HD giải 30 bài tâp về dao động sóng và con lắc
( Trích Bài của Nguyễn Trung Hiếu Tóm: tăt lí thuyết & giải chi tiết 30 bài tập thường gặp trong thi ĐH-CD)
CHỦ ĐỀ I. CON LẮC ĐƠN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
* Con lắc đơn
1. Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giản, vật nặng kích thước không đáng kể so
với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng. Cơ năng của
con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.
2. Khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), CLĐ dao động điều hòa với
phương trình:
s = S
0
cos(ωt + ϕ) hoặc α = α
0
cos(ωt + ϕ) với s = αl, S
0
= α
0
l
⇒ v = s’ = -ωS
0
sin(ωt + ϕ) = -ωlα
0
sin(ωt + ϕ)
⇒ a = v’ = -ω
2
S
0
cos(ωt + ϕ) = -ω
2
lα

π π
= = =
Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α
0
<< 1 rad hay S
0
<< l
4. Lực kéo về (lực hồi phục)
2
sin
s
F mg mg mg m s
l
α α ω
= − = − = − = −
Lưu ý: + Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ với khối lượng
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.
Lưu ý: S
0
đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x
5. Hệ thức độc lập:
* a = -ω
2
s = -ω
2
αl
*
2 2 2
0
( )

mv
2

1
+ Thế năng: W
t
= mgl(1 - cosα) =
2
1
mglα
2
(α ≤ 1rad, α (rad)).
+ Cơ năng: W = W
t
+ W
đ
= mgl(1 - cosα
0
) =
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
mg
m S m l S mgl
l
ω ω α α
= = =
Lưu ý: Cơ năng của con lắc đơn tỉ lệ với khối lượng vật còn cơ năng của con lắc lò xo không phụ
thuộc vào khối lượng của vật

2
T mg T mg
α
α
= + = −
* Con lắc đồng hồ.
- Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và dao động của con lắc có thể coi
như dao động điều hoà của con lắc đơn.
- Chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T trong một số trường hợp do nhiệt độ môi trường thay đổi
và vị trí con lắc thay đổi nên đồng hồ chạy sai. Gọi chu kỳ chạy sai của đồng hồ là T
2
(còn chu kỳ chạy
đúng T =T
1
) và độ biến thiên chu kỳ là
∆
T = T
2
– T
1
. Nếu:
+
∆
T> 0: T
2
> T
1
: Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm.
+
∆

12
'
T
T
T
T
∆
≈
∆
=−=
ττττθ
Nếu T
2
thay đổi không đáng kể so với T
1
thì:
1
T
T
∆
≈
τθ
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Đại cương về con lắc đơn.
Dạng 2: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo các yếu tố:
2
2.1/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.
2.2/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao, độ sâu, vị trí địa lí đặt con lắc.
2.3/ Lực lạ là lực điện, lực đẩy Acsimet, lực quán tính.
Sử dụng một số công thức gần đúng:

g
l
T
1
1
2
π
=
g
l
T
2
2
2
π
=
- Chu kỳ T của con lắc chiều dài l là
g
l
T
π
2
=
l = l
1
+l
2
Biến đổi ta được :
2
2

+l
2
và l = l
1
- l
2
Hướng dẫn:
-Với l = l
1
+l
2
Sử dụng công thức
2
2
2
1
TTT
+=
Thay số:
sT 75,19,05,1
22
=+=
-Với l = l
1
- l
2
Sử dụng công thức
2
2
2

2
2
π
=
Tỷ số:
9,0%90
'
1
2
===
l
l
T
T

ll 81,0
'
=⇒
3) Bài 3:
Tại một nơi trên mặt đất một con lắc đơn dao động điều hoà.Trong khoảng thời gian
t
∆
, con lắc thực
hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời
gian
t
∆
ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Xác định chiều dài ban đầu của con lắc ?
Hướng dẫn:
Gọi chu kỳ con lắc chiều dài l

=⇒
l
l

12
25
36
ll
=⇒
và l
2
= l
1
+44. Giải hệ được: l = 100 cm.
4) Bài 4:
Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây mềm có
khối lượng không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng của sợi dây một
chiếc đinh được đóng vào điểm O
’
cách Q một đoạn O
’
Q = 50 cm sao cho con lắcvấp phải đinh trong
quá trình dao động điều hoà.
a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s
2
b/Nếu không đóng đinh vào O
’
mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm thép được giữ cố định thì hiện
tượng xảy ra như thế nào? (Coi rằng va chạm của quả cầu vào vật cản là hoàn toàn đàn hồi)
Hướng dẫn:

