Chương 2
: ði
ều khiển tối
ưu

Trang 125Chương 2

ðIỀU KHIỂN TỐI ƯU

2.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU
2.1.1 ðặc ñiểm của bài toán tối ưu
1. Khái niệm
Một hệ ñiều khiển ñược thiết kế ở chế ñộ làm việc tốt nhất là hệ luôn ở trạng
thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào ñó ( ñạt ñược giá trị cực trị ) .
Trạng thái tối ưu có ñạt ñược hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng
ñặt ra , vào sự hiểu biết về ñối tượng và các tác ñộng lên ñối tượng , vào
ñiều kiện làm việc của hệ ñiều khiển …
Một số ký hiệu sử dụng trong chương 2.

Hình 2.1: Sơ ñồ hệ thống ñiều khiển .

Hệ thống ñiều khiển như hình trên bao gồm các phần tử chủ yếu : ñối tượng
ñiều khiển ( ðTðK ) , cơ cấu ñiều khiển ( CCðK ) và vòng hồi tiếp ( K ) .
Với các ký hiệu :
r : tín hiệu ñầu vào, mục tiêu ñiều khiển, ñáp ứng mong muốn của hệ thống.
u : tín hiệu ñiều khiển, luật ñiều khiển.
x : tín hiệu ñầu ra, ñáp ứng ra của hệ thống.
ε


Khi tín hiệu ñiều khiển u giới hạn trong miền [u
1
,u
2
] , ta có ñược giá trị tối
ưu cực ñại
1
J
∗
của chỉ tiêu chất lượng J ứng với tín hiệu ñiều khiển
1
u
∗
.
Khi tín hiệu ñiều khiển u không bị ràng buộc bởi ñiều kiện
1 2
u u u
≤ ≤
, ta
có ñược giá trị tối ưu
2 1
J J
∗ ∗
>
ứng với
2
u
∗
. Như vậy giá trị tối ưu thực sự

giá trị tối ưu toàn cục .

ðiều kiện tồn tại cực trị :
• ðạo hàm bậc một của J theo u phải bằng 0 :
0=
∂
∂
u
J

•

Xét giá tr
ị

ñạ
o hàm b
ậ
c hai c
ủ
a J theo u t
ạ
i
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

:
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
là c
ự
c
ñạ
i
2. ðiều kiện thành lập bài toán tối ưu
Chương 2
: ði
ều khiển tối
ưu

Trang 127

ðể thành lập bài toán tối ưu thì yêu cầu ñầu tiên là hệ thống phải có ñặc tính
phi tuyến có cực trị .
Bước quan trọng trong việc thành lập một hệ tối ưu là xác ñịnh chỉ tiêu chất
lượng J . Nhiệm vụ cơ bản ở ñây là bảo ñảm cực trị của chỉ tiêu chất lượng
J . Ví dụ như khi xây dựng hệ tối ưu tác ñộng nhanh thì yêu cầu ñối với hệ
là nhanh chóng chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác với thời gian
quá ñộ nhỏ nhất , nghĩa là cực tiểu hóa thời gian quá ñộ . Hay khi tính toán
ñộng cơ tên lửa thì chỉ tiêu chất lượng là vượt ñược khoảng cách lớn nhất
với lượng nhiên liệu ñã cho .

M u c q
d
k i M M
dt
ω
− =
(1)

d
dt
ϕ
ω
=
(2)
Ch
ươ
ng 2
: ði
ều khiển tối
ưu

Trang 128

trong ñó
M M
k C const
= Φ =
;
M
q


2
2
u
d
i
d
ϕ
τ
=
(4)
Từ ñó ta có :

2
2
d x
u
d
τ
=
(5)
Vậy phương trình trạng thái của ñộng cơ ñiện là một phương trình vi phân
cấp hai với tín hiệu ñiều khiển u là dòng ñiện phần ứng i
ư,
tín hiệu ra là góc
quay
ϕ
.

•

J
sẽ là :

0
[ ( ), ( ), ]
T
J L x t u t t dt T
= =
∫

Rõ ràng từ phương trình trên ta phải có
[ ( ), ( ), ] 1
L x t u t t
=
.
Như vậy , ñối với bài toán tối ưu tác ñộng nhanh thì chỉ tiêu chất lượng
J
có
dạng :

∫
==
T
TdtJ
0
1
•

Bài toán n
ă

&
&
và ta sẽ có chỉ tiêu chất lượng
J
ñối với
bài toán năng suất tối ưu như sau :

( )
0
T
J x t dt
=
∫
&

Ch
ươ
ng 2
: ði
ều khiển tối
ưu

Trang 129

•

Bài toán n
ă
ng l
ượ


2
0
0 0
( )
T T
e c
u u T u u
M
k M
Q U i dt R i dt
k
ϕ ϕ
= = − +
∫ ∫

ðể có ñược tiêu hao năng lượng tối thiểu , ta chỉ cần tìm cực tiểu của
J
:

2
0 0
[ ( ), ( ), ]
T T
u
J L x t u t t dt i dt
= =
∫ ∫

Mà dòng ñiện phần ứng

m
Ru ∈

. Chúng ta cần
chọn giá trị của u sao cho L(u) ñạt giá trị nhỏ nhất .
ðể giải bài toán tối ưu , ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho ñộ biến thiên của
L(u) như sau :

)3(
2
1
OduLduduLdL
uu
TT
u
++= (2.1)
V
ớ
i O(3) là s
ố
h
ạ
ng th
ứ
3. Grad c
ủ
a L theo u là m
ộ
t vector m c
ộ

u
uL
uL
uL
u
L
L
/
/
/
2
1
M
(2.2)
và ñạo hàm cấp 2 của L theo u là một ma trận m x m ( còn gọi là ma trận
Hessian ) :









∂∂
∂
=
∂
∂

uu
T
+= (2.5)
là xác
ñị
nh d
ươ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ự
bi
ế
n thiên du .
ð
i
ề
u này
ñượ
c
ñả
m b
ả
o n
ế
u ma
tr
ậ

m c
ự
c
ñạ
i ; còn n
ế
u L
uu

là không xác
ñị
nh thì
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
chính là
ñ
i
ể
m yên ng
ự
a . N
ế
u L
uu
là bán

.

Nh
ắ
c l
ạ
i : L
uu
là xác
ñị
nh d
ươ
ng ( ho
ặ
c âm ) n
ế
u nh
ư
các giá tr
ị
riêng c
ủ
a nó
là d
ươ
ng ( ho
ặ
c âm ) , không xác
ñị
nh n

ế
n
ế
u
0=
uu
L
, thì thành ph
ầ
n th
ứ
hai s
ẽ
không hoàn
toàn ch
ỉ
ra
ñượ
c lo
ạ
i c
ủ
a
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị


.
ðể tìm ñiều kiện cần và ñủ của giá trị cực tiểu , ñồng thời thỏa mãn
(
)
0, =uxf
, ta cần làm chính xác như trong phần trước . ðầu tiên ta khai
triển dL dưới dạng chuỗi Taylor , sau ñó xác ñịnh số hạng thứ nhất và thứ
hai là L
u
& L
uu
.

Thừa số Lagrange và hàm Hamilton .
Tại ñiểm cực trị , dL với giá trị thứ nhất bằng 0 với mọi sự biến thiên của
du khi df bằng 0 . Như vậy chúng ta cần có:

0=+= dxLduLdL
T
x
T
u
(2.8)
0=+= dxfdufdf
xu
(2.9)
Từ (2.7) ta xác ñịnh ñược x từ giá trị u ñã có, ñộ biến thiên dx ñược xác ñịnh
bởi (2.9) từ giá trị biến thiên du với ñiều kiện ma trận Jacobi là không kỳ dị
0≠

T
x
T
u
df
LffLffLL
u
L
−−
=
−=−=
∂
∂
1
0
(2.12)
với
(
)
T
x
T
x
ff
1−−
=
. Lưu ý rằng :

u
dx









=






du
dx
ff
LL
df
dL
ux
T
u
T
x
(2.15)
Chương 2
: ði
ều khiển tối


ux
T
u
T
x
T
ff
LL
λ
(2.16)
Hay:
0=+
x
TT
x
fL
λ
(2.17)

0=+
u
TT
u
fL
λ
(2.18)
Giải (2.17) ta ñược
λ
:

∂
∂
−
=
T
x
T
x
du
fL
f
L
1
0
(2.21)
Do ñó
-
λ
là ñạo hàm riêng của L với biến ñiều khiển u là hằng số . ðiều này
nói lên tác dụng của hàm chỉ tiêu chất lượng với biến ñiều khiển không ñổi
khi ñiều kiện ràng buộc thay ñổi .
Như là một cách thứ ba ñể tìm ñược (2.14), ta phát triển thêm ñể sử dụng
cho các phân tích trong những phần sau. Kết hợp ñiều kiện ràng buộc và
hàm chỉ tiêu chất lượng ñể thành lập hàm Hamilton .

(
)
(
)
(

H =
∂
∂
=
λ
λ
(2.24)
Gi
ả
s
ử
chúng ta ch
ọ
n các giá tr
ị
c
ủ
a u th
ỏ
a mãn:
0=
λ
H (2.25)
Ch
ươ
ng 2
:
ð
i
ề

u ki
ệ
n ràng
bu
ộ
c
(
)
0, =uxf
. Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này hàm Hamilton t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
hàm ch
ỉ
tiêu ch
ấ
t l
ượ
ng:

LH
f

c ch
ọ
n
λ
sao cho :
0=
x
H (2.27)
ðạ
o hàm (2.22) theo x:

0=+=
∂
∂
λ
T
xx
fL
x
H
(2.28)
hay
1−
−=
x
T
x
T
fL
λ

i
ề
u ki
ệ
n:
0=
u
H (2.30)
Tóm l
ạ
i ,
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
ñể
có
ñượ
c
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể

xx
fL
x
H
(2.31b)

0=+=
∂
∂
λ
T
uu
fL
u
H
(2.31c)
V
ớ
i
(
)
λ
,,uxH
xác
ñị
nh b
ở
i (2.22) . Cách th
ườ
ng dùng là t

ng trình (2.17) và
(2.18) .
Trong nhi
ề
u
ứ
ng d
ụ
ng , chúng ta không quan tâm
ñế
n giá tr
ị
c
ủ
a
λ
, tuy
nhiên ta v
ẫ
n ph
ả
i
ñ
i tìm giá tr
ị
c
ủ
a nó vì
ñ
ó là m

a s
ố
Lagrange có th
ể
tóm t
ắ
t nh
ư
sau : trên th
ự
c t
ế
, hai
ñạ
i
l
ượ
ng dx và du không ph
ả
i là hai
ñạ
i l
ượ
ng bi
ế
n thiên
ñộ
c l
ậ
p v

ượ
ng bi
ế
n thiên
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau .
L
ấ
y
ñạ
o hàm riêng c
ủ
a H l
ầ
n l
ượ
t theo các bi
ế
n nh
ư
trong (2.31) , nh
ư
th
ế
ta
s

ừ
a s
ố
Lagrange , chúng ta có th
ể
thay th
ế
bài toán tìm giá tr
ị

nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a L(x,u) v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm
giá tr
ị
nh

ể
m d
ừ
ng . Ta s
ẽ
ti
ế
p t
ụ
c ch
ứ
ng minh
ñ
ây
là
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u nh
ư

ñ
ã th
ự
c hi
ệ

LL
LL
dudx
du
dx
LLdL
uuux
xuxx
TTT
u
T
x
+












+











+






=
(2.33)
V
ớ
i:

x
u
f
f
xu
∂∂
∂
=
∆
2


T
x
T
+












+






=







nh
ấ
t c
ủ
a dL b
ằ
ng 0 v
ớ
i m
ọ
i s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a dx và du . Vì
0
=
f

nên
0
=
df
, và
ñ
i
ề
u này

ầ
n th
ứ
hai .
ðầ
u tiên , ta c
ầ
n xem m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a dx và du trong (2.34) . Gi
ả
s
ử
r
ằ
ng
chúng ta
ñ
ang
ở

ñ
i
ể
m c
ự

1
Odu
I
ff
HH
HH
IffdudL
ux
uuux
xuxx
T
x
T
u
T
+






−






−=

ế
n thiên c
ủ
a du .
ð
i
ề
u này
ñượ
c
ñả
m b
ả
o n
ế
u nh
ư
ma tr
ậ
n u
ố
n v
ớ
i f luôn
b
ằ
ng 0 là xác
ñị
nh d
ươ

1
−−−−
−
−
∆
+−−=






−






−==
(2.37)
Chương 2
:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố

và
u
thì (2.37)
ñượ
c rút l
ạ
i thành
L
uu

ở
ph
ươ
ng trình (2.3) .
N
ế
u (2.37) là xác
ñị
nh âm ( ho
ặ
c không xác
ñị
nh ) thì
ñ
i
ể
m d
ừ
ng s
ẽ

uuL
T
21
2212
1211
2
1
)( +






=
(1)

uSQuu
TT
+=
∆
2
1
(2)
ð
i
ể
m c
ự
c tr

i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u.
Lo
ạ
i c
ủ
a
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

ñượ
c xác
ñị
nh b
ằ
ng cách xét ma tr
ậ
n

i
ể
m c
ự
c
ñạ
i n
ế
u
L
uu
< 0 (
0
11
<q
và 0
2
122211
>− qqq
) . N
ế
u
0<Q
, thì
u*
là
ñ
i
ể
m

c
ñạ
i t
ừ

L
uu
.
B
ằ
ng cách thay (4) vào (2) ta s
ẽ
tìm
ñượ
c giá tr
ị
c
ủ
a hàm ch
ỉ
tiêu ch
ấ
t l
ượ
ng
nh
ư
sau :

SQSSQQQSuLL

1
+






=
(7)
Khi
ñ
ó giá tr
ị

u
t
ố
i
ư
u s
ẽ
là:






−

ể
n t
ố
i
ư
u

Trang 136

là m
ộ
t c
ự
c ti
ể
u , vì
L
uu
> 0 . T
ừ
(6) giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
L

T
. Các m
ũ
i tên là gradient .







++
+
=+=
12
21
21
uu
uu
SQuL
u
(9)
L
ư
u ý r
ằ
ng gradient luôn luôn vuông góc v
ớ
i các
ñườ

a
u
và
L
c
ầ
n tìm . Tuy nhiên ta
th
ườ
ng b
ỏ
qua d
ấ
u “*” .


là các
ñạ
i l
ượ
ng vô h
ướ
ng .
ð
i
ể
m c
ự
c tr
ị
xu
ấ
t hi
ệ
n khi
ñạ
o hàm
riêng c
ủ
a
L
theo t
ấ
t c
ả
các

2
=++=
∂
∂
uu
u
L
(2b)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình trên ta
ñượ
c :
1,1
21
−== uu
(3)
V
ậ
y ,
ñ
i
ể
m c
ự
c tr

ñượ
c m
ộ
t k
ế
t qu
ả
t
ươ
ng t
ự
b
ằ
ng m
ộ
t cách khác .

Tối ưu hóa có ñiều kiện ràng buộc
Ví dụ 2.3 : Không gian toàn phương với ñiều kiện ràng buộc tuyến tính .
Giả sử hàm chỉ tiêu chất lượng ñược cho bởi ví dụ 2.1 với các ñại lượng vô
hướng
21
,uu
ñược thay thế bằng
u
x
,
:

[ ] [ ]

Với ñiều kiện ràng buộc :

(
)
03, =−= xuxf
(2)
Hàm Hamilton sẽ là :

)3(
2
1
22
−++++=+= xuuxuxfLH
T
λλ
(3)
v
ớ
i
λ
là m
ộ
t
ñạ
i l
ượ
ng vô h
ướ
ng .
ð

= -1 .
ð
i
ể
m d
ừ
ng là :

(
)
(
)
2,3, −=
∗
ux
(7)
ðể
xác
ñị
nh (7) là
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u , tìm ma tr
ậ
n u

u .
Các
ñườ
ng
ñồ
ng m
ứ
c c
ủ
a L(x,u) và
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c (2)
ñượ
c v
ẽ
trong
Hình 2.5 .
Grad c
ủ
a f(x,u) trong h
ệ
t
ọ
a

c v
ẽ
trong Hình 2.5 . Và grad c
ủ
a L(x,u) :
Ch
ươ
ng 2
:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u

