Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:

.
y
x
o
180
O
bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=

33
2. Radian: (rad)

ra
d

0
180
π
=
3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:
x
y
B
α
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,
2
2
- D
2k

• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1
=
R
1
−
1
−
'x
'u
u
t
't
'y
• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )

cot
OP
OQ
A
T
gB
U
α
α
α
α
=
=
=
=t
't
t
y

b. Các tính chất :

• Với mọi
α
ta có :

1 sin 1 hay sin 1
αα

cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
gk g
α
πα
α
πα
α
πα
α
πα
+=
+=
+=
+=

)( Zk
∈

'u
x
u
'y
t
1−
Q

u
u'
-3
-1
-3
/
3
1
1
-1
-1
-
π
/
2
π
5
π
/6
3
π
/
4
2
π
/3
-
π
/
6

2
/
2
1/2
A
π
/3
π
/
4
π
/6
3
/
3
3
B
π
/
2
3
/
3
1
3
O

+
−


4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

π

π
2

sin
α
0
2

1
−

2
2
−
2
3
−

-1 1
tg
α
0
3
3

1
3
kxđ
3−
-1
3
3
−

0 0
cotg
α
kxđ

2.
Cung bù nhau :
va
ø
-
α
πα
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
π
π
,…)

3.
Cung phụ nhau :
và
2
π
α
α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:

: và
α
πα
+
(Vd:
6
7
&
6
π
π
,…)

1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
α
α
α
α
αα
α
α
−=

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α
α
π
α
α
π
α
α
π
α
α
−=
−=
−=
−=


: cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
π
αα
π
αα
πα α
π
αα
+=−
+=−
+=
+=

tang , cotang
Hơn kém
π
Hơn kém
2
π

sin bằng cos
cos bằng trừ sin

1 tg =
cos
1
1

cotg =
sin
tg . cotg = 1
α
α
α
α
αα
+
+
22
cos sin 1
sin
tg =
cos
cos
cotg =
sin
αα
α
α
α
α
α
α

βαβαβ
α
βαβαβ
α
βαββα
α
βαββα
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+= −
−= +
+= +
−= −
−
−
−
+

Ví dụ: Chứng minh rằng:

π
αα α
π

2
2
44
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
cos sin
sin2 2sin .cos
2
2
1
tg
tg
tg

2
2cos1
cos
2
α
+
=
α
2
2cos1
sin
2
α
α

α
α
α
α
2cos1
2cos1
;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+
−
=
−
=
+
= tg 6.Công thức tính sin ,cos ,tg
α
αα
theo
2
ttg
α

ααα 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : []
[]
[]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α
βαβαβ
α
βαβαβ
αβ αβ αβ
=++−
=−−+
=++− Ví dụ:
1. Biến đổi thành tổng biểu thức:

α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
+
−
+=
+
−
−=−
+−
+=
+−
−=
+
+=

9. Các công thức thường dùng khác: cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44
π
π
αα α α
π
π
αα α α
+= −= +
−= +=− −

8
4cos35
sincos
4
4cos3
sincos
66
44
α
αα
α
αα
+
=+

ππ
⎡
⇔
⎢
⎣
⎡
⇔
⎢
⎣
⇔≠

+
⇔≠

39

( u; v là các biểu thức chứa ẩn và
Zk
∈
)

Ví dụ : Giải phương trình:
1.
sin3 sin( 2 )
4
x
x
π
=−
2.

1m >
thì pt(1) vô nghiệm
•
Nếu
1m ≤
thì ta đặt m = sin
α
và ta có

x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
απ
α
π
απ
⎡
⇔⇔
⎢
⎣* Gpt : cosx = m (2)

•
Nếu
1m >
thì pt(2) vô nghiệm
•
Nếu

(3) tgx = tg x = +k
γ
γπ
⇔⇔* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm
Rm
∈
∀
)

•
Đặt m = cotg
δ
thì

(4) cotgx = cotg x = +k
δ
δπ
⇔⇔Các trường hợp đặc biệt: sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2