= = =
.
Chu kỳ của con lắc bị vướng đinh là:
4
)(
2
1
2
1
2
1
2121
TTTTT
+=+=
= 1/2 (2+1,4) = 1,7 s
b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên khi quả
cầu va chạm vào tấm thép nó sẽ bật ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay trước lúc va chạm và
vật lại lên đúng vị trí cao nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn).
Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên chu kỳ dao động là: T = 1/2T
1
= 1 s.
Dạng 2: SỰ PHỤ THUỘC CỦA CHU KỲ CON LẮC ĐƠN VÀO YẾU TỐ BÊN NGOÀI
* Dạng 2a Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.
- Con lắc đơn có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường thay đổi từ t
1
đến t
2

thì chiều dài của dây được xác định bởi:
).1(

g
l
T
2
2
2
π
=
+ Xét tỷ số:
tt
l
tl
l
l
T
T
∆+≈∆+=
∆+
==
αα
α
2
1
1)1(
)1(
2
1
1
1
1

:
t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
* Bài tập ví dụ:
5
O
O
A
5) Bài 1: Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn
với dây treo làm bằng đồng có hệ số nở dài
α
= 17.10
-6
K
-1
. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân
không, nhiệt độ 20
0
c.
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 30
0
c ? ở 30

T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
= 24.3600.1/2.17.10
-6
.10 = 7,34 s.
6) Bài 2: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32
0
c, con
lắc có thể xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc
α
= 2.10
-5
K
-1
. Vào mùa lạnh
nhiệt độ trung bình là 17
0
c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chay sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh. Một
tuần :
τ
= 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:
t
T

0
c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm:
1 1
1
60
2
t s
θ α
= ∆ =
;
6
Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên
2
t∆
thoả mãn:
0
2 2 2 1
1
45 3/ 4 11,25
2
t s t t c
θ α
= ∆ = ⇒ ∆ = ∆ =
2.2 Chu kỳ con lắc thay đổi theo gia tốc trọng trường g.
2.2.1 Gia tốc g thay đổi theo độ cao.
* Phương pháp:
+Tại mặt đất gia tốc g được xác định: g = G
2
R
M

g
T
T
+=
+
==
1
'
1
2
12
)1( T
R
h
T
+=⇒
R
h
T
T
=
∆
⇒
1
* Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc đồng hồ chạy
chậm sau khoảng thời gian
τ
:
R
h

6370
1
.3600.24
1
==
∆
=
R
h
T
T
ττθ
= 13,569 s
9) Bài 2:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s tại mặt đất. Đem con lắc lên độ cao h so với mặt đất thì
chu kỳ dao động thay đổi 0,2% so với ban đầu. Tính độ cao h? Cho bán kính trái đất R = 6400 km.
7
Hướng dẫn: + Tại mặt đất chu kỳ T = 4s. Lên độ cao h chu kỳ T
’
và có:
∆
T = T
’
- T = 0,2% T
002,0
=
∆
⇒
T
T

22
3
4
.
.

πρ
ρ
Và chu kỳ
g
l
T
π
2
1
=

+ Xét ở độ sâu h trong lòng trái đất, lực hấp dẫn tác dụng lên vật:
'
2
3
2
'
2
'
'
)(
3
4
.

h
hR
R
g
g
T
T
2
1)1(
2
1
'
1
2
+≈−=
−
==
−
12
)
2
1( T
R
h
T
+=⇒

R
h
T

6400.2
1,0
1()
2
1(
12
=+=+=
Chu kỳ con lắc dưới giếng tăng lên so với con lắc đặt trên mặt đất.
11) Bài 2:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất. Đưa đồng hồ lên cao 320m so với mặt đất thấy đồng
hồ chạy chậm. Đưa đồng hồ xuống hầm mỏ sâu h
’
so với mặt đất lại thấy đồng hồ chạy giống ở độ cao
h.
a/ Xác định độ sâu của hầm mỏ? Coi nhiệt độ không thay đổi .
b/ Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất hình cầu đồng chât bán kính R =
6400km.
Giải:
a/ Gọi chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T
1
; chu kỳ ở độ cao h và ở hầm mỏ là T
2
và T
2
’
.
⇒
T
2
= T

h
R
h
6402
2
'
'
==⇒=⇔
Đặt con lắc tại 2 vị trí A(g
1
); B(g
2
) Với g
1
; g
2
lệch nhau một lượng
g
∆
(Giả sử g
2
= g
1
+
g
∆
)
thì chu kỳ con lắc lần lượt là:
1
1