Trang 138





++








=






0
1
u
x
L
L
(11)
C
ầ
n l
ư
u ý r
ằ
ng gradf và gradL t
ươ
ng

u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c (2) là
ñườ
ng ti
ế
p
tuy
ế
n c
ủ
a các
ñườ
ng
ñồ
ng m
ứ
c c
ủ
a L. Di chuy
ể
n h
ướ
ng d
ọ
c theo
ñườ
ng

(1) , ta
ñượ
c L*=0,5 .
Vì
λ
= -1 , gi
ữ
nguyên giá tr
ị
u = -2 , thay
ñổ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c df ( d
ị
ch
chuy
ể
n
ñườ
ng th
ẳ
ng trong Hình 2.5 v
ề

2
1
),(
b
y
a
x
uxL
(1)
Với ñiều kiện ràng buộc tuyến tính :

(
)
cmuxuxf −+=,
(2)
Các ñường ñồng mức của L(x,u) là những ellip; nếu L(x,u) = l
2
/2, thì bán
kính trục chính và bán kính trục phụ là al và bl . ðiều kiện ràng buộc f(x,u)
là một họ các ñường thẳng chứa thông số c . Xem Hình 2.6 ( lưu ý rằng u là
biến ñộc lập , với x ñược xác ñịnh bởi f(x,u) = 0 ) .
Hàm Hamilton là :

)(
2
1
2
2
2
2

x
(5)

0
2
=+= m
b
u
H
u
λ
(6)
Ch
ươ
ng 2
:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u

Trang 139
a L(x,u) và
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c f(x,u).

ðể
gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình này , tr
ướ
c h
ế
t ta s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng trình (6)
ñể


ñể
kh
ử
u , k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (5) và
ñượ
c
vi
ế
t l
ạ
i :







=






ñ
i
ể
m d
ừ
ng :

222
2
m
b
a
ca
x
+
= (9)
Ch
ươ
ng 2
:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u

+
= (11)
ðể
xác
ñị
nh
ñ
i
ể
m d
ừ
ng là c
ự
c ti
ể
u , dùng (2.37)
ñể
tìm ra ma tr
ậ
n u
ố
n :

2
2
2
1
a
m
b

ư
u c
ủ
a hàm ch
ỉ
tiêu ch
ấ
t l
ượ
ng :

222
2
*
2
1
m
b
a
c
L
+
= (13)
ðể
ki
ể
m ch
ứ
ng (2.21) , l
ư


=






1
m
f
f
x
u
(15)
ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n trong Hình 2.6 . GradL là :










có giá tr
ị
:

222
*
1
mba
c
m
L
L
x
u
+






=






(17)
ð

t
ñườ
ng
ñồ
ng m
ứ
c c
ủ
a L(x,u) .

Ví dụ 2.5 : Hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương với ñiều kiện ràng
buộc tuyến tính .
Bây giờ ta tổng quát hóa ví dụ 2.4 với vector
n
Rx ∈ ,
m
Ru ∈ ,
n
Rf ∈ ,
n
R∈
λ
.
Xét hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương:
Chương 2
: ði
ều khiển tối
ưu

Trang 141

v
ớ
i Q , R và B là các ma tr
ậ
n , c là vector n hàng . Gi
ả
s
ử
Q
≥
0 và R > 0
( v
ớ
i Q , R là ma tr
ậ
n
ñố
i x
ứ
ng ) . Các
ñườ
ng
ñồ
ng m
ứ
c c
ủ
a L(x,u) là các
ñườ
ng ellip trong không gian , và f(x,u)=0 là m

(3)
và các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
có
ñ
i
ể
m d
ừ
ng là :
0
=++=
cBuxH
λ
(4)
0
=+=
λ
QxH
x
(5)

0=+=
λ

ừ
(5) ta có :

Qx
−
=
λ
(8)
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (4) ta
ñượ
c :

QcQBu
+
=
λ
(9)
dùng k
ế
t qu
ả
này thay vào (7) cho ta :
)(
1

ủ
a (R + B
T
QB) và vì
th
ế
giá tr
ị
u t
ố
i
ư
u là :
QcBQBBRu
TT
1
)(
−
+−=
(12)
So sánh k
ế
t qu
ả
này v
ớ
i (11) trong ví d
ụ
2.4 .
Thay (12) vào (4) và (9) cho ta giá tr

