THPT H ỒNG BÀNG Nguyễn Thò Duyên
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II –TOÁN 11
I.GIẢI TÍCH
Bi 1:Tính các giới hạn sau
a)
2
3 4 1
lim
1
1
x x
x
x
− +
→
−
b)
2
9
lim
3
3
x
x
x
−
→−
+
c)
2
lim

2 5
lim
6 2
x
x
x
+
→−∞
−

g)
2
2 3
lim
2 1
x x
x
x
+ −
→−∞
+
h)
3 2
lim ( 2 3)x x
x
− + −
→+∞
i)
3 2
lim ( 5 2 3)x x

5 2
lim
( 2)
→
+
−
x
x
x
B i 2à . Tìm các giới hạn sau:
0 0 0
2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 1
.lim .lim .lim . lim . lim
2 2 2
3 2 9 1 3
x x x
x x
x x x x x x
a b c d e
x x x
x x x
+ −
→ → →
→ →
+ − + − + − + +
− −
− + − − −
Bài 3: Cho hàm số
2

f x
x
x m khi x

−
≠

=
−


+ =

a. Với m=2, hãy chỉ ra rằng f(x) gián đoạn tại x=1!
b. Tìm m để hàm số liên tục tại x=1?
Bài 5.m? f(x)liên tục tại x=1 với
sin
1
( )
1
2 2 1
π
π

≠

=
−



3
3

+ +

=
+


≤ −

x x
f x
x
khi x> -3
ax+ 2 khi x
.
a, Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó khi a = 3
b, Định a để f(x) liên tục trên R.
Bài 8: Chứng minh phương trình
a, x
3
- 3x + 1= 0 có ít nhất một nghiệm trong (-2; 0)
b, x
5
-3x
4
+ 5x-2= 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (-2 ;5 )
1
THPT H OÀNG BAØNG Nguyeãn Thò Duyeân

lim
2
n n
n n
+ +
+
c)
2
lim( )n n n+ −

d)
2 2
2 3 1
lim
3
n n n
n
− + +
+
e)
3 5.7
lim
2 3.7
n n
n n
+
−
f)
3 5.4
lim

   
− − + − + +
+ −
 ÷  ÷
+ + + + + +
   
− −
− +
2 2 4
2
4 2
1 4n 9n 2n n 4 n 2n 3
lim ; 11)lim ; 12)lim ;
1 2n 2n 3
2n n 1
+ + − + − +
− − +
− +
2 6 2
2 6 5 2
2n 1 n 3n 3 4n 1 n n 1
13)lim ; 14)lim ; 15) lim ; 16)lim ;
1 3n 2n n 2 n 1 3n 2
− + − − −
− + − + +
2 2
2 3 2
3
3 3 2 2 2 2
2 2

lim
2 3
x
x x
x x
→−∞
− +
−
C=
2
3 2
1
2
lim
x
x x
x x
→−
− −
+
D=
6
3 3
lim
6
x
x
x
→
+ −

1
x
x x
x
→
− −
−
H=
3
0
1 1
lim
x
x
x
→
− −
I=
2
0
1 1
lim
x
x x x
x
→
+ − + +
K=
2
2

x
→
− −
−
N=
2 3
1
3
lim
1
x
x x x
x
→
+ + −
−
O=
2
lim ( 4 2 )
x
x x x
→−∞
+ −
P=
2
lim ( 1 )
x
x x x
→+∞
+ + −

x 0 x x x x 0 x 0
1 1 2
1)limsin ; 2) lim cos x; 3) lim sin 2x; 4) lim cos3x; 5)limcos ; 6)limsin .
x 2x x
→ →+∞ →+∞ →+∞ → →
B i 13:à Ch ng minh r ng h m s f(x) không t n t i gi i h n khi ứ ằ à ố ồ ạ ớ ạ
x 0→
:
2
THPT H OÀNG BAØNG Nguyeãn Thò Duyeân
( ) ( ) ( )
2
2
x, x 0 x , x 0
x 1, x 0
a)f x b)f x c)f x
1 x, x 0.
2x, x 0.
x 1, x 0.


