Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Phòng giáo dục đào tạo huyện kinh môn
Trờng Trung Học Cơ Sở thái thịnh
====

====
kinh nghiệm :
Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh
qua việc mở rộng, khai thác
bài toán đã có
Môn Toán 7
ý kiến đánh giá của nhà trờng
ý kiến đánh giá của phòng giáo dục.
Trang 1
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Mục lục
A/ Đặt vấn đề.
I. Cơ sở lý luận.
II. Cơ sở thực tiễn.
B/ Giải quyết vấn đề.
I. Cơ sở lý luận.
II. Biện pháp thực hiện.
III. Kết quả thực hiện đề tài.
IV. Bài học kinh nghiệm.
V. Phạm vi áp dụng đề tài
VI. Hạn chế của đề tài.
VII. Đề xuất và hớng nghiên cứu tiếp.
C/ Kết luận.
Tài liệu tham khảo
Toán và và các chuyên đề Đại số, Hình học 7
SGK Toán 7

mỗi loại bài tập nói trên, ngời dạy phải định ra cho học sinh h-
ớng giải quyết nh thế nào cho phù hợp. ở đây tôi chỉ xin đề
cập đến một phần của cách giải quyết của hai loại bài tập đầu
đó là : Loại bài tập sử dụng kết quả bài toán cũ để giải bài toán
mới; Loại bài tập giải bằng nhiều cách. Hai loại bài tập này đòi
hỏi học sinh phải biết nhìn nhận và tạo ra các dữ kiện mới từ
bài toán cũ. Nhng trong thực tế, việc định hớng để xác định
xem nên khai thác nh thế nào cho hiệu quả, hợp lý thì học sinh
còn gặp nhiều khó khăn và đây là một vấn đề mà giáo viên
cần phải hình thành cho học sinh ngay từ lớp 7 để các em phát
triển t duy Toán học của mình.
II. Cơ sở thực tiễn :
Bản thân tôi là giáo viên dạy bộ môn Toán, trong những năm qua
tôi luôn đặt ra cho mình những câu hỏi, những trăn trở về vấn
Trang 3
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
đề : Làm thế nào để giúp học sinh phát huy cao độ tính tích cực,
độc lập, sáng tạo. Tự xây dựng cho bản thân niềm ham mê giải
bài tập Toán nói riêng và học Toán nói chung, để từng bớc nâng
cao chất lợng học Toán.
Mặc dù kinh nghiệm còn hạn chế, nhng tôi xin mạnh dạn trình
bày một số ví dụ cụ thể, khi dạy học sinh lớp 7 làm bài tập Toán.
Và đó cũng là lý do mà tôi chọn đề tài Rèn kỹ năng giải toán
cho học sinh lớp 7 qua việc mở rộng, khai thác bài toán đã có.
B. Giải quyết vấn đề :
I. Cơ sở lý luận :
Trong quá trình tiếp xúc, trao đổi và trực tiếp giảng dạy bộ môn
Toán cho học sinh lớp 7 nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi nói
riêng, thì tôi thấy tình trạng :
Số học sinh có học lực trung bình và yếu còn là vấn đề nan giải, đa số

Tuy nhiên cần khắc sâu cho học sinh bản chất số nguyên tố và vấn đề nảy
sinh là số P phải xét đợc cho bằng biểu thức đại số thì cách giải sẽ nh thế nào ?
Vậy yêu cầu học sinh giải bài toán sau :
Bài toán 1
1
Tìm tất cả các số tự nhiên x để P
(x)
= (x-1)(x+5) là số nguyên tố.
Đối với bài toán này, trớc hết yêu cầu học sinh tìm các ớc của P
(x)
, khi
học sinh đã tìm đợc các ớc của P
(x)
rồi ta yêu cầu học sinh tìm tiếp các điều
kiện để P
(x)
là số nguyên tố.
Lời giải :
Rõ ràng để P
(x)
là số nguyên tố thì :
x-1 = 1 hoặc x+5 = 1
Ta tìm đợc x = 2 hoặc x = -4
Vì x

N nên giá trị x = -4 không thoả mãn điều kiện đầu bài.
Với x=2 => P
(x)
= 1.(2+5) = 7 là số nguyên tố
Vậy với x=2 thì P

Tìm tất cả các số tự nhiên x để P
(x)
= x
2

+ 4x 5 là số nguyên tố.
Bớc đầu học sinh tởng rằng đây là một loại bài toán mới, song nếu
ta gợi ý để cho học sinh viết P
(x)
dới dạng : P
(x)
= A
(x)
.B
(x)
thì bài toán trở
lên đơn giản (Bài toán 1.1 - đã giải)
Sau khi giải xong bài tập này học sinh sẽ đa ra đợc phơng pháp
chung để giải loại bài tập : Tìm x

N để một đa thức f(x) với hệ số
nguyên là số nguyên tố.
Ta có thể làm theo các bớc :
B ớc 1 : Viết f(x) = A
(x)
. B
(x)

B ớc 2 : Tìm x để A
(x)


3
Tiếp đó ta đa thêm bài toán sau :
Bài toán 2
2
:
Chứng minh rằng, nếu a, b là các số nguyên thì : (a
3
b ab
3
)

3
Bài toán này thực chất cũng là Bài toán 2. Để thấy đợc điều này, chúng
ta hớng dẫn học sinh biến đổi :
a
3
b ab
3
= (a
3
b ab) - (ab
3
- ab)
= ab (a
2
1) ab (b
2
1)
= (a 1).a.(a + 1).b a.(b 1).b.(b + 1)

3
+ a
3
3
+ + a
n
3
cũng chia hết cho 3
(Với a
1
, a
2
,a
3
, , a
n
là các số tự nhiên). Điều ngợc lại có đúng không.
Bài toán này cũng thực chất là Bài toán 2, nếu nh học sinh thấy đợc:
B A = (a
1
3
a
1
) + (a
2
3
a
2
) + + (a
n


3) thì B

3 (hoặc A

3)
Không dừng lại ở đây mà tiếp tục đa ra cho học sinh bài toán sau :
Bài toán 2
4
:
Chứng minh rằng : Nếu p là số nguyên lẻ, không chia hết cho 3
và |p| >5 thì : (p
2
- 1)

24
Đây là bài toán tuy không thực chất là bài toán 2 nhng nó lại gần
gũi với Bài toán 2, chúng ta có thể hớng dẫn cho học sinh thấy đợc điều
này qua việc biến đổi sau :
Bài giải :
Vì p là số nguyên lẻ => (p 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp
Do đó (p
2
1)

8
(1)
Mặt khác p lẻ và p

3 nên (p,3) = 1

Ta có thể hớng dẫn học sinh giải nh sau :
Bài giải :
Ta có (2
n
1).2
n
.(2
n
+ 1)

3
Mà (2,3) = 1 suy ra (2
n
,3) = 1 và với n >2
Thì 2
n
1>3 do đó với 2
n
1 là số nguyên tố thì (2
n
1;3) =
1
Từ đó suy ra (2
n
+ 1)

3 mà 2
n
+ 1>3
Do đó 3 là ớc thực sự của 2

Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Đây là một bài toán Hình học lớp 7 mà qua thực tế giảng dạy ta
thấy, đại đa số học sinh ngại làm bài tập Hình. Bởi vì : Hình học khó hơn
Đại số giờng nh đã ăn sâu vào tâm trí của mỗi học sinh kể cả các em học
sinh giỏi. Để khắc phục điều đó thì giáo viên phải hớng dẫn các em trớc hết
phải nắm vững lý thuyết, sau đó tìm tòi, vẽ hình và phân tích đề bài để tìm
hớng giải quyết bài toán bằng nhiều con đờng. Cụ thể nh sau :
Phân tích :
Trớc tiên để học sinh tự suy nghĩ, tìm kiếm cách giải.
Nếu các em không làm đợc, A
giáo viên có thể gợi ý cho các em đi tìm
mối liên hệ giữa các góc của tam giác ABC.
Có thể các em sẽ phát hiện thấy (hoặc E
giáo viên chỉ ra ) tam giác cân ABC
đã cho có các góc 80
0
, 80
0
, 20
0
.
Mà 80
0
- 20
0
= 60
0
chính là
góc của tam giác đều.
B C