T
∆
−≈
∆+
==⇒

1
1
2
)
2
1( T
g
g
T
∆
−=⇒
Với
g
∆
= g
2
-g
1
.
11
2g
g
T
T

Hướng dẫn:
a/
g
∆
= g
2
-g
1
= 9,787 – 9,793 = -0,006.
Sử dung công thức:
1
1
2
)
2
1( T
g
g
T
∆
−=
Thay số T
2
= 2,006 s.
b/ Chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc chạy chậm trong một ngày đêm:
s
g
g
T
T

2
0
0,00015 0,00015
0,00015 9,788 /
g
g g g
g
g g g m s
∆
⇒ = − ⇒ − = −
⇒ = + =
10
Dạng 2 .3 Chu kỳ con lắc đơn thay đổi khi có thêm lực lạ.
* Phương pháp:
Ngoài trọng lực
P
con lắc còn chịu thêm tác dụng của lực
F
không đổi thì coi như con lắc
chịu tác dụng của trọng lực hiệu dụng
hd
P
với
hd
P
=
P
+
F
hd

hd
P
=
P
+
F

P
hd
= P+F
m
qE
g
m
F
gg
hd
+=+=
hd
g
l
T
π
2
=
m
qE
g
l
+

F
E
hd
P
F
P
θ
E
hd
g
l
T
π
2
=
2
l
qE
g
m
π
=
−

Nếu F>P thì có hiện tượng như bóng bay và
g
m
qE
l
T

2
2






+=
m
qE
gg
hd
2
2
2






+
=
m
qE
g
l
T
π

0
=
Trong không khí:
hd
P
=
P
+
a
F
P
hd
= P - F
a

g
D
d
g
DV
dVg
gg
hd
−=−=

T =





hd
P
=
P
+
Fqt
P
hd
= P + F
qt
0
maPP
hd
+=
g
hd
=g+a
0
0
2
ag
l
T
+
=
π
13
P
qt
F

g
hd
=g - a
0
0
2
ag
l
T
−
=
π
/
(điều kiện g>a
0
)
c) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng ngang sang
phải, sang trái.
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
θ
:
tan
θ
=
g
a
mg

2
0
2
2
ag
l
T
+
=
π
CHỦ ĐỀ II: CÁC DẠNG SÓNG & DAO ĐỘNG SÓNG
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA SÓNG
A.LÍ THUYẾT
+ Xác định từ dữ kiện
14
hd
P
qt
F
P
θ
0
a
-Chu kỳ (T), vận tốc (v), tần số (f), bước sóng (λ) liên hệ với nhau :

T
1
f
=
;

π
)(mm).Với x: đo bằng met, t: đo bằng giây. Tốc độ truyền sóng trên
sợi dây có giá trị. A. 60mm/s B. 60 cm/s C. 60 m/s
D. 30mm/s
Giải: Ta có
.x
3
π
=
2 .x
π
λ
=> λ = 6 m => v = λ.f = 60 m/s (chú ý: x đo bằng met) Đáp án C
17) Bài 2 : Một người quan sát một chiếc phao trên mặt biển thấy phao nhấp nhô lên xuống tại chỗ
16 lần trong 30 giây và khoảng cách giữa 5 đỉnh sóng liên tiếp nhau bằng 24m. Vận tốc truyền
sóng trên mặt biển là
A. v = 4,5m/s B. v = 12m/s. C. v = 3m/s D. v = 2,25 m/s
Giải: Ta có: (16-1)T = 30 (s) ⇒ T = 2 (s)
Khoảng cách giữa 5 đỉnh sáng liên tiếp: 4λ = 24m ⇒ 24m ⇒ λ = 6(m)→
6
3
2
v
T
λ
= = =
(m/s).
Đáp án C.
18) Bài 3 Một sóng ngang có biểu thức truyền sóng trên phương x là :
3cos(100 )u t x cm

Tần số f = 50 Hz;Vận tốc của phần tử vật chất của môi trường: u’ = -300πsin(100πt – x) (cm/s) (3)
So sánh (1) và (2) ta có :
λ
π
x2
= x > λ = 2π (cm)
Vận tốc truyền sóng: v = λf = 100π (cm/s) Tốc độ cực đại của phần tử vật chất của môi trường u’
max
=
300π (cm/s). Suy ra:
1
max
3
3
1
300
100
'
−
===
π
π
u
v
Chọn C
15
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
A.LÍ THUYẾT
+Tổng quát: Nếu phương trình sóng tại nguồn O là
)cos(

x
π
λ
) t ≥ x/v
* Sóng truyền theo chiều âm của trục Ox thì:
u
M
= A
M
cos(ωt + ϕ +
x
v
ω
) = A
M
cos(ωt + ϕ +
2
x
π
λ
)
+Lưu ý: Đơn vị của , x, x
1
, x
2
,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
B.VÍ DỤ
19) Bài 1: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc 40cm/s . Phương

π
(cm). D. u
M
= 2.cos(2
π
t -
)
4
π
(cm)
Giải:
:λ=v.T=40cm ;d= 10cm .
5cos(4 )( )
2
M
u t cm
π
π
= +
. Chọn A
20) Bài 2: Nguồn phát ra sóng có phương trình u = 3 cos(20 πt) cm. Vận tốc truyền sóng là 4 m/s.
Tìm phương trình sóng tại điểm M cách nguồn 20 cm.( sóng truyền theo chiều dương)
A.u =3 cos (20 πt + π ) cm B. u =3 cos (20 πt + π/2 ) cm
C. u =3cos (20 πt + π/3 ) cm D.u =3 cos (20 πt - π ) cm
Giải:
:λ=v.T=40cm ;d= 20cm .
3cos(20 )( )
M
u t cm
π π

Phương trình sóng tại M (sóng truyền theo chiều dương ) là:
25
3cos( 2 ) 3cos( )
50
M
u t t cm
π π π π
= − = −
Vận tốc thì bằng đạo hàm bậc nhất của li độ theo t:
. sin( ) 3. .sin( .2,5 ) 3.sin(1,5 ) 3 /
M
v A t cm s
ω ω ϕ π π π π π
= − + = − − = − =
Chọn B
DẠNG 3: ĐỘ LỆCH PHA GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN CÙNG MÔT PHƯƠNG TRUYỀN SÓNG
A.LÍ THUYẾT
Độ lệch pha giữa hai điểm cách nguồn một khoảng x
M
, x
N:

2
N M N M
MN
x x x x
v
ϕ ω π
λ
− −

MN N M
x x
k k x x k
π π λ
ϕ π
λ
−
∆ = + <=> = + <=> − = +
. ( k ∈ Z )

với k = 0, 1, 2 Lưu ý: Đơn vị của d, x, x
1
, x
2
,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
B.VÍ DỤ
22) Bài 1 : A,B,C,D là bốn đỉnh của hình vuông trên bề mặt chất lỏng có chiều dài cạnh a =20cm. A
là nguồn sóng dao động theo phương thẳng đứng với tần số f=25Hz, tốc độ truyền sóng v=
1m/s. Tổng số điểm trên các cạnh của ABCD dao động ngược pha với nguồn A là:
A. 14 B. 10 C. 28 D. 12
Bài giải:
Số điểm dao đông ngược pha với A cách A một khoảng:

2
(2 1)
d
k
π

2 2 2
GiảihệBPT
1 1 1 24
OMNvuông OH
OH ON OM
13
24
d 2k 1 8
2
2 d
13
2k 1 d 2k 1 có6giátròcủak
2
24
d 2k 1 12
2
13
∆ → = + → = λ

