Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
==========
TRẦN THỊ HUỆ

HÀM LỒI VÀ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ
CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
a, b ∈ R
n
a, b ∈ R
n

j=1
λ
j
= 1.
∀k ∈ N, ∀λ
1
, , λ
k
> 0 :
k

j=1
λ
j
= 1, ∀x
1
, , x
k
∈ C ⇒
k

j=1
λ
j
x
j
∈ C.
C ⊆ R
n
R

x = α

.
a ∈ R
n
α ∈ R
α
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

x ∈ R
n
| a
T
x ≥ α

a = 0 α ∈ R

x|a
T
x > α

x
1
, x
2
, , x
k
x =
k


2
, , x
k
∈ C,
k

j=1
λ
j
= 1, ∀k ∈ N

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
x
0
, x
1
, , x
k
A ∈ R
n
dimA ≤ n
∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C.
C ⊆ R
n
x ∈ C
N
C
(x) = {ω|ω, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} .
N

n
a ∈ C
C U ⊆ C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
C intC
intC = {x|∃r > 0 : x + rB ⊂ C} ,
a C a
C C
C C
C
C C
C C
R
n
C
R
n
affC
a ∈ C
C C
C
riC = {a ∈ C|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
riC = {a ∈ affC|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C} .
C C C \riC
C C
C = riC
C riC = intC
R
3


x ∈ R
3
| − 1 < x
1
< 1, −1 < x
2
< 1, x
3
= 0

= ∅
C ⊆ R
n
C ⊆ R
n
x ∈ riC
y ∈ C
riC 0 ≤ λ < 1 (1 − λ)riC + λC ⊂
riC
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
D =

x ∈ R
n
|a
j
, x ≤ b
j
, j = 1, , m

j=1
x
j
≤ 1

x
j
R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
F ⊆ C
C F
∀x, y ∈ C : tx + (1 − λ)y ∈ F, ∃0 < t < 1 ⇒ [x, y] ⊂ F.
C F
(x, y) F [x, y]
F C F = ∅, F = C
x
0
∈ C
x, y ∈ C
x
0
= λx + (1 − λ)y, 0 < λ < 1.
C C
C V (C)
C
C =

(x, y, z) ∈ R
3

x
0
= α, a
T
x ≥ α, ∀x ∈ C.
C x
0
∈ C x
0
C a
T
x ≥ α
C x
0
C
i
⊆ R
m
(i = 1, , k)
C = C
1
× × C
k
F = F
1
× × F
k
F
i
C

x < α < inf
y∈D
a
T
y.
R
n
C ∩ D = ∅
C ⊂ R
n
x
0
∈ C t ∈ R
n
, t = ∅
t, x ≥ t, x
0
, ∀x ∈ C.
C ∩ D = ∅
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
C ⊂ R
n
0 ∈ C t ∈ R
n
, t = 0 α > 0
t, x ≥ α > 0, ∀x ∈ C.
m × n
a ∈ R
n
Ax ≥ 0, a

domf = {x ∈ R
n
|f(x) < +∞} ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
epif = {(x, µ) ∈ R
n
× R|f(x) ≤ µ} .
∅ = C ⊆ R
n
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}
f epif R
n+1
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
f [λx + (1 − λ)y] < λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
η > 0 ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) :
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) −
1
2
ηλ(1 − λ)  x − y 
2
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
∀x, y ∈ R
n
, ∀λ ∈ (0, 1)
−f [λx + (1 − λ)y] = −a
T
(λx + (1 − λ)y) − α
= −λa
T
x − λα − (1 − λ)a
T
y − (1 − λ)α
≤ −λf(x) − (1 − λ)f(y)
≤ λ(−f)(x) + (1 − λ)(−f)(y).
−f R
n
f R
n
C = ∅
f(x) =



0 x ∈ C
+∞ x ∈ C
δ
C
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) δ
C
(x) = 0, δ

(y) = +∞, δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ +∞.
δ
C
[λx + (1 − λ)y] ≤ λδ
C
+ (1 − λ)δ
C
(y).
δ
C
R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞} C
∀x, y ∈, ∀α > f(x), ∀β > f(y), ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα+(1−λ)β.
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
C ∈ R
n
η η
f ∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ C
f [(1 − λ)x + λy] ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) −
1
2
ηλ(1 − λ)  x − y 
2
.

f
f R
n
domf domf
R
n
epif
domf = {x|∃µ ∈ R : (x, µ) ∈ epif} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
f R
n
L
f
(α) = {x|f(x) ≤ α} , l
f
(α) = {x|f(x) < α} .
α ∈ R ∪ {−∞, +∞}
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}
R
n
f (λx) = λf(x), ∀x ∈ R
n
, ∀λ > 0.
f : C −→ R ∪ {−∞, +∞}
f (x + y) ≤ f(x) + f(y), ∀x, y.
f(x) = x , x ∈ R
n
∀x ∈ R
n
, λ > 0

f
f g R
n
g
f epig = epif.
f epif = epif f
f.
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
epif R
n+1
f = f.
α L
α
(f) = {x|f(x) ≤ α}
f R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
f R
n
f x ∈ ri(domf)
f : R
n
→ R
x x
 f(x) − f(y) ≤ L  x − y , ∀x, y ∈ U.
f
f R
n