Lượng giác Trần Sĩ Tùng
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho
OA OM( , )
α
=
. Giả sử
M x y( ; )
.
( )
x OH
y OK
AT k
BS k
cos
sin
sin
tan
cos 2
cos
cot
sin
α
α
α π
α α π
α
α
α α π
α


kcos( 2 ) cos
α π α
+ =

kcot( ) cot
α π α
+ =
2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
Giá trị lượng giác
I II III IV
cosα
+ – – +
sinα
+ + – –
tanα
+ – + –
cotα
+ – + –
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
6
π
4
π
3
π
2
π

360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
–1 0 1

H
A
M
K
B S
α
T
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
4. Hệ thức cơ bản:
2 2
sin cos 1
α α
+ =
;
tan .cot 1
α α
=
;
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
α α
α α
+ = + =
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos( ) cos
α α

π α α
− = −
tan cot
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
cot( ) cot
α α
− = −
cot( ) cot
π α α
− = −
cot tan
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
Góc hơn kém
π
Góc hơn kém
2
π
sin( ) sin

 ÷
 
cot( ) cot
π α α
+ =
cot tan
2
π
α α
 
+ = −
 ÷
 
II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )

2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
α α
α α
α
α
−
= =
−

Trang 57
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α

−
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b

π π
α α α α
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
Trang 58
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn
của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0 0
sin50 .cos( 300 )−
b) B =
0
21
sin215 .tan
7
π

−
c) C =
0
cos(270 )
α
−
d) D =
0
cos(2 90 )
α
+
Bài 3. Cho
0
2
π
α
< <
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
cos( )
α π
+
b) B =
tan( )
α π
−
c) C =
2
sin
5

Bài 5.
a)
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin
α
, tính cos
α
, tan
α
, cot
α
•
Từ
2 2
sin cos 1
α α
+ =

⇒

2
cos 1 sin
α α
= ± −
.
– Nếu
α

.
2. Cho biết cos
α
, tính sin
α
, tan
α
, cot
α
•
Từ
2 2
sin cos 1
α α
+ =

⇒

2
sin 1 cos
α α
= ± −
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
sin 1 cos
α α
= −

, tính sin
α
, cos
α
, cot
α
•
Tính
1
cot
tan
α
α
=
.
•
Từ
2
2
1
1 tan
cos
α
α
= +

⇒

2
1

.
•
Tính
sin tan .cos
α α α
=
.
4. Cho biết cot
α
, tính sin
α
, cos
α
, tan
α
•
Tính
1
tan
cot
α
α
=
.
•
Từ
2
2
1
1 cot

thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
1
sin
1 cot
α
α
= −
+
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
•
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
•
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A B A B AB
2 2 2
( ) 2+ = + −
A B A B A B
4 4 2 2 2 2 2
( ) 2+ = + −
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )+ = + − +
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )− = − + +
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

2
cos , 0
2
5
π
α α
= − < <
c)
a a
5
sin ,
13 2
π
π
= < <
d)
0 0
1
sin , 180 270
3
α α
= − < <
e)
a a
3
tan 3,
2
π
π
= < <

ĐS:
25
7
b)
a a
B khi a a
a a
2
0 0
8tan 3cot 1 1
sin , 90 180
tan cot 3
+ −
= = < <
+
ĐS:
8
3
c)
a a a a
C khi a
a a a a
2 2
2 2
sin 2sin .cos 2cos
cot 3
2sin 3sin .cos 4cos
+ −
= = −
− +

ĐS:
3
2
−
g)
a a
G khi a
a a
cot 3tan 2
cos
2cot tan 3
+
= = −
+
ĐS:
19
13
h)
a a
H khi a
a a
sin cos
tan 5
cos sin
+
= =
−
ĐS:
3
2

a atan cot 3− =
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A a a
2 2
tan cot= +
b)
B a atan cot= +
c)
C a a
4 4
tan cot= −
ĐS: a) 11 b)
13±
c)
33 13±
Bài 5.
a) Cho
x x
4 4
3
3sin cos
4
+ =
. Tính
A x x
4 4
sin 3cos= +
. ĐS:
7

