TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
1

-

Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức)
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012: Giải hệ phương trình sau
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
+ − =


− + + − − =

trong đó
(
)
,x y∈
ℝ

Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với

Do
đ
ó ta có các nghi
ệ
m
( ) ( )
1 5 1 5
; ; 5 , ; ; 5
2 2
x y x y
   
− + − −
= = −
   
   
   

V
ớ
i
2 2
0 .
x y y x
− = ⇔ =
Thay vào ph
ươ
ng trình (1) c
ủ
a h
ệ

ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
;
x y

đ
ã cho

là
1 5 1 5
; 5 , ; 5
2 2
   
− + − −
−
   
   
   
và
(
)
1;1


+ − + =


trong đó
(
)
,x y∈
ℝ

Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
( )
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 1
1
2
2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =



y y
 
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
 
 
⇔
 
 
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
 
 

Xét hàm số
(
)
3
12
f t t t
= −
trên
3 3
;
2 2
 
−
 
 
;
(
)

2
1
1 3
2
1 4 8 3 0
3
2 2
2
x
x x x x
x

=

   
− + − = ⇔ − + = ⇔

   
   

=



Thay vào ph
ươ
ng trình (3), ta
đượ
c nghi
ệ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
2

-

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2011: Giải hệ phương trình sau
(
)
( )
( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y

− + − + =


+ + = +

xy x y x y

− + − + =


+ + = +



T
ừ
ph
ươ
ng trình (2) t
ươ
ng
đươ
ng
( )
( )
2 2
2 2
1
1 2 0
2
xy
xy x y
x y
=



+
2 2
2
x y
+ =
, từ phương trình (1) suy ra
(
)
(
)
( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
3 4 2 2 0
6 4 2 2 0
1
1 2 0
2
y x y xy x y x y
y xy x y x y
xy
xy y x
x y
+ − + − + =
⇔ − + − + =
=

⇔ − − = ⇔

 
 
 

V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho cho 4 nghi
ệ
m
( ) ( )
2 10 10
1;1 , 1; 1 , ;
5 5
 
− −
 
 
 

2 10 10
;
5 5
 
− −

1 2
x y x xy m
x x y m

− + + =


+ − = −


trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Đặ
t
2
1
, ; 2

⇔
 
+ = −
= − −




H
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
1
4
u
≥ −

V
ớ

V
ớ
i
1
4
u
≥ −
, ta có
( )
( )
( )
2
2
2 2 1 1 3
' ; ' 0
2
2 1
u u
f u f u u
u
+ − − +
= − = ⇔ =
+
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
+ ≥
, đặt
2 , 0
t x y t
= + ≥
.
Phương trình (1) trở thành :
( )
2
1
2 3 0
3
t
t t
t loai
=

+ − = ⇔

= −


V
ớ
i t =1, ta có
1 2
y x
= −
. Thay vào (2) ta
đượ

ta
đượ
c
7
y
=

V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
(
)
;
x y
là
(
)
1; 1
−
và
(
)
3;7
−



− − =


trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Điều kiện
(
)
2; 0 1
x y> >

Từ hệ phương trình đã cho ta có :
2 2
0
2




Đối chiếu nghiệm của hệ phương trình với điều kiện ta thấy nghiệm của hệ là
(
)
(
)
; 3;1
x y =

Trích t
ừ

đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2010: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau

Điều kiện
1
3
y
>
, phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta
3 1 2
x
y
− =

Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với
( )
2
2
2
1
1
2
3 1 2
3 1 2
2
1
1
6 3 0
3 1 3 1 3
2
2
x
x




Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
1
; 1;
2
x y
 
= −
 
 

Trích t
ừ

đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2010: Gi
ả
i h
ệ

ẫ
n gi
ả
i

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
4

-

Điều kiện:
3 5
;
4 2
x y
≤ ≤
. Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương đương với
(
)
(
)
(
)
2

2
0
1 2 5 2
5 4
2
x
x y
x
y
≥


⇔ = − ⇔

−
=



The vào phương trình thứ hai của hệ phương trình , ta được
( )
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7 0 3
2
x x x
 
+ − + − − =
 

 

