ĐẶNG VIỆT HÙNG – BÙI ĐỨC TRÍ Các dạng bài tập con lắc lò xo
Website: www.moon.vn Mobile: 0985074831
DẠNG 1. CHU KỲ, TẦN SỐ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO
♦
♦♦
♦ Phương pháp giải bài tập
- Tần số góc, chu kỳ dao động, tần số dao động:
2 m
T 2
k
k
m
1 1 k
f
2 T 2 m

π
= = π

ω
ω = ⇒

ω

= = =

π π


∆

∆
∆ = ⇒ = ⇒


=

∆


- Khi t
ă
ng kh
ố
i l
ượ
ng v
ậ
t n
ặ
ng n l
ầ
n thì chu k
ỳ
t
ă
ng
n
l

= +
Khi m
ắ
c v
ậ
t có kh
ố
i l
ượ
ng m = (m
1
– m
2
) vào lò xo có
độ
c
ứ
ng k thì h
ệ
dao
độ
ng v
ớ
i chu k
ỳ

2 2
1 2
T T T
= −

= 320 (N/m)
b)
Khi thay m b
ằ
ng v
ậ
t m’ = 750 (g) thì chu k
ỳ
dao
độ
ng là
m' 0,75
T' 2 2 0,3 (s)
k 320
= π = π ≈

Bài 2. Một vật khối lượng m = 250 (g) mắc vào một lò có độ cứng k = 100 (N/m) thì hệ dao động điều hòa.
a) Tính chu kỳ và tần số dao động của con lắc lò xo.
b) Để chu kỳ dao động của vật tăng lên 20% thì ta phải thay vật có khối lượng m bằng vật có khối lượng m’
có giá trị bằng bao nhiêu?
c) Để tần số dao động của vật giảm đi 30% thì phải mắc thêm một gia trọng ∆m có trị số bao nhiêu?
Giải:

a)
Ta có
m 0,25 1 10
T 2 2 0,1 (s) f (Hz)
K 100 T
= π = π = π ⇒ = =
π

lò xo.
03. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CON LẮC LÒ XOĐẶNG VIỆT HÙNG – BÙI ĐỨC TRÍ Các dạng bài tập con lắc lò xo
Website: www.moon.vn Mobile: 0985074831
Giải:
Từ công thức tính tần số dao động
1
2
1
2
1 k
f
f
m 5 m 25 100
2 m
m (g)
f m m 6 m 4 36 11
1 k
f
2 m m

=

π
⇒ = = ⇒ = ⇒ =

+ ∆ +


i VTCB lò xo không b
ị
bi
ế
n d
ạ
ng (
∆ℓ
0
= 0).
- Do t
ạ
i VTCB lò xo không bi
ế
n d
ạ
ng, nên chi
ề
u dài c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a lò xo trong quá trình dao
độ

ự
c
đ
àn h
ồ
i tác d
ụ
ng vào lò xo chính là l
ự
c h
ồ
i ph
ụ
c, có
độ
l
ớ
n F
hp
= k.|x|
T
ừ

đ
ó, l
ự
c h
ồ
i ph
ụ

∆ = = = ⇒ ω =
ω ω ∆
ℓ
ℓ

T
ừ

đ
ó, chu k
ỳ
và t
ầ
n s
ố
dao
độ
ng c
ủ
a con l
ắ
c
đượ
c cho b
ở
i
0
0
2
T 2

ề
u dài c
ủ
a lò xo t
ạ
i VTCB
đượ
c tính b
ở
i
ℓ
cb
=
ℓ
0
+
∆ℓ
0
, v
ớ
i
ℓ
0
là chi
ề
u
dài t
ự
nhiên c
ủ


= + = + ∆ +


⇒
 
= − = + ∆ − +


=


ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ
ℓ

- L
ự
c
đ
àn h
ồ
i tác d
ụ
ng vào lò xo
đượ
c tính b
ằ
ng công th

i v
ị
trí mà lo xo không bi
ế
n d
ạ
ng.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p t
ổ
ng quát ta
đượ
c công th
ứ
c tính
∆ℓ = |∆ℓ
0
±
x|, vớ
i x là t
ọ
a
độ
c
ủ
a v
ậ

