Quan hệ vuông góc
I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 :
a b
⊥ ⇔
góc
( ; ) 90
o
a b
=
.
C3: Dùng hệ quả:
C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông
góc với cạnh còn lại của tam giác
B. Bài tập áp dụng
Bài1.Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = 16a, CD =
12a, MN = 10a. CM AB vuông góc với CD
Bài2.Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC. CM
a. AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC
b. SA vuông góc với BC
Bài3.Cho hình chop S.ABC có SA vuông góc BC, SA = BC =2a,
)(,
α
mpABM
∈
qua M

a
b
P
a
P
b
( )
( )
a song song P
a b
b P

⇒ ⊥

⊥

∆
A
C
B
AB
BC
AC
∆ ⊥

⇒ ∆ ⊥

∆ ⊥

Bài4.Cho tứ diện ABCD có AB = CD.

c
a
b
P
b
,
c
cắt nhau ,
, ( )b c P
⊂
,
,a b a c
⊥ ⊥
⇒
( )a P
⊥
P
b
a
a
//
b
,
( ) ( )b P a P
⊥ ⇒ ⊥
Q
P
b
a
( ) ( )

⊥ ⊥

- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau
B.Bài tập ứng dụng
Bài1.Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là
trung điểm BC.
a. chứng minh BC vuông góc AD
b. kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuông góc với
mp(BCD)
Bài2.Cho hình chop SABC. SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B.
a. CM BC
⊥
SB
b. Từ A lần lượt kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. CM AH
⊥
(SBC), SC
⊥
( AHK)
Bài3.Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng
minh
a. SO vuông góc với (ABCD) b. AC vuông góc SD
Bài4.Cho tứ diện ABCD có AB
⊥
CD, AC
⊥
BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD.
a. CM AH
⊥

⊥
(ABC)
Bài8.Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a và SA
⊥
(ABCD)
a. Gọi I là trung điểm SD. CM AI
⊥
(SCD)
b. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình chiếu
của O trên CM
III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường
thẳng và mặt phẳng
A. Các định lý
1.

)(
)(
//
α
α
⊥⇒



⊥
b
a
ba
2.
( ) / /( )

( ) / /
( )
a b
a a b
b
α
α
≠


⊥ ⇒


⊥

5.
( )
( ) / /( )
a b a
b a
α
α α
⊥ ⊂
 
⇒


⊥
 
B. Bài tập ứng dụng

(AHK)
c. Kẻ đường cao BM trong tam giác . CM BM //(AHK)
IV. Mặt phẳng vuông góc mặ phẳng
A. Phương pháp chứng minh
.
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

ϕ
y
x
β
α
∆
O
•
( ) ( )
α β
∩ = ∆
,
( ),Ox Ox
α
⊂ ⊥ ∆
,
( ),Oy Oy
β
⊂ ⊥ ∆

Khi đó:
góc
(( );( ))

a. CM: (SAB)
⊥
(SBC)
b. Gọi M là trung điểm AC. CM (SAC)
⊥
(SBM)
Bài3.Cho hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC). Tam giác ABC vuông tại B
a. CM: (SAC)
⊥
(ABC)
b. Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. CM (AHK)
⊥
(SBC)
Bài4.Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC). CM AI
⊥
AH
a. CM: IJ
⊥
AB , IJ
⊥
CD
b. Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . AC
=AD =BC =BD =a và CD =2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và CD
c. Tính IJ và AB theo a và x
d. Xác định x sao cho (ABC)
⊥
(ABD)
Bài5.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. dựng

⊥
B’D’, AB’
⊥
CD’ và AD’
⊥
CB’. Khi nào mp(AA’C’C)
⊥
(BB’D’D)
( )
( ) ( )
( )
a
a
β
α β
α
⊂

⇒ ⊥

⊥

β
α
a

V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC
A. Lý thuyết
1. Góc của hai đường thẳng
2. Góc của hai mặt phẳng

a
α
=
• Chọn điểm O thuộc giao tuyến của
α
và
β
.
• Dựng qua O :
( )OA
OA
α
⊂


⊥ ∆

và
( )OB
OB
β
⊂


⊥ ∆

• Góc
( , )
α β
= Góc

B
O
A
ϕ
a
α

β
α
B
O
A
ϕ
∆
Bài1.Cho tứ diện đều ABCD. Tính các góc sau:
a. Góc giữa AB và (BCD)
b. Góc giữa Ah và (ACD) với H là hình chiếu của A lên (ABC)
Bài2.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA
⊥
(ABCD) và SA =
6a
.
Tính các góc giữa:
a. SC và (ABCD)
b. SC & (SAD)
c. SB & (SAC)
d. AC & (SBC)
Bài3.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với đáy. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Cho biết MN tạo với (ABCD) góc 60
0