)
1
T T
Q QB R B QB B Q c
λ
−
= − +
(14)
B
ằ
ng b
ổ

ñề
c
ủ
a ngh
ị
ch
ñả
o ma tr
ậ
n :
hay :

Ch
ươ
ng 2
:
ð

t qu
ả
trên s
ẽ
rút l
ạ
i thành k
ế
t qu
ả
c
ủ
a ví d
ụ
2.4 trong
tr
ườ
ng h
ợ
p vô h
ướ
ng .
ðể
xác
ñị
nh bi
ế
n
ñ
i

ủ
a R và Q
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n .

QBBRL
Tf
uu
+=
(16)
S
ử
d
ụ
ng (12) và (13) th
ế
vào (1) ta có
ñượ
c giá tr
ị
t
ố
i
ư
u :


Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa parabol :
dbxaxy ++=
2
(1)
với ñường thẳng :

c
x
y
+
=
(2)
Xem Hình 2.7 .
Trong bài toán này sẽ có hai ñiều kiện ràng buộc :
0),(
1
2
11111
=−−−= dbxaxyyxf (3)
Và :
0),(
22222
=−−= cxyyxf
(4)
với
(
)
11
, yx
là 1 ñiểm trên parabol và







=






=






=
∆∆∆
2
1
2
1
2
1
,,
y

)(
2
1
2221
2
111
2
21
2
21
cxydbxaxyyyxxH −−+−−−+−+−=
λλ
(7)
Khi
ñ
ó ,
ñể
có
ñ
i
ể
m d
ừ
ng ta c
ầ
n có :

02
11121
1

y
(11)

0
1
2
11
1
=−−−= dbxaxyH
λ
(12)

0
22
2
=−−= cxyH
λ
(13)
Gi
ả
i (12)
ñể
có
ñượ
c
1
y
nh
ư
sau :

ả
sau :
Ch
ươ
ng 2
:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u

Trang 144

cxdbxaxxx
−−++=−
21
2
112
(16)
Khi
đ
ó :

(

−+−+−=
1
2
11
)1(
2
1
λ
(18)
Cu
ố
i cùng , chú ý r
ằ
ng (8) là :

(
)
(
)
012
11
=−+
λ
bax
(19)
hay :

(
)
(

a, b, c, d
cho tr
ướ
c . N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ
t ngang qua parabol thì giao
đ
i
ể
m s
ẽ
là k
ế
t
qu
ả
t
ố
i
ư
u ( khi
đ
ó
λ

ộ
t khi tìm
đượ
c x
1
thì ta s
ẽ
tìm
đượ
c x
2
, y
1
và y
2
l
ầ
n l
ượ
t
theo các ph
ươ
ng trình (17) , (14) và (15) . Thay các giá tr
ị
t
ố
i
ư
u này vào (5)
s

MM
x
O:
0
3.565.1
20
30
=∠⇒===∠
x
x
x
x
MOM
OM
MM
MOMtg

0555.363020
2222
=+=+=
xx
OMMMOM

20

30

M

N


Vậy khoảng cách ngắn nhất là NM = 2.32 miles

Cách 2:
dùng phương pháp Euler_Lagrange:
Yêu cầu: tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(20, 30) đến đường
thẳng
3
y x
=
ðiều kiện ràng buộc :
(
)
, 3 0
f x y y x
= − =

Trong đó (x, y) là một điểm thuộc đường thẳng.
Chọn hàm chỉ tiêu chất lượng là bình phương khoảng cách giữa 2
điểm trong mặt phẳng:
( ) ( ) ( )
2 2
, 20 30
L x y x y= − + −

Hàm Hamilton là :
( ) ( ) ( )
(
)
2 2

y miles
λ

=

=


= −


Vậy điểm cần tìm có toạ độ là
(
)
18, 31.177
N .
Khoảng cách ngắn nhất : Gọi D là khoảng cách từ hòn đảo tới điểm N. Khi đó : Gọi
t
là thời gian tàu đi từ điểm M tới điểm gần nhất N.
min
2.32
0.232 ( )
10
= = =