Do đó CEA = CED (c.g.c)
=>
BAC
2
1
DCA
2
1
CC
21
===

= 10
0
.
Trang 9
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
B C
Sau khi phân tích, hớng dẫn các em làm hai cách trên, tôi đã hớng dẫn các
em thêm cách sau :
Cách 3 :
A
Vẽ DAC đều nằm ngoài ABC,
tạo ra
ã
EAD
=
à
B
= 80

Vẽ ABD đều (D, C nằm cùng phía A
đối với AB) tạo ra góc CBD =
A

= 20
0
Khi đó : CBD = EAC (c.g.c) E
=>
11
CD

=
Vậy để tính
1

C
ta chỉ cần tính
1
D

D
Dễ thấy ADC cân tại A có góc ở
đỉnh
0 0 0
1

A 60 20 40= =
=> góc đáy ADC = (180
0
40

giác sao cho IAC = ICA = 15
0
. Tính góc AIB.
Phân tích : B
Trang 10
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Cũng nh ở ví dụ 1. Nhng ở ví dụ này
các em sẽ sớm phát hiện thấy
BAI = 75
0
, IAC = 15
0

Mà 75
0
15
0
= 60
0
là góc của tam giác đều
( Cũng có thể Nhận xét góc BCA=45
0
I
ICA = 15
0
và 45
0
+ 15
0
= 60

Vậy AIB = 15
0
+ 60
0
= 75
0
.
Cách 2 :
B
Vẽ CKI đều nằm phía ngoài
ACI, tạo ra ACK = BAI = 75
0
.
Khi đó KCA = AIB (c.g.c) K
=> AIB = AKC
Lại có
000
15015.2180

==
1
I

0
60

=
2
I
I

, BAI = 75
0
=> AIB
0000
75)3075(180 =+=
I (Hoặc AKC cân tại A có góc ở đỉnh
A C bằng 30
0
=> góc ở đáy)
ACK = AKC
000
752:)30180( ==
;
Mà ICA = 15
0
=> ICK = 60
0
Vậy ICK đều => KC = IC = IA
=> ABI = CAK (c.g.c)
=> AIB = AKC = 75
0
Cách 4 : B
Vẽ ACK đều ra phía ngoài ABC, tạo
ra IAK = IAB = 75
0
.
Khi đó BAI = KIA (c.g.c)
=> AIB =
1
I

0
. K
Từ K kẻ tia KM sao cho MKC = 15
0
thì
MKC = IAC (c.g.c) => KM = AI.
Mặt khác ABK cân tại A có góc ở đỉnh
bằng 30
0
=> góc ở đáy bằng 75
0
M
Trang 12
A
B
C
K
A
C
K
E
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Do đó KBM = 75
0
45
0
= 30
0
I
bằng KMB. A

0
, 80
0
. KBC = 10
0
, ABC = 50
0

Mà 50
0
+ 10
0
= 60
0
chính là góc của đều.
Từ đó có thể giải bài toán trên theo các cách
sau (Học sinh tím ra hoặc giáo viên gợi ý)
Cách 1 :
Vẽ BCE đều trùm lên ABC, tạo ra
ABE = KBC = 10
0
.
Dễ thấy EAB = EAC (c.c.c)
=>
1
E

=
2
E

, 70
0
, 70
0
.
Cách 2 :
Vẽ ABE đều (E, C nằm cùng phía
đối với AB), tạo ra EBC = KBC = 10
0
và
tạo ra AEC cân ở A có góc ở đỉnh bằng
80
0
- 60
0
= 20
0

