đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên
năm học 2001-2002
Môn thi: Toán -Lớp 9

(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: a. Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho mỗi số n+ 26 và n- 11 đều là lập phơng
của một số nguyên dơng.
b. Cho biểu thức sau với x

0; y

0 P= x- 2
xy
+ 3y- 2
x
+ 2002
Xác định x, y để P đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 2: a. Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x
2
- (3m+2)x + 12= 0 (1)
4x
2
- (9m-2)x + 36 = 0 (2)
b. Giải hệ phơng trình





=+++
=++

+ x
2
6
theo m
b.Tính các giá trị của m để x
1
6
+ x
2
6
chia hết cho 3
Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M, N là hai điểm nằm trong hình vuông sao cho
các tam giác MAB, NCD là các tam giác cân có đáy là cạnh hình vuông, góc đáy bằng 30
0
,
vẽ ở ngoài hình vuông các tam giác đều ABE, CDF.
a. Tính tổng MA+ MB+ MN+ NC+ ND
b. Xét hai điểm bất kỳ I, K nằm trong hình vuông ABCD (I gần AB hơn so với K). Xác định
vị trí của điểm I và điểm K để tổng
IA+ IB+ IK+ KC+ KD có giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng trên.
Câu 5: 1. M là điểm trên cung CD của đờng tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Chứng minh
MA+ MC=
2
MB.
2. Trong hình vuông ABCD và nửa đờng tròn đờng kính là cạnh AD, vẽ cung AC
mà tâm là D. Nối D với điểm bất kỳ trên cung AC. DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD ở K.
a. Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB
b. Một tiếp tuyến với cung AC cắt AB, BC theo thứ tự ở S, J. Tính độ dài nhỏ nhất của SJ.
GV:Phạm Văn Huấn_THCS Tân Dân
Sở giáo dục và đào tạo

x
Bài 3: (2đ) 1)
Cho hàm số :y= -2x
2
(P). Dựa vào đồ thị của hàm số hãy :
a) Xác định toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2
b) Biện luận số nghiệm của phơng trình x
2
=
2
1+m
c) 2) Gọi x
1
và x
2
là nghiệm của phơng trình : -2x
2
+ 3x +1=0. Không giải phơng
trình , tính giá trị của biểu thức :
1
2
1
+x
x
+
1
1
2
+x
x

2
3
11
2
3
1


+
++
+
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N= 13
42
xx
+9
42
xx +
với
10

x
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
1. x
3
- x
2
- x=
3
1
2.

KC của đờng tròn đó.
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O và có AB < AC.
Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A của đờng tròn (O). Vẽ MH vuông góc với
BC, MK vuông góc với CA, MI vuông góc với AB (H

BC, K

AC, I

AB).
Chứng minh:
MI
AB
MK
AC
MH
BC
+=
GV:Phạm Văn Huấn_THCS Tân Dân
Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
đề chính
thức
đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên
năm học 2004 -2005
Môn thi: Toán- Lớp 9(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1: 1. Rút gọn biểu thức: A=
1212 + xxxx
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: B= x(48 +


=++
=++
21
7
4224
22
yyxx
yxyx
Bài 3: 1. Xác định các số thực a, b, c sao cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm
thuộc đoạn
[0 ; 1].Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: C=
)(
)2)((
cbaa
baba
+

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P(x) =
2
2
1
2006120052004
x
xx

++

=
Bài 5: Cho hai đờng tròn tâm O và O cắt nhau ở A và B.
1. Các điểm M, N thứ tự di chuyển trên các đờng tròn (O) ; (O) sao cho chiều từ A đến M
và từ A đến N trên các đờng tròn đều theo chiều quay của kim đồng hồ và các cung
MA

,
NA

có số đo bằng nhau.
Chứng minh rằng đờng trung trực của MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2. Dựng cát tuyến chung đi qua A có độ dài nhỏ nhất.
GV:Phạm Văn Huấn_THCS Tân Dân
Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
đề chính thức
đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên
năm học 2006 -2007
Môn thi: Toán- Lớp 9(Thời gian làm bài 150 phút)
Phần I: Trắc nghiệm khách
quan (2đ)
Chọn chỉ một chữ cái in hoa (A, B, C, D) đứng trớc đáp số đúng và trình bày giải thích
tại sao chọn đáp số này, từ câu 1 đến câu 10.
Câu 1: Luỹ thừa bậc 4 của
1 1 1+ +
là:
A.
2 3+
C. 1+2
3

D. y=
1 b
x
a a

Câu 3: Cho 4 hàm số:
y= -2x
2
y= (a
2
+2a+3)x
2
y= (a
2
+1)x
2
y=
1
4
(-x+2)
2
+x-1
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên
(0, )+
A. 1 C. 3
B. 2 D. 4
Câu 4: Với giá trị nào của m thì ba đờng thẳng sau đồng quy: (d
1
): 2x-y = m
(d

2
, A
3
. . . . A
n

theo cùng chiều thoả mãn
1
AA =
A
1
A
2
= A
2
A
3
= và góc AOA
1
=108
0
Sau một số lần đặt nh vậy thì A
n
trùng với A. Khi đó n là:
A. Bội của 3 C. Bội của 9
B. Bội của 5 D. Bội của 10
Câu 7: Tỉ số giữa chu vi của hình lục giác đều với đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp là:
A. 1 C. 2
B.
3

0
Câu 10: Số điểm cách đều đờng tròn (O) và hai tiếp tuyến của đờng tròn (O) song song với
nhau là:
A. 2 C. 4
B. 3 D. Vô số
Phần II: Tự luận: (8,0 điểm)
Bài 1: (2,0đ)
1, Phân tích biểu thức sau thành nhân tử:
A= 2x
3
- (a+2)x
2
- ax + a
2
2, Cho phơng trình x
2
- (2m+3)x +

m
2
+3m + 2 = 0
a. Định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia?
b. Định m để phơng trình có nghiệm này bằng bình phơng của nghiệm kia?
Bài 2 (2,0đ)
1. Giải phơng trình:
2 2
4 3 2 3 1 1x x x x x + + =
2. Nếu hai tổ học sinh cùng làm vệ sinh một sân trờng thì sau 1 giờ 30 phút sẽ xong. Nếu để
tổ thứ nhất làm trong 20 phút và tổ thứ hai làm trong 15 phút thì đợc
1

Câu 2: Các giá trị tơng ứng của x và y đợc cho trong bảng sau:
X -1 0 1 2 1
f(x) -2 0
2
4 2
Các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. f là một hàm số của biến x
B. f(-1) + f(2)=2 C. f(0).f(2)=0
D.
1
(0)f
không xác định
Câu 3: Cho tứ giác ABCD có AC= AD, cách viết nào dới đây là đúng?
A. BC > BD B. BC < BD
C. BC = BD D. BC

BD
Câu 4: Có bao nhiêu bộ ba thứ tự (x, y,z) những số nguyên thoả mãn hệ phơng trình:
2 2 2
2 2
2 2
3 2 31
6 2 44
8 100
x xy y z
x yz z
x xy z

+ =


a b
a b
ab
+
+
?
Bài 2 (2,0đ)
1. Tìm phơng trình các đờng thẳng đi qua điểm I(0;1) và cắt parabol y=x
2
tại hai
điểm phân biệt M và N sao cho độ dài đoạn thẳng MN bằng
2 10
2. Cho hàm số y=
2
2
x
có đồ thị là (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình y= -x+4.
Xác định các điểm M, N lần lợt trên (P) và (d) sao cho:
1
2 5
M N
M N
x x
y y
+ =


+ =

Bài 3 (3,0đ) Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.

Sở giáo dục và đào tạo
Hng yên

đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên
Năm học 2008 2009
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút.
A. Trắc nghiệm khách quan
Câu 1: Giá trị lớn nhất của biểu thức
xxA += 20092008
là:
A. 1 B.
2
C. 2008 D. 2009
Câu 2: Tổng các nghiệm của phơng trình
33
71 xx ++
là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Câu 3: Cho đờng thẳng (d): x- 2y = 3m 7 và (d): x + y = 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để (d) và
(d) cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần t thứ nhất?
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
Câu 4: Nghiệm tổng quát của phơng trình 2x 3y = 6 là:
A.







x
yQx
D.






