Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
54




Thông thường ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian
(Linear Time-Invariant Systems) LTI để thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế.
Hệ thống cũng thường xét là hệ thống nhân quả và đã thư giãn (nghĩa là khi chưa có
tín hiệu vào thì tín hiệu ra bằng 0).

5.1.1  của hệ thống h(n) là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là
xung lực đơn vị (n)
IIR
-  (Finite duration Impulse Response) là hệ thống có đáp ứng xung
hữu hạn, nó hiện hữu trong một khoảng thời gian hữu hạn. Hệ thống này chỉ
đòi hỏi bộ nhớ hữu hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng hữu hạn.
Ví dụ: h(n) = [0 ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, 0]
-  ( Infinite duration Impulse Response) là hệ thống có đáp ứng
xung vô hạn, nó hiện hữu ở mọi thời gian từ n = -  đến n = + . Hệ thống này
cần bộ nhớ lớn vô hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng rất lớn.
Ví dụ: h(n) = [… ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, ….]

Tín hiệu vào
x(n)=(n)
Hệ thống
tuyến tính và
bất biến thời

H


Tín hiệu vào
x(n)=(n) x(n) bất kỳ
Hệ thống
tuyến tính và
bất biến thời
gian (LTI)
Tín hiệu ra
y(n)=h(n) y(n)=x(n)*h(n)

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
56
Ví dụ: Xét tín hiệu rời rạc: x(n) = [0,1,4,-1,2,3,0]
Khi đó: x(0) = x(0)δ(n-0) = -1
x(1) = x(1)δ(n-1) = 2
x(-1) = x(-1)δ(n+1) = 4
….
 x(n) = x(-2)δ(n+2) + x(-1)δ(n+1) + x(0)δ(n-0) + x(1)δ(n-1) + x(2)δ(n-2)
  
sau:
x(n) = ….+ x(-1)δ(n+1) + x(0)δ(n-0) + x(1)δ(n-1) + x(2)δ(n-2) +…
hay









kk
)kn(H)k(x)kn()k(xH)n(xH)n(y

Hệ thống là n thì:
H[δ(n-k)] = h(n-k)
Vậy đáp ứng đối với tín hiệu vào bất kỳ x(n) của hệ thống tuyến tính và bất biến thời
gian (LTI) có đáp ứng xung h(n) là:




k
)kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
57
Đây là công thức tính tích chập của tín hiệu rời rạc gọi là tổng nhân chập.
Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể tính đáp ứng thời gian của hệ thống với
bất cứ tín hiệu vào x(n) nào nên đáp ứng xung là đặc tính thời gian của hệ thống.

Các bước tính tổng chập:
1. Đổi biến số n thành biến tạm k,  x(k), h(k).

Giải:
Tiến hành các bước như trên, có 2 cách thực hiện: dựa vào đồ thị hoặc biểu thức
chuỗi. Ta có N
y
= N
x
+ N
h
-1 = 4+3-1=6
* Tính tín :
Thực hiện tổng nhân chập:
Đổi biến số n thành biến số tạm k, viết x(k), h(k
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
58
n = 0:


1
1
2
2
3
4
3
4
k
x(k)
0
-1
1
2

0
2
2
k
h(k)
-1
h(-k)
-1
0
-2
2
2
k
-3

k


k
4

h(2-k)
1
2
0
2
2
k
-1
3
x(k)h(2-k)
1
2
0
2
6
k
-1
3


k
8

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số


n = 6:

h(3-k)
2
3
1
2
2
k
0
4
-1



x(k)h(4-k)
1
0
6
k
-1
3
4
5
h(5-k)
5
1
k
3
2
2
6
4
2
0
-1
h(6-k)
6
2
k
4
2
2
7
5

8
0
4
-1
5
6
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
60 n = -1: n = -2:


-1
-3
2
2
k
-4
0
1
2
3
4


k
0

-2
x(k)h(-1-k)
k
1
0
-1
2
-3
3
4
-4
h(-2-k)
-3
-2


k
8

n = 3 :
h(3-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ,…]
x(k)h(3-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 8 , 0 ,…]


k
12

n = 4 :
h(4-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 ,…]
x(k)h(4-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 6 , 0 , 0 ,…]


k
6

n = 5 :
h(5-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ,…]
x(k)h(5-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 8 , 0 , 0 , 0 ,…]


k
8

n = 6 :
h(6-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0…]

= N
x
+ N
h
-1 = 4+4-1=7
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
62


Tiếp tục đến n = 6 ta thấy tổng nhân chập bằng 0. Sau đó thực hiện với n= -1, -2,
Kết quả là:
y(n) = [0, 1, 4, 8, 8, 3 , -2, -1, 0]
 i :
x(k) = [0, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 0]
h(k) = [0, 0, 1, 2, 1,-1, 0]
n = 0: h(-k) = [0,-1, 1, 2, 1, 0]
x(k) h(-k) = [ 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0] 


