Bài tập có liên quan đến định luật biến thiên và bảo toàn mô men động lượng trong
cơ học vật rắn
Bài 1: (Cơ lý thuyết)
Một thanh AB có độ dài 2L. Quay trong mặt phẳng ngang trục quay đối xứng
thẳng đứng oz với vận tốc góc
1
ω
như hình vẽ. Trên 2 cánh tay đòn của thanh có 2 quả
cầu như nhau khối lượng mỗi quả cầu là m. Khoảng cách đến trục quay là l, chúng được
nối với nhau bằng một sợi dây. Vận tốc góc sẽ thay đổi thế nào nếu dây đứt và khoảng
cách mỗi quả cầu đến trục quay là L. Bỏ qua bán kính của các quả cầu. Mômen quán tính
của thanh AB đối với trục quay đi qua o là
2
1
12
I mL=
Giải
Bước 1: Phân tích hiện tượng:
Hệ bao gồm 2 chất điểm và một vật rắn .
Ta có:
e
o
o
d L
M
dt
=
ur
uur
Hệ chịu tác dụng của các ngoại lực là ba trọng lực của 3 vật và 3 phản lực. Các lực
này cân bằng với nhau. Các trọng lực và phản lực này cùng phương với trục quay nên

AB
N
uur
1
ω
ur
z
Bước 3: Hướng dẫn giải bài tập.
- Xét hệ chất điểm: 2 vật
1 2
,m m
và thanh AB
- Ngoại lực tác dụng lên cả cơ hệ:
1 2
1 2 3
AB
P P P P
N N N N

= + +


= + +


ur ur ur ur
uur uur uur uur
Ta có :
,P N
ur uur

Do đó mômen ngoại lực tác dụng lên cơ hệ
0
e
o
M
=
uur
.
=>
0
o
d L
dt
= ⇒
ur
Mômen động lượng của cơ hệ được bảo toàn.
Chiếu lên phương oz:

0 ons
oz
oz
dL
L c t
dt
= ⇔ =

01 02 0
ons .
oz AB
L L L L c t⇔ = + + =

ω
ω
⇔ = + +
⇔ = + +
r ur r ur
với
1 2
1 2
r r L
m m m
v r
ω
= =


= =


=

=>
2
1 1
2
oz
L I mL
ω ω
= +
- Xét tai thời điểm t
2

ω ω
+
=
+
Ta thấy :
2
2 1
2
2
1
8
I mL
I mL
ω ω
+
⇒ <
+
p
Bài 2: (Olympic 30 – 4, lần thứ XII – 2006)
Một thanh mảnh có khối lượng M, chiều dài L có thể quay tự do quanh trục cố định 0 nằm
ngang đi qua một đầu thanh. Từ vị trí nằm ngang đầu thanh kia được thả ra. Khi rơi đến vị
trí thẳng đứng thì nó va chạm hoàn toàn đàn hồi với một vật nhỏ khối lượng m nằm trên
mặt bàn.Bỏ qua sức cản của không khí và ma sát ở trục quay của thanh.
a)Xác định vận tốc của vật ngay sau va chạm?
b)Xác định khoảng cách S mà vật m đi được sau va chạm nếu hệ số ma sát giữa vật
và mặt bàn là µ không phụ thuộc vào vận tốc của vật. Biết rằng ngay sau va chạm thanh
dừng lại và vật chuyển động tịnh tiến trên bàn
Giải
* Phân tích hiện tượng:
Ban đầu thanh nằm ngang một đầu gắn cố định ở O. Từ vị trí nằm ngang đầu kia

Gọi : v là vận tốc của vật m ngay sau va chạm.
L
M
O
m
.
.
'
ω
là vận tốc góc quay của thanh M ngay sau va chạm.
Khi đó, áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng và định luật bảo toàn cơ
năng cho cơ hệ ta có:

'
2
2 '2
1 1
2 2 2
I mvL I
Mv
I I
ω ω
ω ω

= +


= +




2 2
2 2
2 2
2
3 3 3
. .( )
3 3
3
2 . 3
3
(1 ). 2 3
2 3
( / )
3
ML g mL g mv
mv
L L ML
m v
MLg mv MLg mv gL
M
m
v gL
M
M gL
v m s
M m
⇔ = + −
⇔ = + − +
⇔ + =

⇔ = −
⇔ = −
=> Vật chuyển động chậm dần đều trên sàn.
Quãng đường mà vật đi thêm được cho đến khi dừng lại:
2 2
2as
t o
v v− =
Với
o
v v=
và
2
0 2as
t
v v= ⇒ − =
2
2 2
4
.3
6
3
2 2 ( 3 )
M
gL
v M L
M m
s
a g M m
µ µ

µ
=
Bài 3: (Vật lý tuổi trẻ).
Một đĩa đồng chất, có khối lượng
1
m
và bán kính r, quay quanh trục cố định 0Z với vân
tốc góc
0
w
. Vào một thời điểm nào đó một chất điểm M có khối lương
2
m
bắt đầu
chuyển động từ tâm đĩa ra ngoài vành đĩa theo bán kính với vận tốc không đổi u. Xác
định vân tốc góc ω của đĩa (hàm theo thời gian) kể từ lúc chất điểm M chuyển động? Bỏ
qua lực ma sát ở ổ trục quay.
Giải
- Xét cơ hệ gồm: Đĩa tròn và chất điểm M ( hình vẽ)
- Khi chất điểm ở tâm đĩa thì mô men động lượng của hệ đối với trục 0Z:

2
0
2
1
01
ω
ω
rm
IL

zz
Vì ngoại lực tác dụng lên cơ hệ là trọng lực có phương song song với trục 0Z nên:

0)( =
∑
PM
z
Vậy áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng, ta có:
0
r
Z
M
0
ω

21 zz
LL =

ωω
.
22
22
2
2
1
0
2
1



m r
m r m u t
ω ω
⇒ =
+
Nhận xét: Khi chất điểm chuyển động từ tâm đĩa ra ngoài vành theo đường bán
kính thì mô men quán tính của hệ tăng. Nên để bảo toàn mô men động lượng thì vận tốc
góc quay của hệ giảm đi (
0
ωω
<
).
Mở rộng:
Cách 1: Tại thời điểm t , m
2
bắt đầu chuyển động từ vị trí OA =
2
r
theo phương
AB song song với một đương kính với vận tốc v. Tính ω?
- Ban đầu :
2
1
1
.
2
o
z z o
m R
L I

L
z1
= L
z2
(Rad/s)
Từ đó ta suy ra được giá trị cần tìm của ω
Cách 2: Với đề bài như trên nhưng thay đổi điều kiên chuyển động ban đầu của vật
m
2
với m
2
chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ban đầu là v
0
, gia tốc là a. Tính ω?
- Ban đầu:
2
1
1
.
2
o
z z o
m R
L I
ω
ω
= =
- Khi m
2
chuyển động, khoảng cách từ m

- Tại thời điểm ban đầu ( t = 0) thì mô tơ ở trạng thái đứng yên ( ω = 0 )
Gọi t là thời điểm mà mô tơ điện chịu tác dụng của ngẫu lực tổng hợp có mô men
quay: M = a – b.ω (a, b = const ). Khi đó, rô to sẽ quay quanh trục quay hình học với vận
tốc góc ω.
Áp dụng định luật biến thiên mômen động lượng của cơ hệ đối với trục quay, ta có:
ω
ω
ba
dt
Id
M
dt
dL
−⇔=
)(
Trong đó: I = const là mô men quán tính của rô to đối với trục quay hình học.
Hay
dt
ba
d
Iba
dt
d
I =
−
⇔−=
ω
ω
ω
ω

t a
I
I I
a b t a
b b
a b e
ω
ω
−
+
−
⇔ − = −
⇔ − =
. .
(1 ) (rad/s)
b
t
I
b
t
t
a b a e
a
e
b
ω
ω
−
−
⇔ − =

= + −
Mà
.u v R
ω
= +
Suy ra:
2 2
2
( ). . .
z
L I MR mR m v R
ω
= + − −
- Vì ngoại lực tác dụng lên cơ hệ là trọng lực có phương song song với trục 0Z nên:
( ) 0
z
M P
∑
=
ur
Vậy áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng, ta có:

1 2z z
L L=

2 2
( ). . .I MR mR m v R
ω
⇔ + − =
Suy ra vận tốc góc của vòng quay:

r
ω
z
vận tốc tương đối so với dây là u. Tính vận tốc của người B đối với mặt đất? Coi như
khối lượng của ròng rọc được phân bố đều trên vành.
Giải
- Xét cơ hệ gồm: người và ròng rọc, dây.
Chọn trục quay 0Z vông góc và hướng ra phía trước mặt giấy.
Ban đầu hệ đứng yên, mômen động lượng của hệ đối với trụcc quay Oz:
1z
L
= 0
- Khi người A bắt đầu leo dây với vận tốc tương đối so với dây là u sẽ làm cho
ròng rọc quay theo chiều như hình vẽ với vận tốc góc ω.
Vậy vận tốc của người A so với đất:
A
V
= ωR – u
mômen động lượng của hệ đối với trục quay Oz khi đó:
2
2 2 2
1
4 ( ) 4
2
z z A z B zRR B
L L L L mR R u mRV mR
ω ω
= − + = − − +
Trong đó: m là khối lượng của ròng rọc


2
4
9
( / )
8
B
B
mR R u mR
V
mR
V R u m s
ω ω
ω
− +
⇔ =
⇔ = −