x) ≤ g(x) và
|∇g|(x) < σ. Theo định nghĩa của r và do d(x, x) < r = d(x, [f ≤ γ]) suy
ra f(x) > γ và
f(x) = g(x) + γ ≤ g(x) + γ = f(x) < β.
Do đó x ∈ [γ < f < β]. Theo định nghĩa của độ dốc mạnh ta có
|∇f|(x) = |∇g|(x) < σ.
Suy ra
inf
[γ<f <β]
|∇f| < σ.
Theo định nghĩa của số σ
γ,β
(f) ta có inf
[γ<f <β]
|∇f| ≤ σ
γ,β
(f).
Vậy inf
[α<f<β]
|∇f| ≤ inf
[γ<f <β]
|∇f| ≤ σ
γ,β
(f).
Nhận xét 2.1.11. a) Định lý 2.1.10 cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn
tại của cận sai số toàn cục của hàm nửa liên tục f giữa mức γ và β với

, x >= x
∗
(x).
Mệnh đề 2.1.12. Cho X là không gian Banach, f : X → R ∪ {+∞} là
hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới, với x ∈ X không phải cực tiểu
của f. Khi đó
|∇f|(x) = sup
f(z)<f (x)
f(x) − f(z)
||x − z||
= sup
f(z)<f (x)
−f

(x, z − x)
||x − z||
= d
∗
(0, ∂f(x)).
Chứng minh. Nếu x /∈ domf ta có ngay điều phải chứng minh vì khi đó
cả hai vế cùng bằng +∞.
Gỉa sử x ∈ domf và x không phải cực tiểu của f. Với mọi z ∈ X thỏa
mãn f(z) < f(x), với mọi λ ∈ (0, 1] ta có
f(x + λ(z − x)) = f((1 − λ)x + λz) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(z)
⇔ λ(f(x) − f(z)) ≤ f(x) − f(x + λ(z − x)).
Do đó
f(x) − f(z)
||x − z||
≤
f(x) − f(x + λ(z − x)

f(z)<f (x)
f(x) − f(z)
||x − z||
≤ sup
f(z)<f (x)
−f

(x, x − z)
||x − z||
≤ d
∗
(0, ∂f(x)).
Mặt khác, do x không phải là cực tiểu của hàm f nên tồn tại σ sao cho
0 < σ < d
∗
(0, ∂f(x)). Suy ra x cũng không là cực tiểu của hàm lồi z →
f(z) + σ||x − z||. Do đó tồn tại z ∈ X thỏa mãn f(z) + σ||x − z|| < f(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn