Bài tập
phân tích và tổng hợp hệ điều khiển trên máy tính
I. Lý thuyết:
Câu 1: Cho hệ thống có hàm truyền nh sau:
)(
)(
)(Ư
1
0
sU
sY
sW
n
k
kn
k
n
m
j
jm
j
sas
sc
=
+
=


=

=

=

(1)
nh vậy ta phải đa từ dạng hàm truyền (1) về dạng trạng thái nh sau:
x = Ax+Bu
y= Cx + Du
Trong đó: A,B,C,D là các ma trận hệ số mà chúng ta phải xác định từ hàm truyền (1)
U: tín hiệu điều khiển
X: biến trạng thái
Y: tín hiệu ra
Theo yêu cầu của đầu bài thì r = 0, điều đó có nghĩa lã đa thức đặc trng ở mẫu số của hàm truyền
(1) có 3 nghiệm phân biệt. Nh vậy ta có thể viết hàm tryuền (1) nh sau:






=

=
+
=
=
=

=

=


jm
j
s
s
sW
Do đó:
)()(Ư
3
1
0
sU
s
sY
s
K
i
m
j
j



=
=
Trong đó: s
j
là các nghiệm của đa thức đặc trng trogn hàm truyền (1)
K
j
đợc xác định theo c

2
1
1
sU
s
sU
s
sU
s
K
sY
s
K
s
K
s

+

+

=
Đặt biến trạng thái: X
1
(s)
=
)(
1
1
sU

1
(s)+ K
2
X
2
(s)+ K
3
X
3
(s)
sX
1
(s) = s
1
X
1
(s) + U(s)
sX
2
(s) = s
2
X
2
(s) + U(s)
sX
3
(s) = s
3
X
3

1
(t) + s
2
x
2
(t) + 0 x
3
(t) + u(t) (2)
.
x
3
= 0 x
1
(t) + 0 x
2
(t) + s
3
x
3
(t) + u(t)
từ hệ phơng trình (2) với các biến trạng thái x
1
,x
2
,x
3
ta xác định đợc các na trận của hệ thống khi
chuyển từ hàm truyền sang dạng không gian trạng thái nh sau:
s
1

tại các thời điểm kT nh sau:
X(k) = A
k
x(0) +


=

1
0
1
)(
k
j
jk
jBu
A
(2)
đặt t=(k+r)T tơng tự nh (1) ta có:
X(k+r) = A
r
x(k) +

+
=
+
1
1
)(
rk

1
1
)(
rk
kj
jrk
jBu
A
- Du(k+r) (5)
Với r = 0,1,2n-1 ta có
[C CA CA
2
.CA
n-1
]
T
x(k)=

(6)
từ (5) suy ra: y(k+r) - CA
r
x(k) - Du(k+r) =

(7)
Căn cứ vào (6) ta có nhận xét rằng: Trạng thái x(k) của hệ thống tại t=kT tùy ý cho tr ớc sẽ xác
định hữu hạn duy nhất qua hữu hạn n trị số cho trớc của tác động u(j) và n giá trị tơng ứng của dáp ứng
y(j), tức là n trị số thành phần của véc tơ

, điều này xảy ra khi và chỉ khi:
rank (C CA CA

>> hc=tf(ac)
Transfer function:
400

s^2 + 2 s
>> wk=feedback(hc,1);
>> step(wk)
>> nyqust(hc)
+Độ dự trữ ổn định: 85,3%,
+Thời gian quá đô; 3,8s,
+ Sai số ở chế độ xác lập: 0%
+ Độ dự trữ pha: 5,77
0
.
* Nh vậy hệ thống ban đầu đã cho là không ổn định, do đó ta sử dụng thêm phản hồi trạng thái
để làm tăng tính ổn định cũng nh chất lợng của hệ thống.
Từ điều kiện ban đầu của bài toán là: t
s
<0.5s;

<30%. Ta áp dụng bất đẳng thức Evan để tìm
các trị riêng mong muốn nh sau:
t
smac
d
4