2
2
x(k)h(-k)
n = 0
4
k



-2 -1 0 1 2 3 4
1
1
2
-1
h(1-k)
k
k
-2 -1 0 1 2 3 4
1
4
x(k)h(1-k)
n = 1
8
k



3
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
63

1
(n)]*h
2
(n) = x(n)*[h
1
(n)*h
2
(n)]

Ví dụ:
Cho hệ thống như hình trên.Tìm y(n) biết: x(n) = [0,1,2,3,0], h
1
(n)= [0,1,2,1,0],
h
2
(n) = [0, 1, 1, 0]
Giải:
 Cách 1: y(n) = [x(n)*h
1
(n)]*h
2
(n)
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
64
x(n)*h
1
(n) = [0, 1, 4, 8, 8, 3, 0]
[x(n)*h
1
(n)]*h

Cho hệ thống như hình trên. Tìm y(n) biết: x(n) = [0,1,2,3,0], h
1
(n)=[0,1,2,1,0],
h
2
(n) = [0, 1, 1, 0]
Giải:
 Cách 1: y(n) = [x(n)* [h
1
(n) + h
2
(n)]
h
1
(n) + h
2
(n) = [0,1,3,2,0]
[x(n)* [h
1
(n) + h
2
(n)] = [0, 1, 5, 11, 13, 6, 0]
 Cách 2: y(n) = x(n)*h
1
(n) + x(n)*h
2
(n)
x(n)*h
1
(n) = [0, 1, 4, 8, 8, 3, 0]

x1
limxx xx1
1n
n
0n
n2











|x|<1
Nếu |x| > 1 chuỗi phân kỳ (tiến về vô cực)
5.2.4 
Hệ LTI nhân quả là hệ chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống tại thời điểm
hiện tại và quá khứ mà không phụ thuộc vào thời điểm tương lai. Do đó, tại n = n
0
:







)kn(h)k(x)n(y
hệ thống nhân quả
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
66
Trong trường hợp tín hiệu ngõ vào là nhân quả, nghĩa là x(n)=0 khi n < 0 thì:



n
0k
)kn(x)k(h)n(y
hệ thống và tín hiệu nhân quả
Hay



n
0k
)kn(h)k(x)n(y
hệ thống và tín hiệu nhân quả
5.2.5 
Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể suy ra phương trình tín hiệu vào
ra bằng cách dùng nhân chập.
Ví dụ:
Đáp ứng xung của hệ thống nhân quả là:
h(n) = ah(n-1) + (n) a: hằng số
Tìm phương trình hiệu số của tín hiệu.
Giải:
Vì hệ thống nhân quả nên ta bắt đầu từ h(0):
h(0) = ah(-1) + (0) = a.0 + 1 = 1

x(n-2) + a
3
x(n-3) + …
= x(n) + a[x(n-1) + ax(n-2) + a
2
x(n-3) + …]
= x(n) + ay(n-1)
Vậy phương trình hiệu số vào ra của tín hiệu là:
y(n)= ay(n-1) + x(n)
Ví dụ:
Đáp ứng xung tuần hoàn ở chu kỳ 4 mẫu là:
h(n) = [0,2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,….]
Tìm phương trình hiệu số vào ra.
Giải:
Nếu ta trì hoãn một chu kỳ thì đáp ứng xung là:
h(n-4) = [0,0,0,0,2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,….]
lấy hiệu số:
h(n) - h(n-4) = [0,2,3,4,5,0,0,0,0,]
= 2(n) + 3(n-1) +4 (n-2) + 5(n-3)
 phương trình hiệu số của đáp ứng xung:
h(n) = h(n-4) + 2(n) + 3(n-1) +4(n-2) + 5(n-3)
Làm tương tự như ví dụ trên ta được phương trình hiệu số vào ra:
y(n) = y(n-4) + 2x(n) + 3x(n-1) +4x(n-2) + 5x(n-3)

Sự ổn định là một tính chất quan trọng của mọi hệ thống thực tế. Khi hệ thống
không ổn định, một số thông số hoạt động của hệ thống sẽ thay đổi tùy tiện vượt khỏi
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
68
vòng kiểm soát, và có thể trở nên quá lớn (tiến về vô hạn) làm bão hòa các mạch điện
tử hoặc vượt khả năng bộ nhớ.

k
x
kk
)k(hM)kn(x)k(h)kn(x)k(h)n(y

Để |y(n)| hữu hạn thì:



k
)k(h
hữu hạn
hay


n
)n(h
hữu hạn
 

Ví dụ: Đáp ứng xung của hệ thống LTI là:
h(n) = a
n
u(n)
Tìm điều kiện của thông số a để hệ thống ổn định.
Giải:
Vì hệ thống nhân quả nên điều kiện của h(n) là:
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
69
a