= ∨ =
Bài 6.
a) Cho
x x
1
sin cos
5
+ =
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
b) Cho
x xtan cot 4+ =
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
ĐS: a)
4 3 4 3
; ; ;
5 5 3 4
− − −
b)
1 2 3
; ; 2 3; 2 3
2
2 2 3
−
+ −
−
hoặc

 
= + + − + +
 ÷
 
b)
B x x x x
7 3
2cos 3cos( ) 5sin cot
2 2
π π
π
   
= − − + − + −
 ÷  ÷
   
c)
C x x x x
3
2sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
π π π
π
     
= + + − + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
d)
D x x x x
3 3
cos(5 ) sin tan cot(3 )

B 1= −
c)
C
0 0 0 0 0
cos20 cos40 cos60 cos160 cos180= + + + + +
ĐS:
C 1
= −
d)
D
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 20 cos 30 cos 180= + + + +
ĐS:
D 9
=
e)
E
0 0 0 0 0
sin20 sin40 sin60 sin340 sin360= + + + + +
ĐS:
E 0=
f)
x x x x
0 0 0 0
2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )+ + − + + −
ĐS:
F x1 cos
= +
Bài 4.
a)

sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+ = − +
e)
x x x x
2 2 2 2
cot cos cos .cot− =
f)
x x x x
2 2 2 2
tan sin tan .sin− =
g)
x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + +
h)
x x x x x x x x
2 2
sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot+ + = +
i)
x x x
x x x
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
+ −
=
− − +
k)
x
x
x
2
2
2

c)
a a
a a
a a
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
− − =
+ +
d)
a a a
a a
a a
a
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos
tan 1
+
− = +
−
−
e)
a a
a
a
a

1 sin 1 sin
 
+ −
− =
 ÷
− +
 
h)
a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
− −
=
i)
a a
a
a a
2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
−
=
−
k)

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x x x
2 2 2
(1 sin )cot 1 cot− + −
b)
x x x x
2 2
(tan cot ) (tan cot )+ − −
c)
x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .tan
+
+
d)
x a y a x a y a
2 2
( .sin .cos ) ( .cos .sin )− + +
e)
x x
a x
2 2
2 2
sin tan
cos cot
−

; ;
1 sin 1 sin 2 2
π π
 
+ −
+ ∈ −
 ÷
− +  
k)
x x x x
2 2
3
cos tan sin ; ;
2 2
π π
 
− − ∈
 ÷
 
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a)
x x x x
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )+ − +
ĐS: 1
b)
x x x x x
8 8 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin− + − +
ĐS: 1

sin cos
− −
+
ĐS: 2
g)
x x
x x
6 6
4 4
sin cos 1
sin cos 1
+ −
+ −
ĐS:
3
2
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
B A Csin sin( )= +
b)
A B Ccos( ) cos+ = −
c)
A B C
sin cos
2 2
+
=
d)
B C A Ccos( ) cos( 2 )− = − +
e)

tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π α π α
α α
α α
   
+ −
+ = − =
 ÷  ÷
− +

3 13 2
π π
α α α π
 
− = − < <
 ÷
 
ĐS:
(5 12 3)
26
−
c)
a b a b khi a b
1 1
cos( ).cos( ) cos , cos
3 4
+ − = =
ĐS:
119
144
−
d)
a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )− + +
khi
a b
8 5
sin , tan
17 12
= =
và a, b là các góc nhọn.

b) B =
o o o2 2
cos 10 cos110 cos 130+ +
ĐS:
3
2
c) C =
o o o o o o
tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20+ +
ĐS: –3
d) D =
o o o o o o
tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190+ +
ĐS: –3
e) E =
o o o
o o
cot225 cot79 .cot71
cot259 cot 251
−
+
ĐS:
3
f) F =
o o2 2
cos 75 sin 75−
ĐS:
3
2
−

tan tan
cos( ) cos( )
+
+ =
+ + −
c)
x x x x x x
2 2
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
π π π π
       
+ + + + + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
x x x x
3 2
cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 4 4
π π π π
       
− + + + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
e)
o o o o
(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ +
o o o o
(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + =

−
+ = + =
+
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
C A B B Asin sin .cos sin .cos= +
b)
C
A B A B
A B
0
sin
tan tan ( , 90 )
cos .cos
= + ≠
c)
A B C A B C A B C
0
tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )+ + = ≠
d)
A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1
+ + =
Trang 65
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
e)
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2

A B C
0
90
2 2 2
 
+ + =
 ÷
 
g) VT = VP = tanA h) Khai triển
A B C
cos
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
i) Khai triển
A B C
sin
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
.
Chú ý: Từ
B C A
cos sin
2 2 2
 

6 6 6
tan tan tan 81, .
∆
+ + ≥ ∀
d)
A B C
2 2 2
tan tan tan 1
2 2 2
+ + ≥
e)
A B C
tan tan tan 3
2 2 2
+ + ≥
HD: a, b, c) Sử dụng
A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan+ + =
và BĐT Cô–si
d) Sử dụng
a b c ab bc ca
2 2 2
+ + ≥ + +

và
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + =
e) Khai triển
A B C

−

Trang 66
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α
α
α
α
α
α
−
=
+
=
−
=

khicos2 , sin2 , tan2 tan 2
α α α α
=
c)
khi
4 3
sin , cos sin2 ,
5 2 2
π π
α α α α
= − < <
d)
khi
7
cos2 , sin2 , tan2 tan
8
α α α α
=
Bài 7. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
o o o o
A cos20 .cos40 .cos60 .cos80=
ĐS:
1
16
b)
o o o
B sin10 .sin50 .sin70=
ĐS:
1

=
ĐS:
1
32
h)
o o o o o
H sin5 .sin15 .sin25 sin75 .sin85=
ĐS:
2
512
i)
I
0 0 0 0 0
cos10 .cos20 .cos30 cos70 .cos80=
ĐS:
3
256
k)
K 96 3sin .cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
π π π π π
=
ĐS: 9
l)
L
2 3 4 5 6 7
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15
π π π π π π π
=

n
n
Q
n n n
2 1
cos .cos cos
2 1 2 1 2 1
2
π π π
= =
+ + +
c)
n
R
n n n
2 4 2 1
cos .cos cos
2 1 2 1 2 1 2
π π π
= = −
+ + +
Bài 9. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
x x
4 4
3 1
sin cos cos4
4 4
+ = +
b)

 ÷
 
f)
x
x x
2
2
1 sin
1
2cot .cos
4 4
π π
−
=
   
+ −
 ÷  ÷
   
g)
x
x
x
1 cos
2
tan . 1
4 2
sin
2
π
π

cot
1 sin 4 2
π
 
= −
 ÷
−  
k)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
−
=
−
l)
x x xtan cot 2cot= −
m)
x x
x
2
cot tan
sin2
+ =
n)
x

a b a b
a b
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
b a
a b

c)
x x x4sin3 .sin2 .cos
d)
x x
x
13
4sin .cos .cos
2 2
e)
o o
x xsin( 30 ).cos( 30 )+ −
f)
2
sin .sin
5 5
π π
g)
x x x2sin .sin2 .sin3 .
h)
x x x8cos .sin2 .sin3
i)
x x xsin .sin .cos2
6 6
π π
   
+ −
 ÷  ÷
   
k)
a b b c c a4cos( ).cos( ).cos( )− − −

x2sin4 2+
b)
x
2
3 4cos−
c)
x
2
1 3tan−
d)
x x xsin2 sin4 sin6
+ +
e)
x x3 4cos4 cos8+ +
f)
x x x xsin5 sin6 sin7 sin8+ + +
g)
x x x1 sin2 –cos2 –tan2+
h)
o o
x x
2 2
sin ( 90 ) 3cos ( 90 )+ − −
i)
x x x xcos5 cos8 cos9 cos12
+ + +
k)
x xcos sin 1
+ +
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

D
x x x
sin4 sin5 sin6
cos4 cos5 cos6
+ +
=
+ +
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
A
2
cos cos
5 5
π π
= +
b)
B
7
tan tan
24 24
π π
= +
c)
o o o
C
2 2 2
sin 70 .sin 50 .sin 10=
d)
o o o o
D