( )
( )
2 2
5 4 4
' 8 8 2 4 4 3 0
2
3 4 3 4
g x x x x x x
x x
 
= − − − = − − ≤
 
− −
 
Suy ra
(
)
g x
là hàm số nghịch biến.
Mặt khác
1
0
2
g
 
=
 
 

c kh
ố
i D-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau

(
)
( )
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
+ + − =



+ − + =


trong
đ

1 0 2 0
1 1 0
2
3
1
2
2
x
x
x y
x y y
x y x y
x
x x
x
x y
x
x x x
x x
y
x y


=



=





 


 

 
 

= −








+ =




Vậy
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
(
)
;
x y

ươ
ng trình sau
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =


+ + =

trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Hệ phương trình đã cho tương đương với
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932

13 1
3
x
x
y
I
x
x
x
x x
y y
x y
y y
y y
x
x x
x
x
x x
y y
y
II
y y y y
x y


+ = −


 


  


   
 


=




+ Hệ phương trình (I) vô nghiệm
+ Hệ phương trình (II) có nghiệm
( )
1
; 1;
3
x y
 
=
 
 
và
(
)
(
)
; 3;1

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Điều kiện:
(
)
0 *
xy >
, hệ phương trình đã cho tương đương với
2 2
2
2 2
2
2
4
4
x y
x y xy x y
y
y
x xy y
=

+ = =




ọ
c kh
ố
i A-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
( )
2 3 2
4 2
5
4
,
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y
x y xy x

+ + + + = −


∈



 
 
⇔
 
 
+ + + = − + + = −
 
 

Đặt
2
u x y
v xy

= +

=

. Hệ phương trình (*) trở thành
2
2 3 2
5 5 5
0,
4 4 4
5 1 3
0 ,
4 4 2 2
u v uv v u u v
u
u v u u u v

và
3
1;
2
 
−
 
 

Trích t
ừ

đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
4 3 2 2
2

-
Trang
6

-

(
)
( )
2
2
2
2
3
2 4 3 2
2
2 9
0
3 3 2 9 12 48 64 0 4 0
4
2
3 3
2
x xy x
x
x
x x x x x x x x x

17
; 4;
4
x y
 
= −
 
 

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2008: Giải hệ phương trình sau
( )
2 2
2
,
2 1 2 2
xy x y x y
x y
x y y x x y

+ + = −

∈

− − = −


ℝ

Hướng dẫn giải
Điều kiện:

(
)
1 2 1 3
y⇔ +

Thay (3) vào(2) ta được
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1 2 1 0 5
y y y y do y x
+ = + ⇔ = + > ⇒ =

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 5;2
x y =Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2007:
Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm thực

3 3
3 3

ả
i
Đặt
( )
1
2, 2
1
u x
x
u v
v y
y

= +


≥ ≥


= +


. Hệ phương trình đã cho tương đương với
( )
3 3
5
5
8
3 15 10
u v

(
)
2
5 8
f t t t
= − +
với
2
t
≥
.
Bảng biến thiên của hàm số
(
)
f tTT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
7

-

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để hệ phương trình có nghiệm thì
22

ℝ

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Điều kiện: : x, y>-1. Hệ phương trình đã cho đường thẳng với
(
)
(
)
(
)
( )
ln 1 ln 1 0 1
2
x a x
e e x a x
y x a
+

− + + − + + =


= +



)
1
lim ; lim
x
x
f x f x
+
→+∝
→−
= − ∝ = + ∝

Nên phương trình
(
)
0
f x
=
có nghiệm trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
.
Mặt khác
( )
( )
( )( )
1 1
' 1 0, 1.
1 1 1 1

đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2006: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
3
,
1 1 4
x y xy
x y
x y

+ − =

∈

+ + + =


x y xy x y+ + + + + + =

Thay
2
, 3
xy t x y t
= + =
vào phương trình (2) ta được
( )
( )
2 2
2
2
2
0 11
0 11
3 2 2 3 1 16 2 4 11 3
4 4 11
3 26 105 0
t
t
t t t t t t t
t t t
t t
≤ ≤

≤ ≤


+ + + + + + = ⇔ + + = − ⇔ ⇔ ⇔ =


đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2005: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y

− + − =


− =


− =


; Điều kiện:
1
0 2
x
y
≥


< ≤


Từ phương trình (2) của hệ suy ra
(
)
3 3 3 3
3 1 log 3log 3 log log
x y x y x y
+ − = ⇔ = ⇔ =