1
a
0n
n

Khi |a|1 chuỗi phân kỳ:








a1
|a|1
a
1n
0n
n

Vậy điều kiện ổn định là |a|<1, lúc đó h(n) giảm theo hàm mũ về 0 khi n lớn vô
hạn. Ví dụ h(n) = ( 0.5)
n
u(n) là nhân quả và ổn định, h(n) = ( 2)
n
u(n) là nhân quả
và bất ổn định.
5.4 
Trong thực tế ta thường gặp trường hợp tín hiệu được đưa vào hệ thống rồi tắt

5.4.2 
Nếu biết đáp ứng bậc s(n) của hệ thống thì đối với tín hiệu vào x(n) thì tín hiệu ra là:
y(n) = y
s
(n) – y
s
(n-1)
với :




k
s
)kn(s)k(x)n(y

5.5 
Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian (hay còn gọi là các bộ xử lý tín hiệu
số, DSP) phổ biến nhất là lọc số (digital filter). Lọc số được cấu tạo bằng mạch điện
tử (phần cứng) hoặc chương trình (phần mềm) hoặc kết hợp cả hai. Cũng giống như
các lọc tương tự, các lọc số tác động lên tín hiệu số vào khiến phổ tần số (gồm phổ
biên độ và phổ pha) của tín hiệu ra khác với tín hiệu số vào. Và cũng giống như lọc
tương tự, lọc số gồm các loại thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải.
Lọc tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) được đặc trưng bởi đáp ứng xung
h(n). Đáp ứng đối với tín hiệu vào x(n) bất kỳ là nhân chập của h(n) với x(n). Tuy
nhiên nhiều khi ta liên hệ trực tiếp tín hiệu ra và vào bằng phương trình hiệu số. Xét từ
phương trình hiệu số hay cấu trúc của lọc người ta chia lọc làm hai loại là đệ quy và
phi đệ quy.
 và FIR
Lọc mà tín hiệu ra chỉ tùy thuộc vào tín hiệu vào được gọi là phi đệ quy.



N
Nk
knx)k(h)n(y

Và nếu lọc là nhân quả:
 



N
0k
knx)k(h)n(y

Đây chính là dạng tổng nhân chập trực tiếp. Trên lý thuyết giới hạn của tổng có thể là
- và , hoặc 0 và  (nếu lọc là nhân quả) tức lọc phi đệ quy có thể là lọc IIR (đáp
ứng xung lâu vô hạn). Nhưng trên thực tế đáp ứng xung của lọc phi đệ quy có số hạng
hữu hạn, hoặc có số hạng vô hạn nhưng giảm nhanh khi n lớn lên có thể bỏ đi khi
trở nên không đáng kể (nếu số hạng là vô hạn ta không thể tính tín hiệu ra). Vậy lọc
phi đệ quy chính là lọc FIR.
Ví dụ:
Xem lọc là mạch lấy trung bình cộng của 5 giá trị kế tiếp của tín hiệu vào( gồm
trị hiện tại, hai trị kế trong quá khứ và 2 giá trị kế trong tương lại) :
)]2n(x)1n(x)n(x)1n(x)2n(x[
5
1
)n(y 

Khi n tăng lên thì sự lấy trung bình nhích về phía tương lại nên đây là lọc lấy

N
Nk
k
M
1k
k
knxb)kn(ya)n(y

M là bậc của lọc. Khi các hệ số a
k
bằng không ta có phương trình hiệu số của
lọc phi đệ quy. Trên lý thuyết các giới hạn có thể vô hạn, còn thực tế thường là hữu
hạn.
Phương trình lọc phi đệ quy thể hiện tín hiệu ra là nhân chập của các hệ số b
n

(chính là đáp ứng xung h(n)) với tín hiệu vào x(n). Ở phương trình đệ quy các hệ số
a
k
, b
k
không trực tiếp liên quan đến đáp ứng xung. Đáp ứng xung của lọc nhận được
bằng cách cho tín hiệu vào x(n) là xung lực đơn vị (n) trong phương trình hiệu số của
lọc rồi tìm tín hiệu ra.
Ví dụ:
Lọc nhân quả có cấu trúc như hình vẽ. Viết phương trình của lọc và tìm đáp
ứng xung

Đáp ứng xung là vô hạn (IIR) và tăng dần  hệ thống không ổn định
Ví dụ:
Chứng tỏ lọc phi đệ quy lấy trung bình di chuyển 5 số hạng sau:
y(n) = 0.2[x(n+2) + x(n+1) + x(n) + x(n-1) + x(n-2)]
tương đương với lọc đệ quy mà phương trình hiệu số là:
y(n) = y(n-1) + 0.2[x(n+2) - x(n-3)]
Tìm đáp ứng xung.
Giải:
Từ phương trình của y(n) của lọc phi đệ quy ta viết:
y(n-1) = 0.2[ x(n+1) + x(n) + x(n-1) + x(n-2)