λ
≤ = + ≤ λ

π λ

= + π → = + →   →

λ
λ

≤ = + ≤ λ

M
= u’
M
= -6πsin(2πt) (cm/s)
v
N
=u’
N
= - 6πsin(2πt -
3
2
π
) = -6π(sin2πt.cos
3
2
π
- cos2πt sin
3
2
π
) = 3πsin2πt (cm/s)
Khi tốc độ của M: v
M
= 6π(cm/s) => sin(2πt)  =1
Khi đó tốc độ của N: v
N
= 3πsin(2πt)  = 3π (cm/s). Chọn A
25) Bài 4 : Mợt sóng ngang có chu kì T=0,2s trùn trong mơi trường đàn hời có tớc đợ 1m/s. Xét
trên phương trùn sóng Ox, vào mợt thời điểm nào đó mợt điểm M nằm tại đỉnh sóng thì ở sau
M theo chiều trùn sóng, cách M mợt khoảng từ 42 đến 60cm có điểm N đang từ vị tri cân

ω π
λ
 
= −
 ÷
 
=a
Sau thời gian ∆t nào đó:
( , ) .cos ( ) 2 .
x
u x t t a t t
ω π
λ
 
+ ∆ = + ∆ −
 ÷
 
Dựa vào mối quan hệ lượng giác để tìm ra li độ ở thời điểm sau.
Cáh 2: Coi sóng là hàm tuần hoàn của thời gian, xác định vị trí ban đầu trên đường tròn, xác định góc
quay trong thời gian ∆t và tìm li độ ở thời điểm sau.
+Tìm li độ của điểm N cách M một khoảng x
Xác định độ lệch pha giữa hai điểm M, N dùng đường tròn để giải.
B.BÀI TẬP
27) Bài 1 : Một nguồn O dao động với tần số f = 50Hz tạo ra sóng trên mặt nước có biên độ
3cm(coi như không đổi khi sóng truyền đi). Biết khoảng cách giữa 7 gợn lồi liên tiếp là 9cm.
Điểm M nằm trên mặt nước cách nguồn O đoạn bằng 5cm. Chọn t = 0 là lúc phần tử nước tại O
đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Tại thời điểm t
1
li độ dao động tại M bằng 2cm. Li độ
dao động tại M vào thời điểm t

fta
v
x
fftatxu
.
Theo giả thiết:
cm
2
3
=⇒
λ
,
2
10002,0
1
12
T
Ttts
f
T ++=⇒==
Điểm M tai thời điểm






−−==⇒
2
.22cos.2:

π
2
t +
2
π
) (cm).
Biểu thức của sóng tại M cách O d = OM: u
M
= Acos(
T
π
2
t +
2
π
±
λ
π
d2
) (cm)
Với : dấu (+) ứng với trường hợp sóng truyền từ M tới O;
dấu (-) ứng với trường hợp sóng truyền từ O tới M
Khi t = T/2; d = λ/3 thì u
M
= 2 cm
u
M
= Acos(
T
π

) = 2 cm
=> Acos(
6
13
π
) = Acos(
6
π
) = 2 (cm) => A= 4/
3
cm. Chọn C
=> Acos(
6
5
π
) = 2 (cm) => A < 0 (Loại)
29) Bài 3: Sóng có tần số 20Hz truyền trên chất lỏng với tốc độ 200cm/s, gây ra các dao động theo
phương thẳng đứng của các phần tử chất lỏng. Hai điểm M và N thuộc mặt chất lỏng cùng
phương truyền sóng cách nhau 22,5cm. Biết điểm M nằm gần nguồn sóng hơn. Tại thời điểm t
điểm N hạ xuống thấp nhất. Hỏi sau đó thời gian ngắn nhất là bao nhiêu thì điểm M sẽ hạ xuống
thấp nhất?
A.
3
( )
20
s
B.
3
( )
80

3
===∆⇒
. Chọn B
30) Bài 4 : Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau x = λ/3, sóng có biên
độ A, chu kì T. Tại thời điểm t
1
= 0, có u
M
= +3cm và u
N
= -3cm. Ở thời điểm t
2
liền sau đó có u
M
= +A, biết sóng truyền từ N đến M. Biên độ sóng A và thời điểm t
2
là
A.
cm32
và
12
11T
B.
cm23
và
12
11T
C.
cm32
và

M
u
(cm)
+ Ở thời điểm t
1
, li độ của
điểm M là u
M
= +3cm, đang
giảm.
Đến thời điểm t
2
liền sau đó, li
độ tại M là u
M
= +A.
+ Ta có
ϖ
ϕ
/
12
∆
=−=∆ ttt

với :
T
π
ϖ
π
απϕ

M
M
2

M
1

u(cm)
N
A
3
-3
α
∆ϕ’
-A