= 2
3
2
:
x
yRx
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) nghịch biến khi 0 < x < 5. Biết f(1) = 6; f(4) = 0. Khẳng định nào dới đây là
sai?
A. f(2) > 0 B. f(2) > f(3) C. f(
20
) > 0 D. f(2) < 6
Câu 6: Cho phơng trình (x - 1)(x
2
2mx + m
2
2m + 2) = 0. Nếu phơng trình này có 3 nghiệm phân biệt
thì: m > 1 B. m

1 C. m

1và m

byax
2009
có nghiệm với mọi a khi:
A. b = 0 B. b = 2008 C. b = 2009 D. b = 2010.
Câu 10: Bốn ngời nông dân chung nhau mua một mảnh vờn giá 60 triệu. Số tiền ngời thứ nhất, ngời thứ hai
và thứ ba trả lần lợt bằng
3
1
,
2
1
và
4
1
tổng số tiền của ba ngời còn lại. Khi đó số tiền ngời thứ 4 phải trả là:
A. 15 triệu B. 14 triệu C. 13 triệu D. 12 triệu
Câu 11: Một đờng tròn bán kính r nội tiếp trong tam giác vuông cân và một đờng tròn R ngoại tiếp tam
giác đó. Khi ấy tỉ số
r
R
là: A.
21 +
B.
2
22 +
C.
2
12
D.
2

D.
2
1
GV:Phạm Văn Huấn_THCS Tân Dân
Câu 15: Cho đờng tròn đờng kính AB và một dây cung AC bằng bán kính đờng tròn. Khi đó <ABC bằng:
A. 15
0
B. 20
0
D. 25
0
D. 30
0
Câu 16. Cho hình bên, tam giác ABC nội tiếp
(O, R) có
CBA



>>
; H, K, I thứ tự là các hình chiếu
vuông góc của O trên AB, AC, BC. Khẳng định
nào sau đây là đúng ?
A. OK > OI > OH B. OK< OI <OH
C. OH > OK > OI D. OI > OK > OH
Câu 17: Cho hình vẽ, MA; MB là hai tiếp tuyến so với (O; R); A, B là hai tiếp điểm, < AMB = 50
0
. Số đo
của < OAB là: A. 50
0

a) Tính giá trị của biểu thức: A =
2009
2008
2009
2008
20081
2
2
2
+++
b) Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
2009
2009
2009
2009
2009
2009
+
+
+
+
+
+
+
+
>++
x
z
z
y


=
và điểm E(0; -2). Gọi
(d) là đờng thẳng qua E và có hệ số góc là a.
a) Đờng thẳng (d) có cắt (P) tại hai điểm phân biệt không? Nếu có hãy tìm quỹ tích trung điểm của
đoạn thẳng có đầu mút là hai giao điểm đó.
b) Tìm giá trị của a để đoạn AB ngắn nhất; tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 3 (2,25 điểm): Cho (O, R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Kẻ tiếp tuyến AE, AF với (O) (E, F là
tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ EF (M khác E, F). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AE, AF thứ tự ở B
và C. Gọi P, Q thứ tự là giao điểm của EF với OB và OC.
a) Khi  = 60
0
, tính chu vi tam giác MPQ theo R.
b) Gọi H là giao điểm của CP và BQ. CHứng minh H là trực tâm của tam giác OBC.
c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ EF (M khác E, F), chứng minh rằng tỉ số
BC
PQ
không đổi.
Bài 4 (1,75 điểm): Cho M là một điểm di động trên đoạn thẳng AB cố định sao cho M khác B, MB < MA.
Vẽ tia My

Ab, trên tia AB lấy các điểm C và D sao cho MC = MA và MD = MB. Vẽ các đờng tròn đờng
kính AC và BD chúng cắt nhau tại M và N.
a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm vị trí của M sao cho DA.DN có giá trị lớn nhất (O là trung điểm của AD)

GV:Phạm Văn Huấn_THCS Tân Dân