+ x(n-3)]
Lập hiệu số y(n) – y(n-1):
y(n)- y(n-1) = 0.2[x(n+2) – x(n-3)]
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
74
Vậy:
y(n) = y(n-1) + 0.2[x(n+2) – x(n-3)]
Đây là phương trình hiệu số của lọc đệ quy
Đáp ứng xung cho bởi:
h(n) = h(n-1) + 0.2[(n+2) – (n-3)]
Vì (n+2) chỉ có trị số ở n=-2 và (n-3) chỉ có trị số ở n=3 nên khi n<-2 cả hai xung
lực đều bằng không, tức chưa có tín hiệu vào, do đó:
h(-3) = h(-4) = h(-5) =…= 0
Đáp ứng xung ở các thời điểm tiếp theo là:
h(-2) = h(-3) + 0.2[(0) – (-5)] = 0.2
h(-1) = h(-2) + 0.2[(1) – (-4)] = 0.2
h(0) = h(-1) + 0.2[(2) – (-3)] = 0.2
h(1) = h(0) + 0.2[(3) – (-2)] = 0.2
h(2) = h(1) + 0.2[(4) – (-1)] = 0.2

phương trình hiệu số:
 



N
Nk
knx)k(h)n(y
(lọc FIR)
Hay :

 




k
knx)k(h)n(y
(lọc IIR)
Đối với lọc nhân quả giới hạn dưới là 0.
Ở lọc FIR các số hạng đáp ứng xung chính là các hệ số của lọc và việc thực
hiện mạch lọc cần số lượng phép nhân, phép cộng và bộ nhớ hữu hạn. Ở lọc IIR số
lượng phép nhân, phép cộng và bộ nhớ trở nên vô hạn. Để việc tính toán hiệu quả
người ta mô tả hệ thống dưới dạng phương trình hiệu số có bậc hữu hạn (cùng dạng
với phương trình hiệu số của lọc đệ quy).
 



N

tốc như xử lý thời gian thực nên được giải quyết bằng phần mềm.
Trong xử lý mẫu, mẫu tín hiệu hiện hành được xử lý một lần cùng với các mẫu
kế trước (đã được lưu trữ), mẫu tiếp theo cũng được xử lý cùng các mẫu kế trước nó
(bỏ đi mẫu cũ nhất). Cách này được dùng trong xử lý thời gian thực liên quan đến các
tín hiệu đến liên tục. Việc xử lý mẫu được thực hiện hiệu quả bởi các bộ xử lý tín hiệu
số (digital signal processor - DSP). Kiến trúc và tập lệnh của các bộ xử lý này được tối
ưu hóa cho việc xử lý thời gian thực.

Tương quan của hai tín hiệu chỉ mức độ mà hai tín hiệu giống nhau và từ đó ta
trích ra yếu tố cần cho ứng dụng. Lãnh vực ứng dụng của tương quan là ra-da, thăm
dò bằng sóng âm thanh, thông tin dữ liệu, địa vật lý…Ví dụ ở ra-da hai tín hiệu được
tương quan là tín hiệu truyền đi từ ang-ten và tín hiệu phản xạ từ mục tiêu.

Tương quan gồm tương quan chéo và tự tương quan. Tương quan chéo giữa hai
tín hiệu năng lượng x(n) và v(n) được định nghĩa:

     
mnvnxmR
n
xv




m = 0, 1, 2, …
Hoặc tương đương:
Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số
77

     

Ta thấy:
R
xv
(m) = R
vx
(-m)
Như vậy R
xv
(m), R
vx
(m) là ảnh gương của nhau và chúng cùng chứa thông tin
về sự liên hệ giữa hai tín hiệu x(n) và v(n).

Tự tương quan của tín hiệu x(n) là tương quan chéo với chính nó:

     
mnxnxmR
n
xx




m = 0, 1, 2, …
Hoặc tương đương:

     
nxmnxmR
n
xx

hay :
)()n(x X
FT


X(): còn gọi là tần phổ của tín hiệu
Biến đổi Fourier nghịch:







 de).()n(x
n.j
X
2
1

Phép biến đổi Fourier nghịch được ký hiệu như sau:
)n(x)](X[IFT 

Hay :
)n(x)(
IFT
X 

Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ e
j

sẽ hội tụ về hàm X(e
j
), nên x(n) tồn tại biến đổi Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n)
không thoả mãn điều kiện thì chuỗi định nghĩa sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(e
j
) không
tồn tại và x(n) không có biến đổi Fourier.
Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn:



n
2
x
)n(xE