1) Giải các phương trình :

a)
=
1
sin2
2
x
b)
2
cos( )
42
x
π
−=−

c)
03)
6
2sin(2 =+−
π
x
d)
03)
3
cos(2 =−+
π
x


4)
2
.1(sincot =++
x
tgtgxxgx40
2. Dạng 2:

2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
axbxc
axbxc
atg x btgx c
agxbgxc
++=
++=
++=
+
+=
(
0a
≠

2
2sin 4 5cos
x
x=+
d)
2cos cos2 1 cos2 cos3
x
xx=+ + x e)
44
1
sin cos sin2
2
xxx+=−
f)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+ xxx
π

g)
44
sin cos 1 2sin
22
x
x

3. Dạng 3:

cos sin (1) ( a;b 0)axbxc+= ≠
Cách giải:

• Chia hai vế của phương trình cho
22
ab
+
thì pt

22 22 22
(1) cos sin
ab
xx
ab ab ab
⇔+=
++
c
+
(2)

•
Đặt
22 22
b
cos và sin
a
a
ab b

Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x. Chú ý :

222
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a bc
⇔
+≥42
Ví dụ : Giải các phương trình :
a)
+=−3sin 1xxcos b) 2sin3cos =+ xx
c)
44
4(
d)
sin cos ) 3sin4 2xx x++ =
x
tgx

cos
1
3
=−

p dụng công thức hạ bậc :
và công thức nhân đôi :
1
sin .cos sin2
2
xx=
thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
x

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho ta được pt:
2
cos
x

2
0atg x btgx c++=
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem
x
2
k
π
=
+π
có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:


0
2
t
at b c
−
++
=
(2)
•
Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt:
2cos( )
4
x
t
π
−=
tìm x. Ví dụ : Giải phương trình :

sin2 2 2(sin cos ) 5 0xxx−+−=Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng :
(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc
−
++=
⎡
=⇔
⎢
⎣
A=0
0 B=0
C=0
ABC
⎡
⎢
=⇔
⎢
⎢
⎣

Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
si
b.
22 2
n sin 2 sin 3 2xxx++=
2222
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x
xx−=−x
in cos2 cos 0xxx
+−=

c.
2s

xx
x
−+=

d.
22cossin
24
=+ xx
* Phương trình có chứa
(cos sin ) và sinx.cosx
x
x
±

Ví dụ : Giải phương trình : a.
++ =
33
3
1

sin cos sin2x
2
xx
b.
1)cos(sin2cossin
33
−+=+ xxxx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau

cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos
222
π
π
π
π
=−++++ xxx

4)
)
4
(sin2
2sin1
2sin
2
sin
2
cos
2
44
π
+
+
=

sin .cos4 sin 2 4sin ( )
42 2
x
xx x
π
−= −−
9.
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
xx
x
xx
−
=+
+

3.
9sin 6cos 3sin2 cos2 8
x
xxx+− +=
10.
1
2cos.s
3
tg x tgx x x
−=
in3


−
+=
12.
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
12
x
gx x x
tgx
−= + −
+

6.
3(
13.
2sin)6costgx tgx x x−++ 0=
2
cot 4sin2
sin2
gx tgx x
x
−+ =

7. 14.
2
cos2 cos .(2 1) 2xxtgx+−=
2
cos cos sin .(1 . )
2

cot(
2
1
1cossin44
có nghiệm
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
2
;0
π
x

Bài 3: Cho hàm số:
1)cos
cos
2
()cos
cos
4
(2
2
2

Bài 6: Cho phương trình :
mxxx
=
−
− )sin(cos42sin
(1)
Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 7: Tìm m để phương trình :
44 662
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m
+
−+−=
có nghiệm.
Bài 8: Cho phương trình
cos4 6sin cos 0
x
xxm+−=

Đònh m để phương trình có nghiệm
0;
4
x
π
⎡
⎤
∈
⎢
⎥
⎣
⎦

sincos
sincos

Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 11: Cho phương trình:
mxx =−+
44
)1(sinsin
Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 12: Tìm m để phương trình : có nghiệm
2
22sin2xm(1cosx)+=+
x[ ;]
22
ππ
∈− Hết 45