ươ
ng, và t
ọ
a
độ
c
ủ
a v
ậ
t t
ươ
ng
ứ
ng. T
ừ

đ
ó ta
đượ
c công
th
ứ
c tính l
ự
c
đ
àn h
ồ
i t
ạ

ự
c
đ
àn h
ồ
i c
ự
c ti
ể
u
min 0 0
min 0
F k( A); khi A
F 0; khi A
= ∆ − ∆ >


= ∆ ≤

ℓ ℓ
ℓ♦
♦♦
♦ Các ví dụ mẫu
Bài 1. Một con lắc lò xo có m = 400 (g) dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số f = 5 (Hz).
Trong quá trình dao động, chiều dài lò xo biến đổi từ 40 (cm) đến 50 (cm). Lấy
π
ππ

0 max 0
50 (cm) A
A 5 (cm)
2
40 (cm) A
A 44 (cm)
−

= = + ∆ +
= =


⇒
 
= = + ∆ −


= − ∆ − =

ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ

b) Tại VTCB, lò xo có chiều dài ℓ
cb
= ℓ
0
+ ∆ℓ
0

ng c
ủ
a lò xo là k = m
ω
2
= m.(2
π
f)
2
= 0,4.(2
π
.5)
2
= 40 (N/m)

L
ự
c
đ
àn h
ồ
i c
ự
c
đạ
i:

F
max
= k(

n d
ạ
ng là 2 (cm) hay lò xo b
ị
nén 2 (cm)
⇒

∆ℓ
= 2 (cm).
Khi
đ
ó, l
ự
c
đ
àn h
ồ
i tác d
ụ
ng vào v
ậ
t n
ặ
ng
ở
v
ị
trí lò xo dài 42 (cm) là F = k.
∆ℓ
= 40.0,02 = 8 (N).

∆ = = = =ℓ
b) Tại VTCB lò xo có chiều dài ℓ
cb
= ℓ
0
+ ∆ℓ
0
= 24 + 2,5= 26,5 (cm).
c) Tốc độ khi vật qua vị trí cân bằng là tốc độ cực đại nên v
max
= ωA
với
max
v
k 80
20(rad / s) A 4 (cm)
m 20
ω = = ⇒ = = =
ω
. Khi đó chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo có giá trị lần
lượt là
max cb
min cb
A 26,5 4 30,5 (cm)
A 26,5 4 22,5 (cm)
= + = + =


= − = − =



b)
Ta có
max 0
min 0
F A
6 10 A 3
A 2 (cm)
F A 4 10 A 2
∆ +
+
= = ⇔ = ⇒ =
∆ − −
ℓ
ℓ

Khi
đ
ó, chi
ề
u dài c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u c
ủ

∆ℓ
⇒
độ
bi
ế
n d
ạ
ng c
ủ
a lò xo t
ạ
i v
ị
trí này là
∆ℓ
= F/k = 0,01 (m) = 1 (cm)
do chi
ề
u dài t
ự
nhiên là 40 (cm), nên
để
lò xo b
ị
bi
ế
n d
ạ
ng 1 cm, (giãn ho
ặ

2 2
max
max
k
m g
2
2 f
T
v
A x
a
v

∆
ω = =



π
ω = = π



ω =

−


ω =




−
=


ℓ ℓ

- Pha ban
đầ
u ϕ: T
ạ
i t = 0,
0
0
x Acos
v Asin
= ϕ


= −ω ϕ


♦
♦♦
♦ Các ví dụ mẫu
Bài 1. Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với chu kì T = 2 (s). Vật qua VTCB với vận
tốc v
0
= 31,4 (cm/s). Biết vật nặng của con lắc có khối lượng m = 1 (kg).

ủ
a v
ậ
t
đạ
t c
ự
c
đạ
i, khi
đ
ó v
max
= ωA ≈10π (cm/s)
⇒
A = v
max
/ω = 10π/π = 10 (cm).
T
ạ
i t = 0, v
ậ
t qua VTCB theo chi
ề
u d
ươ
ng
0
0
x 0

ơ
n
ă
ng toàn ph
ầ
n c
ủ
a v
ậ
t là
2 2 2 2
1 1
E= m A . .0,1 0,05 (J).
2 2
ω = π =
khi vật có li độ x = – 8 (cm), thế năng của vật là
2 2 2 2
t
1 1
E m x .0,08 0,032 (J).
2 2
= ω = π =
⇒ Động năng của vật là E
đ
= E – E
t
= 0,05 – 0,032 = 0,018 (J).
c) Khi động năng gấp ba lần thế năng ta có
d t
2 2

ng. L
ấ
y π
ππ
π
2
= 10.
a) Tính chu k
ỳ
, biên
độ
dao
độ
ng và v
ậ
n t
ố
c c
ự
c
đạ
i c
ủ
a v
ậ
t.
b) Vi
ế
t ph
ươ

ự
nhiên c
ủ
a lò xo là
ℓ
ℓℓ
ℓ
0
= 40 (cm), tính chi
ề
u dài c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a lò xo trong quá trình
v
ậ
t dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa.

ậ
t có
độ
ng n
ă
ng b
ằ
ng 3 l
ầ
n th
ế
n
ă
ng thì
độ
l
ớ
n c
ủ
a l
ự
c
đ
àn h
ổ
i b
ằ
ng bao nhiêu?
Gi
ả

độ
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a v
ậ
t là v
max
=

ωA = 7.5π = 35π (cm/s).
b) Ph
ươ
ng trình dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa có d
ạ
ng x = 7cos(5πt + ϕ) cm.
T
ạ
i t = 0, v
ậ
t

= + ∆ + = + + =


= + ∆ − = + − =

ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ

d)
Ta có:
(
)
(
)
max 0
max 0
F k A 100 0,01 0,07 8 (N)
F 0 (N) (Vì A)
 = ∆ + = + =


= ∆ <


ℓ
ℓ

e)
Khi
độ


 

⇒ = ⇔ = ⇒ = ± ⇒

 

+ =
 

= ∆ − = − =


ℓ
ℓ

Bài 3. Một lò xo (khối lượng không đáng kể) đầu trên cố định, đầu dưới treo vật có khối lượng 80 (g). Vật
nặng dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số f = 4,5 (Hz). Trong quá trình dao động
độ dài ngắn nhất của lò xo là 40 (cm) và dài nhất là 56 (cm).
a) Viết phương trình dao động, chọn gốc toạ độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, t = 0 lúc lò xo
ngắn nhất.
b) Tìm độ dài tự nhiên của lò xo, lấy g = 10 (m/s
2
).
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi nó ở li độ x = 4 (cm).
Giải:
a)
Ph
ươ
ng trình dao

min
)/2 = 8 (cm)
T
ạ
i t = 0, lò xo ng
ắ
n nh
ấ
t ⇒x = – A ⇔ cosϕ = – 1 ⇔ ϕ = π (rad)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình dao
độ
ng là x = 8cos(9πt + π) cm.
b)
T
ạ
i v
ị
trí cân b
ằ
ng lò xo bi
ế
n d
ạ
ng
đ
o

2
x = –(9π)
2
.0,04= –32,4 (m/s
2
)
Bài 4. Một vật nặng có khối lượng m = 100 (g), gắn vào một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia của
lò xo treo vào một điểm cố định. Vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số f = 3,5 (Hz).
Trong quá trình dao động, độ dài của lò xo lúc ngắn nhất là 38 (cm) và lúc dài nhất là 46 (cm).
a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí thấp nhất, chiều dương hướng
lên trên.
b) Tính độ dài tự nhiên ℓ
ℓℓ
ℓ
0
của lò xo khi không treo vật nặng.
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi ở cách vị trí cân bằng 2 (cm).
Giải:
a)
Ph
ươ
ng trình dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa c
ủ
a v