;


d
= - 12 ;

d
= 21
Để tăng tính ổn định của hệ thống sử dụng phản hồi trạng thái với trị riêng mong muốn r
1
= - 12 + 21*i và
r
2
= - 12 - 21*i. Từ đó xác định véc tơ phản hồi K nh sau:
>> r=[-12+21*i; -12-21*i];
>> K=acker(Ac,Bc,r)
K =
585 22
>> A=Ac-Bc*K;
>> aps=ss(A,Bc,Cc,Dc); (Hệ thống có phản hồi trạng thái)
>> step(aps)
+Độ dự trữ ổn định: 16,6%,
+Sai số ở chế độ xác lập:35,5%.
+ Thời gian quá độ:
Nh vậy hệ thống khi sử dụng phản hồi trạng thái thì độ dự trữ ổn định tăng lên, thời gian quá độ
giảm xuống nhng sai số ở trạng thái xác lập lớn. Để khắc phục hiện tợng này ta mắc nối tiếp thêm khâu
PID để làm giảm sai số của hệ thống ở trạng thái xác lập.
Khâu PID có hàm truyền nh sau:
W
PID
=K
p
+

>> Km=acker(A1,B1,rm)
Km =
545.0000 37.0000 -21.9375; (Trong đó hệ số K
i
của khâu PID là -21,9375 ).
>> ams=ss(A1-B1*Km,Bf',C1,D1);
>> step(ams)
>>nyquist(ams)
+Độ dự trữ ổn định: 7,16%,
+Thời gian quá đô; 0,324s,
+Sai số ở chế độ xác lập:0%.
* Nh vậy hệ thống khi sử dụng phản hồi trạng thái và mắc nối tiếp thêm khâu PID đã làm cho
các chỉ tiêu chất lợng của hệ thống đảm bảo theo yêu cầu.
Câu 2: Thiết kế hệ thống với đối tợng điều khiển có hàm truyền cho nh sau bằng phơng pha quĩ
đạo nghiệm.
)04,01)(5,01(
200
)(Ư
Ư
0
ss
s
W
++
=
Với điều kiện t
s
<0.5s; V< 500m/s;

<30%;

i
Thay các giá trị t
s
<0.5s;

<30% vào (1) ta xác định đợc

d
= - 8;

d
= 21
Xét hàm truyền của hệ thống ban đầu để xác định các chỉ tiêu chất lợng của hệ thống:
>> n=[200];
>> d=[0.02 0.54 1];
>> Wo = tf(n,d);
>> Wk =feedback(Wo,1);
>> step(Wk)
>> nyquist(Wo)
+ Độ quá chỉnh:

=65,2%
+ Thời gian quá độ của hệ thống: ts=0,288s
+ Độ dự trữ pha:15,4
Từ các chỉ tiêu chất lợng hệ thống xác định của hệ thống ban đầu ở trên ta tháy rằng hệ thống
ban đầu là không ổn định.
Nhiệm vụ của bài toán là phải thiét kế hệ thống với đối tợng điều khiển ban đầu đã cho ở trên
đảm bảo các chỉ tiêu chất lợng theo yêu cầu. Để đạt đợc điều đó ta sử dụng phơng pháp quĩ đạo nghiệm
để thiế kế hệ thống. Các bớc tiến hành nh sau:
- Với đối tợng điều khiển đã cho để tăng tính ổn định của hệ thống ta mắc nối tiếp với hệ thống

K
i
p
=
Hàm truyền của hệ hở là: W
c
=
)04,01)(5,01(
)1(
0
sss
s
K
K
i
++
+

=
)04,01)(5,01(
)1(
sss
s
K
++
+


36
23
+++ s
s
ss

= 0
Vậy hàm Evan là: W

(s) =
3654,002,0
36
23
+++ s
s
ss
>> ne=[36 0];
>> de=[0.02 0.54 1 36];
>> We = tf(ne,de)
Transfer function:
36 s

0.02 s^3 + 0.54 s^2 + s + 36
>> rlocus(ne,de);[t,p]=rlocfind(ne,de)
Select a point in the graphics window
selected_point = -10.6339 -15.1553i
t = 0.2276
p = -10.9011 +15.0821i
-10.9011 -15.0821i
-5.1978

-0.0000 0.5658 1.0000
B =
0.0024
0.0002
0.0001
C =
0 0 1
D =
0
>> Fd=ss(A,B,C,D,T);
>> Fz=feedback(Fd,1);
>> step(Fz)
>> R=[1];V=[50];Q=C'*V*C;
>> K=dlqr(A,B,Q,R)
K =
-0.6436 168.3611 6.9555
>> Fpz=ss(A-B*K,B,C-D*K,D,T);
>> step(Fpz)
>> nyquist(Fd)