=> góc ở đáy bằng (180
0
- 20
0
):2= 80
0

=> BCE = 80
0
- 50
0
= 30

= 30
0

Do đó KBC = ECB (g.c.g)
=> AK = EC = AB.
=> ABK cân tại B
Vậy các góc cần tính là 40
0
, 70
0
, 70
0
.
Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách giải 2 và 3 là tơng
đơng nhau : đều tạo ra tam giác đều có các cạnh bằng một trong hai cạnh
bên của tam giác cân đã cho, từ đó dẫn đến cạnh BK bằng một cạnh nào đó
của tam giác đều vừa tạo để suy ra tam giác ABK cân.
Cũng ở ví dụ này, nếu đi vẽ tam giác đều có một cạnh là KC để tạo ra
góc bằng KCB, hoặc vẽ tam giác đều có một cạnh là BK để tạo ra góc bằng
ABC thì sẽ không giải quyết đợc bài toán, vì vẫn không đủ dữ kiện, và học
sinh cần phải thấy đợc điều này để có cách vẽ thích hợp.
6. Bài toán 4 :
Trang 14
A
B
C
H
A
B
C

giác đều.
Từ đó hớng dẫn học sinh vẽ
thêm tam giác đều; có các cách
nh sau :
Cách 1 :
Vẽ AEC đều nằm trong
ABC, tạo ra ECB = CAH = 15
0
.
Kẻ EK

BC (có thể hớng dẫn và
giải thích cho học sinh tại sao kẻ
nh vậy).
Khi đó hai tam giác vuông ECK
và CAH bằng nhau theo trờng hợp
cạnh huyền, góc nhọn.
=> KC = AH, mà AH =
2
1
BC => KC =
2
1
BC
Vậy K là trung điểm của BC
Do đó tam giác EBC cân tại E và EBC = ECB = 15
0
.
Mặt khác : BEC = 180
0

(gt)
=>
B

= 180
0
2.75
0
= 30
0
).
Cách 2 :
Vẽ BEC đều (E, A nằm cùng phía
đối với BC), tạo ra
1
C

= CAH = 15
0

Từ A, kẻ AK

EC thì hai tam
giác vuông AKC và CAH bằng
Trang 15
C
B
H
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
nhau theo trờng hợp cạnh huyền,

phụ trong tam giác (Vẽ tam giác đều). Và sau các ví dụ này, giáo viên nên
cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng bài tập về tính số đo góc : Giải
bằng phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ (Vẽ tam giác đều), sau đó có thể
chốt lại cho các em là :
Khi xét mối liên quan giữa các góc, nếu phát hiện ra góc của tam
giác đều thì nên nghĩ đến cách vẽ tam giác đều để tạo ra những góc
bằng góc đã cho. Hơn nữa việc vẽ thêm tam giác đều còn tạo đợc
các đoạn thẳng bằng nhau, hoặc tạo đợc một đờng có nhiều tính
chất, từ đó rễ ràng phát hiện đợc những yếu tố bằng nhau, liên kết
với nhau để tìm ra lời giải.
Cũng cần chỉ ra cho học sinh thấy kinh nghiệm của việc vẽ thêm
yếu tố phụ (Vẽ tam giác đều) : Nếu vẽ tam giác đều mà cạnh của nó
có sự bằng nhau với các đoạn thẳng khác trong bài thì bao giờ cũng
giải quyết đợc bài toán. Cụ thể nh :
-
ở Bài toán 1, đầu bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau : AB = AC; AE =
BC. Nh vậy có thể giải bằng bốn cách : Vẽ tam giác đều cạnh AB, vẽ tam
giác đều cạnh AC, vẽ tam giác đều cạnh BC, vẽ tam giác đều cạnh AE.
-
ở Bài toán 2, đầu bài cũng cho 2 cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB =
AC; IA = IC. Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các cách : Vẽ
tam giác đều có 1 cạnh là AI; hoặc IC; hoặc AB; hoặc AC (trờng hợp
vẽ tam giác đều có 1 cạnh là AC có hai cách vẽ).
-
ở Bài toán 3 có hai đoạn thẳng bằng nhau là : AB và AC. Do đó khi
vẽ thêm tam giác đều dựa trên lầm lợt 1 trong 2 cạnh đó, ta sẽ đợc 2
cách (cách 2 , cách 3). Ngoài ra nếu vẽ tam giác đều mà cạnh của nó
Trang 16
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
không bằng đoạn thẳng nào khác thì cũng có thể giải quyết đợc (cách

0
. Trong góc ABC vẽ tia Bx sao
cho CBx = 15
0
. Đờng vuông góc với AB tại A cắt Bx ở I. Tính IBC.
Bài 4 : Trong tam giác cân ABC có
C

= 100
0
. Kẻ tia Ax sao cho
xAB = 30
0
, tia phân giác của góc B cắt Ax ở M. Tính ACM.
III. Kết quả :
Qua quá trình áp dụng đề tài này vào dạy các tiết luyện tập bớc đầu tôi
đã thu đợc một số kết quả tuy cha nhiều song cũng rất khả quan.
- Học sinh có hứng thú, đam mê sự giải toán và chính các em đã tự đem
lại niềm say mê giải toán nói riêng và học toán nói chung cho bản thân
mình, đặc biệt có nhiều em đã tự đặt ra cho mình những bài toán tơng
tự, những bài toán mới rồi cùng các bạn trao đổi.
- Trớc khi áp dụng và sau khi áp dụng đề tài tôi khảo sát và kết quả thu
đợc nh sau về số học sinh đạt học sinh giỏi huyện nh sau :
Trớc khi áp dụng Sau khi áp dụng
2/6 33,4% 5/6 83,3%
IV. Bài học kinh nghiệm :
Trong hai năm áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tôi rút ra đ ợc
bài học nh sau :
Hớng dẫn học sinh giải bài tập là nhiệm vụ quan trọng, bởi vì học sinh đứng
trớc một bài toán mà không có sự giúp đỡ nào của thầy giáo thì không thể

Trong đề tài này, lợng ví dụ còn hạn chế, cha thực sự hay và cha nêu
thành cụ thể các bớc làm, với mong muốn các đồng nghiệp trao đổi bổ
sung thêm để sáng kiến kinh nghiệm đợc hoàn chỉnh.
VII.Đề xuất và hớng nghiên cứu tiếp :
Trong thời gian tới tôi tiếp tục bổ sung cho sáng kiến kinh nghiệm
thêm phong phú hơn.
Trên cơ sở của đề tài, tôi sẽ mở rộng đối với học sinh lớp lớp 8.
C. Kết luận
Trang 18
Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Là ngời giáo viên đã trực tiếp giảng dạy nhiều năm môn Toán
lớp 7 ở trờng THCS tôi thấy việc phát huy tích cực của học sinh qua
việc giải một bài tập là vô cùng cần thiết, muốn vậy ngời giáo viên
phải có sự chuẩn bị chu đáo cho mỗi tiết dạy, các bài tập đa ra cần đợc
chọn lọc để tìm đúng những bài cần thiết, bài dễ chuẩn bị cho bài khó,
bài trớc gợi ý cho bài sau . Cứ nh thế học sinh có thể tự mình giải
quyết đợc những vấn đề mới đặt ra.
ở mỗi bài toán, ngời thầy cần đặt ra những tình huống khác
nhau từ đó nắm bắt đợc những hớng suy nghĩ của học sinh và đa ra
những gợi ý đúng lúc, nh vậy sẽ có tác dụng rất lớn trong việc giúp
học sinh tự giải bài toán.
Trên đây là kết quả bớc đầu tôi đã thực hiện thông qua thực tiễn
giảng dạy môn toán ở khối 7 và đặc biệt bồi dỡng học sinh giỏi môn toán
lớp 7. Tôi xin mạnh dạn trao đổi với các đồng nghiệp đề tài này. Song do
kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, năng lực của bản thân cha đáp ứng
đợc yêu cầu, do đó đề tài không thể tránh khỏi sự nghèo nàn, phiến diện.
Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô và bạn đọc đồng nghiệp
gần xa giúp cho đề tài phong phú hơn, góp ích cho việc từng bớc nâng
cao chất lợng dạy học.
Tôi xin chân thành cảm ơn !