≥ ≥

+ ≥
 
= = =
  
− <
<
− <

x
x
4)
1
1
lim
2 1
x
x
x
→
+
−
; 5)
2
5
1
1
lim ;
2 3
→−
+ +
+
x
x x
x
3 4
2
4 2
x 0 x 0 x 1 x 2

x 1 x 3 x 2 x 1
3 3
3
2
3
x 1 x 1 x 0 h 0
2 3 2
3 2 2
x 1 x 2
x 1 x 3 x 3x 2 x 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
x 1 x 2x 15 x 2x 3
x 2
x 2 8 2 x h 2x
x x 1 3
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ;
1 x 1 x x h
x 1
2x 3x 1 x x 2x 8
9)lim ; 10)lim
x x x 1 x
→ → → →
→ → → →
→ →
− − − + −
− + − + −
−
− + + −
−
 

13)lim ; 14)lim ; 15)lim ;
3x 8x 6x 1 x 8x 15 x 4x 3
1 x 1 2x 1 3x 1
x 3x 9x 2 x 2x 1
16)lim ; 17)lim ; 18)lim ;
x x 6 x x 2x 1
x x x n x
19)lim ; 20)lim
x 1
→ → →
→ → →
→ →
− + + − − + − +
− + − − + − +
+ + + −
+ − − − +
− − − +
+ + + −
−
( )
( )
( )
m
n m n
x 1
n n n 1
n n n m
2
2
x a x a x 0

−
 ÷
− − + −
 
3-Tìm gi i h n d ng ớ ạ ạ
0
0
c a h m phân th c i s ch a c n th c b c haiủ à ứ đạ ố ứ ă ứ ậ
B i 16:à Tính các gi i h n sauớ ạ
3
THPT H OÀNG BAØNG Nguyeãn Thò Duyeân
2 2
x 0 x 1 x 7 x 1
2 3
2 2
x 6 x 5 x 2 x 0
2
2
x 1 x 1 x 0
x 4 2 x 3 2 2 x 2 x 2x 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
x x 1 x 49 x 12x 11
x 2 2 x 4 3 x 5 3 x 1 1
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ;
x 6 x 25 x 2 x x
x 2x 1 2x 1 x 1
9)lim ; 10)lim ; 11)lim 1
x x x 1 x
→ → → →
→ → → →

+ − −
+ −
+ − − − + − − + −
− + − − −
− − −
+ − + + − − + − − + −
+ − + − +
−
2 2
2 2
x 2 x 1 x 1 x 3
;
x
x 7 3 x 2 1 2x 2 3x 1 x 2x 6 x 2x 6
21)lim ; 22) lim ; 23)lim ; 24)lim .
x 4 x 1 x 4x 3
x 5 2
→ →− → →
+ − + − + − + − + − + −
− − − +
+ −
4-Tìm gi i h n d ng ớ ạ ạ
0
0
c a h m phân th c i s ch a c n th c b c ba v b c caoủ à ứ đạ ố ứ ă ứ ậ à ậ
B i 17:à Tính các gi i h n sauớ ạ
3 3 3 3
3
x 2 x 0 x 1 x 1
2

x 1 x 1
3
n m n
n 1
n
x 0 x 1
4x 3 1 2 x 1
m ; 12)lim ;
x 1 x 1
1 x 1 x 1 (1 x )(1 x) (1 x)
13)lim ; 14)lim ; 15)lim .
x (1 x)
x 1
→ →
−
→ →
− − − −
− −
+ − − − − −
−
−
5-Tính gi i h n d ng ớ ạ ạ
0
0
c a h m s s d ng ph ng pháp g i h ng s v ngủ à ố ử ụ ươ ọ ằ ố ắ
B i 18: à Tính các gi i h n sauớ ạ
5
43 3 3
2
x 0 x 1 x 1 x 0

x 9 2 x 2 x x 1
→ → →
→ → →
+ − −
− − + + + + −
−
+ α +β −
+ − + − + − +
+ − − + − +
→
− − +
−
3
1
2 2 1. 5 3
11) lim
1
x
x x
x

→
+ − +
− −
3
2
2
3 2 2
12) lim ;
2

 
−
− + − +
 
+ +
 
+ + + + + + − +
+ +
+ +
+ +
2
5 3 2 2
5 4 2 2
2
100 100 100 2 3
2
100 10
2 2
2 1 3 1
6 7 4 3 3 2
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ;
8 5 2 1 2 1 4
8 5 2
1 2 100 2 3 4 7
2 3
4) lim ; 5) lim ; 6) lim
10 100
3 1 10 9
4
x x x