ư
u

Trang 146

Ví dụ 2.8:
Tìm điểm A bất kỳ thuộc đường thẳng d trong không gian sao cho khoảng
cách từ gốc toạ độ O đến A là nhỏ nhất. Đường thẳng d trong không gian
cho bởi hệ phương trình:
d



=−+
=++
432
123
zyx
zyx

Giải:

Cách 1
: dùng phương pháp hình học giải tích:
•
u : vector chỉ phương của đường thẳng d:
( )
4,10,8
21
23

=0 ta tính y
A
, z
A
)

•
Khoảng cách ngắn nhất từ O đến d:
[
]
u
uAO
OHdOdOAd
,
),(min)( === Để khoảng cách là nhỏ nhất thì:
OHOA =

Khi đó:
0697.1
180
206
410)8(
)7()6()11(
min)(

3
'
410
4
3
8
7
(, −−−=
−
−
−
−
=
uAO
x

z

d

y

OA

Chương 2
: ði
ều khiển tối

⇒ OA
2
= (x
2
)
2
+ (y
2
)
2
+ (z
2
)
2

Phiếm hàm tối ưu: L(x
2
,y
2
,z
2
) = OA
2
= (x
2
)
2
+ (y
2
)

)=x
2
+ 2y
2
– 3z
2
- 4=0 (3)
Thành lập hàm Hamilton:
H(x
2
,y
2
,z
2
,λ
1
,λ
2
) = x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
+ λ
1
f

Tính đạo
hàm H
x2
, H
y2
H
z2
,H
λ1
, H
λ2
cho bằng 0
Xác đònh
λ
1
,
λ
2Và điểm tối ưu A(x
2
,y
2
,z
2)

Kiểm tra

Kết thúc

-1) +
λ
2
(x
2
+ 2y
2
-3z
2
- 4) (4)
Điều kiện cần để có điểm cực tiểu của L(x
2
,y
2
,z
2
) thoả mãn điều kiện
ràng buộc f(x
2
,y
2
,z
2
)=0 khi:
0
0
0
0
22
2

y
H
fL
x
H
f
H

Xác đònh điểm dừng:
032
212
2
2
=++=
∂
∂
=
λλ
x
x
H
H
x
(5)
0222
212
2
2
=++=
∂

∂
= zyx
H
H
λ
λ
(8)
0432
222
2
2
=−−+=
∂
∂
= zyx
H
H
λ
λ
(9)
Từ (5), (6), (7) nhận đïc:
( )
212
3
2
1
λλ
−−=x
(10)
( )

043
2
3
23
2
1
212121
=−+−−−−+−−
λλλλλλ
(14)
Ch
ươ
ng 2
:
ð
i
ề
u khi
ể
n t
ố
i
ư
u

Trang 149






90
23
2
=x
;
9
5
2
=y
;
90
79
2
=z
.
x
2
= 0.255; y
2
= 0.555, z
2
= -0.877.
L(x
2
,y
2
,z
2
) = OA

zyx
1.069.
Kiểm tra lại:
Có nhiều phương pháp kiểm tra lại kết quả trên là cực tiểu:
- phương pháp kiểm tra ma trận uốn L
uu,
tuy nhiên ở bài tập trên
phiếm hàm tối ưu L theo 3 biến nên việc xác đònh ma trận uốn
phức tạp.
- Phương pháp thử sai:
• So sánh giá trò tọa độ, khoảng cách tính được bằng phng pháp
thử sai với giá trò mà ta dùng phương pháp biến phân cổ điển
Euler_Lagrange.
• Để kiểm tra đây là cực tiểu cục bộ hay toàn phần ta cho phạm vi
thay đổi của điểm A rộng hơn.

Ví dụ 2.9 :
a. Chứng tỏ giá trò min của hàm x
2
y
2
z
2
trên mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
= r

Chọn phiếm hàm tối ưu là : L(x,y,z) = x
2
y
2
z
2
(*)
Điều kiện ràng buộc là: f(x,y,z) = x
2
+y
2
+z
2
- r
2
= 0
Thành lập hàm Hamilton :
H(x,y,z) = x
2
y
2
z
2
+ λ(x
2
+y
2
+z
2
- r