ĐS:
A
1
2
=
B 2( 6 3)= −
C
1
64
=
D
3
4
=
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
7 13 19 25
sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
π π π π π
ĐS:
1
32
b)
o o o o o
16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90
ĐS: 1
c)
o o o o

g)
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
π π π π
+ + +
ĐS: –1
h)
3 5 7 9
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11
π π π π π
+ + + +
ĐS:
1
2
Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
o o o o
tan9 tan27 tan63 tan81 4− − + =
b)
o o o
tan20 tan40 tan80 3 3− + =
c)
o o o o
tan10 tan50 tan60 tan70 2 3− + + =
d)
o o o o o
8 3
tan30 tan40 tan50 tan60 .cos20

3
3 5 (2 1)
cos cos cos cos .
π π π π
−
= + + +
d)
S vôùi a
a a a a a a
4
1 1 1
, .
cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5
π
= + + + =

e)
n
S
x x x
x
5
1
1 1 1 1
1 1 1 1
cos cos2 cos3
cos2
−
     
= + + + +

a a
S
a
4
tan5 tan
1 5
sin
−
= = −
;
n
x
S
x
1
5
tan2
tan
2
−
=
Bài 9.
Trang 70
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
a) Chứng minh rằng:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 ) (1)
4

a
a
a
sin2
cos
2sin
=
.
b) Tính
n
n
x x x
P
2
cos cos cos .
2
2 2
=
ĐS:
n
n
n
x
P
x
sin
.
2 sin
2
=

cot cot2
2
α
α
−
= −
Bài 12.
a) Chứng minh rằng:
x x x x
2
tan .tan2 tan2 2tan= −
.
b) Tính
n
n
n n
a a a a a
S a
2 2 1 2
2 1
tan .tan 2tan .tan 2 tan .tan
2 2
2 2 2
−
−
= + + +
ĐS:
n
n
n

c)
x
x
x x
2
6
6 2
1 3tan
tan 1
cos cos
− = +
d)
x x
x
x x x
1 sin2 cos2
tan4
cos4 sin2 cos2
−
− =
+
e)
x x x x x xtan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6− − =
f)
x
x x x
x
sin7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin

Trần Sĩ Tùng Lượng giác
c)
A B C A B Csin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin+ + =
d)
A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos+ + = − −
e)
A B C A B C
2 2 2
cos cos cos 1 2cos .cos .cos+ + = −
f)
A B C A B C
2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cos+ + = +
Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
a)
B C vaø B C
1
sin .sin .
3 2
π
− = =
ĐS:
B C A, ,
2 6 3
π π π
= = =
b)
B C vaø B C
2 1 3
sin .cos .

a A b B a btan tan ( )tan
2
+
+ = +
b)
B C B C
2
2tan tan tan .tan+ =
c)
A B
A B
A B
sin sin 1
(tan tan )
cos cos 2
+
= +
+
d)
C A B
C
2sin .sin
cot
2 sin
=
Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:
a)
A B C
3 3
sin sin sin

cos .cos .cos
8
−
về dạng hằng đẳng thức.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI
Bài 11. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
x
x x x
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
− +
=
− +
b)
x x x x x
2
(tan2 tan )(sin2 tan ) tan− − =
c)
x
x x
x
2 2
6 2cos4
tan cot

2 cos 2cos
4
tan
2sin 2 sin
4
π
π
 
− +
 ÷
 
=
 
+ −
 ÷
 
h)
x x
x x
x
2 2
2 2
3
cot cot
2 2
8
3
cos .cos . 1 cot
2 2
−

b)
x x x x x x
6 4 2 2 4 4
cos 2sin cos 3sin cos sin+ + +
Trang 72
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
c)
x x x x
3
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
π π π π
       
− + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
x x x
2 2 2
2 2
cos cos cos
3 3
π π
   
+ + + −
 ÷  ÷
   
Bài 13. a) Chứng minh:
1
cot cot2

x x x
2 2 2
1 4 1
4cos sin 2 4sin
= −
.
b) Chứng minh:
n n
n n
x x x x
x
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1

sin
4cos 4 cos 4 cos 4 sin
2
2 2 2
+ + + = −
.
Bài 16. a) Chứng minh:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 )
4
= −
.

