Nguyễn toàn phong Page 1 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Chương I
Friday, September 17,
2010
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ
TRUYỀN NHIỆT và
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

A. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Nhiệt lượng
⇒ Là năng lượng trao đổi khi có chênh lệch nhiệt độ
Nguyễn toàn phong Page 2 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt

Nhiệt lượng trao đổi theo ba hình thức cơ bản: dẫn nhiệt,
trao đổi nhiệt đối lưu và trao đổi nhiệt bức xạ
Nguyễn toàn phong Page 3 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
I. DẪN NHIỆT
⇒ Nhiệt lượng truyền giữa hai vật tiếp xúc trực tiếp
với nhau có chênh lệch nhiệt độ
⇒ hoặc giữa các vùng có nhiệt độ khác nhau trong
cùng một vật.


Nhiệt độ Là thông số trạng thái biểu thò mức độ nóng
lạnh của vật.
Là yếu tố quyết đònh phương hướng chuyển
động của dòng nhiệt.
Trường nhiệt độ Mô tả giá trò nhiệt độ trong vật theo
thời gian.
Trong trường hợp tổng quát nhiệt độ là hàm số của tọa độ
và thời gian.

( )
( )
( )
τθφ=
τφ=
τ=
,,,rft
,z,,rft
,z,y,xft
(1-1)
Nguyễn toàn phong Page 9 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
• Trường nhiệt độ ổn đònh

( )
0
t
z,y,xft
=

∂
=
(1-4)
• Trường nhiệt độ ổn đònh biến thiên 1 chiều

( )
0
t
và0
z
t
y
t
xft
=
τ∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
(1-5)
Nguyễn toàn phong Page 10 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
VII. GRADIENT NHIỆT ĐỘ
Mặt đẳng nhiệt: Tập hợp các điểm có nhiệt độ giống
nhau tại một thời điểm nào đó.
 Mặt đẳng nhiệt không cắt nhau.

tt ∆+

t
ϕ

n
t
∂
∂

s
t
∂
∂

s
n
Nguyễn toàn phong Page 11 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Hay
tgradntgrad
o
=
(1-7)
n
o
Vectơ pháp tuyến đơn vò theo chiều tăng nhiệt độ
với bề mặt đẳng nhiệt.

k)z,ncos(j)y,ncos(i)x,ncos(n
o

(1-10)

Nguyễn toàn phong Page 12 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
B. ĐỊNH LUẬT FOURIER
Đây là đònh luật cơ bản của dẫn nhiệt trong vật chất.
“Nhiệt lượng dQ
τ
truyền qua phần tử bề mặt đẳng nhiệt dF
trong khoảng thời gian d
τ
tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ”

τ⋅⋅
∂
∂
⋅λ−=∂
τ
ddF
n
t
Q
J (1-11)
Dấu “ −” Do nhiệt lượng luôn đi từ nơi có nhiệt độ cao
đến nơi có nhiệt độ thấp.
λ
Hệ số dẫn nhiệt, là thông số vật lý đặc trưng
cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu. W/(m.K)
Mật độ dòng nhiệt nhiệt lượng truyền qua một đơn vò
bề mặt đẳng nhiệt trong một đơn vò
thời gian:



∂
∂
⋅λ−=
∂
∂
⋅λ−=
∂
∂
⋅λ−=
z
t
q
y
t
q
x
t
q
z
y
x
(1-14)

tgradq
F
⋅λ−=
hay
tq

 Trong chất lỏng và chất cách điện
⇒ do tác dụng của sóng đàn hồi
 Trong kim loại
⇒ do sự khuếch tán của các điện tử tự do (dao động
đàn hồi của mạng tinh thể đóng vai trò thứ yếu)
Các giả thuyết khi thiết lập phương trình vi phân dẫn nhiệt:
+ Vật đồng chất và đẳng hướng.
+ Thông số vật lý là hằng số.
+ Vật xem là hoàn toàn cứng (sự thay đổi thể tích do
nhiệt độ gây nên rất bé)
+ Các phần vó mô của vật không có sự chuyển động
tương đối vơí nhau.
+ Nguồn nhiệt bên trong phân bố đều:
constq
v
=
, W/m
3

Nguyễn toàn phong Page 15 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Phương trình vi phân dẫn nhiệt được xây dựng dựa trên
cơ sở đònh luật bảo toàn năng lượng và đònh luật Fourier.
Đònh luật bảo toàn năng lượng: “Nhiệt lượng
δ
Q
1
đưa
vào phần tử thể tích dV sau khoảng thời gian d
τ
do dẫn nhiệt