1 2
1 2 3 4 5
1
7) lim ; 8) lim ; 9) lim ;
2 1
5 1
3 1
4 1 2 1 5 3 1 4 5 2 1
10) lim ; 11) lim ; 12) lim ; 13) lim ;
1
4 3 1 3 2 7
x x x
x x x x
x
x x x x x
x x x x x
x x
x
x x
x x x x x x x x
x
x x x x x x
6 6 4 3 2
2 2 3
x x x x
2 4 5
2
2
x x x x
2

∞ −∞
c a h m sủ à ố
B i 20: à Tính các gi i h n sauớ ạ
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
x x x
2 2 2
x x x
2 2 2 2 2 2
x x
x
3 3 2

n
x x
n
1 2 n
x x x
2 2 2
x x x
2
x
x x 1 x x 1
11) lim x( x 2x 2 x x x); 12) lim ;
x
13) lim (x a )(x a ) (x a ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ;
16) lim 2x 5 4x 4x 1 ; 17) lim x 4x 9 2x ; 18) lim x x 1 x ;
19) lim x 3
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞ →−∞
→−∞ →−∞ →+∞
→+∞
− − + + −
+ − + +
+ + + − + − + + −
− − − − + + + −
(
)
(
)
(
)
3

3
2
3 5 2
x x x 2
3x 1 2x x 3 x 4
5) lim 1 2x ; 6) lim x ; 7)lim .
x 1 x x 3 4 x
x 2
→+∞ →−∞ →
+ + +
−
+ − + −
−
B i 22: à D a v o nh ngh a gi i h n m t bên, tìm các gi i h n sauự à đị ĩ ớ ạ ộ ớ ạ
( )
x 1 x 5 x 3 x 1
1 1
a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim .
x 3 x 3
+ − + −
→ → → →
− − +
− −
B i 23: à Tính các gi i h n sauớ ạ
5
THPT H ỒNG BÀNG Nguyễn Thò Duyên
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )

− −
− +
+ +
+ + + +
+ + + +
− −
−
+ −
2
2
2 3
x 3
x 1
1 x x 1 9 x
lim ; 12) lim
2x 7x 3
x x
−
→−
→
− + − −
+ +
−
B i 24à :Xét tính liên t c c a h m s : ụ ủ à ố

−
≠

=
−

( )
3
4 Õu x = 3
x x
n
f x
x
n
Trên t p xác nh c a nó.ậ đị ủ
B i 26à
a)Ch ng minh ph ng trình 2xứ ươ
4
+4x
2
+x-3=0 có ít nh t hai nghi m thu c kho ng (- 1; 1 )ấ ệ ộ ả
b) ch ng minh r ng ph ng trình sau có ít nh t hai nghi mứ ằ ươ ấ ệ : 2x
3
– 10x – 7 = 0
c). Ch ng minh ph ng trình : 1-x-sinx=0 ứ ươ luôn luôn có nghiệm
d) Ch ng minh ph ng trình :ứ ươ
3
3 1 0x x− + =
có 3 nghi m phân bi tệ ệ
B i 27à Tìm o h m các h m s sau:đạ à à ố
a)
)12)(33(
22
−++−= xxxxy
; b)
5


h)
3
1
12






−
+
=
x
x
y
i)
)12(sin
33
−= xy
k)
)2(cossin
2
xy =

l)
2
2sin xy +=
m)

5
+ x
3
– 2x - 3. Ch ng minh r ngứ ằ
f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)
Bài 30 :Cho hàm số
132
23
+−+= xxxy
1)Giải pt
( )
0
/
=xf
2)Viết pt tiếp tuyến của đồ thò hàm số:
a)tại điểm có hoành độ bằng 2. b)tại điểm có tung độ bằng 1
c)Tại điểm giao giao với đồ thò hàm số
3
xy =
.
Bài 31 :Cho hàm số
1
3
+
+
=
x
x
y
a)Giải bpt

b)
3
1
2 4y x x
x
= + + +
c)
2 3
( 1)( 2)y x x= − +
d)
2 3
3 1
x
y
x
+
=
−
e)
2
2 3 1
3 2
− +
=
−
x x
y
x
f)
1

e)
2
1
3 2y x x
x
= − +
f)
4
2
2
2 1
3
x
y
x
 
+
=
 ÷
−
 

Bài 36 : Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
2sin cos tany x x x= + −
b)
3
4 2
2 5
cot (2 5);