x x
2
1 1 1 tan2
1 1 1
cos2 tan
cos2 cos2
    
+ + + =
 ÷
 ÷  ÷
 
   
.
Bài 18. a) Chứng minh:
sin2
cos
2sin
α
α
α
=
.
b) Chứng minh:
n
n
n
x x x x
x
2
sin

π π π π
=
HD: a)
o
A tan27=
. Sử dụng
x x x x
0 0
tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3− + =
.
b) B = –1 c)
C
1 3
2 4
= −
d)
D
1
16
=
Bài 20. Chứng minh:
a)
2 3 1
cos cos cos
7 7 7 2
π π π
− + =
Trang 73
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
b)

3 9 1
cos cos cos
11 11 11 2
π π π
+ + + =
i)
2 4 10 1
cos cos cos
11 11 11 2
π π π
+ + + = −
Bài 21. a) Chứng minh:
x x x x x
1
sin .cos .cos2 .cos4 sin8
8
=
.
b) Áp dụng tính:
A
0 0 0 0
sin6 .sin42 .sin66 .sin78=
,
B
3 5
cos .cos .cos
7 7 7
π π π
=
.

.
b) Áp dụng tính:
S
2 2 2
3 5
tan tan tan
12 12 12
π π π
= + +
.
Bài 24. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a)
0 0
sin18 , cos18
b)
A
2 0 2 0 0 0
cos 18 .sin 36 cos36 .sin18= −
c)
B
2 0 2 0
sin 24 sin 6= −
d)
C
0 0 0 0 0 0 0 0 0
sin2 .sin18 .sin22 .sin38 .sin42 .sin58 .sin62 .sin78 .sin82=
HD: a)
0
5 1
sin18

0 0
1
sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3
4
− + =
Bài 25. Chứng minh rằng:
a) Nếu
a bcos( ) 0+ =
thì
a b asin( 2 ) sin+ =
.
b) Nếu
a b bsin(2 ) 3sin+ =
thì
a b atan( ) 2tan+ =
.
Bài 26. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a)
b B c C a B Ccos cos cos( )+ = −
b)
S R A B C
2
2 sin .sin .sin=
c)
S R a A b B c C2 ( cos cos cos )= + +
d)
A B C
r R4 sin sin sin
2 2 2
=

2cos
sin
=
thì tam giác ABC cân.
Bài 28.
a)
Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Góc và cung lượng giác:
*. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 360
0
.
*. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài
bằng
180
R
π
và có số đo 1
0
.
*. Cung tròn bán kính R có số đo a
0
(0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng
180
aR
π
.
*. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
*. Cung có số đo bằng a
0

+ k360
0
hoặc sđAM = α + k2π.
y
B S
M
P T
*. Hệ thức Sa-lơ:
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz).
+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
Trang 75
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
A’ O Q A x
B’
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK.
2. Các công thức lượng giác cơ
bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng
giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z).
Ta có:
.cot,tan,sin,cos BSATyOPxOQ ======
αααα
Nhận xét: - 1 ≤ cosα ≤ 1, - 1 ≤ cosα ≤ 1.
cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α.
tanα =
α
α
cos
sin

α
α
=+=+
*. Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:
Góc 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
TS . 0
6
π
4
π
3
π
2

2
2
1
0
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1
tan 0
3
3
1
3

3−
-1
3
3
−
0
cot

3
1

α
π
2
= cosα, cos






−
α
π
2
= sinα, tan






−
α
π
2
= cotα, cot









+
α
π
2
= - sinα, tan






+
α
π
2
= - cotα, cot






+
α
π
2

α;
sin2α = 2sinαcosα; tan2α =
.
tan1
tan2
2
α
α
−
*. Công thức hạ bậc:
sinαcosα =
.
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos;2sin
2
1
22
α
α
α
αα
−
=
+
=
*. Công thức biến đổi tích thành tổng:

2
sin2
βαβα
−+
−
sinα + sinβ =
;
2
cos
2
sin2
βαβα
−+
sinα – sinβ =
.
2
sin
2
cos2
βαβα
−+
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các số
do sau: - 45
0
, 1200
0
, - 830
0
.