τ⋅⋅⋅=∂ ddzdyqQ
xxτ⋅⋅⋅=∂
++
ddzdyqQ
dxxdxx

Nhiệt lượng tích tụ lại trong phần tử thể tích theo phương
x sau khoảng thời gian d
τ
:

( )
τ⋅⋅⋅−=
∂−∂=∂
+
+
ddzdyqq
QQQ
dxxx
dxxxx1
(1-19.a)
Hàm
dxx
q
+
liên tục trong khoảng dx, do đó có thể khai
triển theo chuổi Taylor như sau:

+⋅
∂
∂
+=
+

Nếu chỉ lấy 2 số hạng đầu, thế vào (a) ta có:

τ⋅⋅⋅⋅
∂
∂
−
=∂ ddzdydx
x
q
Q
x
x1
(1-19.b)
Tương tự, nhiệt lượng tích tụ theo phương y và z là:

τ⋅⋅⋅⋅
∂
∂
−=∂ ddzdydx
y
q
Q
y
y1

∂
+
∂
∂
−=
∂+∂+∂=∂
ddVqddV
z
q
y
q
x
q
QQQQ
z
y
x
z1y1x11
(1-19.c)
Nguyễn toàn phong Page 17 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
Nhiệt lượng tỏa ra do nguồn nhiệt bên trong
v
q
[W/m
3
]
(phân bố đều):

τ⋅⋅=∂ ddVqQ
v2

q
.C
1t
v
(1-20)
Thế phương trình 1-15 vào 1-20
Ta được
ρ
+∇⋅
ρ
λ
=
τ∂
∂
.C
q
t
.C
t
v
2

Hay
ρ
+∇⋅=
τ∂
∂
.C
q
ta


ρ
+






∂
∂
+
φ∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
τ∂
∂
.C
q
z
tt
r
1
r

sincosrx
(1-24)
vào phương trình 1-21, phương trình vi phân dẫn nhiệt
trong hệ tọa độ cầu có dạng:
( )
ρ
+






φ∂
∂
⋅
θ
+






θ∂
∂
⋅θ
θ∂
∂
⋅

D. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU
KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG
I. TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC
P/trình 1-21
ρ
+∇⋅=
τ∂
∂
.C
q
ta
t
v
2

Trường hợp này mặt đẳng nhiệt là những mặt phẳng song
song → nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương x, ta có








==
τ∂
∂
=




∂
∂
+
φ∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
τ∂
∂
.C
q
z
tt
r
1
r
t
r
1
r
t
a

0
z
t
0
t
v

⇒

0
dr
dt
r
1
dr
td
2
2
=⋅+⇒

0
dr
dt
r
dr
d
=


θ∂
∂
⋅θ
θ∂
∂
⋅
θ
+⋅
∂
∂
⋅⋅=
τ∂
∂
.c
q
t
sin.r
1t
sin
sin.r
1
tr
r
r
1
a
t
v
2

⇒

( )
0
dr
dt
r
2
dr
td
0tr
dr
d
r
1
2
2
2
2
=⋅+⇔=⋅⋅⇒

0
dr
dt
r
dr
d

⇒




≡
=
rx
0n

ii. Tọa độ trụ

⇒

1n =

iii. Tọa độ cầu

⇒

2n =Nguyễn toàn phong Page 22 of 24 Chương I – KNCB & PT Vi Phân Dẫn Nhiệt
E. ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ
I. ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC
Đặc trưng hình dáng, kích thước của vật tham gia quá trình.
II. ĐIỀU KIỆN VẬT LÝ
Cho biết các thông số vật lý của vật: λ, C, ρ … và có
thể cho biết qui luật phân bố nguồn nhiệt bên trong vật.

lượng truyền qua δQ
2. Điều kiện biên loại 2
Cho biết nhiệt lượng truyền qua δQ, cần tìm quy luật
phân bố nhiệt độ bề mặt của vật t
w
.
3. Điều kiện biên loại 3
Cho biết nhiệt độ môi trường xung quanh t
f
và quy luật
trao đổi nhiệt giữa bề mặt với môi trường (trong quá trình
làm nguội hay gia nhiệt)
Đònh luật Newton-Rieman cho trường hợp trao đổi nhiệt
đối lưu

( )
wf
ttq −⋅α=
(1-30)
Nhiệt lượng này cũng bằng nhiệt lượng do dẫn nhiệt
(tại bề mặt):

w
n
t
q





Điều kiện này đặc trưng cho qui luật truyền nhiệt năng
giữa hai vật tiếp xúc nhau.
Giả thuyết giữa các vật có sự tiếp xúc lý tưởng (nhiệt độ
chổ tiếp xúc đồng nhất) thì:

w
2
w
1
n
t
n
t






∂
∂
⋅λ=






∂
∂