ậ
y ph
ươ
ng trình dao
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t là x = 4cos(7t + π) cm.
b)

Độ
bi
ế
n d
ạ
ng c
ủ
a lò xo t
ạ
i v
ị
trí cân b
ằ
ng là ∆
ℓ
0
= g/ω
2

= ±ω − = ± π − = ± π ; a = –ω
2
x = –(7π)
2
. (±0,02) =
∓
9,8 (m/s
2
)
Bài 5. Một lò xo có khối lượng không đáng kể và chiều dài ℓ
ℓℓ
ℓ
0
= 29,5 (cm) được treo thẳng đứng. Phía dưới
treo một vật nặng khối lượng m. Kích thích cho vật dao động điều hòa thì chiều dài của lò xo biến đổi từ 29
(cm) đến 35 (cm). Cho g = 10 (m/s
2
)
.
a) Tính chu kỳ dao động điều hòa của con lắc.
b) Viết phương trình dao động của con lắc, chọn gốc thời gian là lúc lò xo có chiều dài 33,5 (cm) và đang
chuyển động về phía vị trí cân bằng, chọn chiều dương hướng lên.
Giải:
ĐẶNG VIỆT HÙNG – BÙI ĐỨC TRÍ Các dạng bài tập con lắc lò xo
Website: www.moon.vn Mobile: 0985074831
a) Biên độ dao động của vật được cho bởi A = (ℓ
max
– ℓ
min
)/2 = 3 cm.

ạ
i v
ị
trí cân b
ằ
ng, chi
ề
u dài c
ủ
a lò xo là
ℓ
cb
=
ℓ
0
+ ∆
ℓ
0
= 29,5 + 2,5 = 32 (cm).
T
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m t = 0,
ℓ
= 33,5 cm ⇒ x

2
),
π
ππ
π
2
= 10.
a) Viết phương trình dao động của vật nặng.
b) Xác định thời điểm mà vật qua vị trí lò xo dãn 2 (cm) lần đầu tiên.
c) Tìm độ lớn lực phục hồi như ở câu b.
Giải:
a)
Ph
ươ
ng trình dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa c
ủ
a v
ậ
t có d
ạ
ng x = Acos(ωt + ϕ) cm.
T
ầ
n s

> 0 (do vận tốc truyền hướng lên trên trong khi chiều dương hướng xuống
⇒
v < 0)
Từ đó ta được
0
0
1
x 2
cos
(rad)
32
v 0
3
Asin 0
sin 0
π


=
ϕ = ±ϕ =

π
 
⇒ ⇒ ⇒ ϕ =
  
<

 
−ω ϕ <
ϕ >

0
mg
0,04 (m) 4 (cm)
k
∆ = = =ℓ , tức là tại VTCB lò xo đã bị dãn 4 (cm). Vậy
khi lò xo dãn 2 (cm) thì vật nặng có li độ x = –2 (cm).
Đến đây ta có hai phương án giải:
Cách 1 (sử dụng phương trình lượng giác)
Ta thấy để lần đầu tiên vật qua li độ x = –2 (cm) thì trên sơ đồ vật đi theo
chiều âm. Khi đó ta có:
4cos 5 t 2
x 2cm
3
2 1 2k
5 t k2 t
v 0
3 3 15 5
20 .sin 5 t 0
3

π
 
π + = −
 

= −

π π
  
⇔ ⇒ π + = + π ⇔ = +

ợ
p
đặ
c bi
ệ
t)
V
ậ
t b
ắ
t
đầ
u dao
độ
ng t
ừ
li
độ
x = 2 (cm) theo chi
ề
u âm,
để
v
ậ
t l
ầ
n
đầ
u tiên
qua v

t (s)
6 6. 15
π
= = =
ω c)

Độ
l
ớ
n l
ự
c h
ồ
i ph
ụ
c khi v
ậ
t
ở
li
độ
x = –2 (cm) là F
hp
= k|x| = 25.0,02 = 0,5 (N).