∆
// (
α
)
∆
α
H
M
Dùng MH
⊥

∆
: d(M,
∆
) = MH
∆
M
H
Khoảng cách giữa mặt
phẳng và đường
Khoảng cách từ một
điểm
Chän ®iÓm M trªn
∆
1
, dùng MH
⊥

∆
2

Cách1
Cách 2 nếu a
⊥
b
- dựng ho ặc tìm mp(
α
) ch ứa b v à vu ông g óc v ới a t ại A.
- trong
α
, dựng đoạn AB
⊥
b tại B
- đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

B. Bài tập
Bài1.Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA
⊥
(ABC)
và SA = a
a. CM: (SAB)
⊥
(SBC)
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
c. Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
Bài2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA
⊥
(ABCD) & SA = 5. Tính các khoảng cách từ:
a. A đến (SBD)
b. A đến (SBC)
c. O đến (SBC)

α
β
•

Dùng mÆt ph¼ng (
α
) chøa b & (
α
) // a
•

Dùng MH
⊥
(
α
), M thuéc a, H thuéc (
α
)
•
Dùng a' trong mÆt ph¼ng (
α
), a' // a
® êng th¼ng a' c¾t ® êng th¼ng b t¹i B
•
Dùng
∆
qua B vµ // MH,
∆
c¾t a t¹i A
Khi ®ã:

b. Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: Ị là đương vuông góc chung của AD và BC
Bài5.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC) và SA = h. Dựng và tính độ dài đoạn
vuông góc chung sau:
a. SB & CD
b. SC & BD
c. SC & AB
Bài6.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a.Các cạnh bên của lăng trụ tạo với
đáy góc 60
0
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trung với trung điểm của B’C’.
a. Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy của lăng trụ
b. CMR mặt bên BCC’B’ là một hình vuông
Bài7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. SA = SB = SC = SD =
2a
. Gọi I, J lần lượt
là trung điểm của AD và BC.
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
b. Chứng minh (SỊ) vuông góc (SBC)
c. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
d. Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB
e. Tính khoảng cách từ S đến CI
Bài8.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a.
a. Chứng minh (BDD’B’) vuông góc (ACD’)
b. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (ACD’) và (BA’C’)
c. Tính khoảng cách giưa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT
A. Hình choùp tam giaùc ñeàu

>
Hình chóp tam giác đều:


•
Ta có:

∗
SH là chiều cao của hình chóp

∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·
SAH
α
=
.

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=
B.Hình chóp tứ giác đều>
Hình chóp tứ giác đều:

∗
Đáy là hình vuông


∗
Vẽ SH
⊥
(ABCD)

•
Ta có:

∗
SH là chiều cao của hình chóp∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·
SAH
α
=
.

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=
C. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
.
*** Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a

S
∗
SA
⊥
(ABC)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SBA
α
=

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
∗
SA
⊥
(ABCD)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SBA
α
=

∗

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. Chứng minh BC ⊥ SB
b. Chứng minh SC⊥ (AHK)
c. Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a. SA=2a và vuông
góc mp(ABC). M là 1 điểm nằm trên đoạn AB
1. Chứng minh AC
⊥
SM.
2. Tính góc giữa SA và (SBC)
3. Mặt phẳng (P) qua M và (P)
⊥
AB. Tìm thiết diện mặt phẳng (P) cắt hình chóp, thiết diện là hình
gì?
Bài 4: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a, BSC = 60
0
, CSA = 90
0
, ASB = 120
0
. K là trung
điểm của AC.
a) Tính AB, BC và CA. Từ đó chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
c) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC); (SAC) và (ABC).
d) Chứng minh SK là đoạn vuông góc chung của AC và SB.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD, có các cặp cạnh đối bằng nhau, AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD =
c . I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh 3 vectơ
IK,BC,AD