x;
x; tan tanx)-2x tanx)(sin-(tan2x d) ;
cosx 1
sinx
sinx
cosx - 1
c)
2
=
+
=
Trang 77
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
;
cos4x - 1
2cos4x 6
x cot x tang) x; tan
xsin x sin -x cos
xcos x cos xsin
e)
224
422
422
+
=+=
+
+−
h) tan
2
x – sin

+






−






+
ππππ
4. Rút gọn các biểu thức sau:
;
1 -cosx x 2cos
1 cosx cos2x cos3x
C ; tanx) x(1cos cotx) x(1sin B ;
sinx
1 -x 2cos
A
2
22
2
+
+++
=+++==

=

;
cosb cosa
) - )sin(a sin(a
G
+
+
=

;
cos98 2cos638
)cos(-1882520sin2
tan368
1
H
00
00
0
+
+=

.
2
x
tan
cosx - 1
cosx 1
I
2

x cos
6
x cos
4
x cos
3
-x cos C






+






++






+








++=
ππ
F = 3(sin
8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x – 2sin
6
x) + 6sin
4
x;
yxcotcot -
yxsinsin
ysin -x cos
G
22
22
22
=
7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x =
.8sin
8
1

.
2
a
m=
Tính
;
sina tana
sina - tana
+
c) Biết tana + cota = m,
,
2
a 0
π
<<
tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m.
d) Cho sina + cosa = m với
.2 m 2 - ≤≤
Tính sin2a, sina, cosa.
9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
.
24
11
.sin
24
7
.sin
24
5
.sin

0
+ tan110
0
.tan340
0
.
F = sin10
0
.sin50
0
.sin70
0
;
.
12
5
tan
12
tanG
22
ππ
+=
H = tan5
0
tan55
0
tan65
0
.
Trang 78

.
24
sin
24
5
sin
12
7
sin
12
5
cos M
ππππ
=
10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
.
2
A C
tan
2
A - C
tan

a c
a - c
;
2
C B
tan
2

a; tana.tan3
a2a.tan tan- 1
a tan- 2atan
22
22
=

.
bacoscos
b) - b)sin(a sin(a
b tan- a tanc)
22
22
+
=
cos4x
4
1

4
3
x cos x sin f) ;
sina cosa
sina - cosa
sin2a 1
cos2a
e) 0;
2
3
-cos4x

y) -cos(x
y) cos(x
=
+
thì tanxtany =
.
3
1
b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các
điều kiện 3sin
2
x + 2sin
2
y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì
.
2
2y x
π
=+
13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana.
14. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
a) sinA + sinB + sinC =
;
2
C
cos
2
B
cos

;
2
C
.cot
2
B
.cot
2
A
cot
2
C
cot
2
B
cot
2
A
cot =++
i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
0;
2
B
cot a) - (c
2
A
cot c) - (b
2
C
cot b) - (a k) =++

A
tann) =++
;
2
C
.cos
2
B
cos
2
A
p.sin
a o) =

;
sinC
B) -sin(A

c
b - a
p)
2
22
=

;
2
C
.tan
2

R s) =

;
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
4R
r
)t =
cosC; cosB cosA
R
r
1 u) ++=+

ccosC; bcosB acosA
R
2pr
v) ++=
;
2
C
tan
2
B

Rc b a
cotC cotB cotA a)
222
≤++<
++
=++
;
c
1

b
1

a
1
2
c - p
1

b - p
1

a - p
1
c)






2
2
333







+
=
=





=++
=
+
+
=
;
c - b a
c - b - a
a
4
1
cosBcosC

( )
Csin Bsin A sinR
3
2
S f)
3332
++=
;
8
1
sCcosAcosBco i) ;
2
C
2cot tanB tanA h) ;
cosC cosB
sinC sinB
sinA g) ==+
+
+
=
k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15;
.3
cosC cosB cosA
sinC sinB sinA
l) =
++
++
17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC.

4
1
S e) ;
a
2bc
C) - cos(B d)
a
2
2
===
19. Chứng minh rằng ∆ABC là vuông hoặc cân khi:
.
a
c - b
C) - sin(B b) ;
2
B - C
tan
b c
b - c
a)
2
22
=







+=
+
+
Trang 80