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
8

)
(
)
; 2;2
x y =

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2004: Giải hệ phương trình sau

1
1 3
x y
x x y y m

+ =


+ = −


trong đó
(
)
,x y∈
ℝ

Hướng dẫn giải
Đặt
u x
v y


⇔
 
=
+ = −



Vậy u, v là hai nghiệm của phương trình
(
)
2
0 **
t t m− + =

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm sao cho
0
0
u
v
≥


≥

. Điều này
tương đương phương trình (**) có nghiệm t không âm
1 4 0
1
1 0 0
4

+ =

trong đó
(
)
,x y∈
ℝ

Hướng dẫn giải

Điều kiện: y > x và y > 0
( ) ( )
1 4 4 4 4
4
1 1 3
log log 1 log log 1 log 1
4
y x y
y x y x x
y y y
−
− − = ⇔ − − − = ⇔ − = ⇔ =

Thay vào phương trình
2 2
25
x y
+ =
ta có
2

2
2
2
3
,
2
3
y
y
x
x y
x
x
y

+
=


∈

+

=


ℝ
trong
đ
ó

)
(
)
2 2
2 2
2 2
3 0
3 2
3 2
3 2
x y xy x y
x y y
xy x
xy x
 − + + =

= +
 
⇔
 
= +
= +





Trường hợp 1:
2 2
1

1
x y
= =

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2003: Giải hệ phương trình sau
( )
3
1 1
,
2 1
x y
x y
x y
y x

− = −

∈


= +

ℝ

Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
xy
≠


x y
x y x y
x y
x x x
y x x x
x y


= =

=

= =
 
− +


⇔ ⇔ ⇔ = =
  

− + − =
= + = +
 



− −

= =



= −
=

 
⇔ ⇔
  
= +

 
+ + =
− = +




Phương trình (4) của hệ vô nghiệm vì
2 2
4 2
1 1 3
2 0;
2 2 2
x x x x x
   
+ + = − + + + > ∀
   
   

Vậy hệ phương trình có nghiệm
(

2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

 +
trong đó
(
)
,x y∈
ℝ

Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
3 2
3 2
2 0
2 5 4 2 0
0

=



TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
10

-

So sánh điều kiện ta thấy hệ phương trình có nghiệm
(
)
;
x y
là
(
)
0;1
và
(
)
2;4

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2002: Giải hệ phương trình sau



+ = + +


Điều kiện:
( )
0
3
0
x y
x y
− ≥


+ ≥


Từ phương trình (1) tương đương
( )
3 6
1 0
1
x y
x y x y
x y
=

− − − = ⇔


)
1;1
và
3 1
;
2 2
 
 
 
Lời kết:
+ Qua 10 năm thực hiện đề thi chung của bộ giáo dục, chúng tôi đã biên soạn và giới thiệu
đến cộng đồng một hệ thống những chuyên đề luyện thi tuyển sinh đại học của từng năm.
+Tài liệu được sưu tập và biên soạn lại bởi thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn kết hợp với trung
tâm giáo viên Quốc Tuấn địa chỉ 157 Đặng Văn Ngữ - Thành phố Huế -Điện thoại:
0905671232-0989824932. Là nơi quy tụ những giáo viên giảng dạy và luyện thi đạy học có
uy tín trên địa bàn thành phố Huế. Luôn có những chính sách và những phương pháp giảng
dạy cũng như tính cập nhật hàng đầu. Luôn mở các lớp, các nhóm dạy học chất lượng cao
với chi phí rẽ. Đặc biệt hưởng lợi được từ hàng ngàn tài liệu trên Xuctu.com và hàng trăm
Video Tutorial bài giảng được cấp phát miễn phí cho học viên tại trung tâm cũng như cộng
đồng học sinh.
+ Đặc biệt trong năm học 2013-2014, trung tâm mở ra chương trình khuyến học như sau:
- Miễn phí đến học một tuần để khẳng định chất lượng
- Giảm ngay 20% học phí tháng đầu tiên khi đến học
- Tặng ngay 20% học phí tháng đầu tiên khi các học viên khác giới thiệu 1 học viên
đến học
- Được sự giảng dạy trực tiếp của thầy cô giáo đầy kinh nghiệm luyện thi
- Phòng học thoáng mát, yên tỉnh tuyệt đối.