( ) 2 2 3f x x x= − +
(C)
a) Viết pt tiếp tuyến của đồ thò hàm số tại điểm có
0
1x = −
b) Viết pt tiếp tuyến của đồ thò hàm số tại điểm có
0
3y =
c) Viết pt tiếp tuyến của đồ thò hàm số biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
24 2008y x= +
d) Viết pt ttuyến của đồ thò hàm số biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
1
2008
4
y x= − +
Bài 39.
3 2
( ) 3Cho f x x x x= − +
a. Gpt: f’(x)+f’’(x)=0
b.Gbpt: f’(x) >0
c.Viết pt tiếp tuyến với đồ thị hs tại điểm có hồnh độ là 1.
d.Viết pt tiếp tuyến với đồ thị hs biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=x+2.
II/ Hình h c: ọ
B i 1à : Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD l hình vng tâm O; SA đ à
⊥
(ABCD). G i H, I, K l n l t l ọ ầ ượ à
hình chi u vng góc c a i m A trên SB, SC, SD.ế ủ đ ể
a) Ch ng minh r ng BC ứ ằ
⊥
( SAB); CD

B i 4à : Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD l hình ch nh t. M t SAB l tam giác cân t i S v m t ph ng đ à ữ ậ ặ à ạ à ặ ẳ
(SAB)
⊥
(ABCD). G i I l trung i m c a o n th ng AB. Ch ng minh r ng:ọ à đ ể ủ đ ạ ẳ ứ ằ
a)BC v AD cùng vng góc v i m t ph ng (SAB).à ớ ặ ẳ
b)SI
⊥
(ABCD).
B i 5:à Cho t di n ABCD có AB ứ ệ
⊥
(BCD). G i BE, DF l hai ng cao c a tam giác BCD; DK l ng ọ à đườ ủ à đườ
cao c a tam giác ACD.ủ
a)Ch ng minh hai m t ph ng (ABE) v (DFK) cùng vng góc v i m t ph ng (ADC);ứ ặ ẳ à ớ ặ ẳ
b) G i O v H l n l t l tr c trâm c a hai tam giác BCD v ACD. Ch ng minh OH ọ à ầ ượ à ự ủ à ứ
⊥
(ADC).
Bài 6:Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. gọi O là tâm của đáy ABCD.
a) CMR (SAC) ⊥(SBD), (SBD)⊥(ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD),từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vng góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SD.
d) Cho mp (P) đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng SC. Hãy xác định thiết diện của mp(P) cắt hình
chóp S.ABCD.
B 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình chử nhật, AB = a, AD =
3a
.cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy và SA = a.
a) Chứng minh rằng AB vuông góc với (SAD);AD vuông góc với (SAB)
b) Cm: CD vuông góc với SD
c) Tính góc giữa SB với(SAD); SD với (SAB)
B 8:Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a;SO vuông góc với mp(ABCD)


(ABCD).
8
THPT H ỒNG BÀNG Nguyễn Thò Duyên
a) CMR mp(SAB)
⊥
mp(SAD) v mp(SAB) à
⊥
mp(SBC)
b) Tính góc gi a hai mp(SAD) v (SBC)ữ à
B 12. Cho hình chóp S. ABCD có áy hình ch nh t, AB = a, BC = 2a, c nh bên SA vng góc v i áy ,SA đ ữ ậ ạ ớ đ
= a. Tínhcác góc gi a các mp ch a các m t bên v mp áy c a hình chóp.ữ ứ ặ à đ ủ
B i 13à : Hình chóp S.ABCD có dáy l hình thoi ABCD tâm O c nh a, góc à ạ
·
0
60BAD =
. ng cao SO vng Đườ
góc v i m t ph ng (ABCD) v o n SO =ớ ặ ẳ à đ ạ
3
4
a
. G i E l trung i m c a BC, F l trung i m c a BE.ọ à đ ể ủ à đ ể ủ
a) Ch ng minh (SOS) ứ
⊥
(SBC)
b) Tính các kho ng cách t O v A n m t ph ng (SBC).ả ừ à đế ặ ẳ
c) G i (ọ
α
) l m t ph ng qua AD v vng góc v i m t ph ng (SBC). Xác nh thi t di n c a hình chóp v i à ặ ẳ à ớ ặ ẳ đị ế ệ ủ ớ
mp (

=a.Gọi M là trung điểm của AB .Hãy tính đường vuông góc chung của SM và BC.
B i 18à Cho tứ diện OABC trong đó OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA =OA =OC =a.Gọi I là trung
điểm của BC cho tø diƯn OABC trong ®ã OA,OB,OC ®«i mét vu«ng gãc vµ OA=OB=OC=a.Hãy tính đường
vuông góc chung của của hai đường thẳng
a)OA và BC b)AI và OC
B i 19 à Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình vuông tại B và AC = 2a,SA =a và SA vuông góc với
mp(ABC)
a)Chíng minh rằng (SAB)
⊥
(SBC)
b)Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
c)Gọi I là trung điểm của AC.Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
9
THPT H ỒNG BÀNG Nguyễn Thò Duyên
B i 20à : Hình chóp S.ADCD có áy l hình vng ABCD tâm O v có c nh SA vng góc v i m t ph ng (ABCD). G i H, I vđ à à ạ ớ ặ ẳ ọ à
K l n l t l hình chi u vng góc c a i m A trên các c nh SB, SC v SD. Ch ng minh:ầ ượ à ế ủ đ ể ạ à ứ
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ∈
⊥ ⊥
a)BC (SAB), CD (SAD) vµ BD (SAC).
b)SC (AHK) vµ I (AHK).
c)HK (SAC), tõ ®ã suy ra HK AI.
B i 21à : Cho tam giác ABC vng t i C. Trên n a ng th ng At vng góc v i (ABC) l y i m S. G i H, K l n l tạ ử đườ ẳ ớ ấ đ ể ọ ầ ượ
l hình chi u vng góc c a A lên SB v SC. Ch ng minh AK vng góc v i (SBC) v KH vng góc v i SB.à ế ủ à ứ ớ à ớ
Bài 22:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có c nh SC vng góc v i m t ph ng (ABCD) ạ ớ ặ ẳ
và SC = a ,
a)Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
SAADSCDSBCSADSCDSBCSABSBDSAC ⊥⊥⊥⊥⊥ ;;;;
b)Xác đònh và tính góc giữa SC và (ABCD).

, khi x 2
( )
2
3 , khi x = -2
x x
f x
x

+ +
≠ −

=
+



Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x
3
– 6x +1 (1)
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số (1) rồi suy ra
( 5)f
′′
−
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm M
o
(0; 1)
c) Chứng minh phương trình (fx) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (-1; 1)
Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 60
0
và

1
1
2

−


=

+

≤

+

x+1
,khi x>0
x
f x
x
,khi x 0
x
Bài 4: Cho
( ) ( )
4 3 2
2 4 3 5= − − + +f x x x x x C
a) Giải bất pt:
( )
0
,,

SCD
)
c) Tính khoảng cách từ AB đến
AB
đến
CD
d) Tính góc giữa
( )
SAD
với
( )
SCD .
ĐỀ 3
Bài 1: Tính các gi i h n sauớ ạ :
a)
2
3
8 3
3
→
+ −
−
x
x
lim
x x
b)
2
3
1

,khi x
x
f x
x
,khi x<2
x
Bài 3: Cho
( ) ( )
4 3 2
3 3 4 5f x x x x x 1= − − − +
a)Giải bất pt:
( )
0
,,
f x >

b) CMR pt
( )
0
,
f x =
có 3 nghiệm
c)Viết pt tiếp tuyến của đồ thò hàm số tại điểm có hoành độ là 1
Bài 4: Cho f(x)= cosx . CMR:
2.
2 0
3 6 6
π π π
f '( x ). f '( x ) f ( x ) f '( ) ( x )+ − + + = ∀
11