QUAN H VUễNG GểC
A. Các vấn đề chính:
1. Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng.
2. Chứng minh vuông góc: đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng,
đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc.
3. Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 đờng thẳng, góc giữa đờng thẳng
và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng.
4. Các bài toán tính khoảng cách: Từ 1 điểm đến 1 đờng thẳng, đến 1
mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau.
5. Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện.
B. Bài tập:
Loại 1: Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đ ờng thẳng:
1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B.
a) Chứng minh BC

(SAB)
b) Gọi AH là đờng cao của

SAB. Chứng minh: AH

(SBC)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB,
BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a) SO

(ABCD)
b) IJ

(SBD)
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA


b) H là trực tâm của

ABC
c)
2222
1111
OCOBOAOH
++=
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và SC =
2a
. Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD.
a) Chứng minh: SH

(ABCD)
b) Chứng minh: AC

SK và CK

SD
7. Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đờng tròn (O; R). CD là dây cung của đờng tròn (O) qua I.
Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là
điểm đối tâm của D trên (O). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông ở S
b) SD

CE c) Tam giác SCD vuông.
Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:
8. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đờng
cao BE, DF của tam giác BCD; đờng cao DK của tam giác ACD


) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D.
Chứng minh AC

BD và 2 tam giác ABC và ADC đối xứng với nhau qua mặt
phẳng (SAC)
11.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I.
Dựng đoạn SD =
6
2
a
vuông góc với (ABC). Chứng minh:
a) Mặt phẳng (SAB)

(SAC)
b) Mặt phẳng (SBC)

(SAD)
12.Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD =
2
3
a
. Trên đờng thẳng vuông
góc với (P) tại giao điểm của 2 đờng chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a.
a) Chứng minh tam giác ASC vuông
b) Chứng minh: (SAB)

(SAD)
13. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên
hệ giữa a, b, x, y để:

14
)
16. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD.
Tính góc giữa AB và CI (cos

=
3
6
)
17.Cho hình lập phơng ABCD.ABCD
a) Tính góc giữa: AB và BC; AC và CD (60
0
và 90
0
)
b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CD. Hãy tính góc giữa: MN và CD; BD và
AD; MN và

; AP và DN. (60
0
, 45
0
, 90
0
)
Loại 4: Góc giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng:
18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA =
6a
vuông góc với đáy.
Tính góc của:


=
ữ

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD)
3 6
;sin
2 4
a


=
ữ

c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ)

(ABCD).
Tính góc hợp bởi SI với (SDC)
2
tan
3


=
ữ

20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy. Gọi
M, N lần lợt là trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60
0
a) Tính MN, SO

2
tan
3


=
ữ

23.Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy là 60
0
và hình chiếu H của đỉnh A lên (ABC) trùng với trung điểm của BC.
a) Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2)
b) Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC (tan

= 3)
c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABBA) và mặt đáy
( )
tan 2 3

=
24. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA =
3a
vuông góc với (ABCD). Tính góc:
a) (SAB) và (ABC) (90
0
)
b) (SBD) và (ABD)
( )
tan 6

)
Loại 6: Các bài toán về khoảng cách:
28. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB

(BCD) và AB = a. Tính k/c:
a) Từ D đến (ABC) (
3
2
a
)
b) Từ B đến (ACD) (
21
7
a
)
29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và
SA = SB = b. Tính khoảng cách:
a) Từ S đến (ABCD) (
2 2
1
4
2
b a
)
b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB (
5
5
a
)
c) Từ AD đến (SBC) (

a
)
b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) (
21
7
a
)
c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng(ACCA) và tính khoảng cách từ A
đến (ABC) (
2
2
a
)
32. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng SA = a và SA

(ABCD). Dựng và tính độ dài
đoạn vuông góc chung của:
a) SB à AD b) AB và SC (
2
2
a
;
2
2
a
)
33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính
khoảng cách giữa 2 đờng thẳng:
a) SC và